Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής αν και μόνον αν ο X είναι αυτοπαθής. Υπόδειξη: Θεωρήστε τις φυσιολοικές εμφυτεύσεις J 0 : X X και J 1 : X X. Αν ο X είναι αυτοπαθής, πάρτε x X, θεωρήστε το x = x J 0 και αποδείξτε ότι x = J 1 (x ). Αντιστρόφως, έστω ότι ο X είναι αυτοπαθής, ενώ ο X δεν είναι. Αποδείξτε ότι ο J 0 (X) είναι νήσιος κλειστός υπόχωρος του X και ότι υπάρχει μη-μηδενικό x X με x (J 0 (x)) = 0 ια κάθε x X. Καταλήξτε σε άτοπο. 2. Αν ο X είναι αυτοπαθής, αποδείξτε ότι ια κάθε x X υπάρχει x X με x = 1 και x (x) = x. 3. Έστω τοπολοικός χώρος (π.χ. μετρικός χώρος) A και B A. Το B ονομάζεται σύνολο πρώτης κατηορίας στον A αν υπάρχουν B n A με B = + n=1 B n ώστε κάθε cl(b n ) να έχει κενό εσωτερικό. Το B ονομάζεται σύνολο δεύτερης κατηορίας στον A αν δεν είναι σύνολο πρώτης κατηορίας στον A. [α] Αποδείξτε ότι κάθε πλήρης μετρικός χώρος είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον εαυτό του. [β] Έστω χώρος με νόρμα X. (i) Αν το M είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον X, F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x M, αποδείξτε ότι sup x F x < +. (ii) Αν το M είναι σύνολο δεύτερης κατηορίας στον X, F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x M, αποδείξτε ότι sup x F x < +. 4. [α] Έστω 1 p < +, 1 p + 1 q = 1 και ακολουθία x = (x 1, x 2,...) στο F. Αν ια κάθε y = (y 1, y 2,...) l p η σειρά + k=1 x ky k συκλίνει, αποδείξτε ότι x l q. Υπόδειξη: Για κάθε n θεωρήστε το l n (l p ) με τύπο l n (y) = n k=1 x ky k ια κάθε y l p και υπολοίστε τη νόρμα του l n. [β] Έστω ακολουθία x = (x 1, x 2,...) στο F. Αν ια κάθε y = (y 1, y 2,...) c 0 η σειρά + k=1 x ky k συκλίνει, αποδείξτε ότι x l 1. 5. Έστω (Ω, Σ, µ) ένας χώρος μέτρου και μετρήσιμη f : Ω F. [α] Έστω 1 < p + και 1 p + 1 q = 1. Αν fg L1 ια κάθε g L p, αποδείξτε ότι f L q. [β] Έστω ότι το µ είναι σ-πεπερασμένο. Αν fg L 1 ια κάθε g L 1, αποδείξτε ότι f L. 6. Έστω χώρος Bnch X με νόρμα και μία βάση Schuder B = {b 1, b 2,...} του X. Θεωρούμε K = καθώς και { κ = (κ 1, κ 2,...) ακολουθία στο F η σειρά κ K = sup n n κ j b j ια κάθε κ K. } κ j b j συκλίνει στον X [α] Αποδείξτε ότι η K είναι νόρμα στον K και ότι ο K με τη νόρμα αυτή είναι χώρος Bnch. 1
[β] Θεωρούμε T : K X με τύπο T (κ) = κ j b j ια κάθε κ = (κ 1, κ 2,...) K. Αποδείξτε ότι υπάρχουν σταθερές c 1, c 2 με 0 < c 1 c 2 ώστε να ισχύει c 1 κ K T (κ) c 2 κ K ια κάθε κ K. [] Θεωρούμε και { L = λ = (λ 1, λ 2,...) η σειρά λ L = sup T (κ) 1 } κ j λ j συκλίνει ια κάθε κ K κ j λ j. Αποδείξτε ότι η L είναι νόρμα στον L και ότι L iso = X. 7. Έστω χώρος με νόρμα X και υπόχωρος L του X. Λέμε ότι ο L προσδιορίζει τη νόρμα του X αν υπάρχει c > 0 ώστε c x sup x (x) ια κάθε x X. x L, x 1 Τώρα έστω χώρος X με νόρμα και υπόχωρος L του X ο οποίος προσδιορίζει τη νόρμα του X. [α] Θέτουμε x = sup x (x) ια κάθε x X. x L, x 1 Αποδείξτε ότι η είναι νόρμα στον X ισοδύναμη με την. [β] Αν F X και sup x F x (x) < + ια κάθε x L, αποδείξτε ότι sup x F x < +. 8. Έστω χώρος με νόρμα X. [α] Έστω cl L = X. Αν x (x n ) x (x) ια κάθε x L και sup n x n < +, αποδείξτε ότι x n x στον X. [β] Έστω cl L = X. Αν x n(x) x (x) ια κάθε x L και sup n x n < +, αποδείξτε ότι x n x στον X. 9. Αποδείξτε ότι e n 0 στους c, c0 και ότι η (e n ) δεν έχει ασθενές όριο στον l 1. 10. Έστω 1 < p < +. [α] Αποδείξτε ότι x n x στον l p αν και μόνο αν sup n x n p < + και x (m) n x (m) στο F ια κάθε m N. [β] Έστω x n x στον l p. Αποδείξτε ότι x n x αν και μόνο αν x n x. 11. (Schur) Αποδείξτε ότι x n x στον l 1 αν και μόνο αν x n x στον l 1. 12. Αν ο X είναι αυτοπαθής χώρος με νόρμα και ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του X, αποδείξτε ότι ο X/Y είναι αυτοπαθής. 2
13. Έστω χώρος με νόρμα X. Η ακολουθία (x n ) στον X ονομάζεται ασθενώς συκλίνουσα αν το lim n + x (x n ) υπάρχει στο F ια κάθε x X. Ο X ονομάζεται ακολουθιακά ασθενώς πλήρης αν κάθε ασθενώς συκλίνουσα ακολουθία του X συκλίνει ασθενώς σε κάποιο στοιχείο του. Η ακολουθία (x n) στον X ονομάζεται ασθενώς- συκλίνουσα αν το lim n + x n(x) υπάρχει στο F ια κάθε x X. Ο X ονομάζεται ακολουθιακά ασθενώς- πλήρης αν κάθε ασθενώς- συκλίνουσα ακολουθία του X συκλίνει ασθενώς- σε κάποιο στοιχείο του. [α] Έστω συμπαής, Husdorff τοπολοικός χώρος (π.χ. συμπαής μετρικός χώρος) A και ακολουθία (f n ) στον C(A) η οποία συκλίνει κατά σημείο στο A σε μία f : A F η οποία δεν είναι συνεχής στο A. Αν sup n f n u < +, αποδείξτε ότι η (f n ) είναι ασθενώς συκλίνουσα στον C(A), αλλά ότι δε συκλίνει ασθενώς σε κανένα στοιχείο του C(A). [β] Αν ο X είναι αυτοπαθής χώρος με νόρμα, αποδείξτε ότι ο X είναι ακολουθιακά ασθενώς πλήρης. Υπόδειξη: Έστω ακολουθία (x n ) στον X ώστε το lim n + x (x n ) να υπάρχει στο F ια κάθε x X. Θέσατε x (x ) = lim n + x (x n ) και αποδείξτε ότι x X. [] Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι ακολουθιακά ασθενώς- πλήρης. 14. (Vitli-Hhn-Sks) [α] Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ), ακολουθία μιαδικών μέτρων (λ n ) στην Σ και έστω ότι κάθε λ n είναι απολύτως συνεχές ως προς το µ και το lim n + λ n (A) υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Θέτουμε λ(a) = lim λ n(a) ια κάθε A Σ. n + Αποδείξτε ότι το λ είναι μιαδικό μέτρο στην Σ απολύτως συνεχές ως προς το µ. [β] Έστω μετρήσιμος χώρος (Ω, Σ), ακολουθία μιαδικών μέτρων (λ n ) στην Σ και έστω ότι το lim n + λ n (A) υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Θέτουμε λ(a) = Αποδείξτε ότι το λ είναι μιαδικό μέτρο στην Σ. lim λ n(a) ια κάθε A Σ. n + 15. Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ) και ακολουθία (f n ) στον L 1. Αποδείξτε ότι η (f n ) συκλίνει ασθενώς σε στοιχείο του L 1 αν και μόνον αν sup n f n 1 < + και το lim n + A f n dµ υπάρχει στο F ια κάθε A Σ. Αποδείξτε ότι ο L 1 είναι ακολουθιακά ασθενώς πλήρης (δείτε την άσκηση 14 ια τον ορισμό). 16. Έστω χώρος μέτρου (Ω, Σ, µ) και f n f στον L 1. Αποδείξτε ότι f n f αν και μόνον αν f n f κατά μέτρο σε κάθε A Σ με µ(a) < +. 17. [α] Έστω χώρος Bnch X,, b R με < b και f : [, b] X συνεχής στο [, b]. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό x X με την εξής ιδιότητα: ια κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε ια κάθε διαμέριση = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b με mx 1 j n t j t j 1 < δ και κάθε επιλοή σημείων ξ 1,..., ξ n με t j 1 ξ j t j ισχύει n f(ξ j )(t j t j 1 ) x < ϵ. Αυτό το x X ονομάζεται ολοκλήρωμα Riemnn της f και συμβολίζεται f(t) dt. [β] Έστω χώρος Bnch X,, b R με < b και f : [, b] X συνεχής στο [, b]. Παρατηρήστε ότι ια κάθε x X η συνάρτηση x f : [, b] F είναι συνεχής στο 3
[, b] με τιμές στο F και, επομένως, ορίζεται στο πλαίσιο του Απειροστικού Λοισμού το x (f(t)) dt. Αποδείξτε ότι x (f(t)) dt = x ( ) f(t) dt. [] Έστω χώρος Bnch X,, b, c R με < c < b, f, g : [, b] X συνεχείς στο [, b] και κ F. Αποδείξτε τις αναμενόμενες ιδιότητες: (f(t) + g(t)) dt = f(t) dt = c f(t) dt + f(t) dt + c f(t) dt, g(t) dt, κf(t) dt = κ t b f(t) dt, f(t) dt (b ) sup f(t). 18. Έστω χώρος Bnch X επί του C, ανοικτό υποσύνολο U του C και f : U X. Η f ονομάζεται ολόμορφη στο U αν υπάρχει g : U X ώστε f(z + h) f(z) lim C h 0 h = g(z) ια κάθε z U. Τότε η g ονομάζεται παράωος της f και συμβολίζεται f. Η f ονομάζεται ασθενώς ολόμορφη στο U αν η x f : U C είναι ολόμορφη στο U (με τη νωστή έννοια) ια κάθε x X. [α] Αποδείξτε ότι η f είναι ολόμορφη στο U αν και μόνο αν είναι ασθενώς ολόμορφη στο U και ότι τότε (x f) = x f ια κάθε x X. [β] Έστω κ C και f, g : U X και h : U C ολόμορφες στο U. (i) Αποδείξτε ότι οι κf, f + g και hg είναι ολόμορφες στο U. (ii) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο U και, επομένως, ορίζεται το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f(z) dz := f(z(t))z (t) dt ια κάθε καμπύλη στο U με παραμετρικοποίηση z : [, b] U, όπου η z είναι συνεχής στο [, b]. (Δείτε την άσκηση 18 ια τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemnn συνάρτησης με τιμές σε χώρο Bnch.) (iii) (Θεώρημα του Cuchy) Αν το U είναι απλά συνεκτικό ή, ενικότερα, αν η είναι ομόλοη του μηδενός ως προς το U (δηλαδή ισχύει ind(; ) = 0 ια κάθε C \ U), αποδείξτε ότι f(z) dz = 0. (iv) (Τύπος του Cuchy) Αν το U είναι απλά συνεκτικό ή, ενικότερα, αν η είναι ομόλοη του μηδενός ως προς το U, αποδείξτε ότι f(z 0 ) ind(; z 0 ) = 1 f(z) dz ια κάθε z 0 U. 2πi z z 0 (v) (Ανάπτυμα Tylor) Αποδείξτε ότι ια κάθε z 0 U υπάρχουν 0, 1,... X ώστε να ισχύει f(z) = k=1 k (z z 0 ) k ια κάθε z D(z 0 ; R), 4
όπου R = dist(z 0, C \ U). Αποδείξτε ότι k = f (k) (z 0 ) k! = 1 f(z) dz, 2πi C(z 0 ;r) (z z 0 ) k+1 όπου C(z 0 ; r) είναι η περιφέρεια κέντρου z 0 και ακτίνας r < R με την παραμετρικοποίηση z(t) = z 0 + re it, 0 t 2π. (vi) (Αρχή Μείστου) Αν υπάρχει z 0 U ώστε να ισχύει f(z) f(z 0 ) ια κάθε z U, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή στη συνεκτική συνιστώσα του U η οποία περιέχει το z 0. (vii) (Θεώρημα του Liouville) Αν U = C και sup z C f(z) < +, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή στο C. 5