Παρασκευάς Γιαζιτζίδης

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ.Π.Μ.Σ. Ν&Ν ιπλωµατική Εργασία Θέµα : Monte Carlo προσοµοιώσεις µε την µέθοδο του Explosive Percolation σε δίκτυα Erdös-Rényi Παρασκευάς Γιαζιτζίδης Επιβλέπων καθηγητής : Παναγιώτης Αργυράκης Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2010

2

3

4

Περίληψη Η θεωρία του Percolation είναι ένα πολύ χρήσιµο µοντέλο για την µελέτη κρίσιµων φαινοµένων, κατά το οποίο ένα σύστηµα αποτελείται από δύο συστατικά τα οποία είναι τυχαία κατανεµηµένα στον χώρο. Αυτή η τυχαία κατανοµή δηµιουργεί νησίδες του ενός συστατικού και το σύστηµα υπόκειται σε αλλαγή φάσης, όταν η πυκνότητα του ενός συστατικού αυξηθεί. Στο κρίσιµο αυτό σηµείο οι µικρές νησίδες ενώνονται και δηµιουργούν µία η οποία διατρέχει το όλο το σύστηµα. Εφαρµογές αυτής της θεωρίας µπορούµε να συναντήσουµε σε νανοπορώδη ή µαγνητικά υλικά, αλλά και γενικότερα σε µια πληθώρα συστηµάτων στην Νανοκλίµακα. Ενδεικτικά αναφέρονται τα thin film transistors, flash memorys µε νανοκρυστάλλους, βίοαισθητήρες, ακόµα και σε οργανικά φωτοβολταϊκά (OLEDs). Φυσικά, το µοντέλο βρίσκει εφαρµογή σε διάφορα φυσικά συστήµατα και φαινόµενα όπως είναι τα κοινωνικά δίκτυα, δίκτυα µεταφορών και στο internet. Το 2009, οι Achlioptas et al. πρότειναν µία νέα παραλλαγή της διαδικασίας, γνωστής ως Achlioptas processes, η οποία εισαγάγει έναν εναλλακτικό τρόπο συγκρότισης των νισήδων που βασίζεται σε έναν κανόνα που οδήγει σε ασυνεχείς µεταβάσεις. Στην παρούσα εργασία έγιναν Monte Carlo προσοµοιώσεις σε δίκτυα µε διάφορα µεγέθη (10 2 10 6 κόµβους) τόσο για το κλασσικό Percolation όσο και για τις Achlioptas processes µε σκοπό να συγκριθούν οι δύο διαφορατικού τύπου µεταβάσεις, και να διαχωριστούν µε βάση συγκεκριµένα στατιστικά και µαθηµατικά κριτήρια. Τα συµπεράσµατα που εξήχθησαν θα συµβάλλουν στην εξέλιξη του µοντέλου, αλλά και στην περαιτέρω ανάπτυξη του πεδίου. 5

6

Abstract Percolation theory is a model that is very useful for studying critical phenomena. A percolating system is made of two components in a fixed specified ratio, which are randomly distributed in space. This random distribution generates nanoclusters of one species. The system undergoes through a phase transition when the concentration of one species is increased. The critical point for the phase transition is reached exactly at the moment when the small nanoclusters coalesce and form a giant cluster, spanning the entire system. There are many applications of this theory, such as with porous or magnetic materials, but also with networks of social relations, transportation networks, or even the internet itself. In 2009, it has been proposed by Achlioptas et al. a new type of percolation processes, known as Achlioptas processes. This new type gives an alternate way of forming the nanoclusters and it is performed according to a product rule in a way leading to an explosive rather than a smooth transition of the system. In this work we used Monte Carlo simulations of networks with sizes from 10 2 to 10 6 nodes and we apply the criteria proposed by Achlioptas et al. in order to distinguish between the two types of transition and draw useful conclusions about their applicability. These results will lead to a further implications and development in the field. 7

8

Ευχαριστίες Η αρούσα εργασία έγινε στα λαίσια της δι λωµατικής µου εργασίας στο διατµηµατικό µετα τυχιακό ρόγραµµα σ ουδών Νανοτεχνολογίες και Νανοε ιστήµες. Ε ιβλέ ων καθηγητής µου ήταν ο κ. Πάνος Αργυράκης, τον ο οίο θέλω να ευχαριστήσω θερµά για την καθοδήγηση και για την βοήθεια άνω σε θέµατα Φυσικής, Προγραµµατισµού και Προσοµοιώσεων, καθώς και για την γενικότερη του βοήθεια, ώστε να ετύχω το καλύτερο α οτέλεσµα. Θα ήθελα κατό ιν, να ευχαριστήσω τον συνεργάτη Dr. Κοσµίδη Κοσµά για την αµέριστη βοήθεια του σε κάθε µου βήµα στα λαίσια αυτής της δι λωµατικής, µα ιο ολύ για τις ε ιστηµονικές του ιδέες ου α οτέλεσαν αντικείµενο έµ νευσης για µένα. Ε ίσης, οφείλω ένα µεγάλο ευχαριστώ στους φίλους και συνεργάτες Σκαρ αλέζο Λουκά, Τσακίρη Νικόλαο και στον Dr. Μαραγκάκη Μιχάλη ου στάθηκαν δί λα µου α ό την αρχή, αλλά και για τις ε ιστηµονικές τους συµβουλές. Ακόµα, ευχαριστώ τους συνεργάτες και φίλους Μ άστα Νικόλαο και Στρακόσα Ξενοφών για την ε ιστηµονική αλλά και ροσω ική τους βοήθεια. Η εργασία χωρίζεται σε τέσσερα µεγάλα κεφάλαια. Στο ρώτο βρίσκεται η θεωρητική εισαγωγή και γενικότερα το θεωρητικό υ όβαθρο ου ρέ ει να έχει κά οιος για να κατανοήσει τα υ όλοι α. Στο δεύτερο κεφάλαιο βρίσκεται µια σειρά ροσοµοιώσεων ου ραγµατο οιήθηκαν α ό εµένα και αφορούν γενικότερα την θεωρία percolation και όσα σχετίζονται µε αυτή. Στο τρίτο κεφάλαιο υ άρχει µια εφαρµογή της θεωρίας η ο οία δηµοσιεύθηκε το 2009 στο ε ιστηµονικό εριοδικό Science α ό τους Dimitris Achlioptas, Raissa M. D Souza, Joel Spencer και αφορά µια ειδική διαδικασία η ο οία ονοµάζεται α ό τους ροαναφερθέντες ως Achlioptas processes και έχει να κάνει µε µία αραλλαγή της κλασσικής θεωρίας του percolation. Στο τέταρτο κεφάλαιο βρίσκονται τα συµ εράσµατα. Το µεγαλύτερο µέρος της δουλειάς ραγµατο οιήθηκε στο εργαστήριο Υ ολογιστικής Φυσικής του τµήµατος Φυσικής Α.Π.Θ και γιάυτο ευχαριστώ όλους όσους βρίσκονται εκεί κάνοντας τη καθηµερινή µου εργασία ευκολότερη και ρώτη α ό όλους την γραµµατέα του γκρου κ. Χανιώτη Ντίνα για την αµέριστη εξυ ηρετικότητα της. Ακόµα, αξίζει να σηµειωθεί η χρήση της υ οδοµής GRID καθ όλη την διάρκεια των ειραµάτων, ου στην κυριολεξία µου έλυσε τα χέρια. Γι αυτό και ευχαριστώ θερµά τα τους διαχειριστές του HellasGrid. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές του µετα τυχιακού Νανοτεχνολογίες & Νανοε ιστήµες και γενικότερα όλο το ροσω ικό για την ε ιστηµονική διδασκαλία και την ρακτική βοήθεια ό ου την χρειάστηκα. Ε ίσης, ευχαριστώ θερµά όλους τους φίλους µου, εντός και εκτός σχολής, για τις ωραίες ώρες της ηµέρας. Θα ήθελα τελειώνοντας να α ευθύνω ένα τεράστιο ευχαριστώ στην οικογένεια µου, τους γονείς µου και τον αδερφό µου, γιατί χωρίς αυτούς τα ράγµατα στην ζωή µου σίγουρα θα ήταν ολύ διαφορετικά. Παρασκευάς. Γιαζιτζίδης Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2010 9

10

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ.... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1.1 Η χρησιµότητα των προσοµοιώσεων στην επιστήµη..... 17 1.2 Η µέθοδος προσοµοιώσεων Monte Carlo... 19 1.3 Αλλαγές φάσεως και κρίσιµα φαινόµενα... 20 1.4 Εισαγωγή στη θεωρία δικτύων.. 23 1.5 Percolation.... 28 1.5.1 Μία µικρή µαθηµατική προσέγγιση... 31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : PERCOLATION 2.1 Site percolation (Προσοµοιώσεις).. 37 2.1.1 Το µοντέλο του Site Percolation....... 37 2.1.2 Site percolation και κρίσιµοι εκθέτες..... 38 2.2 Bond percolation (Προσοµοιώσεις)... 47 2.2.1 Το µοντέλο του Bond Percolation.... 47 2.2.2 Bond percolation και κρίσιµοι εκθέτες... 49 2.3 Cluster Labeling (αλγόριθµος)... 53 2.4 Το Percolation ως κρίσιµο φαινόµενο... 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : EXPLOSIVE PERCOLATION 3.1 Explosive Percolation (το πρόβληµα).... 59 3.2 Explosive Percolation in Random Networks...... 64 3.3 Explosive Percolation (Προσοµοιώσεις)......... 67 3.4 Το κριτήριο της τυπικής απόκλισης... 72 3.5 Product Rule µε βάση το πλήθος των συνδέσεων.... 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.... 81 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 11

12

13

14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΛΟΓΙΑ περίληψη : Σε αυτό το κεφάλαιο θα διατυπωθούν οι βασικοί ορισµοί και φαινόµενα, ώστε να δηµιουργηθεί το κύριο θεωρητικό υπόβαθρο και θα αποσαφηνιστούν οι κυριότερες έννοιες τις οποίες θα συναντήσουµε στην συνέχεια της παρούσας εργασίας, που φυσικά, είναι πολύ απαραίτητες για την κατανόηση του υπολογιστικού µέρους της εργασίας. 15

16

1.1 Η χρησιµότητα των προσοµοιώσεων στην επιστήµη Η προσοµοίωση αποτελείται από οντότητες που έχουν ιδιότητες και µεθόδους που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους κατά τη διάρκεια των διεργασιών κάτω από ορισµένες συνθήκες για να αναπαραγάγουν γεγονότα τα οποία θα αλλάξουν την κατάσταση του συστήµατος. (Claude Shannon) Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές τα τελευταία χρόνια λόγω της ραγδαίας ανάπτυξής τους έχουν γίνει αναπόσπαστο κοµµάτι της επιστήµης. Η σηµερινή υπολογιστή ισχύς, η χωρητικότητα της µνήµης ram, η χωρητικότητα των σκληρών δίσκων και η βελτιστοποίηση των υπολογιστικών πράξεων σε κλίµακα ακρίβειας, έχουν φέρει επανάσταση στον τοµέα των προσοµοιώσεων. Μεγάλης κλίµακας συστήµατα µε εκατοντάδες χιλιάδες µεταβλητές είναι πια εύκολο να επιλυθούν µέσα σε λίγα µόλις δευτερόλεπτα. Έτσι, γίνεται µια προσπάθεια µοντελοποίησης κάποιων φυσικών φαινοµένων και επίλυσή τους στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Στον τοµέα της φυσικής οι προσοµοιώσεις έχουν γίνει απαραίτητο στοιχείο για µια ολοκληρωµένη έρευνα. Κάθε πειραµατική έρευνα για να θεωρηθεί ολοκληρωµένη πρέπει να περιέχει την θεωρία από την οποία προήλθε και τα αποτελέσµατα από τις αντίστοιχες προσοµοιώσεις. Ούτως ή άλλως, η προσοµοίωση από µόνη της θεωρείται ένα πείραµα, µιας και υπάρχει η διαδικασία κατασκευής της προσοµοίωσης, η υλοποίησή της και τα αποτελέσµατα. Οι προσοµοιώσεις δεν αντικαθιστούν τη θεωρία αλλά είναι εργαλεία υλοποίησης της θεωρίας ώστε να γίνουν πιο κατανοητά κάποια περίπλοκα φαινόµενα. Η ερώτηση " πώς µπορώ να προσοµοιώσω ένα φυσικό πρόβληµα στον υπολογιστή " οδήγησε σε νέους φορµαλισµούς των φυσικών νόµων και στην αντίληψη ότι είναι και πρακτικό αλλά και φυσικό να εκφραστούν οι νόµοι της φύσης σαν κανόνες που να τους αντιλαµβάνεται ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής, χωρίς να αλλάζει το νόηµα των νόµων, απλά να εκφράζεται µε διαφορετικές εξισώσεις. Αυτός ο νέος τρόπος σκέψης για τις φυσικές διαδικασίες έχει οδηγήσει πολλούς επιστήµονες να αντιλαµβάνονται τον υπολογιστή σαν ένα φυσικό σύστηµα όπου πρέπει να κατασκευαστούν νέες υπολογιστικές δοµές ώστε να µπορούν πιο αποδοτικά να µοντελοποιήσουν τα φυσικά φαινόµενα. Αυτός ο νέος, σχετικά, τρόπος σκέψης είναι αυτό που αποκαλείται από πολλούς και ως αλγοριθµική σκέψη. Η αλγοριθµική σκέψη αποτελεί µια από τις βασικές γνωστικές διαδικασίες. Η δηµιουργία αλγορίθµων προέρχεται κυρίως από την ανάγκη επίλυσης προβληµάτων που περιλαµβάνουν µαθηµατικές σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών και των παραµέτρων. Ο αλγόριθµος θα πρέπει να περιλαµβάνει τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος, συνοριακές συνθήκες, τους νόµους που διέπουν την εξέλιξη του συστήµατος και ό,τι άλλο «σύνδεσµο» συνδέει τις παραµέτρους και µεταβλητές του συστήµατος. Στη συνέχεια συνήθως το σύστηµα περιγράφεται από συζευγµένες διαφορικές εξισώσεις και επιλύεται αριθµητικά και υπολογιστικά. Τα παραπάνω συνοψίζονται στην παρακάτω λογική ακολουθία Landau [1] για τον τρόπο εργασίας στην Υπολογιστική Φυσική, η οποία θεωρείται και ο πυρήνας της Υπολογιστικής Επιστήµης: Πρόβληµα θεωρία µοντέλο µέθοδοςπροσοµοίωση υλοποίηση(µε γλώσσες προγραµµατισµού - ή λογισµικά) αξιολόγηση (συγκρίνοντας µε πραγµατικά δεδοµένα) 17

Εικόνα 1.1.1 : Το παράδειγµα επίλυσης προβλήµατος στην Υπολογιστική Φυσική. Σύµφωνα µε τη προσέγγιση του Landau, η µέθοδος που ακολουθείται στην Υπολογιστική Φυσική ξεκινά µε την υιοθέτηση µιας θεωρίας και στη συνέχεια την εφαρµογή ενός µοντέλου σε αντιστοιχία µε τη θεωρία αυτή. Σύµφωνα µε τη τυπολογία των µοντέλων, η υιοθέτηση ενός µοντέλου υπάρχει ακόµα και όταν δεν υπάρχει θεωρία και ίσως αυτή η κατάσταση να είναι αυτή που «γεννά» περισσότερη φυσική. Στη συνέχεια ακολουθεί η χρήση τεχνικών προσοµοίωσης και η χρήση τεχνικών αριθµητικής ανάλυσης για να καταλήξουµε στην υπολογιστική φάση, όπου χρησιµοποιείται κώδικας σε γλώσσα προγραµµατισµού ή εφαρµογές λογισµικών (ή και τα δυο ορισµένες φορές). 18

1.2 Η µέθοδος προσοµοιώσεων Monte Carlo Η µέθοδος Monte Carlo είναι ουσιαστικά µια τεχνική αριθµητικής ανάλυσης η οποία στηρίζεται σε σειρές τυχαίων αριθµών οι οποίες αναπαριστούν τις τιµές του προς µελέτη προβλήµατος. Η µέθοδος υπολογισµών που χρησιµοποιείται στις Monte Carlo προσοµοιώσεις είναι ένα υπολογιστικό πρόγραµµα που είναι µαθηµατικά ισοδύναµο µε το πρόβληµα που µελετάται, π.χ. για τον υπολογισµό µίας µεταβλητής γίνεται στατική µελέτη κάποιες χιλιάδες φορές και ο µέσος όρος που προκύπτει αντικατοπτρίζει την τιµή αυτή. Έτσι η µέθοδος αυτή µπορεί εύκολα να θεωρηθεί µία πειραµατική µέθοδος. Όπως σε όλες τις πειραµατικές µεθόδους µπορεί να υπάρχουν σφάλµατα σε µία µέτρηση τα οποία ελαχιστοποιούνται επαναλαµβάνοντας το ίδιο πείραµα κάποιες φορές, έτσι και στις Monte Carlo προσοµοιώσεις αυτό που καθορίζει την ακρίβεια ενός αποτελέσµατος είναι το µέγεθος της στατικής µελέτης που πραγµατοποιήθηκε για να παρθεί αυτό το αποτέλεσµα. Στις προσοµοιώσεις Monte Carlo, ο σηµαντικός παράγοντας είναι η χρήση των τυχαίων αριθµών. Η χρήση των τυχαίων διαδικασιών όµως για τη λύση µαθηµατικών προβληµάτων είναι γνωστή µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο εδώ και πολλές δεκαετίες. Το 18ο αιώνα ο µαθηµατικός Georges-Luis εφηύρε µια πειραµατική µέθοδο για τον υπολογισµό του π, βασισµένη στη στατική ανάλυση[2]. Υπάρχουν διάφορα µαθηµατικά και φυσικά προβλήµατα τα οποία µπορούν να επιλυθούν µε Monte Carlo µεθόδους. Παραδείγµατα τέτοιων προβληµάτων είναι η διήθηση, το µοντέλο του Ising κ.α. Συγκεκριµένα το φαινόµενο της διήθησης είναι ένα καθαρά µαθηµατικό µοντέλο που σε διάφορους τοµείς του έχει προς το παρόν µόνο στατική λύση, η οποία φυσικά µπορεί να προέλθει µόνο µέσω Monte Carlo προσοµοιώσεων. Εκτεταµένη χρήση γίνεται επίσης και σε πολύπλοκα δίκτυα, όπως οικονοµικά, κοινωνικά και στη δοµή του internet. Η επιλογή της γλώσσας προγραµµατισµού είναι καθαρά θέµα του ίδιου του προγραµµατιστή. Παλαιότερες γλώσσες όπως η Fortran και η C δίνουν τη δυνατότητα προσοµοιώσεων σε µεγάλες τάξεις µεγέθους, αλλά είναι πιο δύσκολες στην εκµάθησή τους σε σχέση µε πιο σύγχρονες γλώσσες όπως η C# και η Mathematica, οι οποίες όµως είναι πιο αργές. Ένας ολοκληρωµένος επιστήµονας των προσοµοιώσεων θα πρέπει να ξέρει διάφορες γλώσσες, ώστε να µπορεί αναλόγως να λύσει το κάθε πρόβληµα που αντιµετωπίζει. 19

1.3 Αλλαγές φάσεως και κρίσιµα φαινόµενα Όπως έχει ήδη προαναφερθεί, η µέθοδος της προσοµοίωσης µελετάει κυρίως πολύπλοκα συστήµατα για τα οποία η πειραµατική τους πραγµατοποίηση είναι δύσκολη έως και αδύνατη από άποψη χρόνου, συνθηκών, όγκου δεδοµένων και αποτελεσµάτων κτλ. Έτσι, µελετάται µια «συλλογική» συµπεριφορά του συστήµατος λαµβάνοντας υπόψη όσα περισσότερα, κατά το δυνατόν, από τα κρίσιµα µεγέθη και µεταβλητές. Εικόνα 1.3.1: Η αλλαγή φάσης του Η 2 Ο στους 273,16 Kelvin. Η συλλογική συµπεριφορά γίνεται επίσης σηµαντική στις ασταθείς καταστάσεις µεταξύ δύο σταθερών φάσεων της ύλης. Το σηµείοo µετασχηµατισµού µεταξύ των δύο φάσεων λέγεται "αλλαγή φάσης"[3]. Οι µεταβάσεις φάσεων συναντιούνται παντού. Από την κρυστάλλωση του νερού σε χιονονιφάδες, την ευθυγράµµιση των ηλεκτρονικών σπιν µέσα σ' ένα σιδηροµαγνήτη, την εµφάνιση υπεραγωγιµότητας σ' ένα υλικό που ψύχεται όλο και σε χαµηλότερη θερµοκρασία, µέχρι τον σχηµατισµό του χωροχρόνου κατά το Big Bang, όλα αυτά τα φαινόµενα περιλαµβάνουν µεταβολές φάσεων. Παρά την διαφορετικότητά τους, οι αλλαγές φάσεων συχνά έχουν αρκετά κοινά θεµελιώδη χαρακτηριστικά. Η ειδική θερµότητα όταν το νερό γίνεται ατµός σε µια κρίσιµη πίεση, έχει στο νόµο που την περιγράφει την θερµοκρασία στην ίδια δύναµη όπως και στο νόµο που περιγράφει την αποµαγνήτιση του σιδήρου όταν ανυψώνεται η θερµοκρασία. Η κατανόηση αυτής της ενιαίας συµπεριφοράς, την οποία γενικά αποκαλούµε ως κρίσιµα φαινόµενα αποτέλεσε ένα θρίαµβο της φυσικής του 20ου αιώνα. Μια από τις ανακαλύψεις κλειδιά ήταν ότι η επικείµενη µεταβολή φάσης σηµατοδοτείται από τον σχηµατισµό βραχύβιων µατασταθών 20

καταστάσεων που µεγαλώνουν καθώς το σύστηµα πλησιάζει στο κρίσιµο σηµείο της µεταβολής φάσης. Στο κρίσιµο σηµείο, το υλικό κατακλύζεται από τέτοιες µετασταθείς καταστάσεις κάθε µεγέθους. Σε µια µετάβαση φάσης στο κρίσιµο της σηµείο, αυτές οι µετασταθείς καταστάσεις µεγαλώνουν και κυριαρχούν σε όλο το υλικό, αλλάζοντας τις ιδιότητές του κατά µετρήσιµο τρόπο. Οι αλλαγές φάσεων διακρίνονται σε δύο κατηγορίες. Είναι αυτές οι οποίες εµφανίζουν µια πεπερασµένη ασυνέχεια στις πρώτες παραγώγους της ελεύθερης ενέργειας, γι αυτόν τον λόγο λέγονται και µεταβάσεις πρώτης τάξης, σε κάποιο ορισµένο σηµείο. Αυτές ονοµάζονται και ασυνεχείς (discontinuous), εξαιτίας της ασυνέχειας που εµφανίζουν στις πρώτες παραγώγους. Η δεύτερη κατηγορία αλλαγής φάσης είναι η δεύτερης τάξης, οι οποίες δεν εµφανίζουν ασυνέχεια στις αντίστοιχες πρώτες παραγώγους, αλλά εµφανίζονται ανωµαλίες στις δεύτερες παραγώγους(όπως ασυνέχειες ή απειρισµοί). Οι µεταβάσεις αυτές ονοµάζονται και συνεχείς (continuous) εξαιτίας της πρώτης παραγώγου. ηλαδή : 21

22 Εικόνα 1.3.2 : διαγράµµατα αλλαγής φάσεων a) µετάβαση 1 ης τάξης b) µετάβαση 2 ης τάξης

1.4 Εισαγωγή στην θεωρία δικτύων Πολύπλοκες δοµές, όπως είναι τα δίκτυα, περιγράφουν ένα ευρύ φάσµα συστηµάτων υψηλής τεχνολογίας αλλά και διανοητικής σηµασίας[4]. Για παράδειγµα, το κύτταρο περιγράφεται καλύτερα ως ένα πολύπλοκο δίκτυο χηµικών ουσιών που συνδέονται µε χηµικές αντιδράσεις. Το διαδίκτυο είναι ένα πολύπλοκο δίκτυο από δροµολογητές και υπολογιστές που επικοινωνούν µε διάφορες ενσύρµατες ή και ασύρµατες συνδέσεις. Ιδέες, µόδες, ακόµα και µεταδοτικές ασθένειες εξαπλώνονται σε ένα κοινωνικό δίκτυο του οποίου κόµβοι (nodes) είναι οι ίδιοι οι άνθρωποι και οι συνδέσεις (links) αντιπροσωπεύουν τις διάφορες κοινωνικές σχέσεις. Το WWW είναι ένα τεράστιο εικονικό δίκτυο ιστοσελίδων που συνδέονται µεταξύ τους µε υπερσυνδέσµους. Τα συστήµατα αυτά αποτελούν µόνο µερικά από τα πολλά παραδείγµατα που οδήγησαν πρόσφατα την επιστηµονική κοινότητα να διερευνήσει τους µηχανισµούς που καθορίζουν την τοπολογία των πολύπλοκων δικτύων. Εικόνα 1.4.1 : Tο World Wide Web ή το internet είναι τύποι δικτύων χωρίς κάποια συγκεκριµένη τοπολογία. Η επιθυµία να κατανοηθούν τα συστήµατα αυτά οδήγησε την επιστηµονική κοινότητα σε πολλές και σηµαντικές προκλήσεις. Η φυσική επιστήµη έχει αναπτύξει ένα οπλοστάσιο επιτυχηµένων εργαλείων για την πρόβλεψη της συµπεριφοράς ενός συστήµατος, ως σύνολό από τις ιδιότητες των συστατικών του. Εµείς τώρα είµαστε σε θέση να κατανοήσουµε πώς προκύπτει η θεωρία της µαγνήτισης από την συλλογική συµπεριφορά των εκατοµµυρίων ηλεκτρονικών σπιν, ή πώς κβαντισµένα σωµατίδια µπορούν να οδηγήσουν σε τέτοια θεαµατικά φαινόµενα όπως η συµπύκνωση Bose-Einstein ή η υπερρευστότητα. Η επιτυχία αυτών των προσπαθειών µοντελοποίησης βασίζεται στην απλότητα των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των στοιχείων. εν έχει καµία σηµασία το τί αλληλεπιδρά και µε τί, και η ισχύς της αλληλεπίδρασης καθορίζεται µόνο από τη φυσική απόσταση. Εδώ, ωστόσο, 23

εµφανίζεται µια σηµαντική δυσκολία να περιγραφούν συστήµατα για τα οποία η φυσική απόσταση είναι άνευ σηµασίας ή για συστήµατα τα οποία υπάρχει µια ασάφεια ως προς το αν δύο στοιχεία αλληλεπιδρούν. Το ελπιδοφόρο όµως είναι ότι για πολλά πολύπλοκα συστήµατα µε απροσδιόριστη τοπολογία δικτύου, για τα οποία η αβεβαιότητα είναι φυσικά παρούσα, τα τελευταία χρόνια έχουµε ολοένα και περισσότερο αναγνωρίσει ότι τα εργαλεία της Στατιστικής Φυσικής προσφέρουν ένα ιδανικό πλαίσιο για την περιγραφή αυτών των συστηµάτων. Οι εξελίξεις αυτές έχουν εισαγάγει νέα και συναρπαστικά προβλήµατα για την στατιστική φυσική και µία απροσδόκητη σύνδεση µε τα πιο σηµαντικά θέµατα στην φυσική της συµπυκνωµένης ύλης, που κυµαίνονται από την θεωρία του percolation µέχρι και για την συµπύκνωση Bose-Einstein. Παραδοσιακά, η µελέτη των πολύπλοκων δικτύων βρίσκεται στο έδαφος της θεωρίας γράφων. Ενώ η θεωρία γράφων αρχικά επικεντρώθηκε στους κανονικούς γράφους, το 1950 εξαιτίας της εµφάνισης δικτύων µεγάλης κλίµακας, δίκτυα χωρίς κάποιες σχεδιαστικές βασικές αρχές τα οποία περιγράφονται ως τυχαίοι γράφοι, που προτείνονται ως η πιο απλή και η πιο εύκολη υλοποίηση ενός σύνθετου δικτύου. Τυχαίοι γράφοι µελετήθηκαν για πρώτη φορά από τους Ούγγρους µαθηµατικούς Paul Erdös και Alfred Rényi. Σύµφωνα µε το µοντέλο Erdös- Rényi [5], αρχίζουµε µε N κόµβους και συνδέουµε δύο κόµβους µε πιθανότητα p, δηµιουργώντας ένα γράφηµα µε pn(n-1)/2 συνολικά συνδέσεις οι οποίες κατανέµονται τυχαία. Το µοντέλο αυτό αποτέλεσε οδηγό στο πώς να σκεφτόµαστε πολύπλοκα δίκτυα εδώ και δεκαετίες από την πρώτη του εµφάνιση. Αλλά το αυξανόµενο ενδιαφέρον για πολύπλοκα συστήµατα οδήγησε πολλούς επιστήµονες στο να επανεξετάσουν το παράδειγµα µοντελοποίησης αυτό και να θέσουν ένα απλό ερώτηµα: είναι τα πραγµατικά δίκτυα πίσω από τόσο διαφορετικά και πολύπλοκα συστήµατα, όπως το κύτταρο ή το ιαδίκτυο, εκ των προτέρων τόσο τυχαία; Η διαίσθησή µας και µόνο µας δείχνει ότι σίγουρα τα περίπλοκα συστήµατα πρέπει να εµπεριέχουν κάποια οργάνωση και κάποιες αρχικές συνθήκες, οι οποίες θα πρέπει να είναι κωδικοποιηµένες σε κάποιο επίπεδο στην τοπολογία τους. Αλλά αν όντως η τοπολογία των δικτύων αυτών αποκλίνει από έναν τυχαίο γράφο, πρέπει να αναπτύξουµε τα εργαλεία και τα µεγέθη ώστε να κατανοήσουµε και γιατί όχι και να υπολογίσουµε τους ποσοτικούς όρους και τις βασικές αρχές οργάνωσης. Τα τελευταία χρόνια έχουµε γίνει µάρτυρες δραµατικών εξελίξεων προς την κατεύθυνση αυτή, υποκινούµενων σίγουρα από τις διάφορες παράλληλες εξελίξεις. Πρώτον, η ανάπτυξη των υπολογιστών, ώστε να είναι σε θέση να αποθηκεύουν τεράστια ποσά δεδοµένων σε όλους τους τοµείς οδήγησε στην εµφάνιση των µεγάλων βάσεων δεδοµένων σχετικά µε την τοπολογία των διαφόρων πραγµατικών δικτύων. εύτερον, η συνεχώς αυξανόµενη υπολογιστική ισχύς µας επέτρεψε να διερευνηθούν δίκτυα εκατοµµυρίων κόµβων, επιτρέποντας την διερεύνηση ερωτηµάτων τα οποία ήταν πραγµατικά αδύνατον να µελετηθούν δέκα χρόνια πριν. Τρίτον, η αργή αλλά αξιοσηµείωτη κατάρρευση των συνόρων µεταξύ των επιστηµονικών κλάδων προσέφερε πρόσβαση σε ερευνητές διάφορων επιστηµονικών κλάδων σε διάφορες βάσεις δεδοµένων, επιτρέποντάς να αποκαλυφθούν κάποιες γενικές ιδιότητες των πολύπλοκων δικτύων. Τέλος, υπάρχει µια ολοένα και αυξανόµενη ανάγκη να προχωρήσουµε πέρα από τις ντετερµινιστικές προσεγγίσεις και να προσπαθήσουµε να κατανοήσουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος ως συνόλου. Στην προσπάθεια αυτή, η κατανόηση της τοπολογίας των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των συστατικών, δηλαδή, τα δίκτυα, είναι αναπόφευκτη. Η εξέλιξη των τελευταίων ετών έχει οδηγήσει σε πολλές νέες έννοιες και µεγέθη τα οποία λαµβάνουν χώρα τόσο στην γενικότερη θεωρία των δικτύων αλλά και τις στατιστικής 24

φυσικής. Ωστόσο, οι τρεις έννοιες που καταλαµβάνουν σηµαντικότατη θέση στην σύγχρονη σκέψη για πολύπλοκα δίκτυα είναι οι εξής[6] : Μικροί κόσµοι (Small Worlds): Η έννοια µικρός κόσµος µε απλούς όρους περιγράφει το γεγονός ότι, παρά το συχνά µεγάλο τους µέγεθος, στα περισσότερα δίκτυα υπάρχει µια σχετικά σύντοµη διαδροµή µεταξύ δύο κόµβων. Η απόσταση µεταξύ δύο κόµβων ορίζεται ως ο αριθµός των συνδέσεων κατά µήκος του συντοµότερου µονοπατιού που τους συνδέει. Η πιο δηµοφιλής έκφραση των µικρών κόσµων είναι τα έξι βήµατα του διαχωρισµού ή όπως είναι και παγκοσµίως γνωστό Six steps of Separation, έννοια που αποκαλύφθηκε από την κοινωνική ψυχολόγο Stanley Milgram (1967), η οποία κατέληξε στο συµπέρασµα ότι υπήρχε ένα µονοπάτι έξι συνδέσεων µεταξύ των περισσοτέρων ανθρώπων στις ΗΠΑ. ηλαδή, ότι από οποιονδήποτε άνθρωπο ήταν δυνατό να βρεθούµε σε οποιονδήποτε άλλο µε µόλις 5 ενδιάµεσους σταθµούς. Οι ιδιότητες των µικρών κόσµων φαίνεται να χαρακτηρίζουν τα πολύπλοκα συστήµατα. Οι ηθοποιοί του Hollywood συνδέονται ο ένας µε τον άλλο µε µόλις 3 ενδιάµεσους φίλους, ενώ στο κύτταρο τα χηµικά διαχωρίζονται µε 3 αντιδράσεις και πάλι. Η έννοια µικρού κόσµου, παρόλο που είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, δεν αποτελεί και ένδειξη ξεχωριστών αρχικών συνθηκών. Πράγµατι, όπως απέδειξαν οι Erdös και Rényi, η τυπική απόσταση µεταξύ δύο οποιονδήποτε κόµβων σε έναν τυχαίο γράφο είναι λογαριθµική συνάρτηση του αριθµού των κόµβων. Έτσι οι τυχαίοι γράφοι είναι µικροί κόσµοι επίσης. Clustering ( ηµιουργία νησίδων): µία κοινή ιδιότητα των κοινωνικών δικτύων είναι η ύπαρξη οµάδων και κοινοτήτων µέσα στις οποίες βρίσκονται άνθρωποι οι οποίοι αναπτύσσουν δεσµούς µεταξύ τους (κύκλος φίλων, γνωριµιών, συµµαθητών κα). Αυτή η εσωτερική δοµική τάση όλων των δικτύων λέγεται clustering coefficient (Watts and Strogatz, 1998), όρος ο οποίος έχει τις ρίζες του στην κοινωνιολογία. Κατανοµή συνδέσεων (Degree distribution) : Όλοι οι κόµβοι σε ένα δίκτυο δεν έχουν τον ίδιο αριθµό συνδέσεων (ίδιο degree k). Η πληθώρα των διαφορετικών συνδέσεων για κάθε κόµβο χαρακτηρίζεται µε µια κατανοµή P(k), γνωστή και ως Degree Distribution ή κατανοµή συνδέσεων, η οποία µας δίνει την πιθανότητα ένας τυχαίος κόµβος να έχει ακριβώς k συνδέσεις. Σε έναν τυχαίο γράφο, καθώς οι συνδέσεις σε κάθε κόµβο τοποθετούνται τυχαία, η πλειοψηφία των κόµβων θα πρέπει να έχουν περίπου την ίδια τιµή συνδέσεων, η οποία θα είναι πολύ κοντά στην µέση τιµή των συνδέσεων του δικτύου <k>[7]. Η κατανοµή αυτή θα είναι µια κατανοµή Poisson γύρω από την µέση αυτή τιµή µε κορυφή την P(k). 25

Εικόνα 1.4.2 : Η κατανοµή των συνδέσεων P(k) (degree distribution) για έναν τυχαίο γράφο είναι µία κατανοµή Poisson µε κορυφή την µέση τιµή των συνδέσεων του δικτύου. Παρατηρούµε ότι για το <k> = p N. όπου p είναι η πιθανότητα σύνδεσης δύο κόµβων (εδώ p=1/6) και Ν το µέγεθος του συστήµατος (αριθµός των κόµβων, εδώ 1000). Εικόνα 1.4.3 : Σχηµατική αναπαράσταση ενός τυχαίου γράφου (Random graph ή Random Network). Η κατανοµή των συνδέσεων είναι τόσο σηµαντική ώστε να αποτελεί µια από τις σηµαντικότερες ανακαλύψεις πάνω στο θέµα της κατανόησης των πολύπλοκων συστηµάτων. Πιο συγκεκριµένα, πολλά δίκτυα όπως το WWW ή το internet έχουν κατανοµή συνδέσεων η οποία έχει λογαριθµική κατανοµή (power-law) 26

Αυτά τα δίκτυα ονοµάζονται scale-free και η ανάπτυξη τους συνέβαλε στην κατανόηση της θεωρίας δικτύων γενικότερα. Εικόνα 1.4.4 : Σχηµατική αναπαράσταση ενός scale-free δικτύου. Βλέπουµε ότι πολλά nodes έχουν λίγες συνδέσεις ενώ λίγα nodes πολλές. πχ, κοινωνικά δίκτυα. Εικόνα 1.4.5 : Η κατανοµή των συνδέσεων P(k) (degree distribution) για ένα scale free για τρεις διαφορετικές τιµές του γ για δίκτυα 100.000 κόµβων. 27

1.5 Percolation Το αρχικό πρόβληµα : Υποθέτουµε ότι ένας τεράστιος πορώδης βράχος πέφτει µέσα στην θάλασσα και παραµένει εκεί για πολύ καιρό. Θα φτάσει ποτέ το νερό στο κέντρο του; Το µοντέλο της διήθησης[8] είναι το πιο απλό µοντέλο ενός άµορφου συστήµατος. Ουσιαστικά είναι µια κατανοµή σηµείων µέσα σε ένα πλέγµα η οποία γίνεται µε κάποια συγκεκριµένη πιθανότητα p. Ένα ποσοστό p των θέσεων του πλέγµατος θα είναι κατειληµµένες και το υπόλοιπο (1-p) θα είναι ελεύθερες. Οι κατειληµµένες και µη-κατειληµµένες θέσεις µπορούν να αφορούν διάφορα φυσικά µεγέθη. Για απλότητα από δω και στο εξής θα θεωρήσουµε ότι οι κατειληµµένες θέσεις είναι τα µαύρα σωµατίδια και οι µη κατειληµµένες ότι είναι τα άσπρα σωµατίδια (εικόνα 1.5.1). Βέβαια όταν µια θέση καταληφθεί, τότε θα θεωρούµε ότι ο αριθµός των µαύρων κόκκων αυξήθηκε κατά ένα και των άσπρων ότι µειώθηκε κατά ένα. Εικόνα 1.5.1 : Άσπροι(ελεύθεροι) και µαύροι(κατειληµµένοι) κόκκοι για µία πυκνότητα κατάληψης p. Σε πολύ χαµηλές πυκνότητες(πιθανότητα κατάληψης ενός κόκκου) p, λίγοι είναι οι µαύροι κόκκοι οι οποίοι ενώνονται µεταξύ τους. Από δω και στο εξής όταν δύο οι περισσότεροι µαύροι κόκκοι ενώνονται µεταξύ τους θα λέµε ότι σχηµατίζουν ένα cluster (νησίδα). Καθώς η πιθανότητα συγκέντρωσης αυξάνει, όλο και περισσότεροι µαύροι κόκκοι θα υπάρχουν µέσα στο υλικό και τα clusters συνεχώς θα µεγαλώνουν. Για πολύ µεγάλη συγκέντρωση µαύρων σωµατιδίων θα υπάρχει σίγουρα ένα cluster το οποίο θα φτάνει από τη µια άκρη του υλικού µέχρι την άλλη και το υλικό θα είναι ουσιαστικά µαύρο. To cluster το οποίο ενώνει τα απέναντι άκρα ενός πλέγµατος ονοµάζεται spanning cluster. Θα υπάρχει λοιπόν κάποια συγκεκριµένη πιθανότητα p c πάνω από την οποία θα έχουµε τον σχηµατισµό του spanning cluster και το πλέγµα 28

(υλικό) θα παρουσιάζει αλλαγή φάσης (phase transition).η πιθανότητα αυτή ονοµάζεται κρίσιµη πιθανότητα ή κρίσιµη συγκέντρωση ή percolation threshold. Οπότε: Για p<p c το πλέγµα βρίσκεται κάτω από το percolation threshold, δεν υπάρχει spanning cluster και όλα τα clusters είναι πεπερασµένου µεγέθους. Για p>p c το πλέγµα βρίσκεται πάνω από το percolation threshold και εµφανίζεται το πρώτο spanning cluster. Σε αντίθεση µε τις περισσότερες θερµικές αλλαγές φάσεως, όπου σαν κρίσιµο σηµείο µεταξύ των δύο φάσεων ορίζεται η θερµοκρασία, π.χ. η θερµοκρασία curie Τ c στα µαγνητικά υλικά ή η θερµοκρασία τήξεως ή βρασµού για το νερό όταν αυτό αλλάζει φάση, το percolation transition είναι µια γεωµετρική µεταβολή φάσης, που χαρακτηρίζεται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των µεγάλων clusters όταν βρισκόµαστε σε πιθανότητες κοντά στην κρίσιµη πιθανότητα p c. Στον πίνακα 1 βλέπουµε τις κρίσιµες πιθανότητες για το site και το bond percolation, για διάφορες περιπτώσεις συστηµάτων. Percolation model Πλέγµα Site Bond triangular 0.5 2sin(π/18) τετραγωνικό 0.5927460 0.5 Honeycomb 0.6962 1-2sin(π/18) Face centered cubic 0.198 0.119 Body centered cubic 0.245 0.1803 Απλό κυβικό (1ος γείτονας) 0.31161 0.2488 Απλό κυβικό (2ος γείτονας) 0.137 - Απλό κυβικό (3ος γείτονας) 0.097 - Πίνακας 1. Κρίσιµες πιθανότητες για διάφορα διδιάστατα και τρισδιάστατα πλέγµατα. Στο απλό κυβικό αναφέρονται οι περιπτώσεις του percolation στις οποίες υπάρχει ένας, δύο ή τρεις γείτονες[8]. Αυτό που πρέπει από νωρίς να γίνει κατανοητό είναι ότι δεν πρόκειται ακριβώς για διήθηση, όπως την διήθηση του καφέ µέσα στο φίλτρο, ως ένα παράδειγµα από την καθηµερινή ζωή, αλλά για κάτι αρκετά διαφορετικό. Θέλοντας να κρατήσουµε ένα παράδειγµα από την καθηµερινότητα θα λέγαµε ότι έχουµε να κάνουµε περισσότερο µε µια διεργασία όπως το να ψήσουµε κουλουράκια στον φούρνο [8]. Τα κουλουράκια καθώς φουσκώνουν κατά την διάρκεια του ψησίµατος δηµιουργούν µεταξύ τους µεγαλύτερα κουλουράκια καθώς ενώνονται µε τα διπλανά τους. Το ποιά και προς ποια κατεύθυνση θα ενωθούν είναι αποτέλεσµα της τοπολογίας τους, του µεγέθους τους καθώς και του ρυθµού αύξησης του µεγέθους τους. Γενικά, µπορούµε να πούµε πως η θεωρία έχει να κάνει περισσότερο µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του συστήµατος γι αυτόν τον λόγο και ο όρος διήθηση κρίνεται αδόκιµος και καλύτερα από εδώ και στο εξής θα αναφέρεται ως percolation µιας και ελληνική λέξη που να περιγράφει ακριβώς αυτό το φαινόµενο δεν βρέθηκε. 29

Οι εφαρµογές, φυσικά, της παραπάνω θεωρίας επεκτείνονται πολύ περισσότερο από το ψήσιµο στον φούρνο, µιας και η θεωρία percolation βρίσκει εφαρµογή σε πολλά κρίσιµα φαινόµενα και µπορεί να µας δώσει µια καλή οπτική στην γεωµετρική εξέλιξη του φαινοµένου και ιδιαίτερα σε πολύπλοκα συστήµατα που είναι αρκετά δύσκολο µέχρι και ακατόρθωτο να προσεγγίσουµε αναλυτικά. Στην παρούσα εργασία θα αναλυθούν οι θεωρίες του site και bond percolation, (που είναι percolation σηµείων και δεσµών αντίστοιχα κεφ. 2) σε πλέγµατα, καθώς και σε δίκτυα µε ιδιαίτερη έµφαση σε Random δίκτυα. 30

1.5.1 Μία µικρή µαθηµατική προσέγγιση Μέχρι τώρα έχει γίνει κατανοητό ότι το κρίσιµο φαινόµενο λαµβάνει χώρα κατά την διάρκεια µετάβασης φάσεως σε κάποιο κρίσιµο σηµείο [3],[10] (κρίσιµη πιθανότητα p c ). Εκτός όµως από το percolation threshold υπάρχουν πολλά ακόµα µεγέθη που περιγράφουν την εξέλιξη και τον βαθµό κρισιµότητας του φαινοµένου[8]. Ένα σηµαντικό κρίσιµο µέγεθος είναι το P max ή P το οποίο αναφέρεται στην πιθανότητα ένα κατειληµµένο σηµείο ή ένας υπάρχων δεσµός να ανήκει στο spanning cluster, ηλαδή : P = Αριθµός σηµείων ή δεσµών που ανήκουν στο spanning cluster συνολικός αριθµός κατειληµµένων σηµείων ή δεσµών ( για την ακρίβεια, ως µέγεθος του cluster εννοείται ο αριθµός των σηµείων ή των δεσµών από τους οποίους αποτελείται) Ένα άλλο µέγεθος που είναι πολύ µεγάλης σηµασίας για την ακριβέστερη ερµηνεία του φαινοµένου του percolation είναι το Ι av. Όπου Ι av είναι το µέσο µέγεθος, ανά πάσα στιγµή, των cluster. ηλαδή, m είναι το µέγεθος του κάθε cluster και i m ο αριθµός των clusters µε το συγκεκριµένο µέγεθος. Φυσικά, p είναι η πιθανότητα κατάληψης ή σύνδεσης και Ν ο συνολικός αριθµός των ανεξαρτήτων στοιχείων του συστήµατος. Μία αντίστοιχη ποσότητα µε το Ι av είναι και το I av όπου αναπαριστά την ίδια ποσότητα µείον όµως το µεγαλύτερο, ανά πάσα στιγµή, cluster. Το µέγεθος αυτό µας δίνει ακόµα καλύτερα την εξέλιξη του percolation και µάλιστα είναι ένας σίγουρος τρόπος για να υπολογίσουµε την κρίσιµη πυκνότητα p c γι αυτό και είναι ιδιαίτερα χρήσιµο όταν µελετάµε αλλαγές φάσεων. Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των τριών αυτών κρίσιµων µεγεθών που έχουν προαναφερθεί. Στο υπολογιστικό µέρος αυτής της εργασίας (κεφάλαιο 2) έγιναν περισσότερο εκτενείς προσοµοιώσεις σε µεγαλύτερα πλέγµατα, ενώ παρακάτω οι γραφικές παραστάσεις αφορούν πλέγµατα δύο διαστάσεων πλευράς Ν=100. 31

Σχήµα 1.5.2 : I av σε συνάρτηση µε την πιθανότητα κατάληψης p για ένα τετραγωνικό διδιάστατο πλέγµα 100 x 100 ύστερα από 1000 προσοµοιώσεις. Σχήµα 1.5.3 : I av σε συνάρτηση µε την πιθανότητα κατάληψης p για ένα τετραγωνικό διδιάστατο πλέγµα 100 x 100 ύστερα από 1000 προσοµοιώσεις. 32

Σχήµα 1.5.4 : P max σε συνάρτηση µε την πιθανότητα κατάληψης p για ένα τετραγωνικό διδιάστατο πλέγµα 100 x 100 ύστερα από 1000 προσοµοιώσεις. Εύκολα µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι και στα τρία σχήµατα η κρίσιµη συµπεριφορά του φαινοµένου λαµβάνει χώρα γύρω από την πιθανότητα p=0.59 περίπου. Ακόµα καλυτέρα από το σχήµα 1.5.3 γίνεται ευκολότερα κατανοητό πως η κρίσιµη πιθανότητα είναι περίπου αυτή η τιµή. Για την ακρίβεια για το site percolation είναι p c = 0.5927. Τιµή όµως που µπορεί να ισοφαριστεί µόνο για άπειρο πλέγµα. Στην συνέχεια, εκτός από τα πρώτα µεγέθη που προαναφέρθηκαν και αφορούν γενικότερα την θεωρία του percolation, η παρούσα εργασία θα ήταν ελλιπής αν δεν γίνει αναφορά στους κρίσιµους εκθέτες που ολοκληρώνουν την θεωρία των µεταβάσεων φάσης. Από αυτούς τους κρίσιµους εκθέτες (critical exponents) µπορούν να εξαχθούν συµπεράσµατα για την φύση της µετάβασης, καθώς και για πολλά άλλα φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα σε πολύπλοκα συστήµατα. Οι κρίσιµοι εκθέτες είναι : Οι κρίσιµοι εκθέτες που µελετώνται συχνότερα είναι οι [8] : β, γ, γ. ο κρίσιµος εκθέτης γ πολλές φορές στην βιβλιογραφία αναφέρεται και ως ν. Στην παρούσα εργασία θα αναφερθεί κυρίως ως ν, ενώ είναι ευνόητο ότι όπου υπάρχει ο γ θα ισούται µε τον ν. Σε όλες τις µεταβάσεις φάσεων οι εκθέτες είναι τα σηµαντικότερα µεγέθη που πρέπει να υπολογιστούν για να προσδιοριστεί καλύτερα η µετάβαση που λαµβάνει χώρα κοντά στην κρίσιµη πιθανότητα p c. Έτσι για τιµές κοντά στην p c 33

µπορούµε να υπολογίσουµε τα γ και ν για την υποκρίσιµη και υπερκρίσιµη περιοχή αντίστοιχα. Ο υπολογισµός του β τέλος, γίνεται από το P max. Το β είναι ο κρίσιµος εκθέτης ο οποίος αναπαριστά το πόσο εύκολα ή δύσκολα µπορεί να γίνει η µετάβαση. 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 PERCOLATION περίληψη : Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια σειρά προσοµοιώσεων που έγιναν πάνω στα µοντέλα του site percolation και του bond percolation σε διδιάστατα και τρισδιάστατα τετραγωνικά πλέγµατα. Στην συνέχεια παρατίθεται µια µικρή περιγραφή του αλγορίθµου Hoshen-Kopelman[11] που χρησιµοποιήθηκε για να γίνει η διαδικασία του cluster labeling και να βρεθούν οι κρίσιµοι εκθέτες. Τέλος, γίνεται ένας γενικότερος σχολιασµός του φαινοµένου ως κρίσιµο φαινόµενο. 35

36

2.1 Site Percolation Σε αυτό το κεφάλαιο αναλύονται τα δύο µοντέλα τα οποία υπάρχουν για την µελέτη του φαινοµένου Percolation, διήθηση δεσµών και διήθηση σηµείων (site και bond percolation). Θα αναλυθεί ο αλγόριθµος επίλυσης του προβλήµατος, θα παρουσιαστεί µία µέθοδος εύρεσης της κρίσιµης πιθανότητας και αναλύεται επίσης η χρησιµότητα και η φυσική σηµασία των κρίσιµων εκθετών του φαινόµενου. 2.1.1 Το µοντέλο του site percolation Ας θεωρήσουµε αρχικά ένα τετραγωνικό πλέγµα σαν και αυτό που βλέπουµε στην εικόνα 2.1.1 Εδώ υπάρχει πληρότητα δεσµών αλλά δεν υπάρχει πληρότητα σωµατιδίων. Τα σωµατίδια κατανέµονται στο πλέγµα µε κάποια πιθανότητα p. Αυτό είναι το µοντέλο του site percolation. εξιά στην εικόνα 2.1.1 βλέπουµε την περίπτωση όπου η συγκέντρωση είναι αρκετά µεγάλη ώστε να δηµιουργηθεί το spanning cluster. Εικόνα 2.1.1 Απλή περιγραφή του site percolation για δύο διαφορετικές πυκνότητες σηµείων p 1 και p 2. ( αριστερά: υποκρίσιµη συγκέντρωση p 1. εξιά: υπερκρίσιµη συγκέντρωση p 2 ) Η κρίσιµη πιθανότητα στο site percolation όταν γίνεται σε τετραγωνικό πλέγµα είναι p c =0.592746 και σε κυβικό p c =0.31161 (πίνακας 1). Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι οι τιµές αυτές περιέχουν σφάλµα ±0.0005, µιας και προκύπτουν από στατιστική ανάλυση. Όσο µεγαλύτερο είναι το πλέγµα που χρησιµοποιούµε και όσο µεγαλύτερη είναι η στατιστική µελέτη (περισσότερα runs στο πρόγραµµα), τόσο πλησιέστερα φτάνουµε σε αυτές τις τιµές. Στην εικόνα 2.1.2 φαίνεται µια σχηµατική παράσταση της ανάπτυξης των clusters, όσο µεγαλώνει η συγκέντρωση των σωµατιδίων. 37

Εικόνα 2.1.2 : Site percolation σε τετραγωνικό πλέγµα. (α) p<p c Μικρή συγκέντρωση σωµατιδίων. Τα πρώτα clusters αρχίζουν να εµφανίζονται. (β) p=p c ηµιουργείται το spanning cluster. (γ) p>p c Όλα σχεδόν τα σωµατίδια ανήκουν στο spanning cluster. Αρχικά βλέπουµε (εικόνα 2.1.2α) τα πρώτα clusters να εµφανίζονται. Καθώς µεγαλώνει η συγκέντρωση των σωµατιδίων (εικόνα 2.1.2β) σχηµατίζεται το spanning cluster (άσπρες κουκίδες), το οποίο και ενώνει το πάνω και το κάτω άκρο του πλέγµατος Καθώς η συγκέντρωση µεγαλώνει αρκετά (εικόνα 2.1.2γ), όλα τα σωµατίδια βρίσκονται πάνω στο spanning cluster. 2.1.2 Site Percolation και κρίσιµοι εκθέτες Η διαδικασία καθορισµού των clusters πάνω στο πλέγµα (cluster labeling παράγραφος 2.3) είναι το πρώτο βήµα και µας δίνει µια πλήρη εικόνα του πλέγµατος για οποιαδήποτε συγκέντρωση. Έχοντας ολοκληρώσει το cluster labeling µπορούµε να υπολογίσουµε διάφορα δοµικά χαρακτηριστικά του πλέγµατος, όπως την κρίσιµη πιθανότητα συγκέντρωσης, την πιθανότητα ένα σωµατίδιο να ανήκει στο spanning cluster ή γενικότερα σε κάποιο cluster µεγέθους m, το µέσο µέγεθος των clusters, τους κρίσιµους εκθέτες κλπ. Παρακάτω παρουσιάζονται µετρήσεις της κρίσιµης πιθανότητας και άλλων δοµικών χαρακτηριστικών του πλέγµατος για το µοντέλο του site percolation. Οι µετρήσεις µας ήρθαν σε πολύ καλή ακρίβεια σε σχέση µε τη βιβλιογραφία[12]. Η κρίσιµη πιθανότητα στο µοντέλο διήθησης σηµείων (site percolation) µπορεί να δοθεί υπολογίζοντας το µειωµένο µέσο µέγεθος των clusters (reduced averaged cluster size) το οποίο δίνεται από τον τύπο : I ' av = I I av av = i m p N max m = max m= 1 i m m p N 2 max 2 2 2 (2.1) 38

όπου µε i m να είναι ο αριθµός τον clusters µε µέγεθος m, p είναι η πιθανότητα συγκέντρωσης και Ν η πλευρά του τετραγωνικού ή κυβικού πλέγµατος. Με σκοπό να µελετήσουµε το µοντέλο του site percolation και να υπολογίσουµε την κρίσιµη πιθανότητα, δηµιουργήσαµε ένα τετραγωνικό πλέγµα 800x800 και µελετήσαµε τη συµπεριφορά του για διάφορες συγκεντρώσεις σωµατιδίων (από p=0.1 έως p=1). Σε κάθε συγκέντρωση υπολογίσαµε τις ποσότητες I av και I av. Οι υπολογισµοί ήταν 1000 και συγκεντρώθηκαν οι µέσοι όροι των αποτελεσµάτων οι οποίοι παρουσιάζονται στις εικόνες 2.1.3 και 2.1.4 Εικόνα 2.1.3 Το µέσο µέγεθος των clusters συναρτήσει της πυκνότητας p. Η περιοχή της αλλαγής φάσης του συστήµατος είναι ορατή. Οι µετρήσεις έγιναν σε τετραγωνικό πλέγµα πλευράς 800 και αποτελούν µέσο όρο από 1.000 επαναλήψεις Εικόνα 2.1.4 Το µέσο µειωµένο µέγεθος των clusters συναρτήσει της πυκνότητας p. 39

Στις εικόνες 2.1.3 και 2.1.4 παρατηρούµε ξεκάθαρα ότι το percolation είναι ένα φαινόµενο αλλαγής φάσης. Βλέπουµε την πολύ απότοµη αλλαγή συµπεριφοράς του συστήµατος όταν πλησιάζουµε κοντά στην κρίσιµη πιθανότητα. Στην εικόνα 2.1.3 δεν φαίνεται ξεκάθαρα η τιµή της κρίσιµης πιθανότητας, αλλά φαίνεται η τιµή της κρίσιµης περιοχής, δηλαδή την περιοχή τιµών της συγκέντρωσης όπου το σύστηµα αλλάζει ραγδαία την συµπεριφορά του. Στην εικόνα 2.1.4 βλέπουµε ότι για συγκέντρωση κάτω από την κρίσιµη πιθανότητα συγκέντρωσης, υπάρχουν αρκετά µεγάλα cluster και η αποµάκρυνση του µεγαλύτερου, κάτι που είπαµε ότι κάνουµε στον υπολογισµό του I av, δεν επηρεάζει τη µορφή της καµπύλης, όταν αυτή συγκρίνεται µε το I av. Μετά την κρίσιµη πιθανότητα όµως, βλέπουµε ότι η αποµάκρυνση του spanning cluster προκαλεί πολύ απότοµη πτώση στην καµπύλη του I av η οποία τελικά φτάνει στο µηδέν. Το σηµείο που το I av είναι µέγιστο ορίζεται, για κάθε τοπολογία που µελετάµε το φαινόµενο percolation, να είναι και η κρίσιµη πιθανότητα συγκέντρωσης. Στην εικόνα 2.1.4 παρατηρούµε ότι η κορυφή του διαγράµµατος µας δίνει µε πολύ καλή ακρίβεια την τιµή της κρίσιµης πιθανότητας p c =0.5927. Θέλοντας να µελετήσουµε τη συµπεριφορά του spanning cluster, υπολογίσαµε την ποσότητα (εικόνα 2.1.5) : P max = m p N max 2 ( 2.2) η οποία µας δίνει το ποσοστό των σωµατιδίων που καταλαµβάνει το µεγαλύτερο cluster. Εικόνα 2.1.5 Το ποσοστό των σωµατιδίων που καταλαµβάνει το µεγαλύτερο cluster συναρτήσει της πυκνότητας p. Στην εικόνα 2.1.5 βλέπουµε ότι για µικρές συγκεντρώσεις το ποσοστό συγκέντρωσης των σωµατιδίων στο µεγαλύτερο cluster είναι οριακά πάνω από το 40

µηδέν. Αυτό συµβαίνει διότι για µικρές συγκεντρώσεις, υπάρχουν πολλά µικρά clusters. Όσο η συγκέντρωση µεγαλώνει, σχηµατίζονται όλο και περισσότερα clusters µικρού µεγέθους. Για κάποια πιθανότητα συγκέντρωσης (περίπου 50% και πάνω), θα υπάρχουν κάποια κρίσιµα σηµεία που όταν καλυφθούν θα ενώσουν δύο ή και περισσότερα clusters. Έτσι βλέπουµε ότι το spanning cluster σχηµατίζεται πολύ απότοµα στην κρίσιµη περιοχή. Από την κρίσιµη πιθανότητα και πάνω το µεγαλύτερο cluster είναι και το spanning cluster, άρα η πιθανότητα ένα καινούργιο σωµατίδιο να προσκολληθεί στο spanning cluster αυξάνει και αυτή πολύ απότοµα. Έτσι εξηγείται και απότοµη αύξηση της καµπύλης της εικόνας 2.1.5. Αντίστοιχες προσοµοιώσεις για τη διήθηση σηµείων έγιναν και στις τρεις διαστάσεις. Το cluster labeling έγινε πάλι µε τον αλγόριθµο των Hoshen-Kopelman, χρειάστηκε όµως να κάνουµε αρκετές διαφοροποιήσεις ώστε να λειτουργήσει στις τρεις διαστάσεις. Τα αποτελέσµατά µας σε ότι αφορά τον υπολογισµό της κρίσιµης πιθανότητας ήταν και πάλι σε πολύ καλή συµφωνία µε τη βιβλιογραφία. Οι υπολογισµοί έγιναν και πάλι βάση της σχέσης 2.1. Στην εικόνα 2.1.6 βλέπουµε πως εξελίσσεται το µέσο µέγεθος των clusters I av συναρτήσει της πυκνότητας συγκέντρωσης των σηµείων για τις τρεις διαστάσεις. Στην εικόνα 2.1.7 φαίνεται αντίστοιχα το µέσο µειωµένο µέγεθος των clusters I av. Οι µετρήσεις έγιναν σε κυβικό πλέγµα µε πλευρά N=200 και πάρθηκαν µέσοι όροι από 500 µετρήσεις, αριθµός που θεωρείται αρκετά ικανοποιητικός για τη συγκεκριµένη µελέτη. Εικόνα 2.1.6 : Το µέσο µέγεθος των clusters στις τρεις διαστάσεις συναρτήσει της πυκνότητας p. Οι µετρήσεις έγιναν σε κυβικό πλέγµα πλευράς Ν=200 και αποτελούν µέσο όρο από 500 επαναλήψεις. 41

Εικόνα 2.1.7 : Το µέσο µειωµένο µέγεθος των clusters συναρτήσει της πυκνότητας p. Η κορυφή του µας δίνει και εδώ µε πολύ καλή ακρίβεια την τιµή της κρίσιµης πιθανότητας p c =0.31161. Για τον καθορισµό της συµπεριφοράς του spanning cluster υπολογίσαµε ξανά την ποσότητα P max = m p N max 2 (εικόνα 2.1.8). Εικόνα 2.1.8 Το ποσοστό των σωµατιδίων που καταλαµβάνει το µεγαλύτερο cluster συναρτήσει της πυκνότητας p, για διάφορες πιθανότητες συγκέντρωσης 42

Παρατηρούµε ότι στις τρεις διαστάσεις το φαινόµενο να έχουµε πολλά µικρά clusters όταν p<p c είναι πολύ εντονότερο από ότι στις δύο διαστάσεις. Οι κρίσιµοι δεσµοί καθορίζουν ακόµη περισσότερο την συµπεριφορά του spanning cluster. Στην συνέχεια υπολογίσαµε τους κρίσιµους εκθέτες οι οποίοι παρατίθενται και παρακάτω. Κοντά στην περιοχή της κρίσιµης πιθανότητας υπολογίσαµε την διαφορά p-p c. Η ποσότητα p-p c ακολουθεί µια power-law κατανοµή µε τα παραπάνω µεγέθη. Έτσι σε ένα log-log διάγραµµα αυτή η εξάρτηση θα είναι µια ευθεία της οποίας η κλίση θα είναι και ο κρίσιµος εκθέτης γ, γ και β. Στα σχήµατα που ακολουθούν φαίνεται αυτή ακριβώς η εξάρτηση, καθώς και στο τέλος ένας πίνακας µε τις τιµές για τους κρίσιµους εκθέτες από τις προσοµοιώσεις καθώς και τις τιµές που βρίσκουµε στην βιβλιογραφία[8]. Εικόνα 2.1.9 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 800 x 800 και αριθµό προσοµοιώσεων 1000.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε δύο διαστάσεις. 43

Εικόνα 2.1.10 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 800 x 800 και αριθµό προσοµοιώσεων 1000. Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε δύο διαστάσεις. Εικόνα 2.1.11 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη β, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 800 x 800 και αριθµό προσοµοιώσεων 1000. Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε δύο διαστάσεις. Κατόπιν, έγινε η ίδια ακριβώς δουλειά για το τρισδιάστατο µοντέλο του site percolation και οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. 44

Εικόνα 2.1.12 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 200 x 200 x 200 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε τρεις διαστάσεις. Εικόνα 2.1.13 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 200 x 200 x 200 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε τρεις διαστάσεις. 45

Εικόνα 2.1.14 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη β, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 200 x 200 x 200 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το site percolation σε τρεις διαστάσεις. Στην συνέχεια παραθέτουµε τις τιµές των κρίσιµων εκθετών, καθώς και αυτές που εξήχθησαν ύστερα από µία σειρά προσοµοιώσεων σε διδιάστατα και τρισδιάστατα πλέγµατα για site percolation διαστάσεων 800x 800 για το 2d και 200 x 200 x 200 για το 3d. Οι τιµές ( θεωρητικές και υπολογιστικές ) φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί (Πίνακας 2). Πίνακας 2 : Θεωρητικές και πειραµατικές τιµές κρίσιµων εκθετών για ένα απλό διδιάστατο και τρισδιάστατο τετραγωνικό/κυβικό πλέγµα για το Site Percolation. critical Exponent 2d 3d Θεωρητική Υπολογιστική Θεωρητική Υπολογιστική β 0.138 0.147 (6.12%) 0.4 0.4 (0.0%) γ 2.38 2.14 (10.08%) 1.8 1.63 (9.44%) γ' 1.33 1.78 (33%) 0.9 1.3 (30,1%) Οι υπολογιστικές τιµές είναι αποτελέσµατα προσοµοιώσεων που έγιναν στο εργαστήριο για πλέγµατα 640000 (2d) και 8000000 (3d) σηµείων και 1000 και 500 ανεξαρτήτων επαναλήψεων αντίστοιχα. Το σφάλµα που υπάρχει στις υπολογιστικές τιµές οφείλεται κυρίως στην επίδραση του πεπερασµένου πλέγµατος που χρησιµοποιήσαµε στις προσοµοιώσεις µας, ενώ οι θεωρητικές τιµές που αναφέρονται αφορούν άπειρα πλέγµατα. Τέλος, τα µεγάλα ποσοστά απόκλισης από την θεωρητική τιµή για τις τιµές του γ οφείλονται στο ότι η µέτρηση αυτής της ποσότητας είναι πολύ δύσκολο να γίνει µε καλή ακρίβεια σε ένα πεπερασµένο πλέγµα. 46

2.2 Bond Percolation Το µοντέλο του bond percolation ουσιαστικά διαφέρει στο ότι δεν υπάρχουν κατειληµµένα ή ελεύθερα σηµεία και όλο το πλέγµα θεωρείται κατειληµµένο. Απλά, τώρα το γεγονός το ότι δύο σηµεία γειτονεύουν δεν σηµαίνει ότι δηµιουργούν µεταξύ τους και cluster. Τώρα υπάρχει το ενδεχόµενο ένα σηµείο(site) να δηµιουργεί δεσµό µε έναν, δύο, τρεις ή και τέσσερις γείτονες του αναλόγως πάντα το πλέγµα-µοντέλο που χρησιµοποιείται. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε το µοντέλο ότι ένα σηµείο µπορεί να δηµιουργήσει µόνο µε τα τέσσερα σηµεία που βρίσκονται άµεσα γειτονικά του (πάνω-κάτω, δεξιά-αριστερά). Αυτό είναι το τετραγωνικό πλέγµα. Τα σηµεία που βρίσκονται διαγώνια του, εύκολα µπορεί να γίνει αντιληπτό ότι αποτελούν τους δεύτερους γείτονες του σηµείου και στην συνέχεια είναι οι τρίτη βαθµίδα (στα πάνωκάτω, δεξιά-αριστερά), η τέταρτη και ούτω καθεξής. Τέλος, µπορούµε να πούµε πως το µοντέλο αυτό του bond percolation έχει άµεση σχέση µε ένα δίκτυο και µάλιστα είναι ένα δίκτυο όχι τυχαίας αλλά µιας συγκεκριµένης τοπολογίας (βλ. κεφάλαιο 3). Φυσικά, αξίζει να σηµειωθεί ότι ένα σηµείο µπορεί και να µην συνδέεται µε κανένα γειτονικό του σε περίπτωση που δεν δηµιουργεί δεσµό (bond) µε κανένα από αυτά. 2.2.1 Το µοντέλο bond percolation Στο µοντέλο του bond percolation, δηλαδή στο µοντέλο διήθησης δεσµών θεωρούµε ότι έχουµε πληρότητα σωµατιδίων και γίνεται κατάληψη των δεσµών µε µια συγκεκριµένη πιθανότητα (εικόνα 2.2.1). ύο δεσµοί θεωρούµε ότι βρίσκονται στο ίδιο cluster όταν το ένα άκρο τους καταλήγει στην ίδια θέση. Εικόνα 2.2.1: Το bond-percolation µοντέλο πάνω σε τετραγωνικό πλέγµα. Το πιο διαδεδοµένο µοντέλο bond percolation είναι το random resistor network, όπου έχουµε ένα πλέγµα µε αντιστάσεις οι οποίες αφαιρούνται µε πιθανότητα p. Εδώ η κρίσιµη πιθανότητα καθορίζει αν το σύστηµα θα είναι αγώγιµο ή όχι. 47

Η κρίσιµη πιθανότητα στο bond percolation είναι p c =0.5,όταν πρόκειται για τετραγωνικό πλέγµα, και p c =0.2488 όταν πρόκειται για κυβικό πλέγµα. Υπάρχουν πάρα πολλά ακόµα µοντέλα που χρησιµοποιούµε το bond percolation, όπως την σύζευξη των ηλεκτρονικών σπιν σε ένα υλικό, των µαγνητικών ροπών, την δηµιουργία ενός nanocluster, ακόµα, την σύνδεση υπολογιστών σε έναν συγκεκριµένο χώρο, ή την υδροδότηση µιας περιοχής και πολλά άλλα. Εικόνα 2.2.2 : Βond percolation για διαφορετικές πυκνότητες δεσµών. Για πυκνότητα p=0.52 το spanning cluster έχει κάνει την εµφάνιση του. 48

Εικόνα 2.2.3 : Το spanning cluster (κόκκινοι δεσµοί) διατρέχει όλο το σύστηµα από την µία άκρη ως την άλλη για πυκνότητα δεσµών p = 0.52 2.2.2 Bond Percolation και κρίσιµοι εκθέτες Θέλοντας να καθορίσουµε τις κρίσιµες πιθανότητες αλλά και τις δοµικές ιδιότητες του bond percolation, κάναµε τις αντίστοιχες προσοµοιώσεις µε τη διήθηση σηµείων. Για να κάνουµε το cluster labeling στηριχθήκαµε στη δοµή του αλγορίθµου των Hoshen-Kopelman. Ουσιαστικά µελετήσαµε το φαινόµενο σαν να ήταν site percolation, αλλά σαν κριτήριο γειτονίας δύο σηµείων θεωρήθηκε η ύπαρξη δεσµού. Ο αλγόριθµος είναι πιο πολύπλοκος, αλλά η βασική του δοµή είναι η ίδια. Τα αποτελέσµατα που πήραµε ήρθαν σε πολύ καλή συµφωνία µε την βιβλιογραφία. Το µέσο µειωµένο µέγεθος των clusters (reduced averaged cluster size) εδώ χρειάζεται διαφοροποίηση σε σχέση µε την εξίσωση 2.1. Ο τύπος του είναι ο εξής: όπου το: I ' av = I I av av = i max m = max m= 1 m 2 N i m 2 max m N 2 2. (2.2) Από τον τύπο δηλαδή αφαιρείται η πιθανότητα συγκέντρωσης. Αυτό γίνεται γιατί στη διήθηση δεσµών µπορούν όλα τα sites να συνδέονται γειτονικά µεταξύ τους χωρίς να υπάρχει 100% πληρότητα δεσµών. Για τον υπολογισµό της κρίσιµης πιθανότητας δηµιουργήσαµε τετραγωνικό πλέγµα µε πλευρά 300 και υπολογίσαµε το I av για διάφορες τιµές της πιθανότητας 49

συγκέντρωσης δεσµών (εικόνα 2.2.4). Αντιστοίχως, αφαιρώντας το µεγαλύτερο cluster, υπολογίσαµε το I av (εικόνα 2.2.5). Οι µέσοι όροι του I av και του Ι av πάρθηκαν από 500 µετρήσεις. Εικόνα 2.2.4 Το µέσο µέγεθος των clusters στο µοντέλο διήθησης δεσµών συναρτήσει της p. Οι µετρήσεις έγιναν σε τετραγωνικό πλέγµα πλευράς Ν=300 και αποτελούν µέσο όρο από 500 επαναλήψεις Εικόνα 2.2.5 : Το µέσο µειωµένο µέγεθος των clusters στο µοντέλο διήθησης δεσµών συναρτήσει της p. Η κορυφή του µας δίνει και εδώ µε πολύ καλή ακρίβεια την τιµή της κρίσιµης πιθανότητας p c =0.5 Τέλος, υπολογίστηκε και η πιθανότητα ένας δεσµός να ανήκει στο µεγαλύτερο cluster όπως και στο προηγούµενο µοντέλο του site percolation ( εικόνα 2.2.6) 50

Εικόνα 2.2.6 : Το ποσοστό των σωµατιδίων που καταλαµβάνει το µεγαλύτερο cluster συναρτήσει της p για διάφορες πιθανότητες συγκέντρωσης. Στην συνέχεια, παρατίθενται τα διαγράµµατα για τον υπολογισµό των κρίσιµων εκθετών για το µοντέλο του bond percolation στις δύο διαστάσεις. Εικόνα 2.2.7 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 300 x 300 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το bond percolation σε δύο διαστάσεις. 51

Εικόνα 2.2.8 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη γ, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 300 x 300 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το bond percolation σε δύο διαστάσεις. Εικόνα 2.2.9 : Υπολογισµός του κρίσιµου εκθέτη β, γύρω από την περιοχή της κρίσιµης πυκνότητας για πλέγµα 300 x 300 και αριθµό προσοµοιώσεων 500.Το µοντέλο που προσοµοιώθηκε είναι το bond percolation σε δύο διαστάσεις. 52

2.3 Cluster labeling (καθορισµός των clusters) Το πιο σηµαντικό βήµα προγραµµατιστικά, για να λύσει κάποιος το πρόβληµα της διήθησης (σε οποιοδήποτε µοντέλο), είναι ο διαχωρισµός των clusters (cluster labeling). Το cluster labeling ουσιαστικά είναι ο τρόπος µε τον οποίο κάνουµε το πρόγραµµα να καταλάβει σε ποιο cluster ανήκει η κάθε κατειληµµένη θέση. Κατά καιρούς έχουν προταθεί πολλοί αλγόριθµοι για cluster labeling, χωρίς να υπάρχει ένα κριτήριο για την αξιολόγηση τους. Άλλοι είναι πιο γρήγοροι (το σηµαντικότερο όταν έχουµε Monte Carlo προσοµοιώσεις), άλλοι µε πιο περιορισµένο κώδικα, άλλοι πιο γενικοί ή πιο εξειδικευµένοι, αλλά ο πιο διαδεδοµένος και γρήγορος αλγόριθµος για να γίνει το cluster labeling στα µοντέλα του bond και site percolation είναι ο αλγόριθµος που προτάθηκε από τους Hoshen και Kopelman[13] και φέρει το όνοµα τους. Παρακάτω φαίνεται ένα παράδειγµα από cluster labeling ενός 10x10 πίνακα σύµφωνα µε τον παραπάνω αλγόριθµο. Αρχικά δηµιουργούµε ένα πίνακα 10x10 και τον γεµίζουµε, µε βάση την πιθανότητα κατάληψης που έχουµε, µε έναν αριθµό (π.χ. το -1) (εικόνα 2.3.1). Έτσι, οι κατειληµµένες θέσης θα έχουν τον αριθµό -1, ενώ οι ελεύθερες θα παραµείνουν µε ετικέτα (label) µηδέν (0). Στο παρακάτω παράδειγµα χρησιµοποιήθηκε p=0.6. Εικόνα 2.3.1: Η αρχική φάση του cluster labeling. Στη συνέχεια, εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο των Hoshen Kopelman, βρίσκουµε ποιοι από τους παραπάνω αριθµούς είναι γειτονικοί µεταξύ τους. Ελέγχουµε κάθε αριθµό αν έχει πάνω ή αριστερά κάποιο γείτονα. Έτσι µπορούµε να ελέγξουµε όλα τα στοιχεία του πίνακα χωρίς να βάλουµε οριακές συνθήκες στα άκρα. Αν δεν έχει γείτονα, του δίνουµε καινούργιο νούµερο (ξεκινώντας από το 1 και αυξάνοντας µε τη σειρά). Αν έχει ένα γείτονα, του δίνουµε τον αριθµό του γειτονικού στοιχείου. Αν έχει δύο γείτονες, δηλαδή και πάνω και αριστερά, του δίνουµε την µικρότερη τιµή από τους δύο γείτονες. Σε έναν βοηθητικό πίνακα, ας τον ονοµάσουµε n[i], σε κάθε θέση του, τοποθετούµε την τιµή του στοιχείου η οποία, στην περίπτωση που έχουµε 0 ή 1 γείτονες θα είναι ίδια (n[1]=1). Όταν έχουµε δύο γείτονες,π.χ. στην περίπτωση του 5 (εικόνα 2.3.2), στον πίνακα n βάζουµε n[5]=5 και n[6]=5. Έτσι ξέρουµε ανά πάσα στιγµή ποια στοιχεία πρέπει να αλλάξουµε στο τρίτο βήµα. Η παραπάνω διαδικασία φέρνει τον πίνακα σε µια κατάσταση όπως αυτή της εικόνας 2.3.2 53

Εικόνα 2.3.2: Η ενδιάµεση κατάσταση του πίνακα κατά το cluster labeling. Το επόµενο βήµα είναι να φανούν στον πίνακά µας όλα τα cluster και το καθένα από αυτά πρέπει να αντικατοπτρίζεται µε ένα διαφορετικό αριθµό, ώστε στη συνέχεια να µπορούµε να βρούµε το µέγεθός του, τη δοµή του κλπ. Χρησιµοποιώντας τον βοηθητικό πίνακα n[i], σαρώνουµε όλο το πλέγµα και αλλάζουµε τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα, π.χ. όπου βλέπουµε 6 θα βάζουµε το n[6]=5 κλπ. Έτσι παίρνουµε την τελική µορφή του πίνακα που φαίνεται στην εικόνα 2.3.3. Εικόνα 2.3.3: Η τελική κατανοµή του πίνακα εµφανής διαχωρισµός των clusters Όπως µπορούµε πολύ εύκολα να διαπιστώσουµε από την εικόνα 2.3.3, το cluster µε label 3 είναι και το spanning cluster στην περίπτωση αυτή. 54

2.4 Το Percolation ως κρίσιµο φαινόµενο Όπως προαναφέρθηκε, το percolation transition[3] είναι ένα απλό παράδειγµα ενός φαινοµένου αλλαγής φάσης. Το percolation transition χαρακτηρίζεται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των clusters κοντά στην κρίσιµη πιθανότητα p c. H πιθανότητα µια κατειληµµένη θέση να βρίσκεται πάνω στο spanning cluster, δηλαδή το P βάση της σχέσης 2.2 µπορεί να γραφεί ως εξής: Το P περιγράφει την διάταξη µέσα στο σύστηµα και θα µπορούσε να χαρακτηριστεί σαν µια παράµετρος διάταξης (order parameter). Στις εικόνες 2.1.11 και 2.1.14 φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις του P συναρτήσει της απόλυτης τιµής της διαφοράς p-p c για τιµές του p κοντά στην κρίσιµη πιθανότητα p c, για το site percolation δύο και τριών διαστάσεων τετραγωνικού πλέγµατος, ενώ για το διδιάστατο bond percolation στην εικόνα 2.2.9. Το γραµµικό µήκος των πεπερασµένων (finite) clusters, δηλαδή όλων εκτός του spanning cluster, σε οποιαδήποτε πιθανότητα συγκέντρωσης µπορεί να χαρακτηριστεί µε το correlation length ξ. Το ξ ορίζεται σαν η µέση απόσταση ανάµεσα σε δύο κατειληµµένες θέσεις οι οποίες βρίσκονται πάνω στο ίδιο finite cluster. Όταν η πιθανότητα συγκέντρωσης πλησιάζει την τιµή της κρίσιµης πιθανότητας p c τότε το ξ αυξάνεται σύµφωνα µε τη σχέση : µε τον ίδιο εκθέτη πάνω και κάτω από το p c. Ο µέσος αριθµός των sites από ένα cluster δίνεται από τον τύπο : ξανά µε το ίδιο γ πάνω και κάτω από το p c. Οι εκθέτες β, ν και γ περιγράφουν την κρίσιµη συµπεριφορά από σχετικές µε το percolation transition ποσότητες και καλούνται κρίσιµοι εκθέτες (βλ κεφ.1). Οι εκθέτες είναι γενικοί και εξαρτώνται µόνο από τη δοµή του πλέγµατος ή από το µοντέλο percolation που χρησιµοποιούµε. Αυτή η γενικότητα είναι γενικό χαρακτηριστικό των φαινοµένων µεταβολής φάσης όπου η ρυθµιστική παράµετρος εκλείπει συνεχώς στο κρίσιµο σηµείο. Για παράδειγµα η µαγνήτιση σε όλα τα τρισδιάστατα µαγνητικά υλικά περιγράφεται από τον ίδιο κρίσιµο εκθέτη β, ασχέτως της κρυσταλλικότητάς τους ή τον αλληλεπιδράσεων µεταξύ των σπιν. Στον πίνακα 3 βλέπουµε τις τιµές των κρίσιµων εκθετών β, ν, και γ στο percolation για δύο και για τρεις διαστάσεις. Επίσης, για παράδειγµα, βλέπουµε την σύγκρισή τους µε τους ανάλογους εκθέτες µεταβολής φάσης στο µαγνητισµό. 55

Πίνακας 3. Ακριβής τιµές και προσεγγίσεις για τους κρίσιµους εκθέτες στο percolation και στο µαγνητισµό[14]. Οι κρίσιµοι εκθέτες περιγράφουν τις γεωµετρικές ιδιότητες του percolation transition. Οι φυσικές ιδιότητες που συσχετίζονται µε την µετάβαση (transition) παρουσιάζουν µια power-law (λογαριθµική) συµπεριφορά κοντά στο p c και χαρακτηρίζονται και αυτές από τους κρίσιµους εκθέτες. Παράδειγµα αποτελεί η αγωγιµότητα σε ένα δίκτυο αντιστάσεων (resistor network). 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 EXPLOSIVE PERCOLATION περίληψη : Στο τρίτο κεφάλαιο µελετήσαµε µια διαφορετική διαδικασία από το απλό µοντέλο του percolation. Το 2009 δηµοσιεύθηκε στο περιοδικό Science από τους Achlioptas et al[15] µία µέθοδος η οποία εισαγάγει έναν ειδικό κανόνα επιλογής σε έναν τυχαίο γράφο έχοντας ως αποτέλεσµα την καθυστέρηση της εµφάνισης του spanning cluster, και την αλλαγή φάσης πρώτης τάξης του συστήµατος. Οι προσοµοιώσεις µας έγιναν σε τυχαίους γράφους µε σκοπό να δείξουν αν όντως η αλλαγή είναι πρώτης τάξης (ασυνεχής) ή δεύτερης (συνεχής). 57

58

3.1 Explosive Percolation (το πρόβληµα) Ένα σύστηµα λέµε ότι υπόκειται σε αλλαγή φάσης όταν µία ή περισσότερες από τις ιδιότητές του αλλάζουν δραµατικά, ύστερα από µια µικρή διαφοροποίηση της παραµέτρου ελέγχου του φαινοµένου. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στα προηγούµενα, τέτοιες µετατροπές είναι η αλλαγή φάσης του νερού, η απότοµη αλλαγή στην µαγνήτιση και στην υπεραγωγιµότητα των µετάλλων, η εξάπλωση µια ασθένειας, καθώς και η δραµατική αλλαγή στην συνδεσιµότητα ενός δικτύου ή ενός πλέγµατος ήδη γνωστή ως percolation. Ίσως, το πιο βασικό χαρακτηριστικό µιας αλλαγής φάσης είναι η τάξη του, δηλαδή, αν η µακροσκοπική παράµετρος που επηρεάζει το σύστηµα προκαλεί συνεχή ή ασυνεχή αλλαγή φάσης. Στην παρούσα εργασία θέλουµε να δούµε την αλλαγή φάσης που συµβαίνει σε ένα δίκτυο µορφής τυχαίου γράφου κατά το percolation[15]. Στο κλασσικό µοντέλο Erdös-Rényi[5] ξεκινούµε µε Ν αποµονωµένα σηµεία (nodes) και εισάγουµε συνδέσεις (links) µεταξύ τους µία προς µία. Κάθε σύνδεση πετυχαίνεται διαλέγοντας δύο σηµεία τυχαία από το σύνολο του συστήµατος και συνδέοντας τα µεταξύ τους (εικόνα 3.1.1). Έτσι, σε οποιαδήποτε στιγµή ο αριθµός των συγγενικών σηµείων (component) του σηµείου n, θα είναι το σύνολο των σηµείων που µπορούµε να προσεγγίσουµε ξεκινώντας από το n και πατώντας µόνο όπου υπάρχει ήδη link. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα οι οµάδες να αυξάνονται αναλόγως του µεγέθους τους σαν να έλκονται µεταξύ τους από κάποια βαρυτική δύναµη. Αυτό µπορεί πολύ εύκολα να γίνει αντιληπτό αν σκεφτούµε ότι όσο µεγαλύτερο είναι το component για ένα node, τόσο πιο πιθανό είναι να επιλέγει ένα συγγενικό του node και να συνδεθεί µε κάποιο άλλο µεγαλώνοντας έτσι την οικογένεια, δηλαδή το component όλων των nodes που συνδέονται µεταξύ τους. Άρα, οι µεγαλύτερες οικογένειες (clusters) θα τείνουν να µεγαλώνουν όλο και πιο γρήγορα εις βάρος των µικρότερων. Αναφέρθηκε ακριβώς πιο πριν, ότι όταν δύο nodes επιλέγονται για να συνδεθούν, τότε είναι πιο πιθανό αυτά να ανήκουν σε ένα µεγάλο cluster παρά σε κάποιο µικρότερο, και µάλιστα η πιθανότητα να ανήκει ένα node σε κάποιο cluster, πολύ εύκολα αντιλαµβανόµαστε ότι θα είναι ανάλογη του µεγέθους του cluster (δηλαδή του αριθµού των nodes που αποτελείται). Εικόνα 3.1.1 : Επιλογή δύο τυχαίων και ανεξάρτητων σηµείων (nodes), και η σύνδεση (link) µεταξύ τους σε ένα δίκτυο τύπου Erdös-Rényi µε Ν nodes. 59

Έτσι, η πιθανότητα να συνδεθούν δυο cluster, θα είναι ανάλογη του γινοµένου των µεγεθών των δύο clusters (η πιθανότητα να συµβούν δύο ανεξάρτητα γεγονότα µε πιθανότητες P 1 και P 2 ταυτόχρονα είναι P ολ =P 1 P 2 ). Εδώ : P = n 1 n 2 (3.1) Όπου n 1 και n 2 είναι ο αριθµός των nodes που αποτελούν το πρώτο και το δεύτερο cluster, των οποίων από ένα node επιλέχθηκαν για σύνδεση. Ένα από τα πιο διαδεδοµένα φαινόµενα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι το percolation transition, επίσης γνωστή και ως δηµιουργία του γιγάντιου cluster (giant component). Όταν r n συνδέσεις έχουν ήδη προστεθεί στο σύστηµα, αν το r < ½, το µεγαλύτερο cluster παραµένει παρά πολύ µικρό σε σχέση µε το σύστηµα και το µέγεθος του C (ο αριθµός των nodes που το αποτελούν) είναι ανάλογο του λογαρίθµου του Ν (συνολικό σύστηµα). Αντιθέτως, όταν το r > ½, τότε υπάρχει ένα cluster του οποίου το µέγεθος C γίνεται ανάλογο του Ν. Για την ακρίβεια C ~ (4r-2)N για τιµές του r λίγο µεγαλύτερες από το ½, και έτσι, το σύνολο των nodes που αποτελούν το µεγαλύτερο cluster υπόκεινται σε µια συνεχή αλλαγή φάσης στο r = ½. Αυτή η συνέχεια είναι βασικό χαρακτηριστικό ενός percolation transition και έχει ισχύ από το κλασσικό percolation σε πλέγµα δύο διαστάσεων (βλ. κεφ. 2.2) µέχρι και σε µοντέλα τυχαίων γράφων που χρησιµοποιούνται στα κοινωνικά δίκτυα. Στην παράγραφο αυτή, θα προσπαθήσουµε να δείξουµε πως µπορεί να γίνει αυτή η µετάβαση πρώτης τάξης (ασυνεχής). Ας θεωρήσουµε ένα δίκτυο τύπου Erdös- Rényi µε Ν ανεξάρτητα nodes και τοποθετούµε συνδέσεις µία µία όπως και πριν. Η µόνη διαφορά τώρα είναι ότι επιλέγουµε δύο τυχαίες συνδέσεις (e 1,e 2 ) και όχι µια όπως πριν. Κάθε σύνδεση, επιλέγεται όπως και στην κλασσική περίπτωση του percolation και φυσικά η µία τυχαία σύνδεση είναι ανεξάρτητη από την άλλη. Στην εικόνα 3.1.2 φαίνεται αυτή η διαδικασία. Αν δεχόµαστε την µία και απορρίπτουµε την άλλη πάντα κατά τυχαίο τρόπο, τότε θα οδηγηθούµε σε µια συµπεριφορά όπως αυτή του κλασσικού µοντέλου Erdös-Rényi (ER). Εικόνα 3.1.2 : Επιλογή δύο τυχαίων και ανεξάρτητων µεταξύ τους συνδέσεων e 1 και e 2 από ένα δίκτυο Ν σηµείων. Όµως, τα τρία τελευταία χρόνια όλο και περισσότερο ενδιαφέρον αποκτά η θεωρία της µη τυχαίας επιλογής συνδέσεων, αλλά της εισαγωγής κάποιων κανόνων επιλογής γνωστούς µε τον όρο Achlioptas processes, οι οποίοι µπορούν να καθυστερήσουν ή να επιταχύνουν την αλλαγή φάσης. Ο κανόνας επιλογής που εισάγεται είναι ένας κανόνας bounded-sized [16], δηλαδή κανόνας που έχει να κάνει µε το µέγεθος και όχι µε κάποια άλλη ιδιότητα των 60