ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 4/5/1 //1 Άσκηση 1 Οι µετρήσεις πρέπει να υπακούουν την εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου hc 14( ev. nm) Ve = φ φ( ev) λ = λ( nm) Αντικαθιστώντας, έχουµε τον πίνακα h f (cv).9.6..1.87 V (Volt) 1..7.4.. µε την εξής γραφική παράσταση: 1..8.6.4.....4.6.8 4. -. Βλέπουµε οτι όλα τα σηµεία, πλήν του αριστερού (τελευταίου στον πίνακα), κείνται σε ευθεία, όπου το µήκος κύµατος λ = 4 nm θα αντιστοιχούσε σε αρνητική κινητική ενέργεια, άρα είναι λάθος. Η συχνότητα κατωφλίου h fκ =.9 ev (λκ =14 ev nm /.9 ev= 48 nm) Η εξίσωση εποµένως είναι Ve= hf hfk= hf.9ev, από την οποία φαίνεται ότι το έργο εξαγωγής είναι.9 ev. (Συναρτήσει του hf η κλίση είναι 45o, και η ευθεία φ=.9ev τέµνει τον άξονα V στην τιµή ). Η µετρηθείσα τιµή. V αντιστοιχεί σε hf=.9ev (λ = 4 nm) Ο φοιτητής έγραψε 4 αντί 4 nm. 1
Άσκηση Α) Β) Γ)
) Άσκηση Αν η ενέργεια είναι E= aφ=.4φ, η πιθανότητα διελεύσεως (εξ. 6.9, 6.1 σελ. 5) ισούται µε TE ( ) = 16(1 a ae ) m Φ 1aL ħ m 1 al Φ 1 m ħ Φ 1a ( LL T 1) 1 16(1 a ae ) ħ άρα = = e m T Φ 1aL ħ 16(1 a ae ) Εποµένως ħ ln ( T1/ T) Φ= 8m( 1a) ( L L1) 16 ( 6.58 1 evs) ( ln) Φ= 6 8 1 = 1.58eV 8.511 1 ev/ ( 1 m/ s) ( 1 m)( 1.4) Άσκηση 4 Α) Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουµε = + = + (1) EΠΡΙΝ EΜΕΤΑ Eφ mc Eφ E όπου Eφ, E φ οι ενέργειες του φωτονίου πριν και µετά τη σκέδαση, mc = 98.8 MeV η ενέργεια ηρεµίας του πρωτονίου, και E η ενέργεια του πρωτονίου µετά την ανάκρουση. Θέτοντας τα δεδοµένα στην (1) βρίσκουµε E φ = 18.84 MeV από την οποία υπολογίζουµε το µήκος κύµατος του σκεδαζόµενου 15 8 c hc 4.16 1.9979 1 ev s m 15 φωτονίου, λ 6 6.86 1 = = = = m f E φ 18.84 1 ev s. Β) Το µήκος κύµατος του φωτονίου πριν από τη σκέδαση είναι 15 8 c hc 4.16 1.9979 1 ev s m 15 λ 6 6. 1 = = = = m f E φ 1 ev s, οπότε εφαρµόζοντας τη σχέση Comton (µε αντικατάσταση του me από το m ) έχουµε λ λ h θ θ mc = = λ λ () ( 1 cos ) 1 cos ( ) mc hc και µε αντικατάσταση, 6 98.8 1 15 1 cosθ =.66 1.5 θ = 6. 15 8 4.16 1.9979 1 Γ) Από τη διατήρηση της ορµής στη διεύθυνση y (όπου x θεωρούµε την διεύθυνση του φωτονίου πριν τη σκέδαση) έχουµε (σχέση.1 Serway-Moses)
φ = φ sinθ sinϕ sinϕ = sinθ () όπου φ = E φ / c η ορµή του σκεδαζόµενου φωτονίου, και η ορµή του πρωτονίου µετά την ανάκρουση. Ισχύει E = c + m c c= E m c = 19.58 MeV, οπότε µε αντικατάσταση 4 4 στην () έχουµε φ φc Eφ 18.84 sinϕ = sinθ = sinθ = sinθ = =.8 ϕ = 55. c c 19.58 Άσκηση 5 Θα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα της θεωρίας του Bohr (.8) και (.) του βιβλίου των Serway-Moses µετά την αντικατάσταση της µάζας mαπό την ανηγµένη µάζα µ του ποζιτρόνιουµ η οποία δίνεται από 1 1 1 me µ µ = m + e m = e Α) Από την (.8) βρίσκουµε n ħ rn = = 1.6 A n, n= 1,,, mke e Β) Από την (.) βρίσκουµε 4 µ k e 1 6.8 En = = ev, n= 1,,, ħ n n Γ) Η βασική κατάσταση έχει ενέργεια E = -6.8 ev ) Τα µήκη κύµατος του φάσµατος εκτοµπής δίνονται από την (.) 1 n ħ 1 1 18nm = λ i f = λ 1 1 i f mkehc e nf n i n n Παρατηρούµε ότι στη φασµατική σειρά Balmer ( n f = ) και ni 8 αντιστοιχεί σε ακτινοβολία ορατού (κόκκινο) θεωρώντας το φάσµα της ορατής ακτινοβολίας στην περιοχή 9-78 nm (βλ Alonso και Finn σελ 11). f i Άσκηση 6 Α)Η σταθερά A µπορεί να προσδιοριστεί από την κανονικοποίηση + + x / a x / a dxψ ( x) = 1 A dxe + A dxe = 1 Aa= 1 A= Η αβεβαιότητα υπολογίζεται ως εξής 1 a 4
+ + x / a x / a x / a x / a x = dxxψ ( x) = A dxxe + A dxxe = A dxxe A dxxe = + + + x / a x / a x / a a A a x = dxx ψ ( x) = A dxx e + A dxx e = A dxx e = = x x x a / = = δ = 1 Εποµένως a= δ και A= δ Β) Εφαρµόζοντας την εξίσωση του Shroedinger για x> µε V = παίρνουµε ħ d ψ ( x) ħ x / a x / a ħ ħ = Eψ ( x) Ae = EAe E= = m dx ma ma 4mδ Γ) + a + a + a 1 x / a 1 x / a x / a x / a a P= dxψ ( x) = dxe + dxe =+ dxe =e a a a a ( e ) a = 1 =.86= 86% Άσκηση 7 Α) Η κυµατοσυνάρτηση είναι λύσης της εξίσωσης του Schoedinger (Serway 41.1). d ψ m = E V x dx ħ [ ( )] ψ (1) Στην περιοχή < x<, V ( x) = V και E< V ορίζουµε παίρνει τη µορφή µε γενική λύση ψ = ψ I ( x) k I ( x) k = ( ) m V E ħ και η (1) kx kx ψ I = Ae + Be Στην περιοχή < x< L το δυναµικό είναι ίσο µε V ( x ) = και καθώς < E< V η (1) γράφεται ως µε K = me ħ. Η γενική λύση είναι ψ = ψ ( x) K ( x) ψ = C sinkx+ D coskx Στην περιοχή x> L η λύση είναι της µορφής ψ I ( x) = 5
Στην περιοχή (Ι) θα πρέπει να έχουµε πεπερασµένη λύση καθώς το x, άρα Β=. Οι οριακές συνθήκες, που επιβάλλονται από τη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στο x= L και τη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης και της παραγώγου της στο x=, είναι ψ ( L) = ψ () = ψ () ψ I () = ψ () οι οποίες επιβάλλουν αντίστοιχα C sinkl+ D coskl= () A= D I ka= KC (4) Από τις () και () προσδιορίζουµε τις δύο σταθερές που υπεισέρχονται στην κυµατοσυνάρτηση A= D= tan( KL) C (5) ενώ ή σταθερά A προσδιορίζεται από την κανονικοποίηση. Εποµένως kx Ae, x< sin( Kx) ψ ( x) = A + cos ( Kx),< x< L tan( KL), x> L Μπορούµε µάλιστα να αναπτύξουµε στην περιοχή < x< L sin( Kx) A A + cos( Kx) = sin( Kx) cos( KL) cos( Kx) sin( KL) tan( KL) sin( KL + = ) A = sin K( Lx) sin KL ( ) και τελικά kx Ae, x sin K( Lx) ψ ( x) = A, x L sin( KL), x L Β) Από τις (4) και (5) βρίσκουµε tan( ) K tan me KL = L = E (6) k ħ V E η λύση της οποίας προσδιορίζει τις δυνατές τιµές της ενέργειας. Γ) Οι δυνατές τιµές της ενέργειας περιορίζονται από το ελάχιστο του δυναµικού E> και από την (6) η οποία έχει διακριτές λύσεις. Για να την µελετήσουµε µπορούµε να θέσουµε m= ħ= L= 1από διαστατική ανάλυση και να κάνουµε γραφική παράσταση των δύο µελών της () 6
εξίσωσης (6) για διάφορες τιµές του V. Στο διπλανό Σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση για V = 5 όπου µε διακεκοµµένη σχεδιάζουµε το δεύτερο µέλος και παρατηρούµε ότι υπάρχουν δύο σηµεία τοµής άρα δύο λύσεις (η λύσηe= δεν είναι αποδεκτή). Άσκηση 8 (Α) Από την εξίσωση (5.5) του βιβλίου Serway e al. έχουµε για το αριστερό µέλος dψ =C( 1 αx )e αx dx d ψ dx =C ( 4α x 6αx)e αx Εξισώνοντας µε το δεξί µέλος, βρίσκουµε mω α = ħ E= ħω Πρόκειται εµφανώς για την πρώτη διεγερµένη κατάστασης του αρµονικού ταλαντωτή. (Β) Η κανονικοποίηση της κυµατοσυνάρτησης απαιτεί + C x e αx =1 Για το ολοκλήρωµα βρίσκουµε + + 1/ αx d αx d 1/ 1/ π / 1 π xe dx= e dx π ( α) ( α) d( α) = = = d( α) π α 1 πħ = π mω Τελικά / / mω C= π ħπ (Γ) Ισχύει 1 ħ ω= mω A άρα ħ A= mω / 4 7
( ) Όπως και στην σελ. 18 του βιβλίου Serway et al. έχουµε 1/ / mω x αx mω ħ 4 y 1= = 4π = 1/ π A ħ 1/ π ħ mω P C xe dx xe dx ye dy 4.495=.1117.11 1.775 Περίπου δηλαδή το 11%. Ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για τη βασική κατάσταση σύµφωνα µε το βιβλίο των Serway et al. Είναι P.16 Άσκηση 9 Να υπολογισθεί η ελάχιστη κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου στην θεµελιώδη κατάσταση του ατόµου του υδρογόνου και να συγκριθεί µε την αντίστοιχη ελάχιστη κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου που βρίσκεται εγκλωβισµένο σε σφαιρικό κουτί ακτίνας a (ακτίνα Bohr). Να γίνουν τα ακόλουθα βήµατα: Α) Να υπολογισθούν οι ποσότητες <r> και <r > και απο αυτες η διακύµανση r =<r ><r> για την θεµελιώδη κατάσταση του υδρογόνου. Β)Λόγω της σφαιρικής συµµετρίας ισχύει x = y = z = r /. Να υπολογισθούν οι αβεβαιότητες στις ορµές και από αυτές και την αρχή του Heisenberg να υπολογισθεί η ελάχιστη κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου στην κατάσταση αυτή. Γ) Για ένα ηλεκτρόνιο σε σφαιρικό κουτί ακτίνας a, η πυκνότητα πιθανότητας είναι σταθερή (και κανονικοποιηµένη). Να γίνουν οι αντίστοιχοι υπολογισµοί και να συγκριθούν οι δύο ελάχιστες κινητικές ενέργειες. Λύση Α) Για τη θεµελιώδη κατάσταση του ατόµου υδρογόνου έχουµε (Serway et al. εξισ. 7.5) P(r)= 4 a r e r /a Έχουµε <r>= a (Παραδ. 7.8) και <r >= P(r)r dr= a και κατά συνέπεια r = 4 a Β) Από την σχέση απροσδιοριστίας του Heisenberg έχουµε x x ħ, κλπ για y, z. Ισχύει x = y = z = r =a 4 4ħ ħ Άρα, x =, κλπ ή 4a a x ħ m ma 8
Τελικά, η κινητική ενέργεια δίνεται απόt Γ) Τώρα έχουµε P(r)= 4πr 4πa / = r a παρατηρούµε ότι η παραπάνω πιθανότητα είναι κανονικοποιηµένη στην σφαίρα ακτίνας a. Αντίστοιχα βρίσκουµε a <r>= P(r)rdr= 4 a και ħ ma a <r >= P(r)r dr= 5 a και κατα συνέπεια r =<r ><r> = 8 a Ισχύει αντίστοιχα x = y = z = r =a 8 x 8h 4a Τελικά ħ T a = h a Παρατηρούµε ότι η ελάχιστη κινητική ενέργεια είναι στην δεύτερη περίπτωση αρκετά µεγαλύτερη. Άσκηση 1 Α) Η ενέργεια υδρογονοειδούς ατόµου είναι ke Z Z En = ( 1.6eV), n 1,,,... = = a n n En και εποµένως αφού δίνεται ότι n= βρίσκουµεz = = 16 Z = 4, οπότε 1.6 συµπεραίνουµε ότι πρόκειται για το ιόν Be +. Β) Ο κβαντικός αριθµός της τροχιακής στροφορµής είναι l = 1, οπότε το µέτρο της 16 είναι L= l( l+ 1) ħ= ħ L= 9.8 1 ev s. Οι επιτρεπόµενες τιµές του κβαντικού αριθµού m l είναι 1,, -1 και άρα οι αντίστοιχες γωνίες µεταξύ του διανύσµατος της στροφορµής και δεδοµένου άξονα z στον οποίο µετράµε την προβολή L z είναι 9
1/ 45 ml cosϑ = = ϑ = 9 l( l+ 1) 1/ 15 kze Γ) H µέση τιµή της κινητικής ενέργειας είναι K = E U, όπου U( r) = η r δυναµική ενέργεια, η µέση τιµή της οποίας δίνεται από τη σχέση 7.9 ( ) 1( ) U = U r r R r dr. Από τον πίνακα 7. έχουµε / Z Zr R1( r) = a a e Zr / a, άρα 6 Z Z r Zr / a ke Z Zr / a o 4 a a a 1a. Θέτοντας U =kze r e dr= r e dr x= Zr / a r= ax / Z, έχουµε U 6 4 x xe dx! 4 4 ke Z a ke Z ke Z = a 1a Z = =. Θέτοντας Ζ=4 από το Α) a 1 a ερώτηµα, βρίσκουµε 4 U = 1.6 ev= 18.8eV, και εποµένως K = 54.4eV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1) Η πιθανότητα έχει µέγιστα, άρα ευρίσκεται στην η διεγερµένη κατάσταση, 6L= λ/ λ= 4L. ( ) x πx Η κυµατοσυνάρτηση είναι ψ( x) ψsin π = ψsin = λ L h h Η ενέργειά του είναι = = m mλ ml 6 L= λ/ λ= 1L, είναι Η ενέργεια της βασικής κατάστασης, όπου ( ) h h = =. m mλ 88mL Άρα η ενέργεια διεγέρσεως είναι h h = h ml 88mL 6mL ) Α) εν είναι αποδεκτή γιατί απειρίζεται για x Β) εν είναι αποδεκτή καθώς δεν είναι συνεχής στο x= Γ) Είναι αποδεκτή καθώς είναι συνεχής παντού και µηδενίζεται στα όρια x ± και το ολοκλήρωµα + + 1 dxψ ( x) = A dx = είναι πεπερασµένο ( x a ) a + ) Η ενέργεια της στάσιµης κατάστασης µε κβαντικούς αριθµούς 1,, n n n δίνεται σύµφωνα µε τον τύπο (7.8) του βιβλίου των Serway-Moses-Moyer από π 1
π ħ Enn ( ) 1 n = n 1 + n + n ml 1-7 Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του προβλήµατος L= 1 m, m=1.67 1 kg βρίσκουµε ( n1 n n) ( 1.55 1 J s) ( ) ( n ) 1 n n 7 15 π.78ev 1.6 1 J/eV= + + 1.67 1 kg 1 m + + 14 Το οποίο ισχύει για ( n n n ) = ( ) 1 4-19,, 1,,,(1,,),(,1,),(,,1),(,1,),(,,1) Εποµένως ο εκφυλισµός της κατάστασης είναι 6. 4)Ισχύει q = υ+υ' q 1 υ+υ 1 ' = υ+υ' υ+ υ' = 1+υ'/υ 1+ υ'/υ = 1+1/ 1+1 = /4 q 1 = υ+υ ' 1 υ' =υ+ q υ+υ ' υ+υ' 1+ υ'/υ 1+ / = = 1+ υ'/υ 1+ / = 4 /5 κλπ. Εφόσον τα πηλίκα φορτίων είναι ίσα µε λόγους µικρών αριθµών, οι τιµες είναι συµβατές µε την κβαντιση του φορτίου. 5) Σύµφωνα µε το Κεφάλαιο 4 του βιβλίου του Serway σε µια στάσιµη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου οι τιµές των παρακάτω ποσοτήτων Ποσότητα Καθορισµένη τιµή (i) Κινητική ενέργεια ΟΧΙ (ii) Θέση ΟΧΙ (iii) Μέτρο θέσης ΟΧΙ (iv) υναµική ενέργεια ΟΧΙ (v) Ορµή ΟΧΙ (vi) Μέτρο ορµής ΟΧΙ (vii) Συνολική ενέργεια ΝΑΙ, En 1.6 = ev, n= 1,, n (viii) Στροφορµή ΟΧΙ, (µόνο µια συνιστώσα) (ix) Μέτρο στροφορµής ΝΑΙ, L= l( l+ 1) ħ, l =,1,, n1 11