ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί διανυσματική άλγεβρα στο επόμενο εξάμηνο, σε συνεννόηση με τη διδάσκουσα Λέκτορα κ. Αγγελική Περδίου, παρατίθενται εδώ μόνον τα απαραίτητα για τη διενέργεια του μαθήματος Μικρό μέρος των σχημάτων έχει πηγή το διαδίκτυο 2 1

ορισμοί Βαθμωτό (scl) μέγεθος: ένας πραγματικός αριθμός θετικός, μηδέν, αρνητικός. μάζα, χρόνος, θερμοκρασία. Διανυσματικό (vecto) μέγεθος: έχει μέγεθος (μέτρο) και διεύθυνση και φορά μετατόπιση, ταχύτητα, δύναμη, ορμή. Συμβολισμός Α ή Α ή Α Διευκολύνει στο έντυπο Διευκολύνει στο χειρόγραφο στο παρόν χρησιμοποιούνται όλοι οι τρόποι 3 Τανυστής (tenso) Ορισμοί (συν.) Τα βαθµωτά και τα διανυσµατικά µεγέθη είναι δυο ειδικές περιπτώσεις µιας πιο γενικής έννοιας, που ονοµάζεται τανυστής τάξεως n, του οποίου ο προσδιορισµός σε οποιοδήποτε σύστηµα συντεταγµένων τριών διαστάσεων απαιτεί 3 n αριθµούς, που ονοµάζονται συνιστώσες του τανυστή. Τα βαθµωτά µεγέθη είναι τανυστές μηδενικής τάξεως (0) µε μια συνιστώσα (3 0 =1), τα διανύσµατα είναι τανυστές πρώτης (1) τάξεως µε 3 1 =3 συνιστώσες οι τάσεις είναι τανυστές δεύτερης (2) τάξης με εννέα 3 2 =9 συνιστώσες Αντίστοιχα ένας τανυστής τρίτης τάξης (3) έχει 27 συνιστώσες και τέταρτης τάξης έχει 81 συνιστώσες. 4 2

Τανυστής τάσεων Ορισμοί (συν.) Για να προσδιορισθεί η εντατική κατάσταση σε σημείο παραμορφούμενου σώματος, απαιτούνται 9 τάσεις σ ij i,j=1,2,3 Τ (n) η συνιστώσα του τανυστή στη διεύθυνση n n διάφορο n 5 ένα διάνυσμα μπορεί να γραφεί με 2 τρόπους: Αλγεβρικά Α=(α x, α y ) x, y οι συνιστώσες του διανύσματος Γεωμετρικά (α x, α y ) α y Α Α α x Προφανώς απαιτείται ένα σύστημα συντεταγμένων 7 3

Συνιστώσα διανύσματος είναι η προβολή του σε έναν άξονα Συνιστώσες διανύσματος Κάθε διάνυσμα μπορεί να οριστεί πλήρως από τις συνιστώσες του Α x, A y Συνήθως χρησιμοποιούμε ορθογώνιες συντεταγμένες Οπότε οι συνιστώσες είναι οι προβολές σε ένα ορθογώνιο A έτσι το διάνυσμα = ( Ax, Ay ) μπορεί να γραφεί ακόμα ως A = A x + A y Φ. Καραντώνη σύστημα αξόνων x και yτεχνική Μηχανική 8 Εφαρμοστό διάνυσμα Εντοπισμένο διάνυσμα Συγγραμικά Ομόρροπα Αντίθετα Ορισμοί Εφαρμοστό διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα το οποίο έχει συγκεκριμένο σημείο εφαρμογής και αν αλλάξει ένα χαρακτηριστικό του, επηρεάζει το αποτέλεσμα. Εντοπισμένο διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα το οποίο βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο ενός συνόλου σημείων. Συνεπίπεδα Μηδενικά Ισα διανύσματα Eλεύθερο διάνυσμα Μηδενικό είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 0 = 0 = 0 Διανύσματα είναι ίσα εάν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια διεύθυνση Ολισθαίνον 9 4

Εφαρμοστό διάνυσμα Ολισθαίνον διάνυσμα Eλεύθερο διάνυσμα 11 μέτρο ή μέγεθος διανύσματος Ορισμοί (συν.) Το μέτρο ενός διανύσματος μπορεί να υπολογιστεί από το Πυθαγόρειο Θεώρημα P uuu AB ή ή ΑΒ Q uuu y εάν PQ = ( x, y ) x παράδειγμα Εάν S= ( ) S = α α uuu 2 2 PQ= α x + α y 7,1 να βρεθεί το μέτρο του, = 7 + (1) = 50 = 5 2 2 2 2 2 x + y Συμβολίζεται επίσης με πλάγιο γράμμα Α 12 S 5

Ισα διανύσματα Διανύσματα είναι ίσα εάν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια διεύθυνση u u= (, b) Και v= ( c, d) Ορισμοί (συν.) c v b d εάν u= v τότε = c και b= d 13 Πρόσθεση (ελευθέρων) διανυσμάτων Αλγεβρικά Γεωμετρικά Α= ( α, α ) 1 2 Β= ( b, b ) 1 2 A+ B= ( α+ b, α + b ) 1 1 2 2 14 6

Πρόσθεση (ελευθέρων) διανυσμάτων V 1 V 2 V 1 V 1 V2 V 1 -V 2 V 2 15 Αλγεβρικά Γεωμετρικά Πρόσθεση διανυσμάτων A= ( α, α ) 1 2 Α+ B= α1+ b1α 2+ b2 B= ( b, b ) 1 2 (, ) 16 7

Πρόσθεση (ελευθέρων) διανυσμάτων (συν.) Α + B= ( α + b, α + b ) X X Y Y (b x, b y ) b y ( x, y ) y x b x Η προβολή της συνισταμένης του αθροίσματος σε μία διεύθυνση, ισούται με το άθροισμα των προβολών των συνιστωσών 17 Μοναδιαία Διανύσματα Μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα χωρίς διαστάσεις, με μέτρο 1. Τα μοναδιαία διανύσματα χρησιμοποιούνται μόνον για να προσδιορίσουν μία διεύθυνση και δεν έχουν καμία άλλη φυσική σημασία Τα σύμβολα ˆi, ˆj, και kˆ ή i, j, και k αντιπροσωπεύουν μοναδιαία διανύσματα Το μέτρο του κάθε μοναδιαίου διανύσματος ισούται με 1 ˆi = ˆj = kˆ = 1 19 8

z k= (0,0,1) i =(1,0,0) Μοναδιαία Διανύσματα (συν.) j=(0,1,0) κάθε μοναδιαίο διάνυσμα μπορεί να γραφεί y i= j= k u = ( 1,0,0) ( 0,1,0) ( 0,0,1) x Ένα διάνυσμα μπορεί να οριστεί μέσω των όρων ˆi, ˆj, και kˆ ή i, j, και k που είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις διευθύνσεις x, y, και z 20 Διάνυσμα εκπεφρασμένο μέσω μοναδιαίων διανυσμάτων Σε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων A = A x + A y + A z A = ( Ax, Ay, Az ) A= A i+ A j+ A k x y z ή A = A i + A j+ A k x y z k=(0,0,1) j=(0,1,0) i, j, και k ή i, j, και k Μοναδιαία διανύσματα i =(1,0,0) 21 9

Απόσταση σημείων z P (x 2,y 2,z 2 ) = OP = διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα x y 1 z 1 O (x 1,y 1,z 1 ) z 2 y y 2 OP= ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 24 Διάνυσμα θέσης = OP = διάνυσμα θέσης του σημείου P ή διανυσματική ακτίνα z Το διάνυσμα θέσης μπορεί να δώσει τη θέση του σημείου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συναρτήσει των συνιστωσών του Α z O Α y P (Α x,α y,α z ) y x Α x OP= ( A ) + ( A ) + ( A ) 2 2 2 x y z 25 10

Ο= (0,0,0) Α (x 1,y 1,z 1 ) Β (x 2,y 2,z 2 ) AB ΟΒ =(x2,y2,z2)διάνυσμα θέσης Β ΟΑ=(x1,y1,z1) διάνυσμα θέσης Α = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AB= = OB OA (( x2 x1 ), ( y2 y1 ),( z2 z1) ) ή AB= ( x x ) i+ ( y y ) j+ ( z z ) k 2 1 2 1 2 1 Κάθε διάνυσμα ισούται με το διάνυσμα θέσης του πέρατος μείον το διάνυσμα θέσης της αρχής 26 x A z A x k i z γ A λ A y j φ Συνημίτονα κατεύθυνσης θ y Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως συνδυασμός μοναδιαίων διανυσμάτων: A= A i+ A j+ A k A A A x y z = A + A + A = λ 2 2 2 x y z μ ο ν α δ ια ίο δ ιά ν υ σ μ α σ τ η δ ιε ύ θ υ ν σ η τ ο υ Α Συνημίτονα κατεύθυνσης ϕ= ( i, A) θ= ( j, A) γ= ( k, A) θεωρούμε τις γωνίες του διανύσματος Α με τα μοναδιαία διανύσματα 27 11

Συνημίτονα κατεύθυνσης (συν) Ax Ax cos( i, A) = = A A + A + A 2 2 2 x y z Ay Ay cos( j, A) = = A A + A + A Az Az cos( k, A) = = A A + A + A Ax= Acos( i, A) Ay= Acos( j, A) A= Acos( k, A) z 2 2 2 x y z 2 2 2 x y z Α= u A O Α x 29 Α z k O i A A y P j A j O A A x P Α y P i εφαρμογή 1 να προσδιορισθεί το μέγεθος και η διεύθυνση της δύναμης F= (320 N) i+ (400 N) j (250 N) k Λύση 32 12

εφαρμογή 2 Μία δύναμη 500 Ν σχηματίζει γωνίες 60 ο, 45 ο και 120 ο με τους άξονες x, y και z, αντιστοίχως. Να βρεθούν οι o συνιστώσες της F x, F y, F z Λύση Από κανόνα συνημιτόνου 120 O Fx 60 o F z 45 o 500N F y και η F μπορεί να γραφεί: 34 Μοναδιαίο διάνυσμα σε τυχαία διεύθυνση Μοναδιαίο διάνυσμα e σε τυχαία διεύθυνση πχ. Στη διεύθυνση του =( 1, 2, 3 ) 1 e= = = ( 2 2 2 2 2 2 1, 2, 3 ) + + + + 1 2 3 1 2 3 3 e 2 O 1 1 e= ( 1i+ 2j+ 3k) + + 2 2 2 1 2 3 13

Μοναδιαίο διάνυσμα σε τυχαία διεύθυνση Ένα διάνυσμα B μπορεί να γραφεί συναρτήσει του μοναδιαίου διανύσματος e στη διεύθυνση του διανύσματος ως B= Be B e O 1 e = (,, ) 1 2 3 A η έκφραση μίας δύναμης συναρτήσει του μοναδιαίου διανύσματος στη διεύθυνση της θα μας φανεί ιδιαιτέρως χρήσιμη στο μέλλον Δίδεται διάνυσμα =3i-4j+2k. Να προβληθεί το διάνυσμα Β= 5i+8j-1k στη διεύθυνση του διανύσματος. Λύση B= Bn Tο μοναδιαίο διάνυσμα n στη διεύθυνση του είναι: 1 n= = (3 i 4 j+ 2 k ) διότι 29 είναι άρα Εφαρμογή 3 2 2 2 B= 5+ 8 + ( 1) = 90= 3 10 2 2 2 = 3 + ( 4) + 2 = 29 1 B= Bn= 3 10 (3i 4j+ 2 k) = (5, 28i 7, 04j+ 3,52 k) 29 37 14

Πράξεις με διανύσματα και κανόνες A+ B A+ B αντιμεταθετική ιδιότητα A+ B= B+ A Φ. Καραντώνη Τεχνική Section Μηχανική 3.3 39 Πράξεις με διανύσματα και κανόνες Πρόσθεση αλγεβρικά διανυσμάτων A+ B A + B αντιμεταθετική ιδιότητα A+ B= B+ A Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό μέγεθος Εάν m βαθμωτό μέγεθος και Α = (A x, A y, A z ) διάνυσμα, τότε mα = (ma x, ma y, ma z ) 40 15

πρόσθεση διανυσμάτων -1 u u A= ( Ax, Ay, Az ) B= ( Bx, By, Bz ) u u u R= A +B R= ( A + + ) + ( ˆ xi Ay j Azk Bxi+ By j+ Bzk) R= ( Ax+ Bx) i+ ( Ay+ By) j+ ( Az+ Bz) k R= R i+ R j+ R k όπου: R x = A x +B x, R y = A y +B y, R z = A z +B z x y z παράδειγμα Να υπολογίσετε το άθροισμα Α+Β των διανυσμάτων: Α=(2,3,7) και Β=(3, -2, 5) C= A+B=((2+3, (3-2), (7+5))=(5,1,12) 46 Πρόσθεση διανυσμάτων -2 Η σειρά με την οποία προσθέτουμε τρία ή περισσότερα διανύσματα δεν αλλάζει το αποτέλεσμα Προσεταιριστική ιδιότητα στην πρόσθεση A+ B+ C = A+ B+ C ( ) ( ) 47 16

Πρόσθεση διανυσμάτων-3 Κατά την πρόσθεση διανυσμάτων, όλα τα διανύσματα πρέπει να έχουν τις ίδιες μονάδες Πρέπει να αντιπροσωπεύουν το ίδιο πράγμα. π.χ δεν μπορούμε να προσθέσουμε σε μία δύναμη μία ροπή ή μία μετατόπιση. 48 Αφαίρεση διανύσματος Για την αφαίρεση διανύσματος, προσθέτουμε το αρνητικό του φορά.. B u, δηλαδή ένα διάνυσμα με ίσο μέτρο αλλά αντίθετη u u A B= A+ ( B) Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό μέγεθος Εάν m βαθμωτό μέγεθος και Α = (A x, A y, A z ) διάνυσμα, τότε mα = (ma x, ma y, ma z ) 49 17

πολλαπλασιασμός και διαίρεση διανύσματος με βαθμωτό μέγεθος Το αποτελσμα του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης (=πολλαπλασιασμός με το αντίστροφο) ενός διανύσματος με βαθμωτό μέγεθος είναι και πάλι διάνυσμα Το μέτρο του διανύσματος είναι πολλαπλασιασμένο ή διαιρεμένο με το βαθμωτό μέγεθος. Εάν το βαθμωτό μέγεθος είναι θετικό, το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα με φορά ίδια με το αρχικό διάνυσμα Εάν το βαθμωτό μέγεθος είναι αρνητικό, το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα με φορά αντίθετη του αρχικού διανύσματος Φ. Καραντώνη 50 Τεχνική Μηχανική Σύνοψη στις ιδιότητες των διανυσμάτων Εάν, b, c, διανύσματα στο R 3, και m και n βαθμωτά μεγέθη (1) + b = + b αντιμεταθετικός νόμος (2) + (b + c) = ( + b) + c προσεταιριστικός νόμος στην πρόσθεση (3) + 0 = (4) + (- ) = 0 (αφαίρεση διανύσματος) (5) m( + b) = m + mb επιμεριστικός νόμος (6) (m + n) = m + n (7) (mn) = m(n) προσεταιριστικός νόμος στο γινόμενο (8) 1 = 51 18

επισήμανση Η πρόσθεση γραφικά δεν συνιστάται όταν: απαιτείται μεγάλη ακρίβεια το πρόβλημα είναι τριδιάστατο Η πρόσθεση γραφικά μπορεί να γίνει μόνον αν τα διανύσματα προβληθούν σε τρισορθογώνιο σύστημα Section 3.4 52 τριγωνομετρικοί κανόνες Κανόνας ημιτόνου sin( A) sin( B) sin( C ) = = b c b c = = sin( A) sin( B) sin( C ) Κανόνας συνημιτόνου 2 2 2 c = + b b C 2 cos( ) 2 2 2 b c c B = + 2 cos( ) 2 2 2 b c bc A = + 2 cos( ) 53 19

τριγωνομετρικοί κανόνες h x1 x2 x1 cos( A) = x1 = b cos( A) < b b x2 cos( B) = x2 = cos( B) < h h tn( A) = x1 = x1 tn( A) 1 x1 con tn = = tn h h h sin( A) = b = > h b sin( A) h sin( A) = h = b sin( A) < b b 56 Sinφ=α φ από αριθμομηχανή φ=c tn η γωνία που έχει εφαπτομένη ίση με α tn -1 = c tn (στην αριθμομηχανή) Ομοίως sin -1 α, cos -1 α Προσοχή στις μοίρες (gdes) και τους βαθμούς (degees) (στην αριθμομηχανή) και στα ακτίνια (ds) γενικώς 57 20

58 Εφαρμογή 4 Λύση. Α Γραφικά Να βρεθεί η συνισταμένη των δύο δυνάμεων που ασκούνται στη βίδα (δηλαδή το μέτρο και η διεύθυνση της συνισταμένης) Σχεδιάζομε υπό κλίμακα τις δυνάμεις, και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου φέρνομε τη διαγώνιο. Τη μετρούμε τόσο αυτή όσο και τη γωνία και λαμβάνομε τις τιμές τους ως: R = 98 N α = 35 21

Β. γραφικά Σχεδιάζομε υπό κλίμακα τις δυνάμεις ώστε στο τέλος της μίας να εφαρμόζεται η άλλη. Ενώνομε τα άκρα και προκύπτει η R. Τη μετρούμε και προκύπτει η τιμή της και της γωνίας ως: R = 98 N α = 35 Γ. Τριγωνομετρικά Α 180-25-155 R Από τον κανόνα των συνημιτόνων 2 = P = 2 + Q 2 2PQ cos B 2 2 ( 40N) + ( 60N) 2( 40N)( 60N) cos155 R= 97.73N sin A sin B = Q R sin A = sin sin A = 0.259 A = 15.04 Από τον κανόνα των ημιτόνων Q B R = sin155 60N 97.73N α = 20 + A α = 35. 04 2-61 22

Εφαρμογή 5 Να ευρεθεί η συνισταμένη των τριών δυνάμεων R= P+ Q+ S Λύση Αναλύομε κάθε δύναμη στις συνιστώσες της R i+ R j= ( P i+ P j) + ( Q i+ Q j) + ( S i+ S j ) = x y x y x y x y = P+ Q+ S i+ P+ Q + S j ( x x x) ( y y y) Το μέτρο της κάθε συνιστώσας της R ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων (αναφορικά με τη διεύθυνση) συνιστωσών των δυνάμεων. Rx= Px+ Qx+ Sx Ry= Py+ Qy+ S = Fx = Fy Το μέτρο της συνισταμένης και η διεύθυνση της : 2 x 2 y R= R + R θ= tn 1 R R y x y 2-62 αλγεβρικά εσωτερικό γινόμενο (dot poduct) διανυσμάτων = (A 1, A 2, A 3 ) και b= (B 1, B 2, B 3 ) ορίζεται ως εσωτερικό γινόμενο το βαθμωτό μέγεθος u α b = Α1Β 1 + Α2Β 2 + Α3Β3 Γεωμετρικά b α b = b cosθ θ α b A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 cosθ = = b 2 2 2 2 2 2 A1 + A2 + A3 B1 + B2 + B3 63 23

εσωτερικό γινόμενο (dot poduct) διανυσμάτων b b = b = b cosθ θ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ b= b αντιμεταθετικός νόμος ( b + c)= b + c επιμεριστικός νόμος m( b) = ( m) b = ( mb) = ( b) m ii = jj = kk = 1, ij = jk = ki = 0 = xi + y j + zk, b = bxi + by j + bzk b = xb x + yb ο 0 y + zbz,b b = 0 θ = 90, b. Άν και Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος προσεταιριστικός νόμος 64 αλγεβρικά A = ( A x i+ A y j+ A z k ) αν B= ( B i+ B j+ B k ) εξωτερικό γινόμενο x y z i j k u u Ax B= Ax Ay Az Bx By Bz το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων μπορεί να γραφεί ως ορίζουσα A x B = i j k i j k A x A y A z A x A y A z B x B y B z B x B y B z - διεύθυνση + διεύθυνση A x B =(A y B z A z B y ) i + (A z B x - A x B z ) j + (A x B y A y B x ) k διάνυσμα 65 24

γεωμετρικά b ˆn εξωτερικό γινόμενο (συν) b = bsin( ϕ) n = b φ α είναι το μέτρο του b μέτρο του. φ είναι η μικρότερη γωνία b μεταξύ των και. ˆn b bsin φ και b το Το είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής: Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην προκειμένη περίπτωση το b ) προς το δεύτερο (εδώ το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων 66 ˆn Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ˆn φ b εξωτερικό γινόμενο (συν.) b =? x b b = x b 67 25

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ εξωτερικό γινόμενο (συν.) ( b + c ) = b + c επιμεριστικός νόμος m( b) = ( m b) = ( mb) = ( b) m i i = j j = k k = 0 i j = k, j k = i, k i = j ο 0,b b = 0 ϕ = 0, // b. Άν και προσεταιριστικός νόμος i j k xb= x y z= 0 bx by bz b φ b h S b = S S b S = S = εμβαδόν παραλληλογράμμου b = b sin( ϕ ) n b b n = = b sin( ϕ ) b b= bsin φ b= h= S S b = S 69 h 26

εξωτερικό γινόμενο (συν.) b = bsin( ϕ) λ Το επίπεδο στρέφεται κατά γωνία θ b = αbsin( ϕ) n = αbsin( ϕ) λ cosθ = Sλ cosθ = S λ S =Scosθ b = S b λ θ θ n n=λcosθ n S ' 70 εξωτερικό γινόμενο (συν.) b = bsin( ϕ) λ Το επίπεδο στρέφεται κατά γωνία θ b = αbsin( ϕ) n = αbsin( ϕ) λ cosθ = Sλ cosθ = S λ S =Scosθ b = S b λ θ θ n n=λcosθ n S ' 71 27

Πρόσημο διανύσματος εξωτερικού γινομένου k (+):αντίθετα φοράς ωρολογίου j i x i z k j y (-):φορά ωρολογίου 72 εξωτερικό γινόμενο (συν.) εάν, b, c διανύσματα στον R 3, χώρο και m βαθμωτό μέγεθος, τότε (1) b = - b (2) m( b) = (m) b = (mb) προσεταιριστικός νόμος (3) (b + c) = b + c (4) ( + b) c = c + b c επιμεριστικός νόμος (5) ( b) c = (b c) = (b c) = b (c )= (c ) b=c ( b) τριπλό μικτό γινόμενο, το αποτέλεσμα είναι όγκος παραλληλεπιπέδου, άρα βαθμωτό μέγεθος Όταν = 0, τα, b και c είναι συνεπίπεδα (6) ( b) c ( c b ) 28

Η τάση στο καλώδιο ΑΒ είναι 2500 N. Να προσδιορισθούν: ) Οι συνιστώσες F x, F y, F z των δυνάμεων που ασκούνται στον κοκλία στο Α. b) Οι γωνίες θ x, θ y, θ z που προσδιορίζουν τη διεύθυνση της δύναμης Εφαρμογή 7 Διαδικασία επίλυσης Βασισμένοι στις σχετικές θέσεις των σημείων Α και Β προσδιορίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα από Α στο Β. Με τη βοήθεια του μοναδιαίου διανύσματος θα προσδιοριθούν οι συνιστώσες της δύναμης που δρα στο A. Παρατηρώντας ότι οι συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος, υπολογίζονται οι αντίστοιχες γωνίες. 89 Λύση προσδιορίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα από Α στο Β. AB= AB= ( 40 m) i+ ( 80 m) j+ ( 30 m) 2 2 ( 40 m) + ( 80 m) + ( 30 m) = 94.3 m 40 80 30 λ = i + j + k 94.3 94.3 94.3 = 0.424i + 0.848 j + 0.318k k Συνιστώσες της δύναμης F. F= Fλ = 2500 N 0.424i+ 0.848 j+ 0.318k = 1060 N i+ 2120 N j+ 795 N ( )( ) ( ) ( ) ( )k 2 90 29

Παρατηρώντας ότι οι συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος, υπολογίζονται οι αντίστοιχες γωνίες. λ= cosθ x i+ cosθ y j+ cosθ zk = 0.424i+ 0.848 j+ 0.318k θ θ θ x y z o = 32.0 o = 71.5 o = 115.1 91 30