Η Agnes Investments (ΑΙ) διαχειρίζεται διαθέσιμα κεφάλαια διαφόρων εταιρειών και ιδιωτών πελατών. Η στρατηγική της είναι να καταρτίζει προγράμματα στα μέτρα του κάθε πελάτη της. Υπάρχει λοιπόν ένας καινούργιος πελάτης ο οποίος θέλει να επενδύσει 1,2 εκατομμύρια ευρώ σε δύο αμοιβαία κεφάλαια. Το πρώτο αναφέρεται σε κεφαλαιαγορές (Α) και το δεύτερο σε εταιρικά ομόλογα (Β). Κάθε μερίδιο του αμοιβαίου Α κοστίζει 50 ευρώ και έχει αναμενόμενη ετήσια απόδοση 10%. Κάθε μερίδιο του αμοιβαίου Β κοστίζει 100 ευρώ και έχει αναμενόμενη ετήσια απόδοση 4%. Ο πελάτης επιθυμεί να ελαχιστοποιήσει το συνολικό δείκτη κινδύνου εξασφαλίζοντας μία ελάχιστη νομισματική απόδοση 60.000 ευρώ. Με βάση το σύστημα μέτρησης του κινδύνου που εφαρμόζει η ΑΙ, κάθε μερίδιο του αμοιβαίου Α έχει δείκτη κινδύνου 8 μονάδες, ενώ για το αμοιβαίο Β είναι 3 μονάδες (μεγαλύτερος δείκτης σημαίνει μεγαλύτερο ρίσκο). Επίσης, ο πελάτης επιθυμεί να τοποθετήσει τουλάχιστον 300.000 ευρώ στο αμοιβαίο Β. 1. Να διαμορφωθεί και να επιλυθεί το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού εφαρμόζοντας τη γραφική μέθοδο. 2. Στη συνέχεια, να εφαρμόσετε τον αλγόριθμο simplex χειρωνακτικά για να το ξαναλύσετε. 3. Να χρησιμοποιήστε κατάλληλο λογισμικό (QSB ή POM/QM), για να επαληθεύσετε την ακρίβεια των υπολογισμών σας, συγκρίνοντας του πίνακες simplex που βρήκατε στο 2 ο ερώτημα, με εκείνους που σας δίνει το λογισμικό σας. 4. Με βάση τον τελικό πίνακα simplex που βρήκατε στο 2 ο ερώτημα εντοπίστε τις σκιώδεις τιμές των περιορισμών του προβλήματος. Μετά, με βάση την άριστη λύση που σας δίνει το λογισμικό στο ερώτημα 3, εντοπίστε επίσης τις σκιώδεις τιμές τόσο στον τελικό πίνακα simplex όσο και στην σύνοψη της άριστης λύσης και συγκρίνετέ τις με εκείνες που βρήκατε χειρωνακτικά στο ερώτημα 2. 5. Διαμορφώστε το δυϊκό μοντέλο του προβλήματος και κατόπιν επιλύστε το χειρωνακτικά με τη μέθοδο simplex. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με εκείνα του ερωτήματος 2 και ειδικότερα εντοπίστε και συγκρίνετε τις σκιώδεις τιμές και την άριστη λύση στο καθένα από τα δύο μοντέλα. 6. Λύστε το δυϊκό με τη χρήση του λογισμικού και εντοπίστε τις σκιώδεις τιμές και την άριστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα 5. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με εκείνα του ερωτήματος 3 (δηλαδή συγκρίνετέ τα με την επίλυση του πρωτεύοντος με τη χρήση του λογισμικού). Απάντηση: Το μοντέλο και η απάντηση στο αρχικό ερώτημα ακολουθούν Μεταβλητές απόφασης: Χj : τα μερίδια που αγοράζει από κάθε αμοιβαίο κεφάλαιο j=1,2 Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού δείκτη κινδύνου όπως προκύπτει από το συνολικό άθροισμα των επιμέρους δεικτών. Ακολουθεί το μοντέλο στο POM/QM και η επίλυσή του γραφικά. http://users.uom.gr/~acg 1

Καθώς και η λίστα των κορυφών με τις αντίστοιχες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης Η άριστη λύση λοιπόν είναι η κορυφή με συντεταγμένες (4.000, 10.000) και άριστη τιμή z=62.000 (ελαχιστοποιημένος συνολικός δείκτης κινδύνου). Θα αγοραστούν 4.000 μερίδια από το αμοιβαίο Α και 10.000 μερίδια από το Β. Ορίστε και η ανάλυση της άριστης λύσης. Στο επόμενο σχήμα έχουμε τη γραφική επίλυση με το QSB http://users.uom.gr/~acg 2

και το γνωστό συνδυασμένο πίνακα της άριστης λύσης 2. Στη συνέχεια, να εφαρμόσετε τον αλγόριθμο simplex χειρωνακτικά για να το ξαναλύσετε. Ακολουθούν οι πίνακες simplex με τη βοήθεια του POM/QM. ΕΣΕΙΣ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΤΟ ΚΑΝΕΤΕ ΧΕΙΡΩΝΑΚΤΙΚΑ! http://users.uom.gr/~acg 3

οι μικροδιαφορές που εμφανίζονται στον τελικό πίνακα είναι αμελητέες Ορίστε τα ίδια αποτελέσματα με το QSB http://users.uom.gr/~acg 4

3. Να χρησιμοποιήστε κατάλληλο λογισμικό (QSB ή POM/QM), για να επαληθεύσετε την ακρίβεια των υπολογισμών σας, συγκρίνοντας του πίνακες simplex που βρήκατε στο 2 ο ερώτημα, με εκείνους που σας δίνει το λογισμικό σας. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που έδωσα ήδη στο ερώτημα 1 με τα αποτελέσματα των τελικών πινάκων simplex διαπιστώνουμε σύμπτωση 4. Με βάση τον τελικό πίνακα simplex που βρήκατε στο 2 ο ερώτημα εντοπίστε τις σκιώδεις τιμές των περιορισμών του προβλήματος. Μετά, με βάση την άριστη λύση που σας δίνει το λογισμικό στο ερώτημα 3, εντοπίστε επίσης τις σκιώδεις τιμές τόσο στον τελικό πίνακα simplex όσο και στην σύνοψη της άριστης λύσης και συγκρίνετέ τις με εκείνες που βρήκατε χειρωνακτικά στο ερώτημα 2. Τελικός πίνακας simplex POM/QM Σύνοψη POM/QM Τελικός πίνακας simplex QSB Σύνοψη QSB http://users.uom.gr/~acg 5

έχουν σημειωθεί σε πλαίσια 5. Διαμορφώστε το δυϊκό μοντέλο του προβλήματος και κατόπιν επιλύστε το χειρωνακτικά με τη μέθοδο simplex. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με εκείνα του ερωτήματος 2 και ειδικότερα εντοπίστε και συγκρίνετε τις σκιώδεις τιμές και την άριστη λύση στο καθένα από τα δύο μοντέλα. Το δυϊκό μοντέλο είναι: προσέξτε τη μεταβλητή C1 που είναι μη θετική (το μοντέλο είναι σε γενική μορφή) αφού γεννάται από περιορισμό της μορφής <= από πρωτεύον πρόβλημα ελαχιστοποίησης και η επίλυσή του (τελικός πίνακας simplex): και ο τελικός πίνακας του αρχικού (δόθηκε νωρίτερα): 6. Λύστε το δυϊκό με τη χρήση του λογισμικού και εντοπίστε τις σκιώδεις τιμές και την άριστη λύση που βρήκατε στο ερώτημα 5. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με εκείνα του ερωτήματος 3 (δηλαδή συγκρίνετέ τα με την επίλυση του πρωτεύοντος με τη χρήση του λογισμικού). http://users.uom.gr/~acg 6

Αντίστοιχα αποτελέσματα μπορούμε να δούμε και στις συνόψεις των επιλύσεων των δύο μοντέλων Δυϊκό Πρωτεύον Παρατηρήστε ότι το QSB διατηρεί το αρνητικό πρόσημο της δυϊκής C1 κατά την επίλυση (διαφορετικά πρέπει εσείς να το φέρετε σε κανονική μορφή με το γνωστό μετασχηματισμό). Μην μπερδεύεστε ιδιαίτερα με τα πρόσημα των λογισμικών, δεν είναι σημαντικά, σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το φυσικό νόημα των σκιωδών τιμών. http://users.uom.gr/~acg 7