Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός του κεφαλαίου είαι ια σύτοη αασκόπηση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, καθώς και η εσωάτωση της θεωρίας στις εξισώσεις του Maxwell. Η εσωάτωση αυτή οδηγεί κατόπι στη καταόηση του τρόπου ε το οποίο ετασχηατίζοται τα ηλεκτροαγητικά πεδία από έα σύστηα ααφοράς σε έα άλλο. Προσδοκώεα αποτελέσατα Με τη ολοκλήρωση της ελέτης του κεφαλαίου, θα πορείτε α: ααφέρετε τις θεελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς ετασχηατίζεται έας ταυστής ης τάξης ικαιολογήσετε γιατί ο όος του Νεύτωα αλλάζει ορφή στη ειδική θεωρία της σχετικότητας, εώ οι εξισώσεις του Maxwell έου ως έχου Ααφέρετε τι είαι η δύαη Minkowski Προσδιορίσετε πώς γράφεται η εξίσωση της συέχειας σε συαλλοίωτη ορφή Περιγράψετε δύο εθόδους για τη εύρεση του ηλεκτροαγητικού πεδίου που οφείλεται σε φορτίο κιούεο ε σταθερή ταχύτητα. Έοιες κλειδιά ετασχηατισός Lorentz χώρος Minkowski τετραδιάυσα ταυστής σύστηα ααφοράς δύαη Minkowski ηλεκτροαγητικός ταυστής Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος συαλλοίωτη ορφή ΕΝΟΤΗΤΑ.: Μετασχηατισός Lorentz Οι εξισώσεις του Maxwell είαι συβατές ε ια και όο ταχύτητα ηλεκτροαγητικώ κυάτω: (.) ε Η παρατηρούεη ταχύτητα όως για κάθε κύα είαι συάρτηση του συστήατος ααφοράς στο οποίο βρισκόαστε. Σε ποιο σύστηα ααφοράς ισχύει η ταχύτητα (.); Η ταχύτητα τω ηλεκτροαγητικώ κυάτω είαι η οαδική «απόλυτη» ταχύτητα στη φύση και παραέει η ίδια σε κάθε σύστηα ααφοράς. Το θεελιώδες αυτό πόρισα προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell, που είαι συβατές ε ια και όο ταχύτητα ηλεκτροαγητικώ κυάτω. Το πόρισα αυτό αποτελεί ια από τις δύο θεελιώδεις υποθέσεις στις οποίες βασίζεται η ειδική θεωρία της σχετικότητας. Οι υποθέσεις αυτές είαι:. Σχετικότητα: Οι όοι της φύσης είαι οι ίδιοι σε όλα τα αδραειακά συστήατα.. Απόλυτη ταχύτητα του φωτός: Η ταχύτητα τω ηλεκτροαγητικώ κυάτω (άρα και του φωτός) είαι η ίδια σε όλα τα αδραειακά συστήατα. Η δεύτερη υπόθεση δε είαι συβατή ε το κλασικό ετασχηατισό του Γαλιλαίου, σύφωα ε το οποίο, α έα αδραειακό σύστηα F κιείται ε ταχύτητα ˆ vi σχετικά ε άλλο σύστηα F, τότε οι συτεταγέες εός γεγοότος ( x, y, z, t ) όπως παρατηρείται στο F σχετίζοται ε τις ατίστοιχες συτεταγέες (x,y,z,t) στο F έσω του ετασχηατισού: x x vt, y y, z z, t t (.) Α το διάυσα της ταχύτητας v είαι αυθαίρετο, τότε ο ετασχηατισός του Γαλιλαίου γράφεται: x // x vt, x x, t t (.3) όπου // και συβολίζου τις διαυσατικές συιστώσες που είαι παράλληλες και κάθετες στο σταθερό διάυσα v. Ο ατίστοιχος ετασχηατισός ταχυτήτω είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος dx // d( x// vt) u // u // dt dt dx dx u u dt dt v (.4) (.5) Εώ για το ετασχηατισό τω επιταχύσεω έχουε: du d( u v) a a dt dt (.6) Σύφωα ε το ετασχηατισό του Γαλιλαίου (.4), η παρατηρούεη ταχύτητα (κύατος ή σωατίω) δε είαι η ίδια σε δύο διαφορετικά αδραειακά συστήατα, σε ατίθεση ε το πόρισα που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell. Η υπόθεση του Γαλιλαίου ότι τα χωρικά ήκη και τα χροικά διαστήατα είαι απόλυτες ποσότητες ( x x, t t ) οδήγησε στη σχετικότητα της ταχύτητας (.4). Η πειραατικά διαπιστωέη απόλυτη τιή της ταχύτητας του φωτός (πείραα Mihelson- Morley, 887) ( ) όως ας ααγκάζει α αφισβητήσουε τη απόλυτη τιή τω ηκώ και τω χροικώ διαστηάτω ( x x, t t ). Ο ετασχηατισός που σέβεται τη απόλυτη τιή της ταχύτητας του φωτός θυσιάζοτας τη απόλυτη τιή ηκώ και χροικώ διαστηάτω λέγεται ετασχηατισός Lorentz. Για α βρούε τη ορφή του ετασχηατισού Lorentz, θεωρούε πάλι τα αδραειακά συστήατα F και F που κιούται ε σχετική ταχύτητα v v i συπίπτου τη στιγή t t '. και οι αρχές τους Έστω φωτειός παλός που εκπέπεται στη θέση x τη t ως προς το F. Τη χροική στιγή t η ακτία του σφαιρικά διαδιδόεου φωτειού κύατος είαι t και οι συτεταγέες ( x, y, z ) του σφαιρικού ετώπου κύατος ικαοποιού τη σχέση: x y z t + + (.7) Σύφωα ε τη δεύτερη υπόθεση της σχετικότητας και τις εξισώσεις του Maxwell, το έτωπο κύατος στο σύστηα σχέση: F ' έχει συτεταγέες x, y, z που ικαοποιού τη (.8) x + y + z t t Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Είαι, εποέως, και πάλι έα σφαιρικό κύα ε ακτία (,,, ) x y z t ε τα ( x, y, z, t ), ε δεδοέο ότι ισχύου οι (.7) και (.8); Ατικαθιστώτας στη (.8) το ετασχηατισό όπου t '. Πώς σχετίζοται τα x γ ( x vt), y y, z z, t γ ( t vx / ) (.9) πορούε εύκολα α δείξουε ότι προκύπτει η (.7). γ (.) v Ο ετασχηατισός (.9) είαι ο ετασχηατισός Lorentz, που διατηρεί σταθερή τη ταχύτητα του φωτός σε όλα τα αδραειακά συστήατα, αλλά εισάγει τη σχετικότητα στα ήκη και τα χροικά διαστήατα. Η γεική ορφή του ετασχηατισού Lorentz για γεική σχετική ταχύτητα v είαι: x // γ ( x // vt), x x, t γ ( t vx // / ) (.) εώ ο ατίστροφος ετασχηατισός είαι: x // γ ( x // + vt ), x x, t γ t + vx (.) ( // / ) Ο ατίστροφος ετασχηατισός είαι ισοδύαος ε ατιετάθεση του ( x,t) και του ( x,t ) και ατικατάσταση του v από το v, αφού το F κιείται ε ταχύτητα v σχετικά ε το F ' αδραειακό σύστηα. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Θεωρήστε ιόια ε εέργεια GeV, που δηιουργούται, για παράδειγα, σε σκεδάσεις υψηλής εέργειας. Ποια είαι η έση απόσταση που ταξιδεύου τα ιόια πρι διασπαστού, υποθέτοτας ότι δε σταατού από εργαστηριακές θωρακίσεις; ΕΝΟΤΗΤΑ.: Ο χώρος Minkowski Ο χώρος Minkowski είαι έας 4-διάστατος χώρος που αποτελείται από τις τρεις διαστάσεις χώρου και ια διάσταση χρόου. Γι αυτό λέγεται 4-διάστατος χωροχρόος. Ορίζουε το τετραδιάστατο διάυσα x ως: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος x x t x x x y 3 x z όπου,,, 3 απαριθεί τις συιστώσες του x. (.3) Ο ετασχηατισός Lorentz παρασταθεί ως έας 4 4 πίακας x x ' είαι γραικός και, εποέως, πορεί α Λ αεξαρτήτως από τα x ' x, x ' : Λ x (.4) όπου χρησιοποιούε το συβολισό Einstein, σύφωα ε το οποίο επααλαβαόεοι δείκτες [όπως ο στη (.4)] οούται ως αθροιζόεοι. Έτσι, ο ετασχηατισός Lorentz πορεί α παρασταθεί ε τη ορφή του πίακα ετασχηατισού όπου β και γ. β γ βγ βγ γ Λ Από τις (.4) και (.5) προκύπτει εύκολα η (.9). (.5) Με τη βοήθεια του ετασχηατισού Lorentz (.5), που ατιστοιχεί σε γεικευέο πίακα στροφώ στο χωροχρόο, πορούε α ορίσουε διαύσατα και ταυστές σε 4 διαστάσεις. Τετραδιάυσα α είαι έα σύολο από 4 συιστώσες που ετασχηατίζοται από έα αδραειακό σύστηα σε άλλο σύφωα ε τη σχέση: a ' Ταυστής ης τάξης (ε δύο δείκτες) Λ a (.6) Τ είαι έα σύολο από 6 συιστώσες (πίακας 4x4) που ετασχηατίζεται όπως το γιόεο δύο διαυσάτω x x, δηλαδή: σ Τ ' Λ Λ Τ (.7) ρ (η άθροιση στα ρ, σ εοείται). Σε κάθε διάυσα a ατιστοιχεί η τετράδα a (ε κάτω δείκτη), που ορίζεται ως: σ Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος α a a a a a a 3 a 3 a (.8) Το a λέγεται αταλλοίωτο διάυσα, εώ το a λέγεται συαλλοίωτο διάυσα. Όοια ορίζοται και ταυστές ε κάτω δείκτες ij i i, ij, i, i Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ (.9) όπου οι ρωαϊκοί δείκτες ( i, j, k,...) παίρου τιές,, 3, που ατιστοιχού σε διαστάσεις χώρου x, y, z. Τα συαλλοίωτα διαύσατα a (και οι συαλλοίωτοι δείκτες γεικότερα) ετασχηατίζοται ε το ατίστροφο ετασχηατισό Lorentz ( Λ ) : ( a ' a ( ) ) Λ έτσι ώστε το γιόεο a b a b a b i i + (.) α είαι ααλλοίωτο κάτω από ετασχηατισούς Lorentz (όπως και το x x t x y z + + + για το φως είαι ααλλοίωτο). ΕΝΟΤΗΤΑ.3: Κιηατική υλικού σηείου Έστω υλικό σηείο Ρ που διαγράφει τροχιά στο χωροχρόο. Η τροχιά αυτή στις 4 διαστάσεις λέγεται κοσική γραή. Ορίζουε το ααλλοίωτο ιδιοχρόο του Ρ από τη σχέση: d τ dx dx dt dx (.) όπου dx είαι απειροστή ετατόπιση κατά ήκος της κοσικής γραής. Χρησιοποιώτας το ιδιοχρόο dt, πορούε α ορίσουε τη τετραταχύτητα έα ααλλοίωτο διάυσα: η ως ε συιστώσες: dx η (.) dt Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος dt (.3) u dt dx u η (.4) u u dt η dx dt όπου dx u (.5) dt είαι η ταχύτητα του σωατίου στο σύστηα F. Σε ατίθεση ε τις συιστώσες του η, οι συιστώσες του u δε αποτελού τετραδιάυσα. Η τετραορή του P ορίζεται ως: p mη (.6) όπου m η άζα ηρείας (βαθωτό κατά Lorentz). Εποέως, έχουε: p o p mη m u / mu u / (.7) (.8) Για u<<, η (.7) γράφεται ως: p m + mu +... (.9) Εποέως, πορούε α ταυτίσουε τη σηείου. p ε Ε/, όπου Ε η ολική εέργεια του υλικού Απαλείφοτας τη u από τις (.7) και (.8) και χρησιοποιώτας τη σχέση p (.3) E πορούε α συσχετίσουε τη εέργεια ε τη ορή ως: E 4 m + p (.3) Η ταύτιση της ορής και της εέργειας ε τις συιστώσες του τετραδιαύσατος p E, p εξασφαλίζει ότι, α η διατήρηση της ορής και της εέργειας ισχύει σε ( ) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος έα σύστηα ααφοράς, θα ισχύει ααγκαστικά και σε οποιοδήποτε άλλο συδέεται ε το πρώτο ε έα ετασχηατισό Lorentz τότε: Λ. Α δηλαδή Pαρχικ ό Pτελικ ό σε έα σύστηα, P ' Λ P Λ P P ' (.3) αρχικό αρχικό τελικό τελικό Η πρώτη υπόθεση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, ότι δηλαδή οι όοι της φύσης έχου τη ίδια ορφή σε όλα τα αδραειακά συστήατα ααφοράς, είαι ισοδύαη ε τη απαίτηση έκφρασης όλω τω φυσικώ όω ως ισοτήτω ταυστώ ή τετραδιαυσάτω. Α, για παράδειγα, έας φυσικός όος έχει τη ορφή: T T (.33) σε έα σύστηα ααφοράς F, τότε σε άλλο σύστηα ααφοράς F έχει τη ορφή: διότι: ' ' Τ Τ αβ αβ αβ ' a β a β ' Τ Λ Λ Τ Λ Λ Τ Τ (.34) Λέε ότι οι φυσικοί όοι είαι συαλλοίωτοι, διατηρού δηλαδή τη ίδια ορφή σε όλα τα συστήατα ααφοράς. Ο όος του Νεύτωα dp F( x, t) (.35) dt δε είαι γραέος σε συαλλοίωτη ορφή, αφού τα p και F δε είαι τετραδιαύσατα. Η γείκευσή του σε συαλλοίωτη ορφή είαι: όπου η dp K (.36) dτ K λέγεται δύαη Minkowski και dτ είαι ο στοιχειώδης ιδιοχρόος που είαι βαθωτό (ααλλοίωτος κάτω από ετασχηατισούς Lorentz). Η σχέση της δύαης Minkowski K ε τη Νευτώεια δύαη F προκύπτει εύκολα ως εξής: K dp dp / dt K dτ dτ / dt o F u / o dp de de / dt dτ dτ dτ / dt F u / u / (.37) (.38) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Η γείκευση του όου του Νεύτωα σε συαλλοίωτη ορφή οδηγεί σε αλλαγή της ορφής του (π.χ. οι χωρικές συιστώσες της δύαης Minkowski διαφέρου από τη Νευτώεια δύαη). Αυτό όως δε συβαίει ε τις εξισώσεις του Maxwell, οι οποίες είαι, από κατασκευής, συβατές ε τη ειδική θεωρία της σχετικότητας και δε χρειάζοται καία αλλαγή. Για α γίει εφαής αυτή η συαλλοιότητα τω εξισώσεω του Maxwell, θα πρέπει α γράφου ως ισότητες εταξύ ταυστώ. ΕΝΟΤΗΤΑ.4: Ηλεκτροαγητισός σε συαλλοίωτη ορφή Η Νευτώεια δύαη Lorentz που δρα σε φορτισέο σωάτιο σε συγκεκριέο σύστηα ααφοράς είαι: dp F qe q u B dt + ( ) (.39) Χρησιοποιώτας τις (.37), (.38), πορούε α βρούε τη ατίστοιχη δύαη Minkowski ως: qe + q( u B) E K q + q B η η u (.4) K qe u E qη u (.4) όπου χρησιοποιήσαε τις (.3) και (.4). Η δύαη Minkowski είαι, γεικά, τετραδιάυσα, και εποέως η έκφρασή της συαρτήσει ηλεκτρικού και αγητικού πεδίου θα πρέπει α είαι και αυτή τετραδιάυσα. Για α γίει αυτό εφαές, θα πρέπει το δεξί έλος τω (.4), (.4) α εκφραστεί συαρτήσει τετραδιαυσάτω και ταυστώ. Για το σκοπό αυτό ορίζουε το 4x 4 ατισυετρικό πίακα ότι είαι ταυστής) ως: F ε F (θα δούε παρακάτω ij k ijk B (.4) F i F i i E (.43) Ο πίακας αυτός έχει τη ορφή: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος E E E3 E B3 B F (.44) E B3 B E 3 B B Η δύαη Minkowski πορεί α εκφραστεί συαρτήσει του πίακα E K q q B i i j k η + ε ijkη i ij ( η η j ) F ως: q F + F (.45) όπου χρησιοποιήσαε τις σχέσεις j j E j K qη q ( ηf + η jf ) (.46) η η, Από τις (.45) και (.46) προκύπτει η σχέση: η j v j η. K qη F (.47) Για α είαι η δύαη Minkowski αταλλοίωτο τετραδιάυσα στη (.47) και α ετασχηατίζεται σύφωα ε το ετασχηατισό Lorentz (δεδοέου ότι η η v είαι συαλλοίωτο τετραδιάυσα), θα πρέπει ο πίακας ης τάξης. F α είαι αταλλοίωτος ταυστής Έτσι, η εξίσωση κίησης φορτισέου σωατίου γράφεται σε συαλλοίωτη ορφή ως: Ο ταυστής dp d qnvf τ (.48) F λέγεται ηλεκτροαγητικός ταυστής πεδίου και πορεί α χρησιοποιηθεί για α γραφού οι εξισώσεις του Maxwell σε συαλλοίωτη ορφή. Συγκεκριέα, χρησιοποιώτας τις σχέσεις: F x F i x E B E t (.49) (.5) οι εξισώσεις του Maxwell που συσχετίζου πηγές ε πεδία (όος Gauss και όος Ampere-Maxwell) γράφοται ως: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος όπου J F x J ρ ρ J J x J J y J 3 J z (.5) (.5) είαι το τετραδιάυσα ρεύατος που ετασχηατίζεται ως αταλλοίωτο τετραδιάυσα, δεδοέου ότι στη (.5) ο είαι συαλλοίωτο τετραδιάυσα. x F είαι αταλλοίωτος ταυστής ης τάξης, εώ το Χρησιοποιώτας το ορφή ως: J, η εξίσωση συεχείας ρ J γράφεται σε συαλλοίωτη t J x (.53) Οι άλλες δύο εξισώσεις Maxwell που περιέχου όο πεδία γράφοται σε συαλλοίωτη ορφή ως: όπου G x (.54) G είαι άλλος ατισυετρικός ταυστής, που λέγεται δυϊκός ταυστής πεδίου και ορίζεται ως: G ε αβ Fαβ (.55) αβ αβ όπου ε είαι ο ολικά ατισυετρικός ταυστής σε 4 διαστάσεις ( ε είαι + ή α το αβ είαι άρτια ή περιττή ετάθεση του 3). Οι συιστώσες του G είαι: G ij ε ijαβ F αβ ε ijk E k (.56) i i ijk i G G ε Fjk B (.57) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος και εποέως ο E B : Έτσι, η (.54) ε G προκύπτει από το E και F ε τις ατικαταστάσεις B B B B3 B E3 E G E 3 E (.58) B B E E 3 B ισοδυαεί ε το όο του Gauss ( ), εώ για τις χωρικές συιστώσες (,, 3) η (.54) ισοδυαεί ε το όο του Faraday B E +. t Ο ηλεκτροαγητικός ταυστής πεδίου διαυσατικού δυαικού ως: F πορεί α γραφεί συαρτήσει του F A A (.59) x x όπου V A A (.6) A A3 A x, t V x, t. είαι η συαλλοίωτη γείκευση σε τετραδιάυσα του διαυσατικού δυαικού ( ) ε χρήση και του βαθωτού δυαικού ( ) Η (.59) προκύπτει εύκολα ε χρήση τω (.44) και (9.5), (9.). Οι εξισώσεις του Maxwell που δε περιέχου πηγές ικαοποιούται αυτόατα α τα πεδία εκφραστού V x, t A x, t, άρα και η (.54) ικαοποιείται αυτόατα α ο F συαρτήσει ( ), ( ) εκφραστεί έσω της (.59). Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Βαθωτό δυαικό V και διαυσατικό δυαικό A εός κιούεου φορτίου: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Θεωρήστε έα φορτίο q που κιείται ε ταχύτητα ˆ vi σε έα αδραειακό σύστηα ααφοράς F. Χρησιοποιήστε το γεγοός ότι το ( V /, A ) είαι έα τετραδιάυσα για α βρείτε τα δυαικά V ( x, t) και A( x, t) ισχύει V q 4πε r και A.). (Υπόδειξη: Στο σύστηα ααφοράς του q F Τα V ( x, t) ταχύτητα. και A( x, t) είαι τα δυαικά Lienard-Wiehert για έα φορτίο ε σταθερή ΕΝΟΤΗΤΑ.5: Μετασχηατισός πεδίου Ο F είαι ταυστής ης τάξης και, εποέως, κάτω από ετασχηατισούς Lorentz ετασχηατίζεται ως: όπου F ' ' ρσ ( x ) Λ Λ F ( x) x ' ρ σ Λ λ x λ (.6) Ας θεωρήσουε, για απλότητα, ετασχηατισό όπου σύστηα F κιείται ε ταχύτητα v i σε σχέση ε σύστηα F. Τότε, ο ετασχηατισός Lorentz δίεται από τη (.5). Ατικαθιστώτας τη (.5) στη (.6), έχουε: όπου χρησιοποιήσαε τη σχέση ( ) F F E ' F E' F + βγ γ (.6) ( ) ( ) ' ' γ βγ γ 3 F E F F E vb (.63) ( ) ( ) '3 3 3 ' 3 γ βγ γ 3 F E F F E + vb (.64) F i i ρσ ' Λ ρ Λσ F (.65) Ατίστοιχα, για το αγητικό πεδίο στο σύστηα F έχουε: Λ Λ (.66) i jk j B F κ F ρσ ρ σ όπου ijk είαι κυκλική ετάθεση τω,, 3. Για i έχουε ( j, k) (,3) και η όη η ηδεική συιστώσα του αθροίσατος είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος για i έχουε ( j, k) (3, ) B (.67) 3 3 Λ Λ 3F B, και εποέως: και t3 3 3 3 3 3 3 ve3 B F Λ 3Λ F + Λ 3Λ F βγ F + γf γ ( B + ) (.68) ve B 3 γ ( B3 ) (.69) Οι ετασχηατισοί αυτοί προφαώς ααειγύου ηλεκτρικά και αγητικά πεδία. Αυτό είαι ααεόεο, γιατί α σε σύστηα F υπάρχου στατικά φορτία και εποέως όο ηλεκτρικά πεδία, σε σύστηα F που κιείται ε ταχύτητα v σχετικά ε το F τα στατικά φορτία κιούται ε ταχύτητα + v, και εποέως περιέουε τη ύπαρξη ηλεκτρικώ και αγητικώ πεδίω..5. Ηλεκτροαγητικό πεδίο κιούεου φορτίου Έστω φορτίο q που κιείται ε ταχύτητα ˆ viσε σύστηα F. Έστω ακόα F το σύστηα ηρείας του q, που κιείται ε ταχύτητα ˆ vi ως προς το F. Στο σύστηα F, όπου ηρεεί το q, έχουε: E( x ) B( x ) q 4πε Τα πεδία E( x, t), B( x, t) στο σύστηα F που κιείται ε ταχύτητα x (.7) (.7) 3 x vi ως προς το F υπολογίζοται εφαρόζοτας το ετασχηατισό Lorentz στα πεδία (.7), (.7) και στις συτεταγέες x. Έχουε: x γ ( x vt)ˆ i + yj ˆ + zkˆ (.7) Από τις (.6)-(.64) ε ( v v), λόγω τω (.7), (.7), έχουε: E E, E γe, E γe (.73) 3 3 Από τις (.67)-(.69) ε ( v v), λόγω τω (.7), (.7), έχουε: E3 E B, B γ v, B 3 γ v (.74) Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Ατικαθιστώτας τη (.7) στη (.73) και χρησιοποιώτας τη (.7), βρίσκουε το E( x, t) ως: qγ ( x vt)ˆ i + yj ˆ + zkˆ E( x, t) 4πε γ ( x vt) + y + z 3 (.75) Ατίστοιχα, από τις (.74) προκύπτει, λόγω τω (.7) και (.7) για το αγητικό πεδίο: qγ v ( zj ˆ + ykˆ ) B( x, t) 4πε γ ( x vt) + y + z 3 (.76) Παρατηρούε ότι για ταχύτητες v που προσεγγίζου τη ταχύτητα του φωτός οι δυαικές γραές του ηλεκτρικού πεδίου χάου τη σφαιρική συετρία τους και συπιέζοται σ έα «δίσκο» κάθετο στη διεύθυση της κίησης, εώ το έγεθος του πεδίου αυξάει κατά έα παράγοταγ. Παρατηρητής σε ηρεία στο σηείο x, y, ) του F θα ατιλαβαότα έα απότοο ( z παλό πεδίου τη στιγή x t. v Ατίστοιχα, το αγητικό πεδίο είαι εφαπτοεικό σε κύκλο γύρω από το άξοα κίησης του φορτίου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.3 Έα φορτίο q κιείται προσπερώτας έα αγήτη, όπως φαίεται στο Σχήα.. Η αρχική ταχύτητα v είαι στο επίπεδο του αγήτη. α) Περιγράψτε τη δύαη πάω στο q και τη κίηση του q στο σύστηα ααφοράς στο οποίο ο αγήτης είαι σε ηρεία (αδραειακό σύστηα). β) Περιγράψτε τη δύαη στο q και τη κίηση του q στο σύστηα ααφοράς εός παρατηρητή ο οποίος κιείται ε ταχύτητα v, δηλαδή τη ίδια ταχύτητα ε το q τη χροική στιγή που δείχει το σχήα. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σχήα. Λύσεις Ασκήσεω αυτοαξιολόγησης Λύση. Ο έσος χρόος ζωής στο σύστηα ααφοράς του ιοίου είαι τ. s. Ο έσος χρόος ζωής στο εργαστήριο είαι γτ, όπου: E GeV γ.95 m 5 MeV Η ταχύτητα του ιοίου στο εργαστήριο είαι κοτά στη ταχύτητα του φωτός, οπότε η έση απόσταση που ταξιδεύει πρι διασπαστεί είαι: D 4 6.3 m γτ Επειδή η D είαι εγάλη, σε επιταχυτές υψηλώ εεργειώ χρειάζοται θωρακίσεις εγάλης άζας για ιόια. Λύση. Στο σύστηα ααφοράς του q (τοούεο σύστηα) V ( x ) είαι το βαθωτό δυαικό Coulomb και A. Ο ετασχηατισός Lorentz εός τετραδιαύσατος a είαι: ( ) γ a a + v a / ( ) γ + a a v a / a a 3 3 a a Χρησιοποιώτας το γεγοός ότι το ( V /, A ) είαι τετραδιάυσα, τα δυαικά στο σύστηα εργαστηρίου είαι: Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος V V v γ q γ + A x 4 πε ( x ) + ( y ) + ( z ) δηλαδή: V ( x, t) 4πε και A γ v γ ( A V x + x δηλαδή A x γ q ( ) x vt + y + z γ vq 4 πε γ ( x vt) + y + z ) Οι y και z συιστώσες του A είαι. Τα πεδία που ατιστοιχού στο q πορεί α προκύψου ε διαφόριση τω δυαικώ. Έτσι, πορείτε α δείξετε ότι προκύπτου οι σχέσεις (.75) και (.76). Λύση.3 Σχήα. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος
Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος α) Στο σύστηα του αγήτη, το q κιείται έσα στο αγητικό πεδίο και ασκείται σ αυτό η δύαη qv B. Το φορτίο θα εκτραπεί έξω από τη σελίδα (υποθέτοτας θετικό q). β) Στο σύστηα του παρατηρητή, το q είαι αρχικά σε ηρεία. Α υπήρχε όο έα αγητικό πεδίο B, τότε το q θα παρέεε σε ηρεία, διότι δε υπάρχει αγητική δύαη πάω σε φορτίο που βρίσκεται σε ηρεία. Όως ο αγήτης κιείται ε ταχύτητα v. Από το ετασχηατισό του Lorentz συεπάγεται ότι τα πεδία στο σύστηα του παρατηρητή B και E συδέοται ε τη σχέση: E v B Στη περιοχή του βόρειου πόλου, Ν, το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύεται προς το εξωτερικό της σελίδας. Αυτό το ηλεκτρικό πεδίο ααγκάζει το q α επιταχυθεί προς το εξωτερικό της σελίδας. είτε ακόα PS, τα παραδείγατα του Κεφαλαίου, ε έφαση στα: Example 4 (σελ. 466), Example 5 (σελ. 467), Example 7 (σελ. 473). Ερωτήσεις. Ποιες είαι οι θεελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας;. Πώς ετασχηατίζεται έας ταυστής ης τάξης; 3. Γιατί ο όος του Νεύτωα αλλάζει ορφή στη ειδική θεωρία της σχετικότητας, εώ οι εξισώσεις του Maxwell έου ως έχου; 4. Τι είαι η δύαη Minkowski; 5. Πώς γράφεται η εξίσωση της συέχειας σε συαλλοίωτη ορφή; 6. Περιγράψτε δύο εθόδους για τη εύρεση του ηλεκτροαγητικού πεδίου που οφείλεται σε φορτίο κιούεο ε σταθερή ταχύτητα. Άλυτες ασκήσεις είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου, ε έφαση στις:.,.3,.9,.,.4,.6,.7,.8,.3,.6. Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος