Ανάπτυξη κώδικα και GUI για σχεδίαση στοιχειοκεραιών με το λογισμικό MATLAB

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ-ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΜΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ(ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ) Κατεύθυνση: Ηλεκτρονική Τεχνολογία Τηλεπικοινωνιών Ανάπτυξη κώδικα και GUI για σχεδίαση στοιχειοκεραιών με το λογισμικό MATLAB Όνομα φοιτητή: Νίκος Σοφούλης Όνομα επιβλέπουσας καθηγήτριας: Αικατερίνη Σιακαβάρα ΑΕΜ:12223 Θεσσαλονίκη Μάρτιος 2015

Πρόλογος Οι στοιχειοκεραίες αποτελούν βασική κατηγορία κεραιών με τις οποίες επιτυγχάνεται η δημιουργία ακτινοβολούντων διατάξεων με προκαθορισμένα χαρακτηριστικά λειτουργίας, που υπαγορεύονται από την εκάστοτε εφαρμογή στην οποία θα χρησιμοποιηθούν οι κεραίες Σαν συνέπεια κατά τη σύνθεση μιας στοιχειοκεραίας απαιτείται η λύση του αντίστροφου προβλήματος δηλ. του προσδιορισμού της γεωμετρίας της κεραίας(ο αριθμός στοιχείων, οι θέσεις τους και οι μεταξύ τους αποστάσεις) καθώς και του τρόπου τροφοδοσίας (πλάτη ρευμάτων των στοιχείων, διαφορά φάσης μεταξύ τους)ώστε η κεραία να παράγει ένα προεπιλεγμένο διάγραμμα ακτινοβολίας σύμφωνο με αυτό που απαιτεί η σχετική εφαρμογή για την οποία προορίζεται η κεραία. Πέραν των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών, στη βιβλιογραφία προτείνεται σημαντικός αριθμός μεθοδολογιών σχεδίασης στοιχειοκεραιών που έχουν σαν στόχο τον έλεγχο, με βάση συγκεκριμένες προδιαγραφές, των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας της κεραίας. Μέθοδοι όπως η σχεδίαση με θεωρία πολυωνύμων Chebyshev, η ανάπτυξη του παράγοντα διάταξης σε σειρά Fourier, η μέθοδος δειγματοληψίας Woodward-Lawson και η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης αποτελούν τεχνικές σχεδίασης που χρησιμοποιούν δεδομένη μαθηματική περιγραφή του διαγράμματος ακτινοβολίας με στόχο να συνθέσουν μια στοιχειοκεραία που να το παράγει. Στην παρούσα εργασία συντάχθηκε κώδικας και αντίστοιχο γραφικό περιβάλλον χρήστη, για τη σχεδίαση τριών από τους βασικούς τύπους των κεραιών που χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές: α)ομοιόμορφων β)πολυωνυμικών Chebyshev και γ)με μέθοδο δειγματοληψείας Woodward-Lawson. Το λογισμικό αναπτύχθηκε στο προγραμματιστικό περιβάλλον του Matlab. Στην εργασία παρουσιάζονται βασικά στοιχεία της θεωρίας σχεδίασης των κεραιών των τύπων αυτών και πραγματοποιείται αναλυτική παρουσίαση, συνοδευόμενη από παραδείγματα, του λογισμικού που αναπτύχθηκε Η εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών Ηλεκτρονικής Φυσικής (Ραδιοηλεκτρολογίας), στην κατεύθυνση: Ηλεκτρονική Τεχνολογία Τηλεπικοινωνιών, του Τμήματος φυσικής του Α.Π.Θ., υπό την επίβλεψη της αναπλ. καθηγήτριας κ. Αικ. Σιακαβάρα. 1 Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2015

Περιεχόμενα σελ. Κεφάλαιο 1: Δείκτες Λειτουργίας και σύνθεση στοιχειοκεραιών 1.1 Εισαγωγή 5 1.2 Δείκτες και χαρακτηριστικά λειτουργίας κεραιών 6 1.2.1 Διάγραμμα Ακτινοβολίας 6 1.2.2 Κύρια Επίπεδα 7 1.2.3 Πυκνότητα Ισχύος Ακτινοβολίας 8 1.2.4 Ένταση Ακτινοβολίας 9 1.2.5 Κατευθυντικότητα 10 1.2.6 Απόδοση Κεραίας 11 1.2.7 Απολαβή Κεραίας 11 1.3. Στοιχειοκεραίες 12 1.3.1 Στοιχειοκεραία Δύο στοιχείων 12 1.3.2 Ομοιόμορφη Στοιχειοκεραία 15 1.3.3 Παραδείγματα παράγοντα Διάταξης 18 1.3.4 Μετατροπή από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες 20 1.3.5 Στοιχεία κατά μήκος του άξονα (x) ή του (y) 21 1.3.6 Στοιχειοκεραία με ίδια ισαπόσταση (d) αλλά διαφορετικά πλάτη(ανομοιόμορφη στοιχειοκεραία) 22 1.3.7 Στοιχειοκεραία Dolph-Chebyshev 25 1.3.7.1Πολυώνυμα Chebyshev 25 1.3.7.2 Ύψος κύριου λοβού έναντι δευτερευόντων 27 1.3.7.3 Τα πλάτη των στοιχείων της στοιχειοκεραίας Dolph- Chebyshev 29 1.3.8 Η διαφορά φάσης και η γωνία μεγίστου 31 1.3.8.1 Η διαφορά φάσης 31 1.3.8.2 Η γωνία μεγίστου 33 1.3.8.3 Δευτερεύοντες λοβοί που εμφανίζονται για συγκεκριμένες γωνίες μεγίστου 34 1.3.8.4 Δυνατότητες και περιορισμοί του τύπου (1-57) 40 2

1.3.8.5 Παραμετρική μελέτη του τύπου (1-57) 45 1.4 Μέθοδος Woodward-Lawson 47 1.4.1 Επιθυμητό και υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολία 47 1.4.2 Τα πλάτη των στοιχείων 51 1.5 Δίπολα παράλληλα σε άξονα 53 1.6 Εισαγωγή Ανακλαστήρα 54 Κεφάλαιο 2: Παρουσίαση του λογισμικού LAD, που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της εργασίας 2.1 Εισαγωγή 57 2.2 Αρχική οθόνη και ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες 57 2.3 Στοιχειοκεραία Dolph-Chebyshev 69 2.4 Μέθοδος Woodward-Lawson 72 3.Βιβλιογραφία 80 3

Κεφάλαιο 1:Δείκτες Λειτουργίας και Σύνθεση Στοιχειοκεραιών 4

1.1. Εισαγωγή Οι κεραίες αποτελούν βασικές βαθμίδες λειτουργίας και στα δύο άκρα μιας ασύρματης ζεύξης και τα χαρακτηριστικά λειτουργίας τους όπως η απόδοση, η απολαβή, η αντίσταση εισόδου τους κ.λ.π. είναι καθοριστικά για την απόδοση της ζεύξης. Πλέον αυτών μια ακόμη σημαντική ιδιότητα που παίζει καθοριστικό ρόλο στην κάθε εφαρμογή είναι ο τρόπος κατανομής της εκπεμπόμενης ισχύος στο χώρο. Στην πράξη τα χαρακτηριστικά των διαγραμμάτων ακτινοβολίας, όπως τα ανοίγματα μισής ισχύος, η διεύθυνση του μεγίστου, η απολαβή, η στάθμη των δευτερευόντων λοβών κ.λ.π. είναι στοιχεία που αφορούν την εκάστοτε εφαρμογή και πρακτικά, είναι η σχετική εφαρμογή εκείνη που υπαγορεύει τις προδιαγραφές λειτουργίας της αντίστοιχης κεραίας. Καθώς οι δυνατότητες να πληρείται το σύνολο των προδιαγραφών μιας εφαρμογής, με τη χρήση ενός μόνο στοιχείου-κεραίας, είναι εξαιρετικά περιορισμένες, λύση στο πρόβλημα μπορεί αποτελεσματικότερα να δώσει η χρήση στοιχειοκεραιών. Σαν συνέπεια των παραπάνω κατά τη σύνθεση μιας στοιχειοκεραίας απαιτείται η λύση του αντίστροφου προβλήματος δηλ. του προσδιορισμού της γεωμετρία της κεραίας(ο αριθμός στοιχείων, οι θέσεις τους και οι μεταξύ τους αποστάσεις) καθώς και του τρόπου τροφοδοσίας (πλάτη ρευμάτων των στοιχείων, διαφορά φάσης μεταξύ τους)ώστε η κεραία να παράγει ένα προεπιλεγμένο διάγραμμα ακτινοβολίας σύμφωνο με αυτό που απαιτεί η σχετική εφαρμογή για την οποία προορίζεται η κεραία. Θεμελιώδης μορφή στοιχειοκεραίας είναι η οριζόμενη ως ομοιόμορφη [1]-[4], γραμμική ή επίπεδη, δηλ. με ισαπέχοντα στοιχεία και ίδια πλάτη ρευμάτων τροφοδοσίας. Οι κεραίες του τύπου αυτού είναι οι πλέον εύκολα υλοποιήσιμες έχουν όμως το μειονέκτημα της σχετικά υψηλής στάθμης των δευτερευόντων λοβών. Στη βιβλιογραφία αλλά και στην πράξη προτείνεται σημαντικός αριθμός μεθοδολογιών σχεδίασης στοιχειοκεραιών που έχουν σα στόχο τον έλεγχο, με βάση συγκεκριμένες προδιαγραφές, των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας της κεραίας. Μέθοδοι όπως η σχεδίαση με θεωρία πολυωνύμων Chebyshev[1]-[2], ανάπτυξη του παράγοντα διάταξης σε σειρά Fourier[2],[4], η μέθοδος δειγματοληψίας Woodward-Lawson[1], η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης[2],[4] αποτελούν τεχνικές σχεδίασης που χρησιμοποιούν δεδομένη μαθηματική περιγραφή του διαγράμματος 5

ακτινοβολίας με στόχο να συνθέσουν μια στοιχειοκεραία που να το παράγει. Στην παρούσα εργασία συντάχθηκε κώδικας και αντίστοιχο γραφικό περιβάλλον χρήστη, για τη σχεδίαση τριών από του τύπους των κεραιών που αναφέρθηκαν: ομοιόμορφων β)πολυωνυμικών Chebyshev και γ)με μέθοδο δειγματοληψείας Woodward-Lawson. Για κάθε μία από αυτές παρουσιάζεται συνοπτικά, στο πρώτο κεφάλαιο, η αντίστοιχη θεωρία 1.2 Δείκτες και χαρακτηριστικά λειτουργίας κεραιών 1.2.1 Διάγραμμα ακτινοβολίας Το διάγραμμα ακτινοβολίας μιας κεραίας είναι μια γραφική παράσταση της κατανομής του ηλεκτρικού(και μαγνητικού επίσης) πεδίου ή της εκπεμπόμενης ισχύος στο χώρο. Συνήθως το διάγραμμα αυτό είναι κανονικοποιημένο ως προς τη μέγιστη τιμή του πεδίου ή της ισχύος, η οποία βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Ένα παράδειγμα διαγράμματος ακτινοβολίας φαίνεται στο σχήμα 1[1],pp 29. Σχήμα 1: Δισδιάστατο κανονικοποιημένο διάγραμμα ακτινοβολίας (γραμμική κλίμακα)[1],pp 29 6

Στο σχήμα 1 διακρίνουμε τον κύριο λοβό και τους δευτερεύοντες μικρότερους λοβούς. Όσον αφορά τον κύριο λοβό ορίζουμε ένα μέγεθος που ονομάζεται HPMW (Half Power Beam Width) ή άνοιγμα μισής ισχύος. Αυτό το μέγεθος είναι ουσιαστικά το γωνιακό άνοιγμα μεταξύ δύο διευθύνσεων από τη μια και την άλλη πλευρά του μεγίστου εκπομπής, προς τις οποίες το μέγιστο έντασης του πεδίου έχει μειωθεί στο 0.707 του μεγίστου και η αντίστοιχη ισχύς στο μισό του μεγίστου. Αν το διάγραμμα ακτινοβολίας ήταν σε db τότε το HPMW θα ανταποκρίνονταν σε ένα γωνιακό άνοιγμα όπου η ισχύς θα είχε πέσει -3dB του μεγίστου. 1.2.2 Κύρια επίπεδα Όπως αναφέρθηκε το διάγραμμα ακτινοβολίας μιας κεραίας αναπαριστά το ηλεκτρικό ή το μαγνητικό πεδίο εκπομπής της. Έτσι γενικώς, ορίζουμε ως κύρια, τα δύο εκείνα επίπεδα που εμπεριέχουν ξεχωριστά το διάνυσμα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Ένα εποπτικό παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα 2. Σχήμα 2: Τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου [1],pp 33 Το συγκεκριμένο σχήμα παρουσιάζει το διάγραμμα ακτινοβολίας ενός διπόλου το οποίο είναι παράλληλο στον άξονα (z). Παρατηρούμε ότι υπάρχουν άπειρα επίπεδα που εμπεριέχουν το διάνυσμα του ηλεκτρικού 7

πεδίου (για όλες τις γωνίες φ), ενώ η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι παράλληλη προς όλα τα επίπεδα τα παράλληλα στο (xy). 1.2.3 Πυκνότητα Ισχύος Ακτινοβολίας Για να περιγράψουμε την ισχύ ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος χρησιμοποιούμε το στιγμιαίο διάνυσμα Poynting. Το διάνυσμα αυτό ορίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας έντασης του ηλεκτρικού πεδίου επί το διάνυσμα της στιγμιαίας έντασης του μαγνητικού πεδίου. W E H (1-1) Όπου (W) το στιγμιαίο διάνυσμα Poynting σε μονάδες W/m 2 (E) η στιγμιαία ένταση του ηλεκτρικού πεδίο σε V/m και (Η) η στιγμιαία ένταση του μαγνητικού πεδίου σε Α/m Το μέγεθος που προκύπτει από τον τύπο (1-1) είναι πυκνότητα ισχύος. Έτσι για να υπολογίσουμε την ισχύ που εξέρχεται από τυχούσα κλειστή επιφάνεια που περικλείει την πηγή πρέπει να ολοκληρώσουμε. Έτσι έχουμε τον τύπο (1-2) P W ds (1-2) S Παρ όλα αυτά για εφαρμογές είναι χρήσιμος ο υπολογισμός μιας ποσότητας που δεν εξαρτάται από το χρόνο. Για να διευκολύνουμε τους υπολογισμούς καταφεύγουμε στην μιγαδική αναπαράσταση των διανυσμάτων E και Η τα οποία συμβολίζουμε με τα διανύσματα E και H. Έτσι έχουμε jt E( x, y, z; t) Re[ E ( x, y, z) e ](1-3) jt H( x, y, z; t) Re[ H ( x, y, z) e ](1-4) Η μέση τιμή του διανύσματος Poynting ονομάζεται μέση πυκνότητα ισχύος ή πυκνότητα ακτινοβολίας και υπολογίζεται από τον τύπο (1-5) 8

W av 1 * ( x, y, z) Wrad ( x, y, z) Re[ E H ](1-5) 2 Έτσι για να βρούμε την ισχύ που διέρχεται από μια επιφάνεια ολοκληρώνουμε και έχουμε: P av Prad Wrad ds Re( E H ) ds (1-6) 2 1.2.4 Ένταση ακτινοβολίας S 1 * Ως ένταση ακτινοβολίας σε συγκεκριμένη διεύθυνση, ορίζεται η ισχύς που εκπέμφθηκε από μια κεραία ανά μονάδα στερεάς γωνίας. Η ένταση ακτινοβολίας (U) είναι μια παράμετρος που σχετίζεται με το μακρινό πεδίο και εκφράζεται ως το γινόμενο της πυκνότητας ισχύος με το τετράγωνο της απόστασης[1],pp 40. Ακόμη ισχύει ο επόμενος τύπος. S E * 2 H r rˆ 1 U(, ) Re (1-7) 2 2 r 2 U(, ) ( r,, ) (1-8) 2 όπου (η) η αντίσταση ακτινοβολίας του μέσου διάδοσης. Επίσης για το μακρινό ηλεκτρικό πεδίο ισχύει o e E( r,, ) (, ) r jkr.άρα 2 2 1 2 2 ( r,, ) ( r,, ) ( r,, ) ( r,, ) 2 r U(, ) 2 2 (1-9). Αυτό που φαίνεται από τον τύπο (1-9) είναι ότι η ένταση ακτινοβολίας εξαρτάται από το τετράγωνο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Τέλος για ο υπολογισμός την ισχύος από μια σφαίρα η οποία περιβάλει την πηγή δίνεται από τον τύπο (1-10): P rad U d(1-10) όπου Ω η στερεά γωνία dω=sinθ dθ dφ 9

1.2.5 Κατευθυντικότητα Ως κατευθυντικότητα ορίζεται ο λόγος της έντασης ακτινοβολίας, σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση, προς την ένταση ακτινοβολίας που θα έστελνε η κεραία αν ακτινοβολούσε ομοιόμορφα(στην περίπτωση αυτή η ένταση αυτή θα ήταν ίδια προς όλες τις διευθύνσεις). Η μέση αυτή τιμή ακτινοβολίας είναι ίση με την ισχύ που εκπέμφθηκε από την κεραία διαιρεμένο με 4π. Άρα η κατευθυντικότητα είναι ίση με D U U 4 U o P rad (1-11) Η κατευθυντικότητα μιας ισοτροπικής πηγής είναι ίση με μονάδα καθώς εκπέμπει ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις. Έτσι λοιπόν για οποιαδήποτε άλλη πηγή το μέγεθος αυτό θα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα, δίνοντας έτσι ένα μέτρο το οποίο δηλώνει πόσο κατευθυντικό είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας της. Ένα σχήμα που φαίνεται η σύγκριση του διαγράμματος ακτινοβολίας μιας ισοτροπικής πηγής με αυτό ενός διπόλου είναι το σχήμα 3. Σχήμα 3:Διαγραμματα κατευθυντικότητας της ισοτροπικής πηγής (D=1) και ενός διπόλου λ/2[1],pp 44 Για να υπολογίσουμε την κατευθυντικότητα απαιτείται το ποσό της ακτινοβολίας που εκπέμφθηκε, το οποίο είναι 10

Prad U d Bo F(, )sin d d (1-12) 2 0 0 όπου Βο μια σταθερά και F(θ,φ) μια ποσότητα που είναι ανάλογη του τετραγώνου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Έτσι λοιπόν η κατευθυντικότητα είναι ίση με F(, ) D (, ) 4 2 (1-13) F(, )sin d d 0 0 Συνήθως μας ενδιαφέρει η κατευθυντικότητα στη διεύθυνση του μεγίστου και άρα έχουμε F(, ) max D o (, ) 4 2 (1-14) F(, )sin d d 0 0 1.2.6 Απόδοση Κεραίας Η απόδοση της κεραίας είναι ένα μέγεθος που εκφράζει τις απώλειες της ισχύος στους ακροδέκτες εισόδου και εντός της διάταξης της κεραίας[1],pp 64. Τέτοιες απώλειες μπορεί να οφείλονται στην μη καλή προσαρμογή μεταξύ της γραμμής μεταφοράς και της κεραίας αλλά και στις θερμικές απώλειες. Για την απόδοση της κεραίας (e) ισχύει P rad =e P in (1-15) Όπου Pin είναι η ισχύ που τροφοδοτεί την κεραία. Πρέπει να επισημάνουμε ότι η απόδοση έχει όρια 0 e 1. Κοντολογίς η απόδοση μιας κεραίας εκφράζει την ικανότητα της να μετατρέπει την εισερχόμενη ισχύ σε ακτινοβολία [2],pp 36-37. 1.2.7 Απολαβή Κεραίας (Gain) Για τον υπολογισμό της απολαβής της κεραίας λαμβάνουμε υπ όψιν την απόδοση αλλά και την κατευθυντικότητα. Ο ορισμός της απολαβής έχει ως ακολούθως: Απολαβή μιας κεραίας είναι ο λόγος της έντασης της ακτινοβολίας σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση, προς της ένταση της ακτινοβολίας η οποία θα επιτυγχάνονταν αν η ισχύς που δέχονταν η 11

κεραία στους ακροδέκτες εισόδου της ακτινοβολούνταν ισοτροπικά[1],pp 65. Η ένταση ακτινοβολίας για ισοτροπική εκπομπή είναι ίση με την λαμβανόμενη ισχύ από την κεραία διαιρεμένη με 4π. Άρα θα ισχύει G U(, ) 4 (1-16) P in Ο τύπος που συνδέει την απολαβή την κατευθυντικότητα και την απόδοση είναι ο εξής G=e D (1-17) 12

1.3 Στοιχειοκεραίες 1.3.1 Στοιχειοκεραία δύο στοιχείων Έστω ότι έχουμε δύο δίπολα κατά μήκος του z-άξονα τα οποία απέχουν το καθένα απόσταση d/2 από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Εποπτικά έχουμε το σχήμα 4. Σχήμα 4: Γεωμετρία κεραίας δύο στοιχείων τοποθετημένα κατά μήκος του άξονα z[1],pp 284-286 Το πεδίο των διπόλων σε απόσταση (r) από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων θα είναι E t j[ kr1 ( a / 2)] j[ kr21( a / 2)] ki 0l e e E1 E2 aˆ j cos1 cos 2 (1-18) 4 r1 r2 όπου (α) η διαφορά φάσης στην τροφοδοσία, που έχουν μεταξύ τους τα δύο στοιχεία. Το πλάτος το δύο στοιχείων είναι το ίδιο. Πηγαίνοντας στο μακρινό πεδίο υπάρχει η δυνατότητα να γίνουν κάποιες προσεγγίσεις. 13

Σχήμα 5: Μακρινό πεδίο δύο στοιχείων[1],pp 284-286 Σύμφωνα με το σχήμα 5 οι προσεγγίσεις που γίνονται για τις φάσεις είναι οι εξής: 1 2 d r1 r cos 2 r 2 r d cos 2 και για το πλάτος: r 1 r 2 r έτσι ο τύπος (1-18) γράφεται: E t a jkr ki0le j( kd cos a)/ 2 j( kd cos a)/ j cos[ e e ](1-19) 4r 2 ˆ ή πιο απλά E t a ki le j 4r 0 ˆ jkr 1 cos 2cos 2 kdcos a (1-20) Από τη (1-20) φαίνεται ότι το συνολικό πεδίο των δύο στοιχείων είναι το ίδιο με αυτό του ενός στοιχείου, τοποθετημένο στο επίπεδο (yz), 14

επί μια ποσότητα την οποία ονομάζουμε Παράγοντα Διάταξης ή Array Factor (AF). Έτσι για δύο στοιχεία ο AF είναι AF 1 2 cos kdcos a 2 (1-21) και σε κανονικοποιημένη μορφή AF 1 cos kdcos a 2 (1-22) Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι στην περίπτωση που γνωρίζουμε το πεδίο ενός στοιχείου, είτε αυτό είναι ισοτροπική πηγή ή δίπολο μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το συνολικό πεδίο της στοιχειοκεραίας. Δηλαδή ισχύει: E E AF ό ί (1-23) 1.3.2 Ομοιόμορφη Στοιχειοκεραία Ας γενικεύσουμε τώρα στην περίπτωση που έχουμε Ν ισοτροπικές πηγές κατά τον άξονα (z), όπως στο σχήμα 6. Σχήμα 6: Γεωμετρία μακρινού πεδίου στοιχειοκεραίας Ν-στοιχείων ισοτροπικών πηγών που είναι τοποθετημένες κατά μήκος του z-άξονα[1],pp 290 15

Στην περίπτωση αυτή ο παράγοντας διάταξης θα έχει ως εξής: AF 1 e j( kd cos ) e j2( kd cos )... e j 1 ( kd cos ) (1-24) ή αλλιώς AF N n1 e j n1) ( (1-25) όπου ψ=kdcosθ+α όπου (k) ο κυματάριθμος k=2π/λ, (d) η ισαπόσταση των στοιχείων και (α) η διαφορά φάσης μεταξύ δύο διαδοχικών στοιχείων. Η περιγραφή του παράγοντα διάταξης με μαθηματική συνάρτηση κλειστής μορφής είναι πιο εύχρηστη. Έτσι αν πολλαπλασιαστούν και τα δύο μέλη της (1-25) με e jψ προκύπτει: j j j2 j3 ( N ) j jn ( AF) e e e e... e 1 e (1-26) αφαιρώντας την (1-25) από την (1-26) έχουμε AF ( e η (1-27) μπορεί να πάρει τη μορφή: 1) ( 1 e ) (1-27) j jn AF e j e jn e 1 j e e e e e ( / 2) j( / 2) 1 j[( 1)/ 2] j[( N1)/ 2] j(1/ 2) j(1/ 2) N sin 2 (1-28) 1 sin 2 αν το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο της στοιχειοκεραίας η (1-28) μπορεί να γραφεί: sin N 2 AF (1-29) 1 sin 2 16

και σε κανονικοποιημένη μορφή: με ψ=kdcosθ+α. N sin 1 2 AF (1-30) 1 sin 2 Συμπερασματικά ομοιόμορφη στοιχειοκεραία είναι η διάταξη όπου τα στοιχεία τροφοδοτούνται με ίδια πλάτη και η απόσταση μεταξύ τους είναι ίδια. Από τις παραπάνω εκφράσεις εξάγεται το συμπέρασμα ότι για την σχεδίαση μιας ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας που έχει τα στοιχεία της κατά μήκος του άξονα (z), πρέπει να είναι γνωστός ο αριθμός των στοιχείων της (Ν),η ισαπόσταση μεταξύ τους (d) και η διαφορά φάσης στην τροφοδοσία τους (α). Επισημαίνεται εδώ ότι η ισαπόσταση των στοιχείων είναι δυνατό να εκφράζεται σε μέτρα (m) ή σε μήκη κύματος (λ). 17

1.3.3 Παραδείγματα Παράγοντα Διάταξης Στη παράγραφο αυτή παρουσιάζονται μερικά παραδείγματα παραγόντων διάταξης, ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών και τα χαρακτηριστικά των διαγραμμάτων τους (σχήμα 7) Σχήμα 7: Παραδείγματα κανονικοποιημένων παραγόντων διάταξης για διάφορες ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες[2],pp 105-112 18

Από το σχήμα 7 παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το (Ν) τόσο στενεύει το άνοιγμα του κύριου λοβού. Επίσης με την αύξηση των στοιχείων αυξάνεται ο αριθμός των δευτερευόντων λοβών. Χαρακτηριστικό μέγεθος ενός διαγράμματος ακτινοβολίας είναι αυτό που περιγράφει το ύψος των δευτερευόντων λοβών σε σχέση με το κύριο λοβό. Το μέγεθος αυτό ονομάζεται Side Lobe Level και ορίζεται ως: έ ή ύ ύ SLL 20log (1-31) έ ήύύ 19

1.3.4 Μετατροπή από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες Είναι βολικό στις εφαρμογές των στοιχειοκεραιών, όπως η ραδιοκάλυψη, να έχουμε τον παράγοντα διάταξης σε πολικές συντεταγμένες. Ο παράγοντας διάταξης είναι το πεδίο που παράγει η κεραία. Έτσι μπορούμε με το πολικό διάγραμμα να έχουμε μια εποπτική εικόνα για το πεδίο της κεραίας γύρω από την ίδια. Το πολικό διάγραμμα που προκύπτει είναι το διάγραμμα ακτινοβολίας. Για το πολικό διάγραμμα πρέπει να σχεδιάσουμε τον παράγοντα διάταξης συναρτήσει το (ψ). Υπενθυμίζουμε ότι ψ=kdcosθ+α. Η διαδικασία έχει ως εξής: κάτω από το καρτεσιανό διάγραμμα ζωγραφίζουμε ένα κύκλο με ακτίνα (kd) με κέντρο μετατοπισμένο από τον άξονα των τεταγμένων κατά (α)[2],pp 100-102. Για την καλύτερη κατανόηση έχουμε το σχήμα 8. Σχήμα 8: Πραγωγή γενικού διαγράμματος ακτινοβολίας[2], pp 100-102 Έτσι με αυτό τον τρόπο έχουμε τον παράγοντα διάταξης σε πολικές συντεταγμένες. 20

1.3.5 Στοιχεία κατά μήκος του άξονα (x) ή του (y) Όταν τα στοιχεία είναι τοποθετημένα κατά μήκος άξονα του άξονα (z) τότε όπως αναφέρθηκε το (ψ) έχει τη μορφή από την ψ=kdcosθ+α. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι η γενικοτερη μορφή του (ψ) είναι ψ=kdcosγ+α όπου το cosγ είναι το συνημίτονο κατεύθυνσης της διεύθυνσης παρατήρησης ως προς τον άξονα κατά μήκος του οποίου είναι τοποθετημένα τα στοιχεία της κεραίας. Το συνημίτονο αυτό είναι διαφορετικό για την περιπτώσεις διάταξης των στοιχείων στους άξονες (x) ή (y). Έτσι για την περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το πεδίο σε ένα σημείο του χώρου που προέρχεται από μια στοιχειοκεραία που είναι κατά μήκος του (x) χρησιμοποιείται εκτός της γωνίας (θ) και η (φ). Εποπτικά έχουμε το σχήμα 9. Σχήμα 9: Γραμμική στοιχειοκεραία με Ν ισοτροπικές πηγές τοποθετημένες κατά μήκος του άξονα (x)[1],pp 320-321 Συνεπώς όταν τα στοιχεία είναι τοποθετημένα κατά τον άξονα (x) το συνημίτονο κατεύθυνσης θα είναι cosγ=sin(θ) cos(φ) και άρα θα ισχύει kd sin( )cos( ) (1-32) 21

Ακόμη όταν τα στοιχεία είναι τοποθετημένα κατά τον άξονα (y) θα ισχύει cosγ=sin(θ) sin(φ) kd sin( )sin( ) (1-33) 1.3.6 Στοιχειοκεραία με ίδια ισαπόσταση (d) αλλά διαφορετικά πλάτη (Ανομοιόμορφη στοιχειοκεραία) Σαν γενική παρατήρηση οι ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες έχουν μικρότερα ανοίγματα μισής ισχύος σε σχέση με τις ανομοιόμορφες. Αντίθετα οι τελευταίες έχουν χαμηλότερους δευτερεύοντες λοβούς. Στην ανομοιόμορφη στοιχειοκεραία ακολουθείται μια γεωμετρία σύμφωνα με την οποία τα στοιχεία είναι τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από το κέντρο του άξονα της κεραίας(σχήμα 10). Σχήμα 10: Ανομοιόμορφες στοιχειοκεραίες αρτίων και περιττών στοιχείων[1], pp 326-327 22

Όπως φαίνεται στο σχήμα 10 τα πλάτη των στοιχείων (α n ) τα ορίζουμε συμμετρικά ως προς το κέντρο και η ισαπόσταση των στοιχείων είναι ίδια δηλαδή (d). Επίσης φαίνεται ότι στην περίπτωση του άρτιου αριθμού στοιχείων τα δύο πρώτα απέχουν απόσταση d/2 από την αρχή του άξονα. Όσον αφορά τον παράγοντα διάταξης αυτής της γεωμετρίας έχουμε τα ακόλουθα[1], pp 326-327: Άρτιος αριθμός στοιχείων AF 2M a e j(1/ 2) kd cos 1 a e a a j(3/ 2) kd cos 2 M a e j[( 2M 1)/ 2] kd cos j(1/ 2) kd cos 1 M e e... 2 e j[( 2M 1)/ 2] kd cos και τελικά ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφεί AF M και σε κανονικοποιημένη μορφή j(3/ 2) kd cos M (2n 1) 2 2 an cos kdcos (1-34) n1 2 M (2n 1) 2 an cos kdcos (1-35) n1 2 AF M... Περιττός αριθμός στοιχείων AF 2M 1 2a 1 a e 2 a e 2 jkd cos jkd cos a e a e j2kd cos 3 j2kd cos 3... a... a 1 e e jkd cos jkd cos 1 έτσι τελικά ο παράγοντας διάταξης μπορεί να γραφεί M 1 2M 1 2 n cos n1 a cos( n 1) kd και σε κανονικοποιημένη μορφή: AF (1-36) M 1 2M 1 n cos n1 a cos( n 1) kd AF (1-37) 23

Συμπερασματικά για άρτιο και περιττό αριθμό στοιχείων οι παράγοντες διάταξης έχουν ως εξής: M AF 2 M an (2n 1) u n1 cos (1-38) M 1 2 M 1 n ) n1 a cos2( n 1 u AF (1-39) όπου d u cos (2-22) Επισημαίνεται ότι το (u) που μπαίνει στους τύπους (2-20) και (2-21) είναι το ψ/2 όπου ψ=kdcosθ+α. Αυτό σημαίνει ότι και εδώ το cosθ έχει πάρει τη θέση του συνημιτόνου κατεύθυνσης cosγ. Άρα όταν τα στοιχεία μας είναι κατά μήκος των αξόνων (x),(y) ή (z) το συνημίτονο κατεύθυνσης θα έχει την αντίστοιχη μορφή. 24

1.3.7 Στοιχειοκεραία Dolph-Chebyshev 1.3.7.1 Πολυώνυμα Chebyshev Σχολιάζοντας τους τύπους (1-38) και (1-39) μπορούμε να πούμε ότι ο παράγοντας διάταξης της ανομοιόμορφης στοιχειοκεραίας είναι ένα πολυωνυμικό άθροισμα συνημιτόνων και η τάξη του πολυωνύμου είναι κατά μια μονάδα μικρότερη από το πλήθος των στοιχείων της κεραίας. Αναλυτικά τα πολυώνυμα παρουσιάζονται με τις εξισώσεις (1-40): m 0 cos( mu) 1 m 1 cos( mu) cos u m 2 m 3 cos( mu) cos(2u ) 2cos cos( mu) cos(3u ) 4cos 3 2 u 1 u 3cos u 4 2 m 4 cos( mu) cos(4u ) 8cos u 8cos u 1 (1-40) m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 9cos u cos( mu) cos(5u ) 16cos cos( mu) cos(6u ) 32cos cos( mu) cos(7u ) 64cos cos( mu) cos(8u ) 128cos cos( mu) cos(9u ) 256cos 5 6 u 20cos 7 3 u 48cos 4 u 112cos 8 9 u 5cos u u 18cos 5 u 256cos u 576cos 2 u 56cos 6 7 u 1 3 u 160cos u 432cos u 7cos u 4 5 u 32cos 2 u 120cos u 1 3 u Τα παραπάνω υπολογίζονται με τη βοήθεια των τύπων ju m m jmu [ e ] (cos u jsin u) e cos( mu) jsin( mu) (1-41α) sin 2 2 u 1 cos u (1-41β) Από την άλλη πλευρά τα πολυώνυμα Chebyshev μπορούν να παρασταθούν με υπέρθεση συνημιτόνων. Η εξαγωγή τους είναι εύκολη θεωρώντας τους τύπους (1-40) και θέτοντας όπου cosu=z. Έτσι έχουμε τα ακόλουθα: 25

m 0 cos( mu ) 1 T 0( z ) m 1 cos( mu) z T1 ( z) 2 m 2 cos( mu) 2z 1 T2 ( z) 3 m 3 cos( mu) 4z 3z T3 ( z) 4 2 m cos( mu) 8z 8z 1 T ( z) (1-42) 4 4 5 3 m 5 cos( mu) 16z 20z 5z T5 ( z) 6 4 2 m 6 cos( mu) 32z 48z 18z 1 T6 ( z) 7 5 3 m 7 cos( mu) 64z 112z 56z 7z T7 ( z) 8 6 4 2 m 8 cos( mu) 128z 256z 160z 32z 1 T8 ( z) 9 7 5 3 m 9 cos( mu) 256z 576z 432z 120z 9z T9 ( z) Στο σχήμα 11 φαίνονται τα γραφήματα των 5 πρώτων τάξεων πολυωνύμων Chebyshev, συναρτήσει της μεταβλητής (z). Σχήμα 11: Τα πολυώνυμα Chebyshev από πρώτη μέχρι πέμπτη τάξη[1], pp 331-337 26

Σαν συμπέρασμα θα μπορούσαμε να περιγράψουμε τον παράγοντα διάταξης με ένα πολυώνυμο Chebyshev και η περιγραφή αυτή θα μας επέτρεπε να πραγματοποιήσουμε μια αντίστροφη διαδικασία. Δηλαδή να υπολογίσουμε τα πλάτη τροφοδοσίας των στοιχείων της στοιχειοκεραίας ώστε αυτή να παράγει διάγραμμα ακτινοβολίας της επιλογής μας, που στην προκειμένη περίπτωση θα ήταν ένα πολυώνυμο Chebyshev. 1.3.7.2 Ύψος Κύριου λοβού έναντι των δευτερευόντων Σύμφωνα με το σχήμα 11 διαπιστώνουμε ότι μπορούμε με ευκολία να επιλέξουμε το ύψος του κύριου λοβού ούτως ώστε να πετύχουμε οποιοδήποτε επιθυμητό SLL. Αναλυτικότερα μπορούμε να πούμε ότι οι δευτερεύοντες λοβοί οι οποίοι εκτείνονται στην περιοχή -1 z 1 μπορεί να έχουν όσο μεγάλη διαφορά χρειάζεται από το ύψος του κύριου λοβού που θα βρίσκεται σε κάποια θέση z>1. Αν συμβολίσουμε με R 0 (db) το λόγο κύριου λοβού προς του δευτερεύοντες σε db τότε θα ισχύει R 0 (db)=20log 10 (R 0 ). Επίσης αν είναι γνωστός ο επιθυμητός αριθμός των στοιχείων της κεραίας (Ν), συμβολίζουμε με (P) το μειωμένο κατά (1) αριθμό των στοιχείων. Έτσι λοιπόν ο τύπος που εκφράζει την θέση στον άξονα της μεταβλητής (z) που θα αντιστοιχεί στο ύψος του κύριου λοβού είναι: 1/ P 1/ P 2 2 R R R R 0 0 1 0 0 1 z 2 Τέλος για τη μεταβλητή (z) τώρα θα ισχύει 0 1 z z 0 cos( u) (1-44) (1-43) Ένα παράδειγμα που καταδεικνύει την τοποθέτηση του z 0 σε τέτοιο σημείο ούτως ώστε οι δευτερεύοντες λοβοί να είναι 26dB κάτω από τον κύριο φαίνεται στο σχήμα 12 για πολυώνυμο ένατης τάξης. 27

Σχήμα 12: Πολυώνυμο Chebyshev ένατης τάξης[1],pp 331-337 28

1.3.7.3 Τα πλάτη των στοιχείων στοιχειοκεραίας Dolph- Chebyshev Όπως σχολιάσαμε στην ενότητα 1.3.7.1 η μορφή του παράγοντα διάταξης της ανομοιόμορφης στοιχειοκεραίας έχει την ίδια μορφή με αυτή των πολυωνύμων Chebyshev. Έτσι για τον υπολογισμό των πλατών των στοιχείων της κεραίας αναπτύσσουμε τον παράγοντα διάταξης από τους τύπους (1-38) ή (1-39) και εξισώνουμε το αποτέλεσμα με πολυώνυμο Chebyshev τάξης που αντιστοιχεί στον αριθμό των στοιχείων ελαττωμένο κατά ένα. Ακολουθεί ένα παράδειγμα υπολογισμού των πλατών μιας στοιχειοκεραίας Chebyshev[14]. Έστω λοιπόν ότι το ζητούμενο είναι να τα πλάτη μιας στοιχειοκεραίας 10 στοιχείων με ύψος κυρίου λοβού σε σχέση με τους δευτερεύοντες 26dB. Κατ αρχάς χρησιμοποιείται ο τύπος (1-38) και έχουμε ( AF ) a 4 10 a cos( u) a 1 cos(7u) a 5 2 cos(9u ) cos(3u ) a 3 cos(5u ) (1-45) Έπειτα υπολογίζεται το R 0 ως καθαρό αριθμό: R 0 (db)=20 log 10 (R 0 )26=20log 10 (R 0 )R 0 =20 Με γνωστό το R 0 υπολογίζουμε τώρα το z 0 από τον τύπο(1-43) με P=9. Έτσι προκύπτει ότι z 0 =1.0851 Αντικαθιστούμε τα συνημίτονα του τύπου (1-45) από τους τύπους (1-42) z προσέχοντας ότι cos u αντί cosu=z. Άρα έχουμε z 0 29

Τελικά ισχύει ( AF ) 10 3 z [(4a 2 5 z [(16a 9z 120z z[( a 3 7 z [(64a 4 9 z [(256a 3 5 1 20a ) / z 3a 3 112a 9 0 4 576a 432z 5 5 2 56a ) / z ] T 7a 9 4 7 0 ] 4 432a 576z 120a 5 ( z) 9a 7 ) / z 5 5 5 0 ) / z ) / z ] 256z 3 0 9 0 ] ] 9 256a / z0 256 a5 5 2.086 7 ( 64a 576a5 ) / z0 576 a4 4 2..8308 5 ( 16a 112a4 432a5 ) / z0 432 a3 3 4.1184 3 ( 4a 20a3 56a4 120a5 ) / z0 120 a2 2 ( a 3a2 5a3 7a4 9a5) / z0 9 a1 1 5.8377 5.2073 Κανονικοποιημένα τα πλάτη ως προς το μεγαλύτερο έχουν ως εξής: a 0.357 a a a a 1 2 3 4 5 0.485 0.706 0.89 1 Παρ όλα αυτά σκοπός αυτής της εργασίας είναι η υλοποίηση προγράμματος το οποίο θα πρέπει με κάποιο τρόπο να υπολογίζει τα πλάτη των στοιχείων και έπειτα να τα εισάγει στον παράγοντα διάταξης των τύπων (1-38) ή (1-39). Για αυτό το λόγο στο πρόγραμμα που κατασκευάσαμε χρησιμοποιούμε τους εξής τύπους για τον υπολογισμό των πλατών[14]: a n για άρτιο αριθμό στοιχείων M qn ( 1) M q 2q1 ( q M 2)!(2M 1) ( z0 ) (1-46) ( q n)!( q n 1)!( M q)! 30

για περιττό αριθμό στοιχείων a n M 1 qn ( 1) M q1 ( z 0 ) 2( q1) ( q M 2)!(2M ) (1-47) ( q n)!( q n 2)!( M q 1)! n όπου ε n =2 όταν n=1 και ε n =1 για οποιοδήποτε άλλο n. Σημειώνουμε ότι η παράμετρος Μ έχει σχέση με τον αριθμό των στοιχείων (N) όταν αυτά είναι άρτια ή περιττά και συγκεκριμένα Ν odd =2Μ+1 ή Ν even =2Μ 1.3.8 Η διαφορά φάσης και η γωνία μεγίστου 1.3.8.1 Διαφορά φάσης Έστω ότι μια στοιχειοκεραία δέχεται ένα επίπεδο κύμα από μια συγκεκριμένη διεύθυνση. Προφανώς το σήμα δε φτάνει με την ίδια φάση σε κάθε στοιχείο διότι έχει διατρέξει διαφορετικό μήκος διαδρομής. Έτσι η ισοφασική επιφάνεια φαίνεται στο σχήμα 13: άξονας (z) Σχήμα 13: Η ισοφασική επιφάνεια ενός επιπέδου κύματος που λαμβάνεται από μια στοιχειοκεραία Η φάση με την οποία φτάνει το κύμα σε κάθε στοιχείο είναι ανάλογη του χρόνου τον οποίο χρειάστηκε να διατρέξει την αντίστοιχη απόσταση. Έτσι κάποια στοιχεία θα υπερτερούν σε φάση και άλλα θα 31

υστερούν. Για παράδειγμα στο σχήμα 13, το τελευταίο στοιχείο υπερτερεί σε φάση έναντι των υπολοίπων. Το ίδιο συμβαίνει και όταν χρησιμοποιούμε την κεραία μας για εκπομπή. Έτσι λοιπόν εμείς μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τη διαφορά φάσης την οποία θα έχει κάθε στοιχείο, όταν η κεραία μας εκπέμπει, για να στρέψουμε τον κύριο λοβό στο διάγραμμα ακτινοβολίας προς μια συγκεκριμένη διεύθυνση. Για να γίνει αυτό περισσότερο κατανοητό, θεωρούμε ομοιόμορφη στοιχειοκεραία με τέσσερα στοιχεία και προοδευτική διαφορά φάσης α=π/2, δηλαδή ισχύει ψ=kdcosθ+π/2. Έτσι έχουμε το σχήμα 14. 1 1e j(π/2) 1e jπ 1e j(3π/2) άξονας (z) Σχήμα 14: Ομοιόμορφη στοιχειοκεραία με τέσσερα στοιχείο και προοδευτική διαφορά φάσης π/2 Σχολιάζοντας το σχήμα 14 καταλαβαίνουμε ότι το τελευταίο στοιχείο που έχει φάση 3π/2 υπερτερεί έναντι των υπολοίπων. Άρα όταν η κεραία εκπέμπει ο κύριος λοβός θα έχει κλίση και θα πρόσκειται στα στοιχεία που υστερούν σε φάση. Αυτό μπορούμε να το δούμε και στο παρακάτω σχήμα. 32

Σχήμα 15: Ομοιόμορφη στοιχειοκεραία με διαφορά φάσης π/2 στα στοιχεία (a)ν=4, (b) o παράγοντας διάταξης, (c) το πολικό διάγραμμα [3] 1.3.8.2 Η γωνία μεγίστου Σε πολλές εφαρμογές το ζητούμενο είναι να δημιουργήσουμε μια μετωπική στοιχειοκεραία. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ψ=kdcosθ με διαφορά φάσης α=0 και το μέγιστο του κύριου λοβού βρίσκεται για γωνία θ=90 ο και άρα ψ=0. Αν επιθυμήσουμε να στρίψουμε το κύριο λοβό προς μια συγκεκριμένη διεύθυνση, έστω κατά γωνία φ 0 σε σχέση με τον άξονα της κεραίας, τότε θα ίσχυε ψ 0 =kdcosφ 0. Για τον νέο παράγοντα διάταξης ο οποίος θα έχει τον κύριο λοβό του στο ψ 0 θα ισχύει AF(ψ-ψ 0 ). Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω μπορούμε να παρατηρήσουμε το σχήμα 16. 33

Σχήμα 16: Στροφή του κύριου λοβού [5],pp 932-934 Έτσι λοιπόν στην περίπτωση που έχουμε γνωστή τη γωνία του κύριου λοβού θα ισχύει ψ=kd cosθ-kd cosφ 0. 1.3.8.3 Δευτερεύοντες λοβοί που εμφανίζονται για συγκεκριμένες γωνιές μεγίστου Ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες Όταν ο κύριος λοβός είναι στραμμένος σε συγκεκριμένη γωνία, ισχύει ψ=kd cosθ-kd cosφ 0, έτσι τα όρια του (ψ) θα είναι τα ακόλουθα: kd 1 cos( )) kd(1 cos( )) (1-48) ( 0 0 Τα όρια του τύπου (1-48) είναι 2kd[15]. Συνεχίζοντας έχουμε την ανισότητα (1-48) kd cos cos 0 kd(1 cos0 ) (1-49) Αν το (ψ) είναι μικρότερο από 2π τότε δε θα έχουμε δευτερεύοντες λοβούς, δηλαδή θα πρέπει: kd ( 1 cos 0 ) 2 34

ή τελικά d 1 1 cos 0 (1-50) Στοιχειοκεραία Chebyshev Εν συνεχεία παρουσιάζεται η συλλογιστική η οποία καταλήγει στην εξαγωγή ενός τύπου. Ο τύπος αυτός αποτελεί ένα όριο για την ποσότητα (d/λ) ούτως ώστε να μην έχουμε δευτερεύοντες λοβούς πάνω από το δεδομένο όριο που θέτουμε στις στοιχειοκεραίες Chebyshev. Ο τύπος έχει ως κύρια εφαρμογή την στοιχειοκεραία ισοτροπικών πηγών. Έστω ότι έχουμε το πολυώνυμο Chebyshev 9 ης τάξης, αυτό φαίνεται στο σχήμα 17. z 0 Σχήμα 17: Πολυώνυμο Chebyshev 9 ης τάξης Όπως έχουμε αναφέρει θα ισχύει: z z 0 d cos( u ) z0 cos cos 35

Για την αφετηρία της γωνίας (θ), δηλαδή τις 0 μοίρες, το (z) παίρνει μια d αρχική τιμή που είναι δηλαδή η z z0 cos. Η τιμή αυτή βρίσκεται κάπου στον άξονα της μεταβλητής (z) και είναι βέβαια μικρότερη της τιμής 1. Έτσι λοιπόν καθώς η γωνία (θ) αυξάνει η τιμή της μεταβλητής (z) θα αυξάνει και αυτή. Η μέγιστη τιμή της θα είναι για θ=90 ο, z=z 0. Η αρχική τιμή της μεταβλητής (z) για θ=0 μοίρες, όπως είναι προφανές εξαρτάται από την τιμή της ισαπόστασης (d). Ένας πίνακας που θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε την πορεία της μεταβλητής πάνω στον άξονα της μεταβλητής (z) είναι ο ακόλουθος. Πίνακας 1: Τιμές της μεταβλητής (z) σαν συνάρτηση της γωνίας (θ) για στοιχειοκεραία Dolph-Chebyshev 10 στοιχείων με R 0 =20 [1], pp 338 Από τον πίνακα 1 παρατηρούμε ότι η μεταβλητή (z) ξεκινάει από μια αρχική τιμή για θ=0 μοίρες, παίρνει τη μέγιστη τιμή της για θ=90 ο και επιστρέφει στην αρχική τιμή της για θ=180 ο. Έτσι λοιπόν για να μην έχουμε δευτερεύοντες λοβούς θα πρέπει η τιμή της μεταβλητής (z) που αντιστοιχεί για θ=180 ο να μην ξεπερνά την 36

τιμή -1. Αν την ξεπεράσει, το πολυώνυμο Chebyshev θα πάρει τέτοια τιμή μεγαλύτερη της μονάδας, κατά απόλυτη τιμή, και έτσι θα υπάρξει δευτερεύοντας λοβός. Ας έλθουμε τώρα στις μαθηματικές εκφράσεις που αναλύουν αυτήν τη συλλογιστική. Αν τα στοιχεία μας είναι κατά τον άξονα τον z και το μέγιστό είναι σε γωνία φ 0 θα ισχύει: kdcos kdcos (1-51) Για θ=180 ο θα είναι: kd kdcos 0 (1-52) Όμως ισχύει ή τελικά z z z0 cos (1-53) 2 d d d d z0 cos cos0 z0 cos cos (1-54) 0 0 Όπως είπαμε θα πρέπει z -1 άρα z 0 d d d d 1 cos cos0 1 cos cos0 z 0 (1-55) συνεχίζοντας επειδή το συνημίτονο μεταβάλλεται από 0-π θα είναι: συνεπώς d d 1 cos 0 a cos z 0 d 1 cos 1 a cos 0 z0 37 (1-56) (1-57) Επαναλαμβάνουμε ότι ο προηγούμενος τύπος εξήχθη για στοιχειοκεραία ισοτροπικών πηγών, που έχει τα στοιχεία της κατά τον άξονα (z). Ως εφαρμογή αυτού του τύπου έχουμε το ακόλουθο παράδειγμα: για μια στοιχειοκεραία ισοτροπικών πηγών 10 στοιχείων κατά μήκος του z-άξονα και ύψος κύριου λοβού έναντι δευτερευόντων στα 20dB και γωνία μεγίστου 60 ο υπολογίζουμε ότι η μέγιστη ισαπόσταση για να μην

έχουμε λοβούς είναι d/λ 0.5974. Έτσι παίρνουμε τα ακόλουθα διαγράμματα: Σχήμα 18: Καρτεσιανό διάγραμμα για στοιχειοκεραία Chebyshev 10 στοιχείων, ισοτροπικών πηγών, R=20dB, γωνία μεγίστου 60 ο. Η ισαπόσταση για να μην υπάρχουν δευτερεύοντες λοβοί υπολογίστηκε από τον τύπο (1-57) και το αντίστοιχο πολικό διάγραμμα είναι Σχήμα 19: Πολικό διάγραμμα για στοιχειοκεραία Chebyshev 10 στοιχείων, R=20dB, γωνία μεγίστου 60 ο. Η ισαπόσταση για να μην υπάρχουν δευτερεύοντες λοβοί υπολογίστηκε από τον τύπο (1-57) 38

Αν αυξήσουμε την ισαπόσταση σε d/λ=0.61παρατηρούμε να εμφανίζονται δευτερεύοντες λοβοί: Σχήμα 20: Όταν αυξήσουμε την ισαπόσταση πέραν του ορίου που δίνει ο τύπος (2-39) εμφανίζονται δευτερεύοντες λοβοί και το αντίστοιχο πολικό διάγραμμα είναι Σχήμα 21: Το αντίστοιχο πολικό διάγραμμα με την εμφάνιση δευτερευόντων λοβών 39

1.3.8.4 Δυνατότητες και περιορισμοί τύπου (1-57) Ο τύπος (1-57) έχει συγκεκριμένες δυνατότητες. Αναλυτικότερα το εύρος των γωνιών μεγίστου για το οποίο ο τύπος δίνει σωστά αποτελέσματα είναι 0 ο φ 0 90 ο. Αυτό συμβαίνει καθώς πάνω από τις 90 μοίρες το μέγιστο d/λ παίρνει τέτοια τιμή η οποία οδηγεί σε δευτερεύοντες λοβούς. Ειδικότερα όπως είπαμε, δεν είναι επιθυμητό η μεταβλητή (z) να πάρει τιμή μεγαλύτερη από (-1) γιατί έτσι θα έχουμε δευτερεύοντες λοβούς. Έτσι αν η γωνία μεγίστου υπερβεί το όριο των 90 ο η τιμή της(z) d d ξεπερνά την τιμή (-1). Υπενθυμίζουμε ότι z z0 cos cos cos0 Στο διάγραμμα που ακολουθεί, αναπαριστούμε της τιμές που παίρνει η μεταβλητή (z) για στοιχειοκεραία 10 στοιχείων με ύψος κυρίου προς δευτερεύοντα λοβό R=20dB, γωνία μεγίστου 100 μοίρες, για τρείς τιμές του d/λ. Η μέγιστη τιμή της ισαπόστασης max(d/wl), υπολογίστηκε από τον τύπο (1-57). Σχήμα 22: Η τιμές της μεταβλητής z συναρτήσει της γωνίας (θ) για τρείς τιμές της ισαπόστασης (d/λ). Γωνία μεγίστου 100 ο 40

Όπως βλέπουμε από το σχήμα 22 η τιμή της μέγιστης ισαπόστασης που παίρνουμε από τον τύπο (1-57) είναι d/λ=1.0843. Το διάγραμμα που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της ισαπόστασης είναι το πράσινο όπου παρατηρούμε ότι το (z) υπερβαίνει την τιμή -1 και άρα θα εμφανίσει δευτερεύοντες λοβούς. Το ίδιο παρατηρούμε όταν αλλάξουμε το ύψος των δευτερευόντων λοβών από 20 σε 25dB όπως φαίνεται στο σχήμα 18. Σχήμα 23: Οι τιμές του z για στοιχειοκεραία 10 στοιχείων αυτή τη φορά με ύψος κυρίου προς δευτερεύοντα λοβό 25dB. Γωνία μεγίστου 100 ο. 41

Στον αντίποδα των προλεγομένων ο τύπος (1-57) λειτουργεί ικανοποιητικά για γωνίες μικρότερες των 100 ο. Αυτό μπορούμε να το δούμε από τα επόμενα διαγράμματα που αποτελούν συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος, δηλαδή Ν=10 στοιχεία, R=20dB. Σχήμα 24: Οι τιμές της μεταβλητής (z) συναρτήσει της γωνίας (θ) με γωνία μεγίστου τις 0 μοίρες Όπως παρατηρούμε από το σχήμα 24 για γωνία μεγίστου 0 μοίρες, μεγαλύτερη τιμή της ισαπόστασης πέραν του 0.44802 οδηγεί σε τιμές του (z) οι οποίες δεν ξεπερνούν το -1. 42

Το ίδιο και όταν έχουμε γωνία μεγίστου τις 30 ο. Σχήμα 25: Οι τιμές της μεταβλητής (z) συναρτήσει της γωνίας (θ) για γωνία μεγίστου 30 ο Ακόμη στις 60 ο έχουμε το σχήμα 26. Σχήμα 26: Οι τιμές της μεταβλητής (z) συναρτήσει της γωνίας (θ) για γωνία μεγίστου 60 ο 43

και τέλος στις 90 ο Σχήμα 27: Οι τιμές της μεταβλητής (z) συναρτήσει της γωνίας (θ) για γωνία μεγίστου 90 ο 44

1.3.8.5 Παραμετρική μελέτη του τύπου (1-57) Στη παράγραφο αυτή παρατίθεται ενδεικτική παραμετρική μελέτη της μαθηματικής έκφρασης που δίνει την μέγιστη ισαπόσταση. Για αυτό το λόγο θα θεωρήσουμε ένα εύρος τιμών (R). Επίσης θα θεωρήσουμε τρείς γωνίες μεγίστου: 30 ο, 60 ο, 90 ο. Έτσι για στοιχειοκεραία με πέντε στοιχεία έχουμε το σχήμα 28. Σχήμα 28: Καμπύλες μέγιστης ισαπόστασης max(d/wl) συναρτήσει του R για τρείς γωνίες μεγίστου για Ν=5 στοιχεία Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνει το R τόσο μικραίνει η μέγιστη τιμή της ισαπόστασης για συγκεκριμένη γωνία μεγίστου. Επίσης διαπιστώνουμε ότι όσο μεγαλώνει η γωνία μεγίστου μετατοπιζόμαστε σε μεγαλύτερε τιμές ισαπόστασης. Στη συνέχεια παρατίθενται οι καμπύλες max(d/wl)~r για 10 και 15 στοιχεία. 45

Σχήμα 29: Καμπύλες μέγιστης ισαπόστασης max(d/wl) συναρτήσει του R για τρείς γωνίες μεγίστου για Ν=10 στοιχεία Και τέλος για 15 στοιχεία Σχήμα 30: Καμπύλες μέγιστης ισαπόστασης max(d/wl) συναρτήσει του R για τρείς γωνίες μεγίστου για Ν=15 στοιχεία 46

Από τα τρία προηγούμενα διαγράμματα είναι φανερό ότι όσο ανεβαίνουμε σε πλήθος στοιχείων τόσο η κλίση των καμπυλών γίνεται αμβλύνεται. Επίσης στις περιπτώσεις κεραιών με πολλά στοιχεία (μεγάλες κεραίες) αυξάνει το ανώτατο όριο της ισαπόστασης πάνω από το οποίο εμφανίζονται υψηλοί δευτερεύοντες λοβοί. 1.4 Μέθοδος Woodward-Lawson 1.4.1 Επιθυμητό και υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολίας Υπάρχει μέθοδος να σχεδιάσουμε μια στοιχειοκεραία και το πεδίο που θα εκπέμπει να έχει προέλθει από ένα επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας. Αυτό μπορεί να συμβεί δειγματοληπτώντας το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας σε πολλές διαφορετικές διευθύνσεις[1], pp 399-405. Μετά τη δειγματοληψία έχουμε ως δεδομένο τις τιμές (b m ) που αντιστοιχούν στις τιμές του επιθυμητού διαγράμματος στις συγκεκριμένες θέσεις. Ας θωρηθεί για παράδειγμα ότι το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας είναι ένας τετραγωνικός παλμός που εκτείνεται από τις 45 ο έως 135 ο. πλάτος 1 b m =1 b m =1 b m =1 b m =0 b m =0 b m =0 b m =0 45 ο 135 ο γωνία(θ) Σχήμα 31: Δειγματοληψία τετραγωνικού παλμού και οι προκύπτουσες τιμές b m Πρέπει να τονιστεί ότι οι γωνίες στις οποίες γίνεται η δειγματοληψία είναι συγκεκριμένες. Έτσι αν θεωρηθεί ότι η κεραία μας αποτελείται από (Ν) στοιχεία και η ισαπόσταση είναι (d) τότε αυτή θα 47

έχει μήκος l=nd. Ακόμη το πλήθος των σημείων δειγματοληψίας μπορεί να είναι άρτιο ή περιττό. Οι γωνίες (θ m ) στις οποίες γίνεται η δειγματοληψία προκύπτουν σαν τόξο συνημιτόνου σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους[16]: περιττό πλήθος γωνιών δειγματοληψίας cos( m ) m m m 0, 1, 2,... (1-58) l Nd άρτιο πλήθος γωνιών δειγματοληψίας cos( ) m cos( ) m (2m 1) 2 Nd (2m 1) 2 Nd m 1, 2,... m 1, 2,... (1-59 ) Με γνωστές τις τιμές των σημείων δειγματοληψίας (b m ) και τις αντίστοιχες γωνίες (θ m ) μπορούμε να αναπαραγάγουμε κατά προσέγγιση το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας. Αναφέραμε ότι είναι κατά προσέγγιση καθώς το προκύπτον πεδίο μετά από τη δειγματοληψία (υπολογισμένο πεδίο-computed) θα έχει κάποιες μικρές αποκλίσεις σε σχέση με το επιθυμητό. Έτσι λοιπόν θεωρούμε ότι το υπολογισμένο πεδίο προκύπτει από επαλληλία ομοιόμορφων γραμμικών στοιχειοκεραιών με (Ν) πλήθος στοιχεία. Ο τύπος που δίνει το υπολογισμένο πεδίο είναι[16]: N sin kd(cos cos M m ) 2 AF ( ) bm (1-60) mm 1 N sin kd(cos cos m ) 2 όπου Μ=l/λ 48

Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο τύπος (1-60) είναι ίσος με την τιμή b m για θ=θ m. Λαμβάνοντας υπ όψη τον τύπο που δίνει τον παράγοντα διάταξης των ομοιόμορφων στοιχειοκεραιών[1], pp 294: N N sin sin 1 2 2 ( AF ) N 1 N (1-61) n sin 2 2 sin x Η μορφή του τύπου (1-61) είναι της μορφής. Άρα το x υπολογισμένο πεδίο του τύπου (1-60) είναι επαλληλία τέτοιων συναρτήσεων. Γυρίζοντας πίσω στο παράδειγμα του τετραγωνικού παλμού δίνουμε το διάγραμμα στο οποίο ο παλμός προσεγγίζεται με όρους ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας[1],pp 399-405. Σχήμα 32: Το επιθυμητό, το συντεθειμένο διάγραμμα ακτινοβολίας, και οι δομικές συναρτήσεις[1],pp 399-405 49

Στο σχήμα 32 φαίνεται και το προκύπτον υπολογισμένο διάγραμμα. Αν απομονώσουμε το επιθυμητό και το υπολογισμένο διάγραμμα παίρνουμε το σχήμα 33. Σχήμα 33: Το επιθυμητό διάγραμμα(τετραγωνικός παλμός)και το υπολογισμένο Ας κάνουμε εδώ μια σημαντική διευκρίνιση που αφορά το μήκος της κεραίας. Υποθέσαμε πριν ότι το μήκος της στοιχειοκεραίας είναι l=nd. Πρέπει να επισημάνουμε ότι για να ισχύει αυτό, θεωρούμε ότι υπάρχει επιπλέον απόσταση d/2 σε καθένα από τα στοιχεία των άκρων της κεραίας[1],pp 399-405. 50

1.4.2 Τα πλάτη των στοιχείων Οι συναρτήσεις που συνθέτουν το υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολίας έχουν προέλθει από συγκεκριμένες ρευματικές κατανομές στην περίπτωση γραμμικής πηγής. Σχήμα 34: Οι επιμέρους ρευματικές κατανομές οι οποίες δίνουν τελικά το υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολίας Η επαλληλία αυτών των ρευμάτων δίνει το συνολικό ρεύμα πάνω στην κεραία από το οποίο προκύπτει το υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολίας. Αντίστοιχα όταν πρόκειται για στοιχειοκεραία το ρεύμα κάθε στοιχείου της προκύπτει από επαλληλία των ρευμάτων, που θα είχε το στοιχείο αν ήταν στοιχείο 2Μ ή 2Μ+1 διαφορετικών στοιχειοκεραιών που η κάθε μια θα έδινε μέγιστο στην αντίστοιχη θέση b m. Έτσι λοιπόν κάθε στοιχείο της κεραίας, ανάλογα με τη θέση του στον άξονα θα συνεισφέρει ανάλογα, στην τελική ρευματική κατανομή. Όπως και στην ανομοιόμορφη στοιχειοκεραία έτσι και εδώ η τοποθέτηση των στοιχείων πάνω στον άξονα γίνεται εκατέρωθεν του σημείο (0,0). Και εδώ υπάρχει η περίπτωση να έχουμε άρτιο ή περιττό αριθμό στοιχείων. Θεωρούμε την τοποθέτηση μόνο στον άξονα των (z). Αυτό ισχύει και στο λογισμικό που ακολουθεί την εργασία. Η διάταξη της κεραίας πάνω στον άξονα φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 51

z z d/2 d (α)άρτιος αριθμός στοιχείων (β)περιττός αριθμός στοιχείων Σχήμα 35: Τοποθέτηση των στοιχείων πάνω στον άξονα (z) Από το σχήμα 35, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι για άρτιο αριθμό στοιχείων το ύψος καθενός στον άξονα θα είναι z=(n-0,5) d όπου n=±1,±2.n. Ακόμη για περιττό αριθμό στοιχείων θα είναι z=n d με n=0,±1,±2.n. Με βάση τον τρόπο που προκύπτει η τελική ρευματική κατανομή, αλλά και τις θέσεις των στοιχείων πάνω στον άξονα (z) δίνουμε τον τύπο που εκφράζει το πλάτος και τη φάση κάθε στοιχείου[1],pp 399-405: a 1 M j k zn cos m n ( zn ) bme (1-62) N mm 52

1.5 Δίπολα παράλληλα σε άξονα Στο λογισμικό που υλοποιήθηκε στα πλαίσια τις παρούσας εργασίας θεωρήσαμε ότι η στοιχειοκεραία μπορεί να αποτελείται από δίπολα τα οποία είναι παράλληλα προς έναν από τους τρείς άξονες. Για κάθε περίπτωση το πεδίο του διπόλου δίνεται από διαφορετικό τύπο. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ένα δίπολο που είναι παράλληλο στον άξονα (z) έτσι έχουμε το παρακάτω σχήμα. (l) (l) Σχήμα 36: Δίπολο μήκους 2l τροφοδοτούμενο στο μέσον Έτσι για δίπολο παράλληλο στον άξονα (z) θα ισχύει cos( klcos( )) cos( kl) E( ) (1-63) sin( ) Στον προηγούμενο τύπο το cos(θ) είναι το συνημίτονο κατεύθυνσης. Έτσι λοιπόν αν το δίπολο είναι παράλληλο προς άλλο άξονα θα ισχύει: δίπολο παράλληλο στον άξονα (x) cos( klsin( )cos( )) cos( kl) E ( ) (1-64) 2 2 1 sin ( )cos ( ) δίπολο παράλληλο στον άξονα (y) cos( klsin( )sin( )) cos( kl) E ( ) (1-65) 2 2 1 sin ( )cos ( ) 53

Πρέπει να σημειώσουμε ότι ο μαθηματικός τύπος που περιγράφει το πεδίο από μια στοιχειοκεραία διπόλων είτε ομοιόμορφη είτε ανομοιόμορφης θα είναι Field AF (1-66) E dip Ακόμη σημειώνουμε ότι και στη μέθοδο Woodward-Lawson,στην περίπτωση που η κεραία μας αποτελείται από δίπολα, το τελικό υπολογισμένο πεδίο προκύπτει και εδώ πολλαπλασιάζοντας το εξαγόμενο του τύπου (1-60) με το πεδίο του διπόλου. 1.6 Εισαγωγή Ανακλαστήρα Πολλές φορές είναι επιθυμητό στην στοιχειοκεραία διπόλων να εισάγουμε ανακλαστήρα. Όταν τα δίπολα δεν είναι συνευθειακά τότε υπάρχει μόνο ένα επίπεδο στο οποίο μπορεί να τοποθετηθεί ο ανακλαστήρας. Σαν παράδειγμα θα θεωρήσουμε τα δίπολα να είναι διατεταγμένα κατά τον άξονα των (z) και να είναι παράλληλα στον άξονα (x). Έτσι έχουμε το παρακάτω σχήμα: z y x Σχήμα 37: Όταν τα δίπολα είναι κατά μήκος του άξονα (z) και παράλληλα στον (x) το επίπεδο που μπορεί να μπει ανακλαστήρας είναι το (xz) 54

Σύμφωνα με την θεωρία των εικόνων μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον ανακλαστήρα με την εικόνα των ρευμάτων των διπόλων. Σύμφωνα με την ίδια θεωρία τα δίπολα σε σχέση με τις εικόνες τους έχουν διαφορά φάσης (π). Έτσι τα δίπολα και οι εικόνες τους αποτελούν μια ομοιόμορφη στοιχειοκεραία διατεταγμένη κατά τον άξονα (y). Άρα θα ισχύει kd sin sin kd sin sin (1-67) y Επίσης ο ανακλαστήρας τοποθετείται σε απόσταση λ/4 από το επίπεδο των διπόλων, οπότε το μήκος της διαδρομής του κύματος θα είναι d y =2 λ/4=λ/2. Τελικά θα ισχύει: y d y 2 kd sin sin (1-68) y sin N y 1 2 sin 2 1 2 sin AF y (1-69) N 2 2 sin sin sin 2 2 2 1 Το (sinθsinφ) στον τύπο (1-68) προέρχεται από το συνημίτονο κατεύθυνσης και είναι ίσο με αυτή την ποσότητα επειδή θεωρήσαμε ότι, εισάγοντας τον ανακλαστήρα είναι σαν έχουμε ομοιόμορφη κεραία κατά μήκος του άξονα (y). Αν τα δίπολα στο σχήμα 37 είναι παράλληλα προς τον άξονα (y) τότε το επίπεδο του ανακλαστήρα θα είναι (yz). Έτσι θα είναι σαν έχουμε ομοιόμορφη στοιχειοκεραία κατά τον άξονα (x) και το (ψ) θα έχει τη μορφή του τύπου (1-32). Τελικά το συνολικό πεδίο με την εισαγωγή του ανακλαστήρα θα είναι το γινόμενο της ομοιόμορφης κεραίας κατά τον άξονα (z), επί το πεδίο κατά τον άξονα (y) τύπος (1-69), επί το πεδίο του διπόλου: AF tot AF AF E (1-70) z y dip 55

Κεφάλαιο 2 Παρουσίαση του λογισμικού LAD, που αναπτύχτηκε στα πλαίσια τις εργασίας 56

2.1 Εισαγωγή Με βάση τη θεωρία που παρουσιάστηκε αναλυτικά στο κεφάλαιο 1 πραγματοποιήθηκε σύνθεση κώδικα για τη σχεδίαση τριών τύπων στοιχειοκεραιών α) ομοιόμορφης, β)chebyshev και γ)woodward- Lawson. Ο κώδικας συντάχθηκε στο λογισμικό Matlab και επιπλέον δημιουργήθηκε γραφικό περιβάλλον χρήστη (Graphical User Interface - GUI) για τη διαχείριση του προγράμματος. Στις επόμενες παραγράφους παρατίθενται οδηγίες για τη χρήση του προγράμματος καθώς και παραδείγματα. 2.2 Αρχική Οθόνη και ομοιόμορφες στοιχειοκεραίες Η αρχική οθόνη του GUI για το λογισμικό που αναπτύξαμε φαίνεται στο σχήμα 38. Σχήμα 38: Η αρχική οθόνη του LAD Όπως παρατηρούμε από το σχήμα 38, υπάρχουν τρείς επιλογές σχεδίασης στοιχειοκεραίας: α) ομοιόμορφη, β)dolph-chebyshev και 57

γ)woodward-lawson. Εμείς αρχικά επιλέγουμε την ομοιόμορφη και έτσι έχουμε το σχήμα 39: Σχήμα 39: Η οθόνη για τη σχεδίαση ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας Στην οθόνη ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας παρατηρούμε 11 πεδία τα οποία περιγράφουν την κεραία και ένα πεδίο παραγωγής διαγραμμάτων (Output). Τα 11 αυτά πεδία είναι τα εξής: Element Type(τύπος στοιχείου) Elements are along the axis(στοιχεία κατά μήκος συγκεκριμένου άξονα) Elements are parallel to the axis(στοιχεία και συγκεκριμένα δίπολα παράλληλα σε άξονα) Dipoles Length(Μήκος διπόλου) Number of Elements(Αριθμός στοιχείων) Input Method of Equidistance (Μέθοδος εισαγωγής ισαπόστασης, δηλαδή μέτρα ή μήκη κύματος Equidistance(ισαπόσταση) Design Frequency(συχνότητα σχεδίασης) Viewing Frequency 58

Angle of Maximum OR Phase Difference(Εισαγωγή γωνίας μεγίστου ή εισαγωγή διαφοράς φάσης) Reflector(Εισαγωγή ανακλαστήρα) Πρέπει να σημειώσουμε ότι τα πεδία Elements are parallel to the Axis, Dipoles Length και Reflector ενεργοποιούνται αν επιλέξουμε ως τύπο στοιχείου το Δίπολο ενώ αν είναι επιλεγμένος ως τύπος στοιχείου η ισοτροπική πηγή είναι ανενεργά. Ακόμη κάτι επίσης σημαντικό είναι ότι το πεδίο Angle of Maximum αναφέρεται στη γωνία μεγίστου ως προς τον άξονα που είναι τοποθετημένα τα στοιχεία. Το πεδίο παραγωγής διαγραμμάτων έχει τρείς επιλογές: Polar Plots(πολικά διαγράμματα) Cartesian Plots(καρτεσιανά διαγράμματα) 3D Plots at Design Frequency(Τρισδιάστατα διαγράμματα στη συχνότητα σχεδίασης) Μπορούμε να επιλέξουμε όποια από τις τρείς επιλογές θέλουμε και πατώντας το κουμπί Create Plots θα δημιουργηθούν τα αντίστοιχα διαγράμματα. Σημειώνουμε ότι και τα τρία διαγράμματα είναι κανονικοποιημένα ως προς τη μέγιστη τιμή του πεδίου και οι τιμές του πεδίου είναι σε db. Συγκεκριμένα ισχύει AF AF ( db) 20log 10 (2-1) AF max 59

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα για να παρουσιάσουμε τα διαγράμματα που παράγονται. Έτσι δίνουμε στο πρόγραμμα τα παρακάτω χαρακτηριστικά κεραίας: Element Type: Isotropic Source Elements are along then axis: (x) Number of Elements: 5 Input Method of Equidistance (Μέθοδος εισαγωγής ισαπόστασης, δηλαδή μέτρα ή μήκη κύματος:equidistance as regards to wavelength Equidistance:0.5wl Design Frequency:300MHz Viewing Frequency:300MHz Angle of Maximum :90deg Τα καρτεσιανά διαγράμματα που παράγονται είναι τα παρακάτω: Σχήμα 40: Τα καρτεσιανά διαγράμματα που παράγονται για τα στοιχεία του παραδείγματος που δώσαμε Το κείμενο που βρίσκεται στο πάνω μέρος του παραθύρου του σχήματος 40 μας πληροφορεί για τα χαρακτηριστικά της κεραίας, που δώσαμε στο πρόγραμμα. Ακόμη παρατηρούμε τρία γραφήματα. Αυτά είναι τα διαγράμματα αφορούν σε καθένα από τα τρία επίπεδα: το (xy), το (yz) και το (xz) αντίστοιχα. 60

Σχήμα 41: το καρτεσιανό διάγραμμα που αναφέρεται στο πεδίο του επιπέδου (xy) Ακόμη στο σχήμα 40, κάτω δεξιά παρατηρούμε τις τιμές της Design και της Viewing Frequency Συνεχίζοντας παρουσιάζουμε τα πολικά διαγράμματα για το προηγούμενο παράδειγμα: Σχήμα 42: Τα πολικά διαγράμματα που παράγονται για τα στοιχεία του παραδείγματος που δώσαμε Όπως στα καρτεσιανά έτσι και εδώ το κείμενο που βρίσκεται στο πάνω μέρος του παραθύρου μας πληροφορεί για τα χαρακτηριστικά της 61

κεραίας. Επίσης και εδώ τα τρία διαγράμματα αναφέρονται στα πεδία των επιπέδων (xy), (yz), (xz). Στο παράθυρο του σχήματος 41 εκτός από την Design Frequency και τη Viewing Frequency αναγράφονται και οι αντίστοιχες κατευθυντικότητες. Συνεχίζοντας την παρουσίαση των πολικών διαγραμμάτων παρατηρούμε ότι υπάρχει ένας οριζόντιος δείκτης όπως στο σχήμα 43: Σχήμα 43: Πολικό διάγραμμα όπου καταδεικνύεται ο δείκτης που εμφανίζει την τιμή του πεδίου σε συγκεκριμένη γωνία Πατώντας με τον δρομέα του ποντικιού πάνω σε αυτός τον οριζόντιο δείκτη μπορούμε να τον μετακινήσουμε σε συγκεκριμένη γωνία και να δούμε πόση είναι η τιμή του πεδίου στη συγκεκριμένη διεύθυνση: 62

Σχήμα 44: Ο δείκτης μπορεί να τοποθετηθεί σε συγκεκριμένη γωνία και να εμφανίσει την αντίστοιχη τιμή του πεδίου Επίσης ότι υπάρχει και ένας κόκκινος δείκτης. Ο δείκτης αυτός εμφανίζει την τιμή του πεδίου στη Design Frequency στην περίπτωση που είναι διαφορετική από τη Viewing. Οι δείκτες αυτοί βρίσκονται σε καθένα από τα τρία επίπεδα. Επίσης όσον αφορά το τρισδιάστατο διάγραμμα, αυτό εμφανίζεται στο σχήμα 45. 63

Σχήμα 45: Το Τρισδιάστατο διάγραμμα που αναφέρεται στο προηγούμενο παράδειγμα στοιχειοκεραίας 64

Ακόμη στο πεδίο παραγωγής διαγραμμάτων το δεύτερο κουμπί με όνομα Amplitudes and Phases εμφανίζει πίνακα με τα πλάτη και τις φάσεις των στοιχείων. Επειδή η κεραία είναι ομοιόμορφη όλα τα πλάτη είναι μονάδα. Επίσης επειδή στο παράδειγμα που δώσαμε η κεραία είναι μετωπική (γωνία μεγίστου 90 ο ) όλες οι φάσεις είναι 0 ο. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 46. Σχήμα 46: Ο πίνακας που εμφανίζεται πατώντας το κουμπί Amplitudes and Phases και που δείχνει τα πλάτη και τις φάσεις των στοιχείων Για να δημιουργήσουμε στο μυαλό μας μια εικόνα για το πως είναι διατεταγμένα τα στοιχεία και ποια φάση αντιστοιχεί σε καθένα στοιχείο, υπενθυμίζουμε ότι στην ομοιόμορφη στοιχειοκεραία το πρώτο στοιχείο βρίσκεται στη θέση (0,0). Σε αντίθεση στην στοιχειοκεραία Chebyshev τα στοιχεία βρίσκονται εκατέρωθεν του (0,0) σε ίσες αποστάσεις. Αν είχαμε διαφορά φάσης 8 ο τότε ο πίνακας θα ήταν: Σχήμα 47: Ο πίνακας που δείχνει τη φάση κάθε στοιχείο για διαφορά φάσης 8 ο 65

Εν συνεχεία θα αλλάξουμε τη Viewing Frequency σε 500 MHz Σχήμα 48: Με Viewing Frequency 500MHz παίρνουμε αυτά τα πολικά διαγράμματα Ενδεικτικά εστιάζουμε στο πολικό διάγραμμα του επιπέδου (xy), αρχικά μετράται το πεδίο στη Design Frequency Σχήμα 49: Το πεδίο στο επίπεδο (xy) όταν Design Frequency=300MHz και Viewing Frequency=500MHz (μετράμε το πεδίο στη Design Frequency 66

Στο σχήμα 50 μετράται το πεδίο στη Viewing Frequency Σχήμα 50: Το πεδίο στο επίπεδο (xy) εδώ μετράμε το πεδίο στη Viewing Frequency Παρατηρούμε ότι στη Viewing Frequency 500MHz το διάγραμμα ακτινοβολίας είναι πιο κατευθυντικό. Τέλος παρατίθεται ένα παράδειγμα ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας 5 στοιχείων με δίπολα που βρίσκονται κατά μήκος του άξονα (z) και παράλληλα στον (x). Η ισαπόσταση είναι και εδώ 0.5λ=0.5wl και η γωνία μεγίστου στις 90 ο σε σχέση με τον άξονα z. z y x Σχήμα 51: Στοιχειοκεραία 5 στοιχείων διπόλων που βρίσκονται κατά μήκος του (z) και παράλληλα στον (x) 67

Σχήμα 52: Τα πολικά διαγράμματα για στοιχειοκεραία διπόλων που βρίσκονται κατά μήκος του άξονα (z) και παράλληλα στον (x) Με την εισαγωγή ανακλαστήρα παίρνουμε το σχήμα 53 Σχήμα 53: Το προηγούμενο παράδειγμα στο εισαγάγαμε και ανακλαστήρα Παρατηρούμε στο σχήμα 53 ότι στο επίπεδο που τοποθετήθηκε ο ανακλαστήρας (xz), δεν υπάρχει πεδίο 68

2.3 Στοιχειοκεραία Dolph-Chebyshev Πατώντας στην αρχική οθόνη του LAD την επιλογή Dolph- Chebyshev εμφανίζεται η παρακάτω οθόνη Σχήμα 54: Το παράθυρο για σχεδίαση στοιχειοκεραίας Dolph-Chebyshev Το παράθυρο για τη σχεδίαση της στοιχειοκεραίας του τύπου αυτού, μοιάζει αρκετά με αυτό της ομοιόμορφης. Υπάρχουν δύο βασικές διαφορές οι οποίες καταδεικνύονται και στο σχήμα 54 μέσα σε κίτρινο κύκλο. Η πρώτη είναι ότι υπάρχει το πεδίο Major-to-minor Lobe Ratio, που είναι το ύψος του κύριου λοβού σε σχέση με τους δευτερεύοντες. Η δεύτερη είναι ότι τα πλάτη των στοιχείων (Excitation Coefficients) μπορεί να είναι κανονικοποιημένα είτε ως προς το κεντρικό στοιχείο είτε ως προς το ακραίο στοιχείο. Στη συνέχεια θα δοθεί ένα παράδειγμα για αυτήν την στοιχειοκεραία. Έτσι εισάγονται τα παρακάτω χαρακτηριστικά: 69

Element Type: Isotropic Source Elements are along then axis: (x) Number of Elements: 5 Major to minor lobe ratio:20db Input Method of Equidistance (Μέθοδος εισαγωγής ισαπόστασης, δηλαδή μέτρα ή μήκη κύματος:equidistance as regards to wavelength Equidistance:0.5wl Design Frequency:300MHz Viewing Frequency:300MHz Angle of Maximum :90deg Έτσι παίρνουμε τα παρακάτω καρτεσιανά διαγράμματα Σχήμα 55: Τα καρτεσιανά διαγράμματα που παίρνουμε για τα χαρακτηριστικά της κεραίας του παραδείγματος Στο σχήμα 55 παρατηρούμε ότι όλοι οι δευτερεύοντες λοβοί βρίσκονται κάτω των 20dB. 70

Τώρα όσον αφορά τα πλάτη των στοιχείων όταν αυτά είναι κανονικοποιημένα ως προς το κεντρικό, έχουμε τον παρακάτω σχήμα: Σχήμα 56: Ο πίνακας των πλατών και το φάσεων όταν αυτά είναι κανονικοποιημένα ως προς το κεντρικό Και όταν αυτά είναι κανονικοποιημένα ως προς το ακραίο στοιχείο έχουμε το σχήμα 57. Σχήμα 57: Ο πίνακας των πλατών και το φάσεων όταν αυτά είναι κανονικοποιημένα ως προς το ακραίο στοιχείο Υπενθυμίζουμε ότι στην συγκεκριμένη στοιχειοκεραία τα στοιχεία είναι τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από το σημείο (0,0). Έτσι οι δείκτες των πλατών δείχνουν αυτή την συμμετρικότητα: δηλαδή υπάρχουν θετικοί δείκτες που αναφέρονται στο θετικό ημιάξονα αλλά και οι αντίστοιχοι αρνητικοί. 71

Τα είδη των διαγραμμάτων είναι οι ίδια όπως και στην ομοιόμορφη. Για αυτό το λόγο θα προχωρήσουμε στη μέθοδο Woodward-Lawson. 2.4 Μέθοδος Woodward-Lawson Η αρχική οθόνη αυτής της μεθόδου φαίνεται στο σχήμα 58. Σχήμα 58: Η οθόνη που εμφανίζεται για το σχεδιασμό στοιχειοκεραίας με τη μέθοδο Woodward-Lawson 72

Τα πεδία τα οποία υπάρχουν για την περιγραφή της στοιχειοκεραίας με τη μέθοδο αυτή είναι: Function(Συνάρτηση η οποία αποτελεί το επιθυμητό διάγραμμα ακτινοβολίας Sample Points(Σημεία δειγματοληψίας: άρτια, περιττά) Element Type(τύπος στοιχείου) Dipoles Length(Μήκος διπόλου) Number of Elements(Αριθμός στοιχείων) Equidistance(σε αυτή τη μέθοδο σχεδίασης είναι μόνο σε μήκη κύματος) Dipoles are Parallel to axis(σε ποιο άξονα είναι παράλληλα τα δίπολα) Design Frequency(Συχνότητα σχεδίασης) Viewing Frequency Reflector Τονίζεται ότι σε αυτή τη μέθοδο το πρόγραμμα δίνει διαγράμματα και αποτελέσματα για στοιχειοκεραία της οποίας τα στοιχεία είναι μόνο κατά τον άξονα (z). Έτσι λοιπόν τα διαγράμματα και τα αποτελέσματα που δίνει το πρόγραμμα είναι τα εξής: Table of Sample Points(Πίνακας των γωνιών δειγματοληψίας και οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης σε αυτές τις γωνίες) Cartesian Plots Cartesian Plots in dbs Desired & Computed Polar Plots(Πολικά διαγράμματα της επιθυμητής και της υπολογισμένης συνάρτησης) Design & Viewing Frequency Polar Plots( Πολικά διαγράμματα στις δύο αυτές συχνότητες της υπολογισμένης συνάρτησης) Και τέλος τα αποτελέσματα για τα πλάτη και τις φάσεις(excitation Coefficients) Table of Excitation Plot of Excitation Coefficients 73

Οι συναρτήσεις οι οποίες μπορούν να προσεγγιστούν με το πρόγραμμα αυτό είναι τρείς: sin(θ) Τετραγωνικός Παλμός exp(-a^2 u^2) cos(2bu) με u=π cosθ Ας κάνουμε λοιπόν ένα παράδειγμα με την sin(θ). Function:sin(θ) Sample Points:Even Element Type: Isotropic Source Number of Elements:5 Equidistance:0.5wl Design Frequency:300MHz Viewing Frequency:300MHz Έτσι παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα σημείων δειγματοληψίας Σχήμα 59: Ο πίνακας των σημείων δειγματοληψίας που αναφέρεται στο παράδειγμα 74

Επίσης τα καρτεσιανά διαγράμματα είναι τα εξής: Σχήμα 60: Τα καρτεσιανά διαγράμματα του παραδείγματος Στο σχήμα 60 παρατηρούμε ότι με τη πράσινη γραμμή απεικονίζεται το υπολογισμένο διάγραμμα ακτινοβολίας, ενώ με τη μπλε διάστικτη γραμμή το επιθυμητό. Με την αύξηση των στοιχείων από 5 σε 10 έχουμε το σχήμα 61: Σχήμα 61: Αυξάνοντας τον αριθμό των στοιχείων η προσέγγιση του επιθυμητού διαγράμματος είναι καλύτερη 75

Τα αντίστοιχα πολικά διαγράμματα είναι τα εξής: Σχήμα 62: Τα πολικά διαγράμματα του παραδείγματος όταν τα στοιχεία είναι Ν=10 Με την αύξηση της Viewing Frequency από 300 σε 305MHz παίρνουμε το σχήμα 63 Σχήμα 63: Τα πολικά διαγράμματα με Design Frequency=300MHz και Viewing Frequency=305MHz 76

Συνεχίζοντας δίνονται τα σχήματα που αναφέρονται στα πλάτη και τις φάσεις των στοιχείων(excitation coefficients) για Ν=10 σε κανονικοποιημένη μορφή: Σχήμα 64: Ο πίνακας με τη θέση, τα πλάτη και τη φάση των στοιχείων της στοιχειοκεραίας για Ν=10 Από το σχήμα 64 παρατηρείται ότι και εδώ τα στοιχεία είναι τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από το (0,0) στον θετικό και αρνητικό ημιάξονα. Επίσης στον πίνακα δίνονται και οι θέσεις των στοιχείων πάνω στον άξονα των (z) σε μήκη κύματος. Ακόμη το διάγραμμα των πλατών των στοιχείων σαν συνάρτηση της θέσης δίνεται στο σχήμα 65: 77