ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική θεωρία, θεμελιώνεται σε αξιώματα που δεν διαψεύδονται από τα πειραματικά δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας και τα δυο θεμελιώδη αξιώματά της είναι η Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας και η Νευτώνεια Αρχή του Ντετερμινισμού Η Αρχή του Ντετερμινισμού πρωτοεμφανίστηκε με τη μορφή της θεμελιώδους εξίσωσης της κίνησης στο βιβλίο του Νεύτωνα Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας Εκεί δηλώνεται ότι η θέση και η ταχύτητα ενός σώματος σε μια χρονική στιγμή ορίζουν μονοσήμαντα τη μελλοντική και παρελθούσα εξέλιξή του Η αντίληψη αυτή υπάγεται στο γενικό σχήμα του επιστημονικού ντετερμινισμού που, βασισμένο στη σχέση αιτίας και αποτελέσματος, αποδέχεται την επικράτηση της προδιαγεγραμμένης τάξης Όταν αναφερόμαστε στην κίνηση ενός υλικού σημείου στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο τότε η αξιωματική αυτή αρχή διασφαλίζει την ύπαρξη μιας συνάρτησης ορισμένης στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα, με τιμές στο χώρο των θέσεων: f : που, για κάθε δεδομένη αρχική θέση xt ( ) και αρχική ταχύτητα xt ( ) του υλικού σημείου, ορίζει την κίνηση του στο χώρο ως λύση της θεμελιώδους εξίσωσης: d x f ( xxt,, ) Isaac Newtn, Philsphiæ Naturalis Principia Mathematica, 687

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η αξιωματική εισαγωγή της θεμελιώδους εξίσωσης, ως διαφορικής εξίσωσης ης τάξης, καθορίζει την ορθολογική βάση ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας της κίνησης ανταποκρινόμενης στα πειραματικά δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυσικά δεδομένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζει μονοσήμαντα την κίνηση, για κάθε δεδομένη αρχική θέση και ταχύτητα, σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα Οι νόμοι της φύσης παραμένουν αναλλοίωτοι στο πέρασμα του χρόνου και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χρονικής μεταφοράς διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x () t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x ( t t ), για κάθε t Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση δεν εξαρτάται ά μεσα από το χρόνο, οπότε, με την προϋπόθεση ότι η κίνηση είναι αυτόνομη, χωρίς να επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, ο χρόνος υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση ως παράμετρος και όχι ως ανεξάρτητη μεταβλητή Όταν η κίνηση ενός συστήματος υλικών σημείων επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, η επίδραση αυτή υποκαθίσταται από μια χρονική μεταβολή των παραμέτρων που επηρεάζουν τη θεμελιώδη εξίσωση και τότε ο χρόνος μπορεί να εμφανιστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή Συνεπώς, στις αυτόνομες κινήσεις, η συνάρτηση αυτή ορίζεται στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων και των ταχυτήτων και η θεμελιώδης εξίσωση διατυπώνεται ως εξής: d x f ( xx, ) Η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σημείου αποσυντίθεται σε τρεις εξισώσεις που διατυπώνονται ως εξής: d xi f (, ) i xx i, (, ) (, ), (, ), (, ),,, f xx f xx f xx f xx Θέτοντας x y, η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σημείου εκφράζεται στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων ως σύστημα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης: dx dy y, f( x, y), και αποσυντίθεται σε έξι διαφορικές εξισώσεις που διατυπώνονται ως εξής: dxi dyi yi, f( x, y), i,, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Ο θεσεογραφικός χώρος ενός υλικού σημείου είναι το σύνολο των θέσεων που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει στον ευκλείδειο χώρο Αν το υλικό σημείο δεν υπόκειται σε περιορισμούς τότε ο θεσεογραφικός του χώρος είναι ολόκληρος ο ευκλείδειος χώρος και σε κάθε σημείο οι αντίστοιχες ενδεχόμενες ταχύτητες σχηματίζουν ένα χώρο ισόμορφο προς τον πραγματικό διανυσματικό χώρο Αν εξωτερικοί παράγοντες περιορίσουν τις θέσεις προσβασιμότητας του υλικού σημείου τότε ο θεσεογραφικός του χώρος περιορίζεται σε ένα υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα το απλό επίπεδο εκκρεμές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας Αν m είναι η μάζα του και l το μήκος του, τότε κάθε χρονική στιγμή η θέση του ορίζεται με ένα σημείο στον κύκλο ακτίνας l που είναι επικεντρωμένος στο σημείο πρόσδεσης και περιέχεται στο επίπεδο κίνησης Τα σημεία αυτού του κύκλου εκφράζουν όλες τις ενδεχόμενες θέσεις του εκκρεμούς και ορίζουν το θεσεογραφικό του χώρο με γεωμετρικό πρό τυπο το μοναδιαίο κύκλο Σε κάθε σημείο του θεσεογραφικού χώρου η ενδεχόμενη ταχύτητα του εκκρεμούς έχει ως φορέα την αντίστοιχη εφαπτόμενη ευθεία και η γωνιακή του ταχύτητα ορίζει ένα σημείο της πραγματικής ευθείας Ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων του εκκρεμούς, δηλαδή το σύνολο όλων των ενδεχόμενων θέσεων και αντίστοιχων ενδεχόμενων ταχυτήτων του, έχει ως γεωμετρικό πρότυπο την κυλινδρική επιφάνεια που ορίζεται από το τοπολογικό γινόμενο Σαφέ στερα, συμβολίζοντας T x την εφαπτόμενη ευθεία στο σημείο ορίζεται ως το εφαπτόμενο ινώδες του θεσεογραφικού του χώρου: T x { x} T x x, το γεωμετρικό αυτό πρότυπο Ο χώρος των θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς είναι το τοπολογικό γινόμενο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Όταν το εκκρεμές εκτελεί την κίνησή του χωρίς τριβές, δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας, η τελικά ασκούμενη δύναμη που προκύπτει από το πεδίο βαρύτητας οδηγεί στην εξίσωση του Νεύτωνα: x sin x, g / l Απλό επίπεδο εκκρεμές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας Η εξίσωση που διέπει την κίνηση του εκκρεμούς διατυπώνεται στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ως σύστημα διαφορικών εξισώσεων: x y y sin x και εκφράζεται γεωμετρικά ως διανυσματικό πεδίο εφαπτόμενο στην κυλινδρική επιφάνεια: : T( ), ( x, y) y, sinx Το διανυσματικό πεδίο του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 4

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η συνάρτηση ενέργειας προσμετρά σε κάθε σημείο του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας του εκκρεμούς και με προσέγγιση του διαστατικού παράγοντα ml εκφράζεται ως εξής: :, x,y csx y / Η συνάρτηση αυτή δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και χάρη στην περιοδικότητά της ως προς x ορίζεται στηn κυλινδρική επιφάνεια, η οποία με εκδίπλωσή της αποτυπώνει τις ισοενεργειακές καμπύλες στο ευκλείδειο επίπεδο Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κάθε τροχιά ενεργειακής τιμής E περιέχεται στην ισοενεργειακή καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση: x y / / ml cs E Αποτύπωση του διανυσματικού πεδίου του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο ευκλείδειο επίπεδο Αποτύπωση των ισοενεργειακών καμπύλων και των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο ευκλείδειο επίπεδο Η προβολή των σημείων κάθε τροχιάς στον άξονα των θέσεων ή των ταχυτήτων δίνει την αντίστοιχη θέση και ταχύτητα του εκκρεμούς σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 5

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Μια ενδιαφέρουσα γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων του εκκρεμούς προκύπτει όταν, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση της συνάρτησης ενέργειας, μετασχηματί σουμε τον κύλινδρο S μέσα στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: S, xx x x x x (, ) (sin,, (cs ) /) Κάθε ενεργειακή τιμή ορίζει στην η διάσταση ένα οριζόντιο επίπεδο το οποίο τέμνοντας τη μετασχηματισμένη επιφάνεια του κυλίνδρου αποδίδει τις αντίστοιχες τροχιές Οι καταστάσεις ισορροπίας του εκκρεμούς ορίζονται από τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης ενέργειας, δηλαδή τα σημεία μηδενισμού του διαφορικού της στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων: d ( x,y) sin x dx y dy και τα σημεία αυτά αντιστοιχούν στα ακρότατα της συνάρτησης δυναμικού: U cs x x Γράφημα της συνάρτησης δυναμικού και τροχιές στο επίπεδο θέσεων ταχυτήτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 6

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Συγκεκριμένα, οι καταστάσεις ισορροπίας διακρίνονται ως εξής: Οι καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας ( x n, x 0), n : Στα σημεία αυτά η ενεργειακή τιμή είναι E 0 και η συνάρτηση δυναμικού ελαχιστοποιείται: ( x ) 0 U ( x ) 0 U και Στην περιοχή της κατάστασης ευσταθούς ισορροπίας οι ισοενεργειακές καμπύλες είναι ομοθετικές ελλείψεις και ταυτίζονται με τις τροχιές του εκκρεμούς στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων μέχρι την ενεργειακή τιμή E gml Οι καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας x (n), x 0, n : Στα σημεία αυτά η ενεργειακή τιμή είναι E gml και η συνάρτηση δυναμικού μεγιστοποιείται: U ( x ) 0 και U ( x ) 0 Η ενεργειακή αυτή τιμή ορίζει μια κλειστή ισοενεργειακή καμπύλη που περιέχει τέσσερις τροχιές από τις οποίες οι δυο διαχωριστικές τροχιές καταλήγουν σε άπειρο χρόνο στις αντίστοιχες σημειακές καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας Πέρα από αυτή την ενεργειακή τιμή το εκκρεμές εκτελεί περιστροφική κίνηση και οι ισοενεργειακές καμπύλες, αλλάζοντας τοπολογική φύση, δεν είναι πλέον κλειστές και ταυτίζονται με τις τροχιές στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων Το απλό επίπεδο εκκρεμές ανήκει στην κατηγορία των συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας, δηλαδή των συστημάτων που η κίνησή τους διέπεται από μια μονοδιάστατη εξίσωση: d x m F( x), x Τα συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας διαθέτουν συνάρτηση δυναμικού που ορίζεται ως εξής: x U ( x) F( udu ) και η συνάρτηση ενέργειας ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως εξής: :, ( x, x) U ( x) mx Κατά τη διάρκεια της κίνησης η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιμή: U x ( x() t ) mx() t E, E, και η τιμή αυτή ορίζεται από τις αρχικές συνθήκες x xt ( ) και v x ( t) : E = U ( x) mv ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 7

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Οι τροχιές που αντιστοιχούν στη δεδομένη ενεργειακή τιμή περιέχονται στην ισοενεργειακή καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων από την εξίσωση: U ( x) mx E και εξελίσσονται στο χωρίο επιτρεπτής κίνησης που ορίζεται από την ανισοτική σχέση: U ( x) E Γράφημα συνάρτησης δυναμικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης με δεδομένη ενεργειακή τιμή Ο προσδιορισμός των τροχιών ανάγεται στον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος: / m x x E dx ( ) t t U x Οι ισοενεργειακές καμπύλες, σύμφωνα με το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων, είναι λείες στην περιοχή κάθε σημείου τους στο οποίο δεν μηδενίζεται η δύναμη Οι καμπύλες αυτές ίσως εμφανίζουν αυτοτομές, όμως το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώνει ότι από κάθε σημείο του επιπέδου των θέσεων και ταχυτήτων διέρχεται μόνο μια τροχιά Συνεπώς, κάθε ισοενεργειακή καμπύλη αποτελείται από μια ή ενδεχομένως περισσότερες τροχιές ίδιας ενεργειακής τιμής Οι σημειακές τροχιές ορίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας: xt () x, xt () 0 Στις θέσεις όπου έχουμε κατάσταση ισορροπίας μηδενίζεται η δύναμη, άρα εκεί η συνάρτηση δυναμικού παρουσιάζει ακρότατες τιμές ή σημείο καμπής: ( ) 0 U x και U( x ) 0 ή U( x ) 0 ή U( x ) 0 Οι θέσεις ελαχιστοποίησης της συνάρτησης δυναμικού ορίζουν τις καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας και αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που εξελίσσονται στην περιοχή του Οι θέσεις μεγιστοποίησης της συνάρτησης δυναμικού ορίζουν τις καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας και αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 8

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ απομακρύνονται από την περιοχή του Στην περίπτωση σημείου καμπής εμφανίζεται μια κατάσταση ιδιάζουσας ισορροπίας και αυτό σημαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ορίζουν τροχιές που άλλες απομακρύνονται και άλλες εξελίσσονται στην περιοχή του Έτσι, η ποιοτική συμπεριφορά των τροχιών κοντά στις καταστάσεις ισορροπίας γίνεται α μέσως αντιληπτή από το γράφημα της συνάρτησης δυναμικού και επιπλέον, όπως θα διαπιστώσουμε, η ποιοτική μελέτη μπορεί να αναχθεί σε συγκεκριμένα τοπικά τετραγωνικά πρότυπα Η συμπεριφορά των τροχιών κοντά στις καταστάσεις ισορροπίας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων των συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας γίνεται αντιληπτή από το γράφημα της συνάρτησης δυναμικού Λήμμα του Mrse Κάθε συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής που είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμη, σε κατάλληλες τοπικές συντεταγμένες επικεντρωμένες στα σημεία ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησής της, αποκτά την αντίστοιχη τετραγωνική έκφραση: ( x) x U Απόδειξη Με μια μετατόπιση των αξόνων μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση αποκτά το τοπικό ακρότατό της στην αρχή των αξόνων: U (0) 0 και εφαρμόζουμε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού: x x U( x) du U( ) dx U ( tx) xa( x) 0 0 0 Η συνθήκη U (0) 0 υπαγορεύει ότι A(0) 0 και εφαρμόζοντας, σε αυτή τη συνάρτηση, το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού προκύπτει: U ()= x x B() x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 9

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η συνθήκη U (0) 0 υπαγορεύει ότι B(0) 0 και έτσι εξασφαλίζεται η αμφιδιαφορισιμότητα του τοπικού μετασχηματισμού που ορίζει τις τοπικές καμπυλόγραμμες συντεταγμένες: :,,, / x ( x) x B( x) Σε αυτό το σύστημα τοπικών συντεταγμένων η συνάρτηση αποκτά τετραγωνική έκφραση: U ( x ) x Έτσι, στην περιοχή της ευσταθούς και της ασταθούς ισορροπίας προκύπτουν τα αντίστοιχα τετραγωνικά τοπικά πρότυπα της συνάρτησης δυναμικού και στα πρότυπα αυτά αντιστοιχούν οι εξής τοπικές εκφράσεις της εξίσωσης της κίνησης στην περιοχή της ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας: dx m F( x) dx du 0 m dx dx x 0 m K xt ( ) Τα τοπικά τετραγωνικά πρότυπα των συναρτήσεων δυναμικού ενός βαθμού ελευθερίας και η αντίστοιχη συμπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων στην περιοχή των σημείων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας Για παράδειγμα, η συνάρτηση δυναμικού του απλού επίπεδου εκκρεμούς: U ( x) cs παίρνει τις ακρότατες τιμές της στα σημεία x =k, x k Στα σημεία αυτά μηδενίζεται η η παράγωγος χωρίς να μηδενίζεται η η παράγωγός της και ακριβώς εκεί έχει εφαρμογή το Λήμμα του Mrse Στην περιοχή του σημείου x= 0, η συνάρτηση δυναμικού αναλύεται σε δυναμοσειρά ως εξής: n n U () n () n ( x) x x x ( n)! ( n)! n n ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 0

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Το Λήμμα του Mrse δηλώνει ότι, τοπικά, η δυναμοσειρά που προκύπτει από την παραγοντοποίηση απορροφάται στο νέο τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων και, μεταφερόμενοι στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, η συνάρτηση ενέργειας εκφράζεται τοπικά ως εξής: ( x, y) x y m Στην περιοχή του σημείου x =, η συνάρτηση δυναμικού αναλύεται σε δυναμοσειρά ως εξής: n n () n () n U ( x) ( x) ( x) ( x) ( n)! ( n)! n0 n Το Λήμμα του Mrse δηλώνει ότι, τοπικά, η δυναμοσειρά που προκύπτει από την παραγοντοποίηση απορροφάται στο νέο τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων και, μεταφερόμενοι στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, η συνάρτηση ενέργειας εκφράζεται τοπικά ως εξής: ( x, y) x y m ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ Ο : ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΕΛΚΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΠΩΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ F( x) K x, 0 K F( x) K x, 0 K Ευσταθής ισορροπία Ασταθής ισορροπία U( x) K x ( x, x) K x m x U( x) K x ( x, x) K x m x Εξίσωση του Νεύτωνα m xt () K xt () 0 x() t C cst C sint =Asin( t ) Εξίσωση του Νεύτωνα m xt () K xt () 0 x() t C e e t C t () *() K / m K / m () Η μονοδιάστατη αυτή περιοδική κίνηση είναι αρμονική ταλάντωση της οποίας το πλάτος και η φάση καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η περίοδος και η συχνότητα είναι σταθερές Τα ισοενεργειακά της σύνολα είναι ελλείψεις που διαγράφονται γύρω από την κατάσταση ισορροπίας () Τα ισοενεργειακά σύνολα της μονοδιάστατης αυτής κίνησης είναι κλάδοι υπερβολών ενεργειακής τιμής EK CC, ενώ η μηδενική ενεργειακή τιμή ορίζει τις ασύμπτωτες τους ευθείες x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ