ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους. 2ο τεταρτημόριο x<0,>0 Μ 5 β 4 1ο τεταρτημόριο x>0,>0 Γ 3 2 1 Ν Β -10-9 -8-7 -6-5 -4 α -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 -2-3 Α -4 3ο τεταρτημόριο x<0,<0 οι κάθετοι άξονες x x (άξονας τετμημένων) και (άξονας τεταγμένων) χωρίζουν το επίπεδο σε 4 μέρη που ονομάζονται τεταρτημόρια Ορθοκανονικό ονομάζεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο έχουμε πάρει την ίδια μονάδα μήκους στους άξονες x x και -5-6 4ο τεταρτημόριο x>0,<0 Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α,β), το οποίο ονομάζεται συντεταγμένες του σημείου Μ. Εφαρμογή: Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Ν(, ), Α(, ), Β(, ), Γ(, ) Αντίστροφα: Κάθε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α,β) σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αντιστοιχεί σε ένα σημείο Μ Τετμημένη του σημείου Μ(α,β) ονομάζεται ο αριθμός α και βρίσκεται στον άξονα των x x Τεταγμένη του σημείου Μ(α,β) ονομάζεται ο αριθμός β και βρίσκεται στον άξονα των Εφαρμογή: Να απεικονίσετε στο επίπεδο τα διατεταγμένα ζεύγη αριθμών: (2,3), (-5,-3), (6,0), ( 0,-4) Τα σημεία του άξονα x x έχουν τεταγμένη 0 - μορφή (x,0), ενώ τα σημεία του άξονα έχουν τετμημένη 0 - μορφή (0,)
Συμμετρίες Το συμμετρικό του σημείου Μ( x, ): Ως προς τον άξονα x x είναι το σημείο Μ1( x, -) Ως προς τον άξονα είναι το σημείο Μ2( -x, ) Ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Μ3( -x, -) Ως προς τη διχοτόμο του 1ου - 3ου τεταρτημόριου είναι το σημείο Μ4(, x) π.χ. Να βρείτε όλα τα συμμετρικά του σημείου Μ(4,3) του παρακάτω σχήματος. 7 6 5 4 3 M(x,) 2 1 x -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 -2-3 -4-5 Απόσταση δύο σημείων Η απόσταση δύο σημείων Α(x 1, 1 ) και Β(x 2, 2 ) δίνεται από τον τύπο: d (ΑΒ) = (x 1 x 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 π.χ. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Μ και Μ 4
Άσκηση Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων, να σχεδιάσετε το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(1,2) Β(0,1) και Γ(2,1) και να δείξετε ότι είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης f ( f : A ): είναι το σύνολο όλων των σημείων M του επιπέδου με συντεταγμένες της μορφής (x, f(x)) με x A. Συμβολισμός C f. Εξίσωση γραφικής παράστασης της f: Είναι η εξίσωση = f(x), όπου f(x) είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Χαρακτηριστική ιδιότητα της = f(x) :Ένα σημείο Μ(x,) ανήκει στην γραφική παράσταση C f αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του x, επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης με =f(x). (βλ. Ασκήσεις 1,2) Για να είναι μια γραμμή πάνω σε ένα σύστημα συντεταγμένων γραφική παράσταση συνάρτησης, θα πρέπει οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία (παράλληλη στον ), να τέμνει τη γραμμή το πολύ σε ένα σημείο. (βλ. Άσκηση 3) ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η Να εξετάσετε ποια από τα σημεία Α(1,3) και Β(1,4) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=2x 2 +1
Άσκηση 2 η Να βρείτε το λ, ώστε το σημείο Μ(3,8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)= λ x 1 Άσκηση 3 η α)nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων χ χ χ χ χ χ χ χ β)στις περιπτώσεις που έχουμε συνάρτηση να σημειώσετε : i) Στον άξονα x x το πεδίο ορισμού A (που είναι η προβολή της Cf πάνω στον x x) ii) Στον άξονα το σύνολο τιμών f(α) (που είναι η προβολή της Cf πάνω στον )
Άσκηση 4 η Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης f (x) 2 x x 2 2 x 1 i) με τον άξονα x x, ii) με τον άξονα Εύρεση σημείων τομής της c f με τους άξονες: Με τον x x : Θέτουμε στην εξίσωση της f : =0 και λύνουμε ως προς x. Με τον : Θέτουμε στην εξίσωση της f: x=0 και λύνουμε ως προς. Τα ζητούμενα σημεία τομής είναι της μορφής: (x,0) για τον x x και (0,) για τον Άσκηση 5 η Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = x 2 2x + 1 και g(x) = x 1. Εύρεση σημείων τομής δυο γραφικών παραστάσεων c f και c g Λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x). Βρίσκουμε τις τετμημένες (τα x) των σημείων τομής τους. Αντικαθιστώντας τις τιμές των x σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις των f, g, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων τομής.
Άσκηση 6 η Σε ποια διαστήματα του πεδίου ορισμού Α, γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= 2x x 2 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x ; Αλγεβρική Μέθοδος Εύρεσης των x Α η για τα οποία η c f είναι: Πάνω από τον x x: Θέτουμε f(x)>0 και λύνουμε ως προς x Kάτω από τον x x: Θέτουμε f(x)<0 και λύνουμε ως προς x Άσκηση 7 η Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: 14 13 12 11 α) Να βρείτε το f (0) και f (2) β) Να βρείτε τα x για τα οποία 10 είναι f (x) 0 γ) Να βρείτε τα x για τα οποία είναι f (x) 0 δ) Να βρείτε τα x για τα οποία 9είναι f (x) 0 (Τα ερωτήματα (γ) και (δ) αποτελούν τη Γεωμετρική Μέθοδο Επίλυσης ανίσωσης συναρτήσεων) 8 7 6 5 4 3 2 1-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 -10
Πεδίο Ορισμού: Α = Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : f(x) = ax + β ( 6.3 ) Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ax + β έχει εξίσωση = ax + β και παριστάνει ευθεία γραμμή. Για να τη σχεδιάσουμε, αρκεί να ξέρουμε δύο σημεία της. Συνηθίζουμε να λέμε : «η ευθεία = αx+β» ή «η ευθεία ε: = αx+β» χ ε =αx+β χ. Σημεία τομής της ευθείας (ε): = ax + β με τους άξονες: με τον με τον x x θέτω x=0 και έχω: = ax + β = a 0 + β = β θέτω =0 και έχω: = ax + β 0 = ax + β ax = β Η (ε) τέμνει τον στο σημείο Β(0,β) x = β a Η (ε) τέμνει τον x x στο σημείο Α(0, β α ) Παραδείγματα: Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες 1) f(x) = 2x + 10 2) f(x) = 4x + 6 3) f(x) = 7x
=αx+β Γωνία ευθείας με τον άξονα x x : Κάθε ευθεία σχηματίζει =αx+βμε τον άξονα χ χ μία θετική κυρτή β γωνία ω (0 0 ω < 180 0 -β/α ) που έχει αρχική πλευρά τον βάξονα -β/α χ χ και τελική πλευρά την ευθεία ε. ε ε =αx+β β -β ω χ ε ω χ χ ω ε χ άτιτλο-z άτιτλο-a0 χ χ χ άτιτλο-z άτιτλο-a0 χ άτιτλο-z άτιτλο-a0 ω<90 0 ω>90 0 ω=90 0 ω=0 0 Συντελεστής Διεύθυνσης ή Κλίση της Ευθείας =αx+β : Ως συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ χ και συμβολίζουμε με λ ε ή απλά με λ. Δηλαδή λ = εφω Ισχύουν τα εξής: Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε λ > 0 και η ευθεία «ανεβαίνει» Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε λ < 0 και η ευθεία «κατεβαίνει» Αν ω = 0, τότε λ=0 και η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ Αν ω = 90, τότε η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα χ χ και δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ax + β είναι η ευθεία με εξίσωση = ax + β, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = α. Παραδείγματα: 1) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3x 5 είναι η ευθεία με εξίσωση = 3x 5, έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=3 > 0, άρα η ευθεία «ανεβαίνει» και σχηματίζει με τον άξονα χ χ οξεία γωνία ω, τέτοια ώστε εφω=3 2) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία του διπλανού σχήματος με τον άξονα χ χ, καθώς και τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της ευθείας, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ο συντελεστής του x (η εξίσωση πρέπει να είναι στη μορφή = ax + β ) Π.χ. Να βρείτε την κλίση της ευθείας η οποία έχει εξίσωση 8x + 2 11 = 0 Αν γνωρίζουμε τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ χ, τότε η κλίση της ευθείας είναι λ=εφω Π.χ. Να βρείτε την κλίση της ευθείας, η οποία σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = 45 ΠΡΟΤΑΣΗ I : Οι παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Π.χ. 1) Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση = 2x + 6 2) Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε, η οποία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ ΠΡΟΤΑΣΗ II : Οι ευθείες που είναι κάθετες μεταξύ τους έχουν αντίστροφους συντελεστές διεύθυνσης. Π.χ. 1) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση = 3x 5 Αν λ ε λ ε = 1 τότε ' 2) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε, η οποία είναι κάθετη στον άξονα
ΠΡΟΤΑΣΗ III : Αν Α(x α, α ) και B(x β, β ) με x 1 x 2, είναι δύο σημεία μιας ευθείας ε, τότε ισχύει ότι : λ = β α x β x α Απόδειξη Π.χ. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης που διέρχεται από τα σημεία Α(-2,3) και Β(4,9). Επίσης να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα χ χ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ Για τις οξείες γωνίες ισχύει: εφ30 = 3 3 εφ45 = 1 εφ60 = 3 Για τις αμβλείες γωνίες ισχύει: εφ150 = εφ(180 30 ) = 3 3 εφ135 = εφ(180 45 ) = 1 εφ120 = εφ(180 60 ) = 3
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Σε μία μεγάλη κατηγορία ασκήσεων, μου δίνονται κάποια στοιχεία για μια συνάρτηση και μου ζητείται να προσδιορίσω την εξίσωσή της. Σε αυτή την κατηγορία ο γενικός τρόπος λύσης είναι στην Α περίπτωση. Οι περιπτώσεις Α.1, Α.2, Α.3, Α.4 είναι υποπεριπτώσεις και ανάγονται πάντα στην περίπτωση Α A. Δίνεται ένα σημείο της ευθείας και ο συντελεστής διεύθυνσης Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-3,-5) και έχει συντελεστή διεύθυνσης 2. Συχνά μπορεί ο συντελεστής διεύθυνσης να δίνεται έμμεσα, όπως παρακάτω. Προσδιορίζουμε πάντα τον συντελεστή διεύθυνσης και λύνουμε όπως στην περίπτωση Α Α.1 Δίνονται δύο σημεία της ευθείας Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(-2,8) και Β(3,-7)
Α.2 Δίνεται ένα σημείο της ευθείας και η γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Κ(3,-2) και σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45 Α.3 Δίνεται ένα σημείο της ευθείας και μια δεύτερη ευθεία παράλληλη στη ζητούμενη Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(-2,4) και είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: = -3x+4 Α.4 Δίνεται ένα σημείο της ευθείας και μία δεύτερη ευθεία κάθετη στη ζητούμενη Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο B(2,5) και είναι κάθετη στην ευθεία η: = x+4 4 ΣΧΟΛΙΟ Υπάρχουν πάντα πολλοί τρόποι για να δοθεί έμμεσα ένας συντελεστής διεύθυνσης Π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Δ(3,5) και σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες ox και o ισοσκελές τρίγωνο
ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ = αx+β ΚΑΙ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Η γραφική παράσταση της σταθερής συνάρτησης f(x) = β (α=0) Είναι παράλληλη στον άξονα x x Τέμνει τον άξονα στο σημείο Κ(0,β) Π.χ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των σταθερών συναρτήσεων: f(x) = 3, g(x) = 2, h(x) = 0 ΣΧΟΛΙΟ Η σταθερή συνάρτηση = 0 είναι ο άξονας x x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx (β=0) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Για α=1 έχουμε την ευθεία = x, η οποία είναι η διχοτόμος του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου Για α = -1 έχουμε την ευθεία = -x, η οποία είναι η διχοτόμος του 2 ου και 4 ου τεταρτημορίου
Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β με περιορισμό για το χ Π.χ. Να σχεδιάσετε την ευθεία = 1 x + 1, όταν 3 x 4 2 Γραφική παράσταση συνάρτησης με πολλούς κλάδους. Π.χ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x + 6, αν x < 1 f(x) = 4, αν 1 x < 2 x + 4, αν x 2
Γραφική παράσταση συνάρτησης με απόλυτες τιμές Π.χ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x 2 2x + 6
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x και f(x) = x
Προσδιορισμός τύπου συνάρτησης όταν γνωρίζουμε τη γραφική της παράσταση Π.χ. Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.