Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου που δημιουργείται από μια πλευρά του. Θέλουμε α βρούμε ποια καοικά πολύγωα καλύπτου ακριβώς το επίπεδο,δηλαδή χωρίς α υπάρχου κεά ααμεσά τους. Σχήμα 1: τυχαίο -γωο Α συμβολίσουμε με ω τις δυο ίσες γωίες της βάσης του ισοσκελούς και με 60 τη γωία της κορυφής τότε ισχύει η σχέση: ω + 60 = 180 οπότε ω = 90 180 Συεπώς α φ είαι η γωια του καοικου -γωου θα ισχύει διαδοχικά: 1
φ = ω = 180 60 φ = (1 )180 φ = 180 Τα -γωα θα τα επιλέξουμε έτσι ώστε α προσθέσουμε ακέραιες φορές τη γωία φ το άθροισμα τω γωιώ α ισούται με 60 μοίρες. Ααγκαία και ικαή συθήκη ειαι λοιπό κφ = 60, κ Z Η σχέση αυτή διαδοχικά γίεται: κ 180 = 60 κ = κ = Ψάχουμε λοιπό τα για τα οποία Z Ισχύει Αρκεί λοιπό 4 Z = ( ) + 4 = + 4
Αυτό ισχύει ότα είαι διαιρέτης του 4 δηλαδη ότα {1,, 4} συεπώς ότα {, 4, 6} Συμπεραίουμε λοιπό ότι απ όλα τα καοικά επίπεδα σχήματα, εκεία που η μέλισσα θα μπορούσε α χρησιμοποιήσει για τη κατασκευή τω κελιώ της είαι τρία. Το ισόπλευρο τρίγωο, το τετράγωο και το καοικό εξάγωο. Σχήμα : κάλυψη του επιπεδου απο ισοπλευρα τριγωα Σχήμα : κάλυψη του επιπέδου από τετράγωα Σχήμα 4: κάλυψη του επιπέδου από καοικά εξάγωα Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το καοικό εξάγωο ; Κάθε κελλί θεωρείται ως ορθό πρίσμα δεδομέου ύψους, του οποίου η βάση είαι καοικό -γωο.γωρίζουμε ότι η μέλισσα σε κάθε κελλί τοποθετεί τη ίδια ποσότητα
μελιού. Ας υποθέσουμε ότι το απαιτούμεο εμβαδό για κάθε κελί είαι μια τετραγωική μοάδα δηλαδή Ε=1. Α κατασκεύαζε τετραγωικές κυψελίδες αυτές θα είχα πλευρά μια μοάδα μήκους διότι E = a οπότε 1 1 = 1 τετραγωική μοάδα. Α κατασκεύαζε ισόπλευρες τριγωικές κυψελίδες, τι μήκος έπρεπε α είχε η κάθε πλευρά του ισόπλευρου τριγώου ώστε το εμβαδο του α είαι ισοδύαμο με μια τετραγωική μοαδα ; Σχήμα 5: ισόπλευρο τρίγωο Συμβολίζοτας με a τη πλευρά του ισοπλέυρου τριγώου και με υ το ύψος του, προκύπτει E = aυ = a sin(60) = 4 a Επιλύουμε τώρα ως προς a και για εμβαδό μια τετραγωική μοάδα, βρίσκουμε ότι άρα a = 4E = 4 = 4 a = 1 4 Συεπώς το τρίγωο θα έπρεπε α είχε μήκος πλευράς κατά προσέγγιση 1,5 μοάδες μήκους. Α κατά το ίδιο τρόπο υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ισοδύαμου καοικού εξαγώου απο το τύπο του εμβαδού E = a 4
βρίσκουμε ότι ισχύει a = E = = 9 οπότε 1 ( 4 ) a = που κατά προσέγγιση είαι 0,6... μοάδες μήκους. Επομέως, στη περίπτωση της τετραγωικής κατασκευής η περίμετρος του τετραγώου ισούται με 4 1 = 4 μοάδες μήκους. Στη περίπτωση κατά τη οποία η μέλισσα κατασκεύαζε τριγωικά κελιά το καθέα θα είχε περίμετρο κατά προσέγγιση 1, 5 = 4, 56 μοάδες μήκους, εώ στη περίπτωση της εξαγωικής κατασκευής η περίμετρος του κάθε κελιού θα ήτα κατά προσέγγιση 6 0, 6 =, 7... μοάδες μήκους. Συμπέρασμα: Παρατηρούμε ότι η επιλογή του εξαγωικού σχήματος δε είαι τυχαία. Αφεός καλύπτει ακριβώς το επίπεδο χωρίς α υπάρχου κεά, αφετέρου, για δεδομέο όγκο κηρήθρας, είαι το σχήμα με τη μικρότερη περίμετρο βάσης.δηλαδή η μέλισσα δαπαά λιγότερο κερί για τη κατασκευή τω κελιώ της. Ετσι αξιοποιεί με το καλύτερο τρόπο το διαθέσιμο χωρο κάοτας οικοομία υλικού. Κλείοτας θα δείξουμε τη εξής πρόταση: Πρόταση: Για κάθε > έστω Π η περίμετρος του καοικού -γωου μοαδιαίου εμβαδού,τότε η ακολουθία Π είαι φθίουσα. Απόδειξη: Θεωρώ έα καοικό µ-γωο πλευράς και έα καοικό -γωο πλευράς l όπου µ > τότε το µ-γωο αποτελείται απο µ ισοσκελή τρίγωα με βάση εώ ατίστοιχα το -γωο από ισοσκελή τρίγωα με βάση l.αρκεί λοιπό α δείξουμε ότι Π > Π µ Συγκεκριμέα Π = l και Π µ = µ 5
Σχήμα 6: ισόπλευρο τρίγωο του καοικού -γωου Σχήμα 7: ισόπλευρο τρίγωο καοικου μ-γωου Από το σχήμα παρατηρούμε ότι οπότε και ατίστοιχα l a = tan( π ) a = l tan π οπότε a µ = tan( π µ ) a µ = tan π µ Αφού τα πολύγωα έχου ίσα εμβαδά θα ισχύει που διαδοχικά γίεται: E = µ E µ l a = µa µ 6
l a = µ a µ l l tan π = µ tan π µ l tan( π ) = µ tan( π µ ) ( l ) = µ tan( π) tan( π ) (1) µ Αρκει λοιπό α δείξω ότι Π > Π µ η σχέση αυτή διαδοχικά γίεται l > µ l > µ ( l ) > ( µ ) µ tan( π) tan( π ) > (µ ) µ tan( π ) > µ tan(π µ ) αρκεί α δείξω ότι η ακολουθία είαι φθίουσα. Η παραπάω σχέση γίεται: f(x) = x tan( π x ), x > 1 x f(x) = tan(π x ), x > 7
Ξέρουμε ότι για x > το π βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο όπου εκεί η εφαπτομέη είαι φθίουσα συάρτηση. Επίσης η 1 είαι φθίουσα συάρτηση και γιόμεο x x φθιουσώ είαι φθίουσα συάρτηση άρα f(x) είαι φθίουσα. Δείξαμε λοιπό η περίμετρος του καοικού -γωου μοαδιαίου εμβαδού είαι φθίουσα. 8