Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Γ Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος 2011-12 Δείτε το πρόβλημα (δέντρο απόφασης) Η Bill Galen Development σχεδιάζει τη μεταμόρφωση ενός διατηρητέου κτιρίου σε εμπορικό κέντρο. Στοιχεία: Το κόστος αγοράς του κτιρίου είναι 300,000. Το κόστος ανακατασκευής είναι 500,000. Η τιμή πώλησης του εμπορικού κέντρου είναι. Η αίτηση για την άδεια ανακατασκευής κοστίζει 30,000. Η πιθανότητα έγκρισής της είναι μόλις 40% και χρειάζεται τρεις μήνες. Εάν η BGD αγοράσει το κτίριο και η άδεια δεν εγκριθεί, μπορεί να το πουλήσει προς. Μια τρίμηνη οψιόν στο κτίριο, η οποία θα επιτρέψει στην BGD να υποβάλε αίτηση και να έχει την όποια απόφαση επ αυτής, κοστίζει 20,000. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 1
Δείτε το πρόβλημα (δέντρο απόφασης) Υπάρχει η δυνατότητα πρόσληψης ενός συμβούλου για 5000. Δουλειά του είναι να μελετήσει τα στοιχεία γύρω από την αίτηση της άδειας ανακατασκευής. Γνωστό είναι το γεγονός ότι P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε έγκριση η αίτηση εγκρίθηκε) = 0.70 P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε απόρριψη η αίτηση απορρίφθηκε) = 0.80 Η BGD αναζητά τη βέλτιστη στρατηγική: Να προσλάβει ή όχι το σύμβουλο; Στη συνέχεια πρέπει να ακολουθήσουν κι άλλες αποφάσεις οι οποίες αφορούν Την αίτηση ανακατασκευής. Τη συμφωνία για την τρίμηνη οψιόν. Τη συμφωνία για την αγορά του κτιρίου. 0 Αγόρασε το κτίριο -300,000 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 2
Αγόρασε τη κτίριο και κάνε αίτηση -300000 30000 500000 + 950000 = 120,000-300000 30000 + 260000 = -70,000 Αγόρασε -300,000-20000 30000 300000 500000 + 950000 = 100,000 Προχώρησε σε οψιόν και κάνε αίτηση -20000 30000 = -50,000 Μέχρι στιγμής έχουμε την ανωτέρω εικόνα Ας εξετάσουμε το ενδεχόμενο της πρόσληψης του συμβούλου ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 3
Done Θεωρήστε ότι αποφασίζεται η πρόσληψη συμβούλου BILL GALLEN Το δέντρο απόφασης Για το σύμβουλο ξέρουμε ότι: P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε έγκριση η αίτηση εγκρίθηκε) = 0.70 άρα P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε απόρριψη η αίτηση εγκρίθηκε) = 0.30 κι ότι οπότε P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε απόρριψη η αίτηση απορρίφθηκε) = 0.80 P (ο σύμβουλος γνωμάτευσε έγκριση η αίτηση απορρίφθηκε) = 0.20 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 4
Ο σύμβουλος προβλέπει έγκριση States of Nature Prior Conditional Joint Εγκρίνεται.40.70.28 Απορρίπτεται.60.20.12 Marginal Prob.40 Ο σύμβουλος προβλέπει απόρριψη States of Nature Prior Conditional Joint Εγκρίνεται.40.30.12 Απορρίπτεται.60.80.48 Marginal Prob.60 Done -5000 Αγόρασε -300,000-5000 Αγόρασε -300,000 BILL GALLEN Το δέντρο απόφασης ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 5
Ο σύμβουλος παρέχει επιπλέον πληροφορίες για την απόρριψη ή έγκριση της αίτησης. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 6
Κατά συνέπεια, πρέπει να υπολογίσουμε τις εκ των υστέρων πιθανότητες για την απόρριψη και έγκριση της αίτησης Ο σύμβουλος προβλέπει έγκριση States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Εγκρίνεται.40.70.28.28/.40 =.70 Απορρίπτεται.60.20.12.12/.40 =.30 Marginal Prob.40 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 7
.3.7 Εκ των υστέρων πιθανότητα για (έγκριση ο σύμβουλος προέβλεψε έγκριση) = 0.70 Εκ των υστέρων πιθανότητα για (απόρριψη ο σύμβουλος προέβλεψε έγκριση) = 0.30 Το υπόλοιπο δέντρο απόφασης προκύπτει ανάλογα. Ο σύμβουλος προβλέπει έγκριση States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Εγκρίνεται.40.70.28.28/.40 =.70 Απορρίπτεται.60.20.12.12/.40 =.30 Marginal Prob.40 Ο σύμβουλος προβλέπει απόρριψη States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Εγκρίνεται.40.30.12.12/.60 =.20 Απορρίπτεται.60.80.48.48/.60 =.80 Marginal Prob.60 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 8
Επίλυση του Δέντρου Απόφασης για το πρόβλημα της BGD 58,000 0.30 0.70-75,00 Με τιμή 58,000 στο σημείο τύχης, συνεχίζουμε προς τα πίσω για να αποτιμήσουμε τους προηγούμενους κόμβους. Επίλυση του Δέντρου Απόφασης για το πρόβλημα της BGD 10,000, 20,200 20,200 58,000 Αγόρασε. Κάνε την αίτηση -5,000 το κτίριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 9
Δοκιμάστε μόνοι σας Ένας συλλέκτης έργων τέχνης είναι διατεθειμένος να αγοράσει τα Ηλιοτρόπια του Βαν Γκογκ για $50.000. Ο έμπορος τέχνης στον οποίο απευθύνθηκε μπορεί να τον αγοράσει σήμερα για $40.000 ή να περιμένει μία μέρα κι αν ο πίνακας δεν έχει αγοραστεί να τον αγοράσει για $30.000, μπορεί να περιμένει άλλη μία μέρα και να το αγοράσει αν δεν έχει πουληθεί για $26.000. Στο τέλος της τρίτης μέρας ο πίνακας θα έχει σίγουρα πουληθεί. Κάθε μέρα υπάρχει πιθανότητα 60% ο πίνακας να πουληθεί. Τι θα πρέπει να κάνει ο έμπορος τέχνης ώστε να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο κέρδος του; Ανάλυση Ευαισθησίας Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί η πιθανότητα να μην είναι διαθέσιμος ο πίνακας την δεύτερη μέρα ώστε να συμφέρει τον έμπορο να περιμένει την πρώτη μέρα; Πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί η πιθανότητα να είναι διαθέσιμος ο πίνακας την τρίτη μέρα ώστε να συμφέρει τον έμπορο να περιμένει και την πρώτη και την δεύτερη μέρα; ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Γ' 10