Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n > 0 τ.ω n 1 = 0 Ισχύει οτι, αν το Κ είναι σώμα τότε ch(k)=0 ή p, όπου p είναι πρώτος. Λήμμα 1. Άν ch(k) = p τότε η απεικόνιση σ : x x p είναι ισομορφισμός του Κ με ένα υπόσωμα του K p. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι η σ είναι ομομορφισμός σωμάτων. Έστω x, y K. σ(xy) = (xy) p = (x p )(y p ) = σ(x)σ(y) σ(x + y) = (x + y) p και σ(x) + σ(y) = x p + y p Όμως ch(k)=p. Άρα ισχύει ότι (x + y) p = x p + y p (βλ. Παρατήρηση 1, ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ) Άρα σ(x + y) = σ(x) + σ(y). Δηλαδή η σ είναι ομομορφισμός σώμάτων. Άρα η σ είναι μονομορφισμός του Κ σε κάποιο υπόσωμα του K p. Η σ : K σ(k) K P τ.ω x x p είναι επί εκ κατασκευής. Οπότε η σ είναι ισομορφισμός του Κ σε ένα υπόσωμα του K p. Θεώρημα 1. i) Έστω Κ πεπερασμένο σώμα. Τότε ch(k)=p, όπου p πρώτος, p 0. 1

Άν [K : F p ] = f τότε Card(K) = p f. ii)έστω p πρώτος και q = p f, f 1. Έστω,επίσης, Ω ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα με ch(ω) = p, που περιέχει το F p. Τότε υπάρχει μοναδικό πεπερασμένο υπόσωμα F q του Ω με q = p f στοιχεία. Αυτό είναι το σώμα ανάλυσης του πολυωνύμου X q X υπέρ το F q. iii)όλα τα πεπερασμένα σώματα με q = p f στοιχεία είναι ισόμορφα με το F q. Απόδειξη. i) Αφού Κ πεπερασμένο σώμα, τότε το Q δεν περιέχεται στο Κ. Άρα chk 0. Οπότε chk=p, όπου p πρώτος. Έστω [K : F p ] = f. Card(F p ) = p =πλήθος στοιχείων του F p Τότε Card(K) = p f (βλ. Παρατήρηση 2, ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ) ii) Το Ω είναι αλγεβρικά κλειστό σώμα με ch(ω) = p. Η απεικόνιση σ : x x q με q = p f, f 1 είναι αυτομορφισμός του Ω. Ότι η σ είναι ομομορφισμός, αποδεικνύεται όπως στην απόδειξη του Λήμματος 1. Οπότε η σ είναι μονομορφισμός του Ω. Απομένει να δείξουμε ότι η σ είναι επί. Έστω y Ω. Αφού το Ω είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε x Ω τ.ω. x q = y. Άρα η σ είναι επί. Επομένως, τα x Ω που παραμένουν αναλλοίωτα απο την σ : x x q σχηματίζουν υπόσωμα F q του Ω. Έστω f(x) = X q X. f (X) = qx q 1 1 q=pf = p f X q 1 1 = pp f 1 X q 1 1 chω=p = 1 0 Άρα το f(x) έχει απλές ρίζες, αφού ΜΚΔ(f,f )=1. Ακόμα το Ω είναι αλγεβρικά κλειστό. Οπότε, το f(x) έχει q διακεκριμένες ρίζες. Επομέμως, Card(F q ) = q. Αντίστροφα, υποθέτουμε οτι Κ είναι υπόσωμα του Ω με Card(K)=q. Τότε, η ομάδα (K, ), όπου K = K \ {0}, έχει q-1 στοιχεία. Κάθε στοιχείο της K έχει τάξη που διαιρεί την τάξη της K. Οπότε x q 1 = 1, x K x q = x, x K x q = x, x K 2

Άρα τα στοιχεία του Κ είναι ρίζες του πολυωνύμου f(x). Δηλαδή K F q. Όμως Card(K) = q = Card(F q ). Οπότε K = F q. Δηλαδή το F q είναι το σώμα ανάλυσης του f(x) = X q X. iii) Απο το (ii) του παραπάνω θεωρήματος έχουμε ότι το πεπερασμένο σώμα F q με Card(F q ) = q είναι το σώμα ανάλυσης του πολυωνύμου X q X. Γενικά απο το (ii) έχουμε οτι ένα πεπερασμένο σώμα με q στοιχεία είναι σώμα ανάλυσης του πολυωνύμου X q X. Ακόμα, γνωρίζουμε ότι τα σώματα ανάλυσης ενός πολυωνύμου είναι ισόμορφα. Οπότε, όλα τα πεπερασμενα σώματα με q = p f στοιχεία είναι ισόμορφα με το F q. 2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Έστω p πρώτος, f Z με f 1 και q = p f. Παρατήρηση-Σχόλιο. Έστω d Z με d 1. Η συνάρτηση φ του Euler ορίζεται ως: φ(d) = Card({x Z 1 x d τ.ω ΜΚΔ(x,d)=1})= d p d (1 1 p ) Ισχύει ότι φ(d) = πλήθος των γεννητόρων κυκλικής ομάδας τάξης d. Λήμμα 2. Άν n Z, n 1, Τότε n = d n φ(d). Απόδειξη. Αν d n, τότε: Με C d θα συμβολίζουμε την μοναδική υποομάδα τάξης d της ομάδας πηλίκο Z /nz (βλ. Παρατήρηση 3, ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ) Δηλαδή C d Z /nz και Card(C d ) = d και ορίζουμε Φ d να είναι το σύνολο των γεννητόρων της C d Ακόμα, κάθε στοιχείο της Z /nz παράγει μία κυκλική ομάδα τάξης d, C d για d n. Άρα Z /nz = d n Φ d 3

Οπότε: n = Card(Z /nz) = Card( d n Φ d) = d n Card(Φ d ) Έχουμε ότι η C d είναι κυκλική ομάδα τάξης d και το πλήθος των γεννητόρων της C d είναι φ(d). Δηλαδή Card(Φ d ) = φ(d) Οπότε n = d n Card(Φ d) = d n φ(d) Λήμμα 3. Έστω H πεπερασμένη ομάδα τάξης n. Υποθέτουμε ότι για κάθε d n το σύνολο T d = {x H : x d = 1} έχει το πολύ d στοιχεία. Τότε η ομάδα H είναι κυκλική. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει στοιχείο της H τάξης n. Έχουμε ότι T d = {x H : x d = 1}, d n και προφανώς ισχύει ότι Card(T d ) d Έστω d n. Άν x H τ.ω. ord(x)=d, τότε θεωρούμε την κυκλική ομάδα που παράγεται απο το x, δηλαδή < x >= {1, x,..., x d 1 } και ισχύει ότι Card(< x >) = d. Η <x> είναι πεπερασμένη, οπότε α < x > ισχύει ότι ord(α) d. άρα α < x > ισχύει ότι α d = 1 Έχουμε ότι Card(T d ) d και Card(< x >) = d Άρα y H τ.ω. y d = 1 ισχύει ότι y < x >. Οπότε κάθε h H τ.ω. ord(h)=d είναι γεννήτορας της <x>. Αλλά οι γεννήτορες της κυκλικής ομάδας <x> τάξης d είναι φ(d) στο πλήθος. Συνεπώς, το πλήθος των στοιχείων τάξης d στην H είναι 0 ή φ(d). Άν το πλήθος των στοιχείων τάξης d στην H ήταν μηδέν (για κάποιο τυχαίο d n) τότε: από τo Λήμμα 2 έχουμε ότι: n = d n φ(d) και αφού το πλήθος των στοιχείων τάξης d στην H είναι μηδέν τότε ισχύει ότι: Card(H) < d n φ(d) = n. Δηλαδή Card(H) < n. Άτοπο, αφού Card(H) = n. Άρα για κάθε d n υπάρχει στοιχείο τάξης d στην H. Το n n. Άρα υπάρχει στοιχείο τάξης n στην H. Έστω x H τ.ω. ord(x)=n τότε: < x >= {1, x,..., x n 1 } με Card(<x>)=n. Άρα H=<x>. Οπότε, η H είναι κυκλική. 4

του πεπερασμένου σώ- Θεώρημα 2. Η πολλαπλασιαστική ομάδα F q ματος F q είναι κυκλική τάξης q-1. Απόδειξη. Εστω H = F q. Προφανώς Card(H)=q-1. = 1 έχει το πολύ d ρί- Ισχύει ότι: για κάθε d (q 1) η εξίσωση x d ζες στο F q. Δηλαδή Card({x H : x d = 1}) d. Οπότε σύμφωνα με το Λήμμα 3 ισχύει ότι η H είναι κυκλική. 3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΥΠΕΡ ΕΝΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Έστω F q αριθμός. σώμα με Card(F q ) = q = p l, l 0, όπου p είναι πρώτος Λήμμα 4. Έστω u Z, u > 0. Ορίζουμε S(X u ) := x F q x u. Τότε: { S(X u 1, αν u 1 και q 1 u ) = 0, αλλιώς (Θεωρούμε ότι x u = 1 αν u = 0 ακόμη κι αν x = 0) Απόδειξη. Διακρίνουμε περιπτώσεις: i)άν u = 0 τότε x u = 1 για κάθε x F q. Άρα S(X u ) = x F q x u = Card(F q ) 1 = q 1 Αφού Card(F q ) = p l τότε θα περιέχει πεπερασμένο πρώτο σώμα, το οποίο θα είναι το F p = Z /pz. Άρα chf q = p. Οπότε S(X u ) = q 1 = 0. ii)άν u 1 και q 1 u τότε: 0 u = 0 αν x 0 τότε: q 1 u u = t(q 1), t Z x u = x t(q 1) = (x q 1 ) t = ( xq x )t αφού x 0 Το F q είναι πεπερασμένο σώμα με Card(F q ) = q = p l, όπου p πρώτος αριθμός. Όμως το F q είναι σώμα ανάλυσης του πολυωνύμου X q X. Δηλαδή για κάθε x F q ισχύει ότι x q x = 0 x q = x Άρα x u = ( xq x )t = ( x x )t = 1 5

Άρα x u = 1, x F q, x 0,. Οπότε S(X u ) = x F q x u = 0 + x F q,x 0 x u = (q 1) 1 = 1 iii) Άν u 1 και q-1 δεν διαιρεί το u, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 2, έχουμε ότι η F q είναι κυκλική ομάδα με Card(F q) = q 1. Tο q-1 δεν διαιρεί το u. Άρα υπάρχει y F q τ.ω. y u 1. Οπότε: S(X u ) = x u = x u y u = y u x F q x F q x F q S(X u ) = y u S(X u ) (1 y u )S(X u ) = 0 S(X u ) = 0, διότι 1 y u 0 x u = y u S(X u ) 4 ΘΕΩΡΗΜΑ CHEVALLEY-WARNING Θεώρημα 3 (Θεώρημα Chevalley-Warning). Έστω f α (X 1, X 2,..., X n ) F q [X 1, X 2,..., X n ] πολυώνυμα n-μεταβλητών τ.ω. degf α < n, Card(F q ) = q = p l και V το σύνολο όλων των κοινών ριζών των πολυωνύμων στο F n q. Τότε ισχύει ότι: Card(V ) 0(modp) Απόδειξη. Θεωρούμε το πολυώνυμο: P = α (1 f q 1 α ) Έστω x F n q. Άν x V, τότε: f α (x) = 0, για κάθε πολυώνυμο f α P (x) = α 1 = 1 P (x) = 1 Άν x V, τότε υπάρχει πολυώνυμο f α0 τ.ω. f α0 (x) 0. Οπότε και f q 1 α 0 (x) = 1. 6

Συνεπώς P (x) = α Επομένως: (1 f q 1 α (x)) = 0 P (x) = { 1, αν x V 0, αν x V Η P ονομάζεται Χαρακτηριστική Συνάρτηση του V. Θέτουμε S(f) = x F q f(x) Άρα: S(P ) = x F q P (x) = x V = x V οπότε Card(V ) S(P )(modp) P (x) + x V 1 Card(V )(modp), Άρα αρκεί να δείξουμε ότι S(P ) = 0. Απο υπόθεση έχουμε ότι degf α < n. Επομένως, P (x) = x V P (x) degp α deg(1 fα q 1 ) = α degf q 1 α < n(q 1) Από τα παραπάνω συνάγουμε ότι το P είναι γραμμικός συνδυασμός των μονωνύμων X u := X u 1 1 X un, με u i < n(q 1), (αφού degp<n(q-1)). Άρα αρκεί να δείξουμε ότι S(X u ) = 0, μονώνυμο X u. n Απο την σχέση u i < n(q 1) έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα απο τα u i, έστω u i0, για το οποίο ισχύει ότι u i0 < q 1. Δηλαδή ισχύει ότι: το q-1 δεν διαιρεί το u i0. Άρα σύμφωνα, με το Λήμμα 4, προκύπτει ότι S(X u i 0 i 0 ) = 0. Οπότε: S(X u ) = S(X u 1 1 X u i 0 i 0 X u n n ) = S(X u 1 1 ) S(X u i 0 i 0 ) S(X u n n ) = 0 Δηλαδή για κάθε μονώνυμο X u ισχύει ότι S(X u ) = 0. Ακόμα ισχύει ότι: S(P ) = P (x) = λ u x u = λ u x u = x F q x F q u u x F q 7 λ u S(X u ) = 0 u

Δηλαδή, S(P)=0. Οπότε έχουμε: Card(V ) 0(modp) Πόρισμα 1. Άν α degf α < n και τα f α F q [X 1,..., X n ] δεν έχουν σταθερό όρο, τότε τα πολυώνυμα f α έχουν, μη τετριμμένη, κοινή λύση. Απόδειξη. Έστω ότι τα πολυώνυμα f α δέν έχουν κοινή μη τετριμμένη λύση. Τότε V = {(0, 0,..., 0)}, (0, 0,..., 0) F n q. To (0, 0,..., 0) F n q είναι κοινή λύση των f α, διότι τα f α δεν έχουν σταθερό όρο. Άρα Card(V)=1. Όμως σύμφωνα με το θεώρημα Chevalley-Warning προκύπτει ότι: Card(V ) 0(modp) 1 0(modp) p 1 Άτοπο, διότι το p είναι πρώτος. Οπότε τα πολυώνυμα f α έχουν κοινή μη τετριμμένη λύση. Πόρισμα 2. Όλες οι τετραγωνικές μορφές με τουλάχιστον τρείς μεταβλητές υπέρ το F q, έχουν μία τουλάχιστον μη-τετριμμένη λύση. Απόδειξη. Τετραγωνική μορφή είναι ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού 2. Άρα δεν έχει σταθερό όρο. Αν f(x 1,..., X n ) F q [X 1,..., X n ] είναι μια τετραγωνική μορφή με n 3, τότε degf < n. Επομένως, σύμφωνα με το Πόρισμα 1, προκύπτει ότι η εξίσωση f(x 1,..., X n ) = 0 έχει μία τουλάχιστον μη τετριμμένη λύση. Συνεπώς, όλες οι τετραγωνικές μορφές με τουλάχιστον τρείς μεταβλητές υπέρ το F q, έχουν μία τουλάχιστον μη τετριμμένη λύση. Παρατήρηση. Η Γεωμετρική Μορφή του Πορίσματος 2 : Κάθε κωνική τομή ορισμένη πάνω απο ένα πεπερασμένο σώμα έχει τουλάχιστον ένα μη τετριμμένο ρητό σημείο. 8

Άν δεν πληρούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος Chevalley-Warning αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει λύση. Μπορεί να δείξει κανείς, ότι για αρκετά μεγάλο p υπάρχουν εξισώσεις οι οποίες έχουν λύση. Χωρίς απόδειξη, αναφέρουμε το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 4. Άν p 1(mod4), a, b, c Z και p abc, Τότε η εξίσωση ax 4 + by 4 = c για p > 41 έχει πάντοτε μία λύση modp. Για την απόδειξη του βλ. [1],σελίδα 142, Θεώρημα 8.3.4 9

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Παρατήρηση 1. Ισχύει ότι (x + y) p = x p + y p Διότι: Σύμφωνα με το Διώνυμο του Νεύτωνα ισχύει ότι (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k Οπότε p ( ) p (x + y) p = x k y p k k k=0 ( ) p = y p + xy p 1 + + 1 = x p + y p ( ) p x p 1 y + x p p 1 διότι ch(k)=p και p ( p k) 1 k p 1 Παρατήρηση 2. Card(K) = p f Διότι, εάν (υ 1,..., υ f ) είναι μια βάση της επέκτασης F p K τότε κάθε στοιχείο του Κ γράφεται μονοσήμαντα στην μορφή α 1 υ 1 + + α f υ f, όπου α i F p, i = 1,..., f. Κάθε α i μπορεί να πάρει ακριβώς p = Card(F p ) τιμές. Άρα υπάρχουν p f στοιχεία του Κ. Οπότε Card(K) = p f. Παρατήρηση 3. Αφού η Z /nz είναι κυκλική και d n τότε υπάρχει μοναδική υποομάδα τάξης d η οποία είναι η < n d > = C d. 10

Αναφορές [1] Alexander Schmidt. Einfuehrung in die Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin, 2007. [2] Jean Pierre Serre. A Course in Arithmentic. Springer-Verlag, 1973. 11