Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Θεωρήστε το σύνολο των ατομικών προτάσεων ΑΡ = {α, π, ε} που αντιστοιχούν στις ενέργειες αποστολής μηνύματος, παραλαβής μηνύματος και επιστροφής αποτελέσματος που εκτελούνται από ένα πρωτόκολλο. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν τη λειτουργία του πρωτοκόλλου. (i) Το πρωτόκολλο τερματίζει όλες τις επικοινωνίες από τη στιγμή που επιστρέψει κάποιο αποτέλεσμα. (ii) Το πρωτόκολλο αποστέλλει μη πεπερασμένο αριθμό μηνυμάτων. (iii) Το πρωτόκολλο επιστρέφει ακριβώς ένα αποτέλεσμα. (iv) Το πρωτόκολλο ανταποκρίνεται με αποστολή κάποιου μηνύματος σε κάθε μήνυμα που παραλαμβάνει. (v) Το πρωτόκολλο δεν εκτελεί καμιά ενέργεια επικοινωνίας μέχρι να παραλάβει κάποιο μήνυμα Να παρουσιάσετε μια δομή Krike η οποία να ικανοποιεί όλες τις πιο πάνω απαιτήσεις και μια δομή Krike που δεν ικανοποιεί καμιά από τις απαιτήσεις ή να αιτιολογήσετε ότι δεν υπάρχουν τέτοιες δομές. Λύση (i) (ii) (iii) G [ε XG (α π ε)] GF α F ε G (ε XG ε) (iv) G (π F α) (v) G [(α ε ) U π] Δεν υπάρχει δομή που να ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες αφού είναι αδύνατο να ικανοποιήσουμε ταυτόχρονα π.χ. τις ιδιότητες G [ε XG (α π ε)], GF α και F ε. Η πιο κάτω δομή δεν ικανοποιεί καμιά από τις ιδιότητες. {ε} {π} Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 1
Άσκηση 2 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Krike. 3 4 5 1 2 Για κάθε μια από τις πιο κάτω ιδιότητες να αποφασίσετε (1) κατά πόσο υπάρχει μονοπάτι που να ικανοποιεί την ιδιότητα και, αν ναι, να επιδείξετε ένα τέτοιο μονοπάτι, και (2) κατά πόσο η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. (i) F G 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 122222 που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. 14545454 (ii) (iii) (iv) G X 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 145454545 Το μονοπάτι αυτό δεν ικανοποιεί καμία από τις G και X και επομένως, ικανοποιεί την G X. που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. 122222 X G F 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 122222 Ικανοποιεί το Χ. που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. 142222 ( X ) U X 1. Η ιδιότητα δεν ικανοποιείται σε κανένα μονοπάτι: Ξεκινώντας από την αρχική κατάσταση παρατηρούμε ότι δεν ικανοποιείται η Χ. Επομένως πρέπει να ικανοποιείται η X. Εντούτοις, στο μόνο μονοπάτι στο οποίο ικανοποιείται η X (το 12222 ), το δεν γίνεται ποτέ αληθές. 2. Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού αυτή δεν ικανοποιείται σε κανένα μονοπάτι που ξεκινά από την αρχική κατάσταση. (v) U [ X X F ] 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 122222 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα αφού από την αρχική κατάσταση ικανοποιεί το σκέλος Χ. (vi) F ( U ) F ( ) 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 122222 Στο μονοπάτι αυτό και τα δύο σκέλη της συνεπαγωγής είναι False. που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. το 1454545 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 2
Άσκηση 3 H LTL όπως έχει οριστεί στις διαφάνειες περιέχει χρονικούς τελεστές που επιτρέπουν τη διατύπωση ιδιοτήτων που αφορούν το μέλλον. Υποθέστε την ύπαρξη ενός καινούριου τελεστή P φ (P = Past) όπου η πρόταση Ρ φ ικανοποιείται σε μία κατάσταση αν η φ υπήρξε αληθής κάποια στιγμή στο παρελθόν. (i) Να δώσετε τη σημασιολογία του τελεστή Ρ, εξηγώντας με σαφήνεια πότε μια κατάσταση w i ενός μονοπατιού w ικανοποιεί την ιδιότητα Ρ φ. (ii) Θεωρήστε την ιδιότητα G(φ Ρ ψ). Εξηγήστε με λόγια τι εκφράζει η πρόταση. Παρουσιάστε μια δομή που να ικανοποιεί την ιδιότητα. Υπάρχει τρόπος να διατυπώσουμε την ιδιότητα χωρίς να καταφύγουμε στον τελεστή Ρ; Αποδείξτε το. (i) Για να μπορέσουμε να ορίσουμε τη σημασιολογία του τελεστή χρειάζεται να έχουμε στην διάθεσή μας τόσο το μονοπάτι όσο και την κατάσταση που μας ενδιαφέρει. Έτσι ορίζουμε τους κανόνες της σημασιολογίας με βάση τον συμβολισμό w, i φ, όπου γράφουμε w, i φ και μόνο αν w i φ, για i 0 και w φ αν w, 0 φ. Επομένως, χρησιμοποιώντας τον πιο πάνω συμβολισμό, ορίζουμε τη σημασιολογία του τελεστή Ρ φ με βάση τον πιο κάτω κανόνα: w, i P φ αν και μόνο αν j, 0 j i, τέτοιο ώστε w, j φ σύμφωνα με το οποίο η ιδιότητα Ρ φ ικανοποιείται από την κατάσταση i του μονοπατιού w αν υπάρχει κάποια προηγούμενη κατάσταση του μονοπατιού, έστω j, όπου j < i, τέτοια ώστε το μονοπάτι w j να ικανοποιεί την φ. (ii) Η πρόταση G(φ Ρ ψ) εννοεί ότι πάντα εάν μια κατάσταση ικανοποιεί το φ, τότε κάποια προηγούμενή της ικανοποιεί το ψ. {ψ} {φ} Η συγκεκριμένη πρόταση μπορεί να εκφραστεί ως F φ (φ U ψ). Το αποδεικνύουμε χρησιμοποιώντας τους κανόνες της σημασιολογίας: w F φ (φ U ψ) αν και μόνο αν w,0 F φ (φ U ψ) αν και μόνο αν w,0 F φ ή w,0 (φ U ψ) αν και μόνο αν για κάθε i 0 w,i φ ή j 0 τέτοιο ώστε w,j ψ και για κάθε k, 0 k j w,k φ αν και μόνο αν w,i φ για κάθε i 0 ή w,i φ για κάποιο i και w,j ψ και w,k φ για κάποιο j 0, και κάθε 0 k j αν και μόνο αν w,i φ για κάθε i 0 ή w,i φ για κάποιο i και w,j P ψ και w,k φ για κάποιο j 0, και κάθε 0 k j αν και μόνο αν [ w,i φ ή Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 3
w,i φ και w,j ψ για κάποιο j i ] για κάθε i 0 αν και μόνο αν [ w,i φ ή w,i Ρ ψ ] για κάθε i 0 αν και μόνο αν w,i φ Ρ ψ για κάθε i 0 αν και μόνο αν w,i φ Ρ ψ για κάθε i 0 αν και μόνο αν w G(φ Ρ ψ) Άσκηση 4 Δύο ιδιότητες φ και ψ είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, φ ψ, αν, για κάθε δομή Krike M, M φ αν και μόνο αν M ψ. Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω ζεύγη προτάσεων περιέχουν ισοδύναμες προτάσεις. Αν δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες να δώσετε απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία, διαφορετικά να παρουσιάσετε δομή Krike στην οποία να ικανοποιείται η μία ιδιότητα αλλά όχι η άλλη. i. G ( X ) G ( X ) Η ισοδυναμία δεν είναι ορθή. Αντιπαράδειγμα: Στην πιο πάνω δομή ικανοποιείται το αριστερό μέλος της ισοδυναμίας ενώ το δεξί μέλος δεν ικανοποιείται. ii. G ( X ) G ( X ) Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Ακολουθεί η απόδειξη: Έστω μονοπάτι s. Τότε w G ( X ) ανν για κάθε i 0 αν w i X ανν για κάθε i 0 είτε δεν ισχύει ότι w i είτε δεν ισχύει ότι w i+1 w G ( X ) ανν για κάθε i 0 δεν ισχύει ότι w i X ανν για κάθε i 0 δεν ισχύει ότι w i και w i+1 ανν για κάθε i 0 ισχύει ότι w i ή w i+1 ανν για κάθε i 0 είτε δεν ισχύει ότι w i είτε δεν ισχύει ότι w i+1 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 4
iii. AG ( ( EX )) EF ( AX ) Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Ακολουθεί η απόδειξη: Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s, τότε Αν Μ, s AG ( ( EX )) αν και μόνο αν μονοπάτι w που ξεκινά από το s, M, w G ( (EX )) αν και μόνο αν μονοπάτι w που ξεκινά από το s και κάθε i 0, M,w[i] ( EX ) αν και μόνο αν μονοπάτι w που ξεκινά από το s και κάθε i 0, M,w[i] ή M,w[i] EX αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από το s και κάθε j 0, Μ,w[j] ή Μ,w[j] ή Μ,w[j] AX αν και μόνο αν για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από το s και κάθε j 0, όχι Μ,w[j] ( AX ) αν και μόνο αν όχι μονοπάτι w που ξεκινά από το s και j 0 τέτοια ώστε M,w[j] AX αν και μόνο αν όχι μονοπάτι w που ξεκινά από το s τέτοιο ώστε M, w F ( AX ) αν και μόνο αν όχι Μ,s EF ( AX ) αν και μόνο αν Μ,s EF ( AX ) iv. AG ( ( AX )) AG AG ( ) Οι προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες αφού η πιο κάτω δομή ικανοποιεί την πρώτη πρόταση αλλά όχι τη δεύτερη. Άσκηση 5 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Krike και αποφασίστε σε ποιες από τις καταστάσεις της δομής ικανοποιείται κάθε μια από τις CTL ιδιότητες που ακολουθούν. Να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL. 3 4 5 1 2 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 5
(i) A [ U [ EX (AX EF ΑF( )) ] ] (Ε[φ 2 U(EX φ 2 )] EG φ 2 ) (Ε[φ 2 U(EX φ 2 )] ΑF φ 2 ) (Ε[φ 2 U(EX φ 2 )] ΑF φ 2 ) όπου φ 2 AX EF ΑF( ) AX EF ΑF( ) EX EF ΑF( ) Κατ αρχή, τρέχουμε τον αλγόριθμο στη φ 2 και παίρνουμε ότι η πρόταση ικανοποιείται σε όλες τις καταστάσεις της δομής: EX AF {1,2,3,5} EF Στη συνέχεια τρέχουμε τον αλγόριθμο στην υπό μελέτη πρόταση και παρατηρούμε ότι η πρόταση ικανοποιείται από τη δομή αφού ικανοποιείται στην αρχική κατάσταση. EU AF φ 2 {2} φ 2 {1,3,4,5} EX {3,4,5} φ 2 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 6
(ii) EX ( ) EF [ A ( U ) EG ] EX ( ) EF [ A ( U ) EG ] EX ( ) E [ True U (A ( U ) EG ) ] EX ( ) E [ True U ( (Ε[U( )] EG ) EG ) ] EX ( ) E [ True U ( (Ε[U( )] AF ) AF ) ] EX ( ) E [ True U ( (Ε[U( )] AF ) AF ) ] EU {1,2,3,4,5 EX true {1,2,3,5} {1,2,4} AF {3,4,5} {1,4} EU {1,2,4 {3,4,5} {1,2,4} {4} AF {3,4,5} {1,2,4} Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 7