Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Επειδή τα Ζ,, Ε είναι µέσα των πλευρών τριγώνου είναι Ζ // Ε και Ε // Ζ. Άρα το τετράπλευρο Ζ Ε είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα. Άρα ( ΕΖ) (ΖΕ). β) Έχουµε ( ΕΖ) (ΖΕ) από το παραλληλόγραµµο Ζ Ε, ( ΕΖ) ( Ε) από το παραλληλόγραµµο Ζ Ε και ( ΕΖ) (Ζ ) από το παραλληλόγραµµο ΖΕ. Άρα ( ΕΖ) ( Ε) (ΖΕ) (Ζ ). Εποµένως () ( ΕΖ) ή ( ΕΖ) ().. Θα δείξουµε ότι ( ) Πράγµατι είναι: ( ) () Ε Ζ Εποµένως ( ) + () ( ) ( ) Ε Ε + Ζ Ε + Ζ Ε + Ζ. Ζ + ή ( Ε + Ζ) 3
3. α) (Ο ) Ο.Ο ηµ30 Ο.Ο Ο.Ο β) Έχουµε: (Ο ) Ο Ο Όµοια έχουµε: (Ο) Ο Ο ( Ο) Ο Ο (Ο) Ο Ο Άρα: (Ο ) + (Ο) + ( Ο) + (Ο) (Ο Ο + Ο Ο + Ο Ο + Ο Ο) [Ο (Ο + Ο) + Ο (Ο + Ο )] (Ο + Ο ) [( (Ο + Ο)] ( ) (Ο ) + (Ο ) + (Ο) + (Ο). Είναι ( ) ( ) () από το παραλληλόγραµµο Κ (ΚΕ ) (ΕΗ ) () από το παραλληλόγραµµο ΚΕΗ (ΖΕ) (ΛΕ) (3) από το παραλληλόγραµµο ΖΛΕ φαιρούµε τις ισότητες () και (3) από την () και έχουµε: ( ) - (ΚΕ ) - (ΖΕ) ( ) - (ΕΗ ) - (ΛΕ) (ΚΕΖ) (ΕΛΗ) πό ίσα αφαιρέσαµε ίσα και έµειναν ίσα. Η Ζ Λ
5. Θα δείξουµε ότι (ΗΖΕΘ) ( ). Πράγµατι, από τα σχηµατιζόµενα παραλληλόγραµµα ΕΟ, Ο Θ, ΟΗ και ΖΟ έχουµε ότι (Θ ) (Ο ), (Ε) (Ο), ( Ο) ( Η) και (Ο) (Ζ). Εποµένως: (ΗΖΕΘ) (Θ ) + (Ο ) + (Ε) + (Ο) + ( Ο) + ( Η) + (Ο) + (Ζ) (Ο ) + (Ο) + ( Ο) + (Ο) [(Ο ) + (Ο) + ( Ο) + (Ο)] ( ) Ο δ α 6. πό την εκφώνηση έχουµε ότι Ε ρόµβου δίνεται από τη σχέση Ε δ δ. Όµως ξέρουµε ότι το εµβαδό του. Άρα δ α δ δ ή ή α δ. Επειδή λοιπόν καταλήξαµε ότι η µία διαγώνιος του ρόµβου θα ισούται µε την πλευρά του και επειδή οι διαδοχικές πλευρές του ρόµβου είναι ίσες, η διαγώνιος αυτή λοιπόν θα χωρίζει το ρόµβο σε δύο ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Άρα υποχρεωτικά τότε η µία γωνία του ρόµβου θα είναι 60. 7. Ξέρουµε ότι το εµβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε α υα. Όµως σύµφωνα µε την εκφώνηση είναι Ε α µα. Άρα α µα α υα ή µ α υ α. ια να συµβαίνει όµως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διάµεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται µε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 5
8. Ξέρουµε ότι το εµβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε α υα. Όµως, σύµφωνα µε την εκφώνηση, είναι Ε α δα. Άρα α δα α υα ή δ α υ α. ια να συµβαίνει όµως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διχοτόµος της γωνίας που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται µε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 9. Η περίµετρος τετραγώνου πλευράς α είναι α και το εµβαδό του είναι α. Η περίµετρος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς β είναι 3β. Σύµφωνα µε την 3β εκφώνηση έχουµε ότι α 3β ή α. Εποµένως το εµβαδό του 3β τετραγώνου µε πλευρά α θα είναι Ε α 3β 9β. 6 0. Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα ΚΕ E και Κ Ζ είναι ίσα γιατί Κ Κ ως κατακορυφή, εναλλάξ και Κ Κ. Άρα Ε Ζ. B ως εντός K Όµως επειδή θα έχουµε ότι - Ε - Ζ ή Ε Ζ. Τα τραπέζια λοιπόν ΕΖ και ΕΖ είναι ισοδύναµα, αφού έχουν ίσα ύψη και ίσο ηµιάθροισµα βάσεων. ηλαδή: AΕ + Ζ υ Ε + Ζ υ ή (ΕΖ ) (ΖΕ). Ζ 6
. α) ( ΟΕ) Ο ΟΕ ηµε O ηµ () ηµε O ηµ γιατί το τετράπλευρο ΟΗΙ είναι εγγράψιµο, αφού έχει H 90. β) Όµοια βρίσκουµε ότι (ΖΟ ) () και (ΖΟΕ) (). Άρα ( ΟΕ) + (ΖΟΕ) + (ΖΟ ) 3 (). I Ι Η. Είναι ( ). Όµως (Ο ) Ο Ο ηµο και 30 Ο (Ο) Ο Ο ηµο Τα τρίγωνα αυτά είναι ισεµβαδικά γιατί O + O 80. Άρα ( ) (Ο ) (Ο ) ή ηµο ή ηµο ή ηµο ή O 30 3. Το εµβαδό τετραγώνου πλευράς α είναι Ε α. Εδώ είναι α 56 cm ή α 6 cm. ν ελαττώσουµε την πλευρά α κατά 0 cm, τότε γίνεται 6 cm η πλευρά και το εµβαδό τότε του τετραγώνου γίνεται Ε 36 cm. Άρα Ε Ε - Ε 56-36 0 cm. 7
AB υ. Είναι: (), ( ) Άρα () ( ) (Κ) (Κ) + () (Κ ) (Κ) + ( ) AB υ. Άρα (Κ) (Κ ). 5. Θα δείξουµε ότι (Μ) 3 (). Πράγµατι: (Μ) Μ υ 3 υ ( υ) () 3 3 M 6. Το ισόπλευρο τρίγωνο και το τρίγωνο ΚΛΜ µε γωνία Κ 0 έχουν γωνίες παραπληρωµατικές. (ΚΛΜ) Εποµένως () ΚΛ ΛΜ AB A ΚΛ ΛΜ α α ΚΛ ΛΜ α 7. α) Είναι γνωστό ότι: ΚΛ AB - 3α - α α Άρα (ΚΛ) ΚΛ ΚΕ α α α Ε α, άρα Ε παραλληλόγραµµο, άρα ΚΕ α α 8
β) πό το τραπέζιο ΚΛ προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΚΛ και ΚΛ έχουν κοινή βάση ΚΛ και κοινό ύψος ΚΕ α. Άρα (ΚΛ) (ΚΛ). Όµοια, από το τραπέζιο ΚΛ έχουµε ότι (ΚΛ) ( ΚΛ), αφού έχουν κοινή βάση α και κοινό ύψος Κ α. 8. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε το εµβαδό του είναι α. ν η πλευρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά m, τότε: Ε (α + ) ή Ε + 36 (α + ) ή α + 36 α + 8α + 6 ή 8α 36-6 ή 8α 0 ή α 5 m 9. Επειδή η περίµετρος του ρόµβου είναι 8 cm τότε 8 α, όπου α είναι η πλευρά του ρόµβου. Άρα α cm. Όµως ο ρόµβος είναι παραλληλόγραµµο και αφού η πλευρά του είναι α και το ύψος του είναι 5 cm, τότε το εµβαδό του είναι cm 5 cm 60 cm. 0. Έστω Ε το εµβαδό του τριγώνου. Τότε Ε α βηµ 3 ηµ60 36 3 9 3 cm. Εποµένως το εµβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου θα είναι: α 3 9 3 ή α 36 ή α 6 cm. 9
. Είναι: ( ) ( ) και (Κ) ( ) ( ) ( ). Όµοια () ( ) και (Λ) () ( ) ( ) Άρα (ΚΛ) (Κ) + (Λ) ( ) + ( ) ( ). α) Έστω β και α. Είναι ΟΜ β Λ + B α β Ο πό το ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουµε: Μ + Μ ή Μ β α + Μ β + α β + α β) (ΟΜ) (ΟΜ) ΟΜ Λ ΟΜ Μ γ) Είναι η σχέση (). β α β α αβ 8 () αβ. Άρα (ΟΜ) (ΟΜ). 8 30
3. Έστω Ε το εµβαδό του τριγώνου. Τότε: () (Κ) + (Κ) Ε γr βr + ( γ, β) Ε (β + γ) R. Είναι:, B, B. Άρα: B πό την οµοιότητα των τριγώνων και B έχουµε: () Τα τρίγωνα και έχουν µια γωνία ίση, 3 (). Εποµένως ( ) Άρα () ( ). () A A 3 5. Κ 360 - ( Κ + Κ ) 360-0 0 α) (Κ) Κ Κ ηµ Κ Κ 6 0 5 3cm 3 3 β) (K) AK Κ ηµa K 6 3 3cm (K) AK Κ ηµa K 0 ηµ0 0 3 5 3cm () (K) + (K) + (K) 3 3 + 5 3 + 5 3 3 3 cm 3
δ 6. α) Έστω α 5 cm η πλευρά του ρόµβου. Ισχύει: δ + δ 5 (Πυθαγόρειο θεώρηµα) ή + δ 00. φού (δ + δ ) - δ δ 00, τότε έχουµε δ + δ cm, δ δ 8 cm δ δ. Όµως Ε ρόµβου cm β) Ε υ α ή υ 5. Άρα υ,8 cm. 7. α) ν x, τότε A 5x. β Άρα 30, A 50. α υ υ Άρα Μ υ α () 30 Μ Ε υβ () αβ 0 () Όµως (α + β) α (3) πό (), (3) έχουµε β 0 cm, α cm () β) πό (), () έχουµε υ cm. Όµως Ε υ α 0 ή υ 0. Άρα υ 0 cm. 8. α) Τα τρίγωνα και ΖΕ έχουν τις γωνίες τους και παραπληρωµατικές. Άρα Ζ Ε () () (ΖΕ) Ζ Ε β) Όµοια ( Ε) (), (Ζ ) () () ( ΕΖ) () + ( Ε) + (ΖΕ) + (Ζ ) 3
π όπου και λόγω των (), () έχουµε ( ΕΖ) 7 (). 33