Μελέτη των επιπτώσεων του ανταγωνισμού στην πολυπλοκότητα και ποιότητα λύσεων προβλημάτων τιμολόγησης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Μελέτη των επιπτώσεων του ανταγωνισμού στην πολυπλοκότητα και ποιότητα λύσεων προβλημάτων τιμολόγησης Νίκος Πρωτοπαπάς Διπλωματική Εργασία στο πλαίσιο του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Τριμελής Επιτροπή: Ιωάννης Καραγιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής (Επιβλέπων) Χρήστος Κακλαμάνης, Καθηγητής Σταύρος Κοσμαδάκης, Καθηγητής Μάρτιος 2016

Σε αυτό το σημείο θέλω να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για τη υλική και ηθική υποστήριξή τους καθ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. Θέλω ακόμη να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ιωάννη Καραγιάννη, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε με την ανάθεση αυτής της διπλωματικής εργασίας και το χρόνο που αφιέρωσε για να με βοηθήσει στη εκπόνησή της. Επιπλέον θα ηθελα να ευχαριστήσω και τους κ. Χρήστο Κακλαμάνη και κ. Σταύρο Κοσμαδάκη, Καθηγητές του Τμήματος Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής, για τη συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή αυτής της εργασίας. Τέλος, νιώθω την ανάγκη να εκφράσω την εκτίμησή μου στους κύριους Αλέξανδρο Βουδούρη, Παναγιώτη Κανελλόπουλο, Γιώργο Κριμπά και Ξενοφώντα Χατζηγεωργίου, που χωρίς την βοήθειά τους αυτή η εργασία δεν θα είχε πραγματοποιηθεί.

Περίληψη Στην παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία, γίνεται μελέτη ενός μοντέλου ανταγωνισμού μεταξύ προμηθευτών ενός προϊόντος. Οι προμηθευτές παρέχουν ένα παρόμοιο προϊόν σε ένα σύνολο από αγοραστές διαφόρων τύπων. Ο κάθε αγοραστής επιθυμεί να αποκτήσει μια μονάδα προϊόντος και μπορεί (σε εξάρτηση με τον τύπο του) να έχει διαφορετική αποτίμηση ανάλογα με τον προμηθευτή από τον οποίο αγοράζει. Στόχος ενός αγοραστή είναι η μεγιστοποίηση του οφέλους αγοράς, το οποίο ορίζεται ως η διαφορά της αποτίμησης του προϊόντος από την τιμή αγοράς. Για έναν προμηθευτή, στόχος είναι η μεγιστοποίηση των συνολικού ποσού που κερδίζει, δηλαδή, του γινομένου της τιμής πώλησης επί τον αριθμό των πελατών που τον προτιμούν. Σε αντίθεση με τους πελάτες, ο υπολογισμός του βέλτιστου κέρδους του προμηθευτή είναι ιδιαίτερα πολύπλοκος. Ο κάθε προμηθευτής πρέπει να καθορίσει μια τιμή αρκετά ελκυστική για να προσελκύσει τόσους πελάτες ώστε τα συνολικά του έσοδα να μεγιστοποιούνται. Η πιο πάνω συμπεριφορά υποδηλώνει ένα παίγνιο δυο φάσεων. Στην πρώτη φάση, το παίγνιο διεξάγεται μεταξύ των προμηθευτών για τον καθορισμό των τιμών. Στη δεύτερη φάση, οι αγοραστές επιλέγουν τους προμηθευτές από τους οποίους θα αγοράσουν. Υποθέτοντας ότι οι παίκτες έχουν πλήρη πληροφόρηση, το παίγνιο θα μελετηθεί ως προς την ύπαρξη σημείων στρατηγικής ισορροπίας. Όταν τέτοια σημεία υπάρχουν, θα διερευνηθούν διάφορα ερωτήματα σχετικά την ποιότητα τους. Πιο συγκεκριμένα, ορίζοντας ως κοινωνικό κέρδος το άθροισμα της ωφέλειας των αγοραστών και του κέρδους των προμηθευτών, αξιολογούμε τα σημεία στρατηγικής ισορροπίας μέσω της μετρικής του κόστους της αναρχίας. Ακόμη, μελετούμε τη πολυπλοκότητα που εμφανίζεται όταν προσπαθήσει κανείς να υπολογίσει τέτοια σημεία ισορροπίας. Στην περίπτωση που κάποιο παίγνιο δεν φτάνει σε ισορροπία, ή φτάνει σε μια ισορροπία που είναι κακή (π.χ., όταν το κόστος της αναρχίας είναι μεγάλο), θα ήθελε κανείς κάποιο τρόπο να παρέμβει και να βελτιώσει αυτή την κατάσταση. Με βάση αυτό το ζητούμενο, εισάγουμε στο μοντέλο μας την ιδέα των επιδοτήσεων από κάποια εξωτερική πηγή προς τους προμηθευτές, έτσι ώστε να οδηγηθεί το παίγνιο σε μια κοινωνικά βέλτιστη ισορροπία (εφόσον κάτι τέτοιο είναι δυνατόν). Ένα σημαντικό ερώτημα εδώ είναι: πόσο είναι το κόστος που πρέπει να επωμιστεί η εξωτερική πηγή, ώστε να επιβάλει την ισορροπία που θέλει;

Abstract In this thesis, we focus our study on marketplaces with multiple vendors offering identical products to unit demand buyers. ese buyers have different valuations for the various vendors. Buyers want to maximize their utility, thus they will subtract the price offered to them by a vendor, from the valuation they have for her and will choose the vendor that maximizes this difference, called their utility. Vendors are profit maximizers. Each of them must set a fixed price for its product. However, this task is not trivial. e profit depends on the vendor s price itself and the total volume of buyers that find the particular price more attractive than the price of the vendor s competitors. We model the behaviour of buyers and vendors as a two-stage full-information game and study a series of questions related to the existence, efficiency (price of anarchy) and computational complexity of equilibria in this game. To overcome situations where equilibria do not exist or exist but are highly inefficient, we consider the scenario where some of the vendors are subsidized in order to keep prices low and buyers highly satisfied.

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Βασική ιδέα.......................................... 1 1.2 Ένα μοντέλο για τη μελέτη του ανταγωνισμού....................... 2 1.3 Σχετικό έργο......................................... 6 2 Μια πρώτη επαφή με το μοντέλο 9 2.1 Ένα απλό παράδειγμα.................................... 9 2.2 Κοινωνικό κέρδος και κόστος της αναρχίας......................... 12 3 Αποτελέσματα 15 3.1 Αξιολόγηση ώς προς κόστος της αναρχίας......................... 15 3.2 Ύπαρξη Ισορροπιών..................................... 18 3.3 Υπολογισμός των σημείων Ισορροπίας........................... 20 3.3.1 Ένας αλγόριθμος για το CοMPUTEPRICE..................... 20 3.4 Το πρόβλημα PRICECOMPETITION............................. 26 3.5 Δυσκολία του προβλήματος PRICECOMPETITION..................... 28 3.6 Επιδοτήσεις......................................... 30 4 Ανοικτά προβλήματα 39 ix

x

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Βασική ιδέα Ας ξεκινήσουμε αυτή την εργασία με ένα παράδειγμα: Τρεις κατασκευαστές λογισμικού, οι A, B και C παράγουν και προσφέρουν πακέτα ηλεκτρονικής προστασίας σε κάποια αγορά. Οι τρεις προμηθευτές ανταγωνίζονται, όχι αναγκαστικά με ίσους όρους. Στην αγορά υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος πελατών, οι οποίοι ενδιαφέρονται για την απόκτηση ενός πακέτου, αλλά έχουν διαφορετικές προτιμήσεις ως προς τον προμηθευτή που θα αποταθούν για αυτό. Δεν πρόκειται για αυθαίρετη υπόθεση: Η φήμη που έχει ο προμηθευτής, προηγούμενες εμπειρίες του πελάτη μαζί του, το αν προσφέρει εγγύηση ή ευκολίες πληρωμής, ακόμα και πιθανές προσωπικές σχέσεις μπορούν να συμβάλουν στην προτίμηση του πελάτη. Οι πελάτες αυτοί είναι μεν πολλοί, αλλά μπορούν να χωριστούν σε κατηγορίες, ανάλογα με τις προτιμήσεις τους. Λόγου χάρη, στην πρώτη κατηγορία εντάσσονται οι φανατικοί οπαδοί του κατασκευαστή A, που δίνουν μεγάλη αξία στο προϊόν του, καθότι το έχουν δοκιμασμένο, έχει μια καλή φήμη και τους αρέσει. Στις άλλες δύο εταιρίες όμως, καθώς δεν τις έχουν σε μεγάλη υπόληψη και δεν θέλουν να ρισκάρουν, δίνουν πολύ μικρή αξία. Σε μία άλλη κατηγορία μπορούν να ενταχθούν πελάτες που προτιμούν τον B, αλλά επηρεασμένοι από διάφορες φήμες και διαφημίσεις, θα αγόραζαν στην κατάλληλη τιμή το προϊόν από τον A. Αντιθέτως, μόνο σε μια πολύ χαμηλή τιμή θα προτιμούσαν τον C. Παρομοίως, μπορούν να υπάρχουν και άλλες κατηγορίες, με διαφορετικά μεγέθη και προτιμήσεις ως προς τους προμηθευτές. Θεωρούμε, ότι οι προμηθευτές έχουν τη δυνατότητα, μέσα από έρευνες αγοράς και στατιστικής να γνωρίζουν τις προτιμήσεις των τύπων πελατών. Πέρα από τις προτιμήσεις των πελατών, οι προμηθευτές περιορίζονται και από το κόστος παραγωγής και διάθεσης του προϊόντος τους. Ο κατασκευαστής A, π.χ. έχοντας τη μεγαλύτερη εμπειρία καταφέρνει να ρίξει το κόστος του αρκετά, ενώ ο κατασκευαστής C, όντας νέος στην αγορά ξοδεύει και αρκετά χρήματα σε διαφήμιση και προωθητικό υλικό και έτσι έχει αυξημένο κόστος. Στο σενάριο που εξετάζουμε, οι προμηθευτές πρέπει να ανακοινώσουν μια δημόσια τιμή για το προϊόν τους και περιμένουν από τους διάφορους πελάτες να τους επιλέξουν. Οι πελάτες, από την άλλη, θα ζυγίσουν τα υπέρ και τα κατά της κάθε επιλογής που τους προσφέρεται, και θα πράξουν σύμφωνα με το 1

συμφέρον τους (όπως το ορίζουν οι ίδιοι, φυσικά). Έχοντας υπόψιν μας, ότι τόσο οι προμηθευτές, όσο και οι πελάτες έχουν σαν στόχο την βελτίωση του ατομικού τους οφέλους, εμφανίζονται τώρα διάφορα ερωτήματα. Τι τιμή θα θέσει ο κάθε προμηθευτής για να μεγιστοποιήσει το κέρδος του; Η λύση δεν είναι προφανής: μια χαμηλή τιμή μπορεί να προσελκύσει πολλούς πελάτες, αλλά μια μεγάλη τιμή μπορεί να αφήνει μεγαλύτερο κέρδος, αν υπάρχει ο κατάλληλος αριθμός πελατών διατεθειμένων να πληρώσουν. Που μπορεί να καταλήξει το όλο σύστημα; Οι προμηθευτές θα ανταγωνίζονται αενάως, αλλάζοντας συνεχώς τιμές και μετακινώντας τους πελάτες μεταξύ τους, ή θα καταλήξει κάποτε σε μια κατάσταση όπου κανείς δεν θα έχει κίνητρο (ή δεν θα μπορεί) να μετακινηθεί; Ακόμα, αν συμβαίνει το δεύτερο, πόσο καλή θα είναι αυτή η κατάσταση ισορροπίας; Τι γίνεται αν αυτή η κατάσταση που μπορεί να καταλήξει το σύστημα είναι κακή (ή μη επιθυμητή, σύμφωνα με κάποιο κριτήριο); Μπορούμε να παρέμβουμε με κάποιο τρόπο στο σύστημα για να τη βελτιώσουμε; Τα πιο πάνω ερωτήματα θα προσπαθήσουμε να τα απαντήσουμε στην συνέχεια της εργασίας. Αρχικά θα εξετάσουμε την ευστάθεια των αποτελεσμάτων μας σύμφωνα με την έννοια των ισορροπιών Nash (βλ. [16]). Επιπλέον, θα διερευνήσουμε την ποιότητα των αποτελεσμάτων μας, όσον αφορά το κοινό καλό, τόσο των πελατών, όσο και των προμηθευτών. Βλέποντας τα πράγματα από μια ωφελιμιστική σκοπιά, στόχος είναι η μεγιστοποίηση του αθροίσματος των ωφελειών κάθε συμμετέχοντα στην αγορά. Για την αξιολόγηση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε την μετρική του Κόστους της Αναρχίας, έννοια που έχει εισαχθεί από τους Koutsoupias & Papadimitriou (βλ. [18, 12]) και έχει χρησιμοποιηθεί κατά κόρο στην αξιολόγηση παιγνίων. Ακολούθως, θα διερευνήσουμε το θέμα εύρεσης καταστάσεων ισορροπίας υπολογιστικά. Στο τέλος, θα προσπαθήσουμε να παρέμβουμε στο σύστημα, μέσω επιδοτήσεων προς τους προμηθευτές, με στόχο να σταθεροποιήσουμε και να βελτιώσουμε την κοινωνική απόδοση του παιγνίου. 1.2 Ένα μοντέλο για τη μελέτη του ανταγωνισμού Το μοντέλο της εργασίας αποτελείται από 2 κύρια σύνολα παικτών: Τους προμηθευτές (ή πωλητές) και τους πελάτες (ενίοτε αναφερόμενοι και ως αγοραστές). Το σύνολο M περιέχει m προμηθευτές. Οι προμηθευτές διαθέτουν όλοι το ίδιο (ή παρόμοιο) προϊόν, σε απεριόριστα τεμάχια, το οποίο θέλουν να πουλήσουν σε διάφορους πελάτες. Οι πελάτες επιθυμούν 1 τεμάχιο προϊόντος ο καθένας και χαρακτηρίζονται από τον τύπο τους. Οι τύποι πελατών ανήκουν στο σύνολο N και έχουν πλήθος n διαφορετικούς 2

τύπους πελατών. Κάθε τύπος πελατών i N έχει όγκο πελατών ίσο με µ i 1. Κάθε πελάτης που ανήκει στον τύπο i έχει μια προσωπική, μη αρνητική, αποτίμηση v ij για το ποσό που είναι διατεθειμένος να πληρώσει για αποκομίσει το προϊόν από τον j-οστό προμηθευτή. Παρομοίως, ο κάθε προμηθευτής έχει κάποιο, επίσης μη αρνητικό, κόστος παραγωγής c j για κάθε μονάδα προϊόντος που πουλά. Θεωρούμε ότι όλοι οι προμηθευτές γνωρίζουν τις προτιμήσεις και τους όγκους των τύπων πελατών καθώς και τα κόστη των υπολοίπων προμηθευτών. Τα 2 σύνολα παικτών δημιουργούν ένα παίγνιο που στο εξής θα ονομάζεται παίγνιο τιμολόγησης και εξελίσσεται σε 2 στάδια: Στο πρώτο στάδιο, ο κάθε προμηθευτής ανακοινώνει κάποια τιμή p j c j προς τους υπόλοιπους παίκτες (πελάτες και προμηθευτές), με την οποία θα χρεώνει για μια μονάδα προϊόντος. Όλες οι τιμές περιέχονται σε ένα διάνυσμα τιμών p. Στο δεύτερο στάδιο, οι πελάτες επιλέγουν τον προμηθευτή, από τον οποίο αποκομίζουν το μέγιστο δυνατό όφελος. Ως όφελος ενός πελάτη τύπου i, όταν αγοράζει από τον προμηθευτή j, ονομάζουμε την ποσότητα v ij p j. Έτσι, ο πελάτης υπολογίζει ένα σύνολο ζήτησης (demand set) D i (p), που για κάθε πελάτη i ορίζει το σύνολο των προμηθευτών από τους οποίους, ο πελάτης i αποκομίζει το μέγιστο κέρδος, ως προς το δοθέν διάνυσμα τιμών. D i (p) = arg max j M {v ij p j } (1.1) Ένας πελάτης μπορεί να επιλέξει αυθαίρετα, τώρα, κάποιον από τους προμηθευτές στο σύνολο ζήτησής του. Οι πελάτες, έχουν τη δυνατότητα να απέχουν από την αγορά του προϊόντος, αν δεν μπορούν να αποκομίσουν θετικό όφελος από τη συναλλαγή (αλλιώς όταν max j M {v ij p j } < 0 ). Αυτή η δυνατότητα μοντελοποιείται με την προσθήκη ενός τεχνητού προμηθευτή αποχής, για τον οποίο όλοι έχουν μηδενική αποτίμηση και η τιμή του είναι πάντοτε 0. Μια ανάθεση πελατών σε προμηθευτές (buyer-to-vendor assignment) x, είναι ένα μητρώο n (m + 1), όπου η θέση x ij, υποδεικνύει τον όγκο των πελατών τύπου i που ανατίθεται στον προμηθευτή j (στην συγκεκριμένη ανάθεση). Προφανώς, λόγω και της προσθήκης του προμηθευτή αποχής κάθε γραμμή του μητρώου (που δηλώνει ένα τύπο πελάτη) πρέπει να περιλαμβάνει όλο τον όγκο του συγκεκριμένου τύπου πελάτη, δηλαδή: 1 Μα σημειώσουμε εδώ ότι ο όγκος δεν μετριέται σε άτομα, αλλά σε κάποια μονάδα μέτρησης αυτών των ατόμων. Π.χ. µ x = 12 μπορεί να σημαίνει ότι ο τύπος x αριθμεί 12000 άτομα. Έτσι ο όγκος μπορεί να είναι ο οποιοδήποτε θετικός, ρητός αριθμός. 3

x ij = µ i. (1.2) j M Στόχος των προμηθευτών στο πρώτο στάδιο του παιγνίου είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους τους. Ως κέρδος του προμηθευτή j, για ένα διάνυσμα τιμών p και μια ανάθεση x ορίζεται η ποσότητα u j (x, p) = (p j c j )x ij. i:x ij >0 Το διάνυσμα u(x, p) περιέχει το κέρδος για όλους τους προμηθευτές. 2 Μια ανάθεση x ονομάζεται συνεπής ως προς ένα διάνυσμα τιμών p, όταν οι πελάτες ανατίθενται μόνο στους προμηθευτές, για τους οποίους μεγιστοποιείται το όφελός τους, δηλαδή όταν x ij > 0 συνεπάγεται ότι j D i (p). Μπορούμε να δούμε την συνεπή ανάθεση x ως προς το διάνυσμα τιμών p, σαν την ανάθεση που μεγιστοποιεί τα οφέλη των πελατών. Στο παίγνιο αυτό, μία ανάθεση και ένα διάνυσμα τιμών αποτελούν μια αγνή ισορροπία Nash, όταν, για κάθε προμηθευτή j, η τιμή p j μεγιστοποιεί το κέρδος u j (y, (p j, p j)) του προμηθευτή j, ως προς όλες τις τιμές p j c j και όλες τις αναθέσεις y που είναι συνεπείς με τις τιμές (p j, p j). Ο συμβολισμός (p j, p j)) δηλώνει ένα διάνυσμα τιμών ίδιο με το p, εκτός από την τιμή του j-οστού προμηθευτή. Υποδεικνύει έτσι την περίπτωση που ο προμηθευτής αυτός αποκλίνει μονομερώς, αλλάζοντας την τιμή στην οποία προσφέρει το προϊόν, ενώ οι υπόλοιποι παραμένουν σταθεροί στις στρατηγικές τους. Το συνολικό όφελός των πελατών του i-οστού τύπου, για μια δεδομένη ανάθεση x και δεδομένες τιμές p ορίζεται ως η ποσότητα t i (x, p) = j M x ij(v ij p j ). Για την αξιολόγηση των παιγνίων τιμολόγησης κύριο κριτήριο είναι η έννοια της κοινωνικής ωφέλειας (social welfare ή κοινωνικό κέρδος). Στην εργασία αυτή σαν κοινωνική ωφέλεια ορίζουμε το άθροισμα των επιμέρους οφελών όλων των παικτών (προμηθευτών και πελατών). Για τους αγοραστές λαμβάνουμε υπόψη το καθαρό όφελος τους και για τους πωλητές το καθαρό κέρδος που αποκομίζουν από τις πωλήσεις. Έτσι, για κάθε ανάθεση, η κοινωνική ωφέλεια συμβολίζεται με SW(x) και ορίζεται ως: SW(x) = x ij (p j c j ) + x ij (v ij p j ) (1.3) i N j M i N j M SW(x) = x ij (v ij c j ). (1.4) i N j M 2Παραβιάζοντας κάπως την σημειολογία, σε κάποιες περιπτώσεις που η ανάθεση είναι ξεκάθαρη από τα συμφραζόμενα, δεν θα αναφέρεται στο συμβολισμό. 4

Παρατηρούμε ότι η κοινωνική ωφέλεια δεν εξαρτάται άμεσα από την τιμή (παρόλο που η ανάθεση είναι πλήρως εξαρτώμενη από τη τιμή). Έτσι ο ορισμός αυτός δεν σχετίζεται αναγκαστικά με κάποιο συγκεκριμένο διάνυσμα τιμών (στο οποίο να είναι συνεπής η ανάθεση), και έτσι μπορεί να οριστεί η βέλτιστη κοινωνική ωφέλεια ως: SW = i N µ i max j M {v ij c j }. Εδώ, κάθε πελάτης ανατίθεται στον προμηθευτή για τον οποίο το όφελος του μεγιστοποιείται. Όταν η ανάθεση x είναι συνεπής με τις τιμές του δυανύσματος p, τότε: SW(x) = x ij (v ij c j ) i N j M = x ij (v ij p j ) + (p j c j ) x ij i N j M j M i N = t i (x, p) + u j (x, p). i N j M Ένας τρόπος να απαντηθεί το ερώτημα πόσο καλό έιναι το συγκεκριμένο παίγνιο, όσον αφορά την κοινωνική ωφέλεια είναι η χρήση του Κόστους της Αναρχίας (Price of Anarchy. Στη συνέχεια του κειμένου χρησιμοποιούμε και τη συντομογραφία PoA). Το Κόστος της Αναρχίας για ένα παίγνιο τιμολόγησης G ορίζεται ως ο λόγος της βέλτιστης κοινωνικής ωφέλειας, ως προς την χειρότερη κοινωνική ωφέλεια σε κατάσταση ισορροπίας. PoA(G) = max (x,p) N (G) SW SW(x), (1.5) όπου το σύνολο N (G) περιλαμβάνει όλες τις αγνές ισορροπίες Nash του παιγνίου τιμολόγησης G. Ένα μεγάλο PoA δείχνει ότι το παίγνιο μπορεί να φτάσει σε μια κατάσταση που είναι κοινωνικά κακή ή κοινωνικά πολύ χειρότερη από τη βέλτιστη. Aντιθέτως, όταν πλησιάζει την μονάδα, δείχνει ότι το παίγνιο εγγυημενα φτάνει σε ισορροπίες που είναι κοινωνικά σχεδόν βέλτιστες. Τελειώνοντας με την περιγραφή του μοντέλου και των συμβολισμών, πρέπει να αναφερθούν 2 συντομογραφίες που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια της εργασίας: αρχικά, ο συμβολισμός x + αντικαθιστά τον max{0, x}. Επιπλέον με την γραφή [l] συμβολίζουμε το σύνολο {1, 2,..., l} για κάποιον ακέραιο l 1. 5

1.3 Σχετικό έργο Το πεδίο του ανταγωνισμού τιμών αποτελεί σημαντικό πεδίο έρευνας στην πρόσφατη βιβλιογραφία. Η κύρια εργασία στην οποία βασίζεται αυτή η διπλωματική εργασία είναι η [5]. Το μοντέλο που παρουσιάστηκε πιο πάνω είναι εμπνευσμένο από την εργασία των Meir et al. [15]. Οι συγγραφείς της συγκεκριμένης εργασίας ασχολούνται με την προσφορά προϊόντων σε γκρουπ με εκπτώσεις, όταν οι προμηθευτές έχουν μερική πληροφόρηση για τις προτιμήσεις των πελατών. Κλασσικά μοντέλα ανταγωνισμού αποτελούν οι εργασίες των Antoine Augustin Cournot και Joseph Louis François Bertrand κατά το 19 αιώνα (βλέπε το βιβλίο των Mas-Colell et al. [14]). Στο μοντέλο του Cournot, ένας αριθμός από εταιρίες παράγει το ίδιο προϊόν, για το oποίο ανταγωνίζονται. Οι τιμές του προϊόντος, δεν δίνονται όμως από τους παραγωγούς, αλλά προκύπτουν, από την ποσότητα προϊόντος που παράγει η κάθε εταιρία και τη συνολική ποσότητα που παράγεται. Στόχος των εταιριών είναι να επιλέξουν την ποσότητα που θα παράγουν ώστε να μεγιστοποιήσουν το κέρδος τους. Παρόμοιο (και βασισμένο στο προηγούμενο) είναι και το μοντέλο του Bertrand. Ο Bertrand, όμως, θέλει τις ίδιες τις εταιρίες να καθορίζουν τις τιμές, και όχι να προκύπτουν μέσα απο την ποσότητα παραγωγής. Όσον αφορά την πρόσφατη βιβλιογραφία, διάφορα συγγενικά με το δικό μας μοντέλα παρουσιάζονται σε διάφορες εργασίες. Αρκετή έρευνα έγινε σε μοντέλα, που σε αντίθεση με το δικό μας, προσφέρονται πολλά είδη προιόντων και οι πελάτες έχουν συνδυαστικά οφέλη, ως προς αυτά. Μερικές ενδεικτικές εργασίες: Οι Babaioff et al. (βλ. [2]) μελετούν αγορές με πολλούς προμηθευτές που προσφέρουν ένα διαφορετικό προϊόν ο καθένας, σε ένα πελάτη που ενδιαφέρεται για (και αγοράζει) συνδυασμούς προϊόντων. Δείχνουν ότι στο παίγνιο μεταξύ των προμηθευτών για τον καθορισμό της τιμής υπάρχουν πάντοτε αγνές ισορροπίες Nash. Αντιθέτως, όταν οι προμηθευτές προσφέρουν πάνω από ένα διαφορετικό προϊόν, οι ισορροπίες αυτές δεν είναι εγγυημένες, όπως δείχνουν οι Lev et al. στην εργασία [13]. Οι ίδιοι δείχνουν πως, όταν υπάρχουν ισορροπίες, το κόστος της αναρχίας φράσσεται, και παράλληλα δεν μπορεί να ξεπεράσει, μια ποσότητα λογαριθμική προς τον αριθμό των διαφορετικών προσφερόμενων προιόντων απο ένα προμηθευτή. Οι Guruswami et al. στην εργασία [10] μελετούν ένα πρόβλημα όπου ένας πωλητής προσφέρει διάφορα προϊόντα και θέλει να βρει τιμές ώστε να μεγιστοποιήσει το κέρδος και παράλληλα η ανάθεση των προϊόντων στους πελάτες να μην προκαλεί φθόνο μεταξύ των παικτών (ιδιότητα γνωστή στη βιβλιογραφία ως envy-freeness). Αποδεικνύουν ότι αυτό το πρόβλημα είναι υπολογιστικά δύσκολο ακόμα και να προσεγγιστεί. Παίρνοντας κίνητρο από τη διάδοση του Internet, ένας χώρος με ιδιαίτερα εκτεταμένη έρευνα σε θέματα ανταγωνισμού τιμών είναι η περίπτωση των δικτύων και των αγορών με συμφόρηση, γενικότερα. Πρόκειται για παίγνια όπου οι πελάτες επιθυμούν να δεσμεύσουν κάποιο μονοπάτι, τις ακμές του 6

οποίου πρέπει να αγοράσει από τους προμηθευτές-κατόχους του δικτύου. Πέρα από τη τιμή, οι πελάτες οφείλουν να έχουν υπόψιν τους και την καθυστέρηση (latency) που θα επιφέρουν οι ίδιοι ή άλλοι πελάτες στο μονοπάτι που θα επιλέξουν (συμφορηση/congestion). Τέτοια παίγνια, μπορεί να οδηγηθούν σε ιδιαιτέρως μη επιθυμητά αποτελέσματα. Οι Chawla και Roughgarden στην εργασία [6] παρουσιάζουν διάφορα αποτελέσματα για το κόστος της αναρχίας και το κόστος της ευστάθειας 3, όσον αφορά το κοινωνικό κέρδος, αλλά και το κέρδος των προμηθευτών. Όσον αφορά το θέμα των επιδοτήσεων, η ιδέα των εξωτερικών χρηματικών κινήτρων είναι μία συνήθης τακτική στο πεδίου του Σχεδιασμού Μηχανισμών (βλ. [17] για μια εισαγωγή στο πεδίο). Τα κίνητρα εμφανίζονται είτε σαν θετικά (επιχορηγήσεις) είτε ως αρνητικά (φόροι), και έχουν ως στόχο την επιβολή κάποιας ιδιότητας στο σύστημα από ένα ξένο παράγοντα. Μερικές εργασίες εμπνευσμένες από την ιδέα είναι οι εξής. Οι Augustine et al. στην [1]χρησιμοποιούν επιδοτήσεις για να επιβάλουν ισορροπίες σε παίγνια σχεδιασμού δικτύου (παίγνια όπου παίκτες ανταγωνίζονται για μια σύνδεση μεταξύ 2 κόμβων σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα, μεσώ των διαφόρων μονοπατιών που υπάρχουν σε αυτό). Οι Buchbinder et al. στην [4] χρησιμοποιούν επιδοτήσεις, το κόστος των οποίων καλύπτεται από φόρους, για να βελτιώσουν τη συνολική απόδοση σε παίγνια κάλυψης συνόλων. Σε ένα κάπως διαφορετικό μοντέλο, οι Bachrach et al. στην [3] χρησιμοποιούν επιδοτήσεις για να ενθαρρύνουν τη δημιουργία συνασπισμών μεταξύ των παικτών. Η ιδέα των αρνητικών κινήτρων, υπο τη μορφή φόρων, έχει χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπως η [7], σε θέματα που ασχολούνται με δρομολόγηση δικτύων και η εργασία [19] η οποία ασχολείται με boolean games. 3Κόστος της Ευστάθεια (Price of Stability): Ο λόγος της βέλτιστης κατάστασης του παιγνίου ως προς την καλύτερη ισορροπία του. 7

8

Κεφάλαιο 2 Μια πρώτη επαφή με το μοντέλο 2.1 Ένα απλό παράδειγμα Ας δούμε τώρα το αρχικό μας παράδειγμα, ελαφρώς απλοποιημένο, μέσα από το μοντέλο που περιγράψαμε: Περιοριζόμαστε σε 2 μόνο εταιρίες - προμηθευτές, που τους ονομάσουμε le (l) και right (r). Αυτοί οι 2 προμηθευτές προσφέρουν το λογισμικό τους σε 2 μόνο τύπους πελατών, τους red και blue. Ο προμηθευτής le είναι ιδιαίτερα δημοφιλής: Οι πελάτες τύπου red τον προτιμούν με μεγάλη διαφορά από τον blue. Παρομοίως, είναι πρώτη επιλογή και για το δεύτερο τύπο πελατών, τους blue, με πολύ μικρότερη διαφορά όμως. Οι 2 προμηθευτές έχουν την δυνατότητα να προσφέρουν το προϊόν τους χωρίς καθόλου κόστος (αν θέλουμε να κάνουμε κάπως πιο ρεαλιστικό το παράδειγμα μας, μπορούμε να πούμε ότι έχουν το ίδιο κόστος παραγωγής) και ο όγκος των πελατών είναι 1, για κάθε τύπο. Συνοπτικά εμφανίζονται στον πιο κάτω πίνακα οι όγκοι και οι αποτιμήσεις. le right vol. red 9 1 1 blue 3 2 1 Ας υποθέσουμε αρχικά ότι οι 2 προμηθευτές θέτουν κάποιες αυθαίρετες τιμές, λόγου χάρη: p = {5, 2}. Τότε κάθε πελάτης θα μετρήσει τα οφέλη που θα κερδίζει απο κάθε περίπτωση: Οι πελάτες τύπου red έχουν όφελος 9 5 = 5 αν επιλέξουν το προμηθευτή le και 1 2 = 1 αν επιλέξουν τον right. Η επιλογή του le είναι προφανής. Τα πράγματα είναι διαφορετικά για τους πελάτες τύπου blue. Με κέρδος 3 5 < 0 για τον προμηθευτή le δεν υπάρχει περίπτωση να τον επιλέξουν. Οσον αφορά τον προμηθευτή right, το όφελος τους είναι 2 2 = 0: είναι αδιάφοροι. Παρόλα αυτά, είναι ο μόνος προμηθευτής στο σύνολο ζήτησης τους, άρα κάποιοι θα επιλέξουν, αυθαίρετα, την αγορά απο αυτόν και άλλοι με, επίσης αυθαίρετα κριτήρια θα απέχουν. Δημιουργείται με αυτόν τον τρόπο η εξής ανάθεση x: le right red 1 0 blue 0 χ όπου χ [0, 1], και το κέρδος των προμηθευτων είναι u(5, 2) = (5, 2χ). Μπορεί να είναι αυτή η κατάσταση ισορροπία; Εύκολα βλέπουμε πως δεν είναι δυνατό: Ο προμηθευτής le μπορεί να ανεβάσει την τιμή του μέχρι το 9, χωρίς να χάσει πελάτες, και να αυξήσει το κέρδος 9

του στο 9. Για τον προμηθευτή blue τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά. Αν χ < 1 με ελάχιστη μείωση της τιμής του ο προμηθευτής right καταφέρνει να προσελκύσει όλους του πελάτες τύπου blue και να αποκομήσει όφελος που να προσεγγίζει το 2. Αλλιώς, έχει ήδη όφελος 2 και δεν έχει κανένα λόγο να αλλάξει την στρατηγική του: αν αυξήσει, οι πελάτες που ήδη προσεγγίζει θα προτιμήσουν να απέχουν. Ας υποθέσουμε τώρα, ότι μετά απο αλλεπάλληλες αλλαγές τιμών και αναθέσεων, χωρις να φτάσουν σε κάποια κατάστηση ισορροπίας, οι δύο προμηθευτές καταλήγουν στις τιμές p = (9, 2), ενώ ανάθεση των τύπων πελατών είναι η εξής: le right red 1 0 blue 0 1 Τα κέρδη των προμηθευτών θα είναι u(9, 2) = (9, 2). Ας ελέγξουμε τώρα για τις συνθήκες ισορροπίας: Όπως και πριν, ο le μπορεί να ανεβάσει την τιμή του το πολύ μέχρι το 9. Επιπλέον, δεν έχει συμφέρον να κατεβάσει την τιμή του: Για να κερδίσει τους πελάτες τύπου right πρέπει να θέσει τιμή το πολύ στο 3 και θα έχει κέρδος για οποιαδήποτε τιμή ρ θέσει ο right. u l (3, ρ) 2 3 = 6 < 9, Όσον αφορά τον προμηθευτή right, ούτε αυτός μπορεί να ανεβάσει την τιμή του πάνω από το 2, εφόσον η τιμή του προμηθευτή le είναι μικρότερη του 9. Αν προσπαθήσει να κερδίσει και τους πελάτες τύπου red, πρέπει να θέσει τιμή το πολύ στο 1. Τότε το κέρδος του μπορεί να είναι u r (λ, 1) 2 1 = 2 για οποιαδήποτε τιμή λ θέσει ο le. Εφόσον δεν αυξάνει το κέρδος του, δεν έχει κανένα λόγο να αλλάξει μονομερώς την τιμή του. Οδηγούμαστε, έτσι, στο συμπέρασμα ότι οι τιμές p = (9, 2) και η ανάθεση x l,red = 1, x r,blue = 1 και αλλού ίση με 0 είναι σημείο αγνής στρατηγικής ισορροπίας Nash για το παίγνιο.1 Ας δούμε τώρα τι γίνεται, αν αυξηθεί ο όγκος των πελατών τύπου blue, όπως δείχνει ο πιο κάτω πίνακας: le right vol. red 9 1 1 blue 3 2 9 Αν ελέγξουμε τη προηγούμενη ισορροπία, θα δούμε ότι δεν ισχύει: Ο προμηθευτής le έχει πλέον σοβαρό συμφέρον να μειώσει την τιμή του, για να αυξήσει το κέρδος του. Πιο συγκεκριμένα, αν ρίξει την 1Υπάρχουν και άλλες αναθέσεις συνεπείς με αυτές τις τιμές, π.χ. η ανάθεση όπου κανένας προμηθευτής δεν δέχεται πελάτες. Αυτές οι αναθέσεις δεν μπορούν να είναι σημεία ισορροπίας όμως: σε κάθε περίπτωση ένας προμηθευτής μπορεί να μειώσει απειροστικά την τιμή του και να βελτιώσει το κέρδος του. 10

τιμή του στο 3 δ (όπου δ > 0 οσοδήποτε μικρός αριθμός) θα προσελκύσει και τους, πολλούς πλέον, πελάτες τύπου blue (οι οποίοι αποκτούν θετικό όφελος, ενω πρίν είχαν μηδενικό). Έτσι θα έχει κέρδος u(3 δ, 2) = ((1 + 9)(3 δ), 0). Η νέα αυτή κατάσταση δεν αποτελεί πάντως σημείο ισορροπίας για το παίγνιο (ούτε και όταν δ = 0). Ο προμηθευτή right μπορεί να χαμηλώσει καταλλήλως την τιμή του κάτω απο το 2, και να ξανακερδίσει τους πελάτες που έχασε, αυξάνοντας έτσι μονομερώς το κέρδος του. Έστω τώρα, ότι με κάποιο τρόπο, π.χ., μπαίνοντας σε μια λογική δημοπρασίας με συνεχή μείωση τιμών, οι 2 προμηθευτές φτάνουν στο διάνυσμα τιμών p = (1, 0) και στην (συνεπή) ανάθεση: le right red 1 0 blue 9 0 Τότε: u(1, 0) = {10, 0}. Ο προμηθευτής right, εφόσον δεν του έχει ανατεθεί κανένας πελάτης, ακόμη και με μηδενική τιμή, είναι αδύνατο να αυξήσει ο ίδιος το κέρδος του με μια αλλαγή τιμής: η οποιαδήποτε αύξηση δεν πρόκειται να προσελκύσει κάποιον και δεν μπορεί πια να μειώσει. Παρομοίως, ο προμηθευτής le δεν έχει να κερδίσει κάτι με κάποια μείωση: Ήδη εξυπηρετεί όλους τους πελάτες. Μπορεί, φυσικά να δοκιμάσει μια αύξηση τιμής: Αυξάνοντας πολύ λίγο την τιμή (από 1 σε 1 + ϵ, για κάποιο μικρό ϵ > 0) θα χάσει τους πελάτες τύπου blue, που θα επιλέξουν τον προμηθευτή right, και το κέρδος του θα πέσει στο 1 + ϵ. Αυξάνοντας πολύ την τιμή (αγνοώντας ουσιαστικά τους πελάτες τύπου blue) μπορεί να τη φτάσει μέχρι και στο 9 και να έχει κέρδος 9. Ο προμηθευτής le, άρα, δεν έχει να κερδίσει από μια αλλαγή στην τιμή του, και έτσι μια ισορροπία, σε αυτά τα δεδομένα του παιγνίου, είναι η p = (1, 0) όπου όλοι οι πελάτες ανατίθενται στον le προμηθευτή, και ο right δεν μπορεί να κάνει κάτι για αυτό. Σε όλες τις πιο πάνω υποθέσεις, ο προμηθευτής le έχει σοβαρό πλεονέκτημα σε σχέση με τον right. Υποθέτουμε τώρα, ότι ενώ ο προμηθευτής right παράγει τα προϊόντα με μηδενικό κόστος (ή αν πάρουμε το ρεαλιστικό σενάριο στο ίδιο κόστος με πριν), ο δε προμηθευτής le έχει κόστος 2 για κάθε μονάδα προϊόντος που παράγει (ή συν 2 στο προηγούμενό του). Μπορούμε να το δικαιολογήσουμε σαν κόστος διαφήμισης, και είναι ο λόγος που έχει τόση δημοφιλία σε σχέση με τον right. Τα νέα δεδομένα φαίνεται συνοπτικά στον πιο κάτω πίνακα: 11

le right vol. red 9 1 1 blue 3 2 9 cost 2 0 - Αμέσως η προηγούμενη ισορροπία του παιγνίου γίνεται μη εφικτή: Ο προμηθευτής red δεν πρόκειται ποτέ να θέσει τιμή μικρότερη του 2. αλλιώς το κέρδος του θα είναι αρνητικό. Ας θέσουμε τώρα τις τιμές στο p = {9, 2}. Οι πελάτες τύπου red θα ανατεθούν στον προμηθευτή le, ενώ οι blue στον right. Ο προμηθευτής le παίρνει το μέγιστο που μπορεί να πάρει από τους πελάτες τύπου red, και αν ανεβάσει τιμή θα τους χάσει. Επιπλέον, δεν κερδίζει κάτι μειώνοντας: για να έχει ελπίδα να ανταγωνιστεί τον προμηθευτή right πρέπει να πέσει σε τιμή κόστους, και να χάσει όλο το κέρδος του. Ο προμηθευτής right, απο την άλλη, δεν μπορεί να αυξήσει, καθώς αν το κάνει οι πελάτες τύπυο blue θα απέχουν και θα χάσει όλο το κέρδος του. Αν μειώσει, για να κερδίσει τους red, θα ρίξει την τιμή του κάτω από το 1, και θα μπορεί να έχει κέρδος το πολύ 10, ενώ τώρα έχει 18. Έτσι, με την εισαγωγή κόστους το παίγνιο καταλήγει σε μια ισορροπία με τις τιμές p = {9, 2}, και την ακόλουθη ανάθεση: le right red 1 0 blue 0 9 2.2 Κοινωνικό κέρδος και κόστος της αναρχίας Ας δούμε ξανά το πρώτο παράδειγμα και ας το αναλύσουμε από την σκοπιά του κοινωνικού κόστους. Στο παράδειγμα εκείνο, ανατίθενται οι μεν πελάτες τύπου red, εξ ολοκλήρου στον προμηθευτή le, οι δε πελάτες τύπου blue εξ ολοκλήρου στον προμηθευτή right. Σύμφωνα με τον ορισμό του κοινωνικού κέρδους, η ισορροπία αυτή δίνει SW(x) = 9 1 + 2 1 = 11. Εδώ το βέλτιστο κοινωνικό κέρδος θα ήταν να ανατεθούν και οι 2 τύποι πελατών στον πρώτο προμηθευτή. Αυτό μας οδηγεί σε ένα πρώτο κάτω φράγμα για το κόστος της αναρχίας σε αυτό το παίγνιο. PoA 12 11 Υπάρχει χειρότερη ισορροπία σε αυτό το παράδειγμα; Ας το ψάξουμε. Θα κινηθούμε ανάμεσα στις διάφορες δυνατές αναθέσεις, θα ελέγξουμε αν υπάρχουν τιμές που να επιτρέπουν την εμφάνισή τους, και μετά θα δούμε αν οι παίκτες έχουν κίνητρο να αποκλίνουν από τις τιμές αυτές. Αρχικά, παρατηρούμε ότι ο όγκος δεν μπορεί να μοιραστεί σε κάποια κατάσταση ισορροπίας, εκτός αν έχουν όλοι οι προμηθευτές μηδενικές τιμές. Αν δεν έχουν όλοι μηδενική τιμή, κάποιος από τους προμηθευτές μπορεί να χαμηλώσει την τιμή του κατά ένα οσοδήποτε μικρό δ > 0, και να αποκτήσει όλο τον 12

όγκο πελατών του τύπου. Η μόνη περίπτωση που κανείς δεν μπορεί να το κάνει αυτό είναι όταν έχουν όλοι μηδενικές τιμές, αλλά τότε είτε μπορεί να αυξήσει την τιμή του κάποιος (και να κερδίσει κάτι, αρα δεν είναι ισορροπία) είτε είναι ο μόνος τρόπος να προσελκύσουν πελάτες. Στο παράδειγμά μας, αυτή η δεύτερη περίπτωση δεν ισχύει. Ας δούμε, τώρα τις περιπτώσεις που υπάρχει τύπος πελατών που δεν προσελκύεται από κανένα εκ των δύο προμηθευτών. Τότε, κάποιος εκ των δύο δεν προσελκύει επίσης κανένα, και έχει κίνητρο να χαμηλώσει την τιμή του ώστε να πιάσει τους πελάτες που δεν συμμετέχουν. Ας δούμε τώρα την περίπτωση που ο προμηθευτής le προσελκύει τους πάντες: Τότε θα πρέπει να θέσει την τιμή του το πολύ στο 3, αλλά όπως είδαμε πιο πάνω, έχει μεγαλύτερο κέρδος αν προσελκύσει μόνο τους πελάτες τύπου red με καλύτερη τιμή. Αντίστοιχα, ούτε η περίπτωση να προσελκύονται όλοι από τον προμηθευτή right μπορεί να είναι ισορροπία. Ο προμηθευτής red μπορεί να θέσει πάντα μια τιμή τέτοια ώστε να προσελκύσει ένα εκ των 2 τύπων παικτών. Άρα, στο παίγνιο με τα συγκεκριμένα δεδομένα υπάρχει μια μόνο ισορροπία, κοινωνικά σχεδόν βέλτιστη. 13

14

Κεφάλαιο 3 Αποτελέσματα Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα στα οποία καταλήξαμε μελετώντας το μοντέλο που περιγράφηκε στα προηγούμενα κεφάλαια. Τα αποτελέσματα αυτά δημοσιεύθηκαν στην εργασία [5]. 3.1 Αξιολόγηση ώς προς κόστος της αναρχίας Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ένα παράδειγμα του παιγνίου τιμολόγησης, το οποίο μας έδωσε ένα πολύ μικρό κάτω φράγμα, ελαφρώς μεγαλύτερο του 1, για το κόστος της αναρχίας. Θα δούμε τώρα, ότι θα ήμασταν πολύ αφελείς αν πιστεύαμε πως αυτό είναι το χειρότερο δυνατό. Λήμμα 3.1. Υπάρχει παίγνιο τιμολόγησης με ένα μόνο προμηθευτή, όπου το κόστος της αναρχίας προσεγγίζει τον αριθμό των τύπων πελατών n. Απόδειξη. Έστω ένα παίγνιο τιμολόγησης που αποτελείται από n τύπους πελατών, οι οποίοι θέλουν να αγοράσουν ένα προϊόν που το διαθέτει ένας μόνο προμηθευτής. Ο προμηθευτής αυτός παράγει το προϊόν με μηδενικό κόστος. Έστω μια ένας αριθμός α (0, 1). Θέτουμε τον όγκο του i-οστού τύπου πελατών να είναι µ i = α i 1. ( n ) 1 Επιπλέον, η αποτίμηση ενός πελάτη του ίδιου τύπου είναι v i = j=i µ j για όλους τους τύπους i [n 1] και v n = (1 + α)/µ n για το τελευταίο τύπο πελατών. Παρατηρούμε ότι όσο μικραίνει ο όγκος των πελατών, τόσο αυξάνεται η αποτίμησή τους για τον προμηθευτή. Ο προμηθευτής, θέτοντας ως τιμή το v i, για i [n 1], τότε θα προσελκύσει τους πελάτες i, i + 1,, n και το κέρδος του είναι το πολύ v i n j=i µ j. Παρατηρώντας τον ορισμό της αποτίμησης v i, βλέπουμε ότι το κέρδος του προμηθευτή δεν μπορεί να ξεπεράσει το 1. Αντιθέτως, θέτοντας την τιμή του στο v n = 1+α µ n μπορεί να προσελκύσει μόνο τους πελάτες του τελευταίου τύπου, αλλά έχει πλέον κέρδος v n µ n = 1 + α. Οποιαδήποτε αλλαγή τιμής προς τα κάτω, θα ρίξει το κέρδος κάτω από την μονάδα. Από την άλλη, παρατηρούμε ότι οι τιμές v i όταν i < n αυξάνονται μονότονα, ενώ v n = 1+α α n 1 > 1 α n +α n 1 = v n 1, άρα αν αυξήσει την τιμή του, θα απέχουν όλοι οι πελάτες και το κέρδος του θα μηδενιστεί. Από τις δύο τελευταίες προτάσεις, προκύπτει ότι υπάρχει μια ισορροπία. Αφού όλοι οι άλλοι πελάτες δεν έχουν όφελος να αγοράσουν, το κοινωνικό κέρδος είναι προφανώς 1 + α. Αντιθέτως, αν όλοι οι πελάτες 15

αγόραζαν από τον προμηθευτή, τότε θα ίσχυε ότι: n µ i v i (1 α)n i=1 αφού n j=i µ j µ i j=0 αj = µ i (1 α) 1. Γνωρίζοντας τώρα ότι έχουμε μια ισορροπία με κοινωνικό κέρδος 1 + α και ένα άνω όριο για το βέλτιστο κοινωνικό κέρδος ίσο με (1 α)n, μπορούμε να πούμε ότι το κόστος της αναρχίας για αυτά τα παίγνια είναι τουλάχιστον (1 α)n 1 + α, το οποίο με κατάλληλη επιλογή του α πλησιάζει αυθαιρέτως το n. Το ακόλουθο λήμμα αποδεικνύει ότι το προαναφερθέν κάτω φράγμα είναι το μεγαλύτερο δυνατό, και μας οδηγεί σε ένα στενό φράγμα για το κόστος της αναρχίας σε παίγνια τιμολόγησης. Θεώρημα 3.2. Το κόστος της αναρχίας σε παίγνια τιμολόγησης με n τύπους πελατών είναι το πολύ n. Απόδειξη. Η απόδειξη ξεκινά με ένα ισχυρισμό. Θεωρούμε μια ισορροπία (x, p) ενός παιγνίου τιμολόγησης. Υποστηρίζουμε ότι αν οι πελάτες ενός συγκεκριμένου τύπου i ανατέθηκαν μοιρασμένοι σε δύο προμηθευτές j και j, τότε και οι δύο χρεώνουν στο κόστος, δηλαδή: p j = c j and p j = c j, έχοντας μηδενικό κέρδος. Αν δεν ίσχυε αυτό, τότε κάποιος από τους δύο θα μπορούσε να χαμηλώσει ελαφρώς την τιμή του, και να προσελκύσει όλο τον όγκο των πελατών τύπου i. Αλλά, αυτό έρχεται σε σύγκρουση με την ισορροπία στο (x, p). Η ιδιότητα αυτή δίνει τη δυνατότητα να δημιουργηθεί μια νέα ανάθεση, συνεπής με το p, όπου όλος ο όγκος των πελατών βρίσκεται στον j (ή στον j ), χωρίς να αλλάξει καθόλου το κοινωνικό κέρδος. Ας μην ξεχνάμε, ότι για να υπάρχει αυτή η ισοπαλία μεταξύ των δύο προμηθευτών, οι τύποι πελατών πρέπει να έχουν ίσο όφελος. Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε μια ισορροπία (x, p), τέτοια ώστε για κάθε τύπο πελάτη i, όλοι οι πελάτες να προσελκύονται από ένα προμηθευτή. Δηλαδή, x ij = µ ij και x ij = 0, για όλους τους προμηθευτές j j. Ο προμηθευτής, στον οποίο ανατίθεται όλος ο όγκος των πελατών τύπου i συμβολίζεται με το η(i). Αντίστοιχα, με o(i) συμβολίζεται ο προμηθευτής, ο οποίος προσελκύει τους πελάτες τύπου i στην βέλτιστη ανάθεση. Υποθέτουμε επίσης ότι, όταν η(i) o(i), συνεπάγεται ότι v i,o(i) c o(i) > v i,η(i) c η(i). Αν δεν ισχύει αυτό, αλλά ότι v i,o(i) c o(i) = v i,η(i) c η(i), υπάρχει μια αντίστοιχη βέλτιστη ανάθεση, όπου ο o(i) αντικαθίσταται με τον η(i). Θα δείξουμε ότι 16

t i (x, p) + u o(i) (x, p) µ i (v i,o(i) c o(i) ), (3.1) για κάθε i N. Όταν η προηγούμενη σχέση ισχύει, τότε, οι ακόλουθες πράξεις αποδεικνύουν το θεώρημα: n SW(x) i i i t i (x, p) + n u j (x, p) ( ti (x, p) + u o(i) (x, p) ) µ i ( vi,o(i) c o(i) ) j = SW. Η πρώτη ανίσωση προκύπτει απο τον ορισμό του κοινωνικού κέρδους. Η δεύτερη προκύπτει από το γεγονός ότι το πολύ n (δηλαδή, όλοι οι) τύποι πελατών μπορούν να ανατεθούν στον ίδιο προμηθευτή. Η τρίτη είναι αποτέλεσμα της (3.1). Η μόνη εκκρεμότητα για την πλήρη απόδειξη είναι ότι αφορά την (3.1). Έστω, ότι η(i) = o(i). Τότε, ξέρουμε ότι στη βέλτιστη λύση, ο προμηθευτής o(i) προσελκύει τουλάχιστον τους πελάτες του τύπου i. Άρα t i (x, p) + u o(i) (x, p) µ i (v i,o(i) p o(i) ) + µ i (p o(i) c o(i) ) = µ i (v i,o(i) c o(i) ). Στην αντίθετη περίπτωση, όταν η(i) o(i), ορίζεται η ποσότητα q o(i) = v i,o(i) v i,η(i) + p η(i) (που είναι το περιθώριο κέρδους του προμηθευτή o(i)). Με βάση την υπόθεση v i,o(i) c o(i) > v i,η(i) c η(i) και καθώς p η(i) c η(i), έχουμε τελικά ότι: q o(i) = v i,o(i) v i,η(i) + p η(i) > c o(i) c η(i) + p η(i) c o(i). Βλέπουμε ότι ο o(i) έχει κίνητρο να αποκλίνει σε μια τιμή δ στο μη κενό διάστημα [c o(i), q o(i) ). Αφού v i,o(i) δ > v i,η(i) p η(i), με αυτό τον τρόπο ο o(i) προσελκύει τους πελάτες τύπου i από τον η(i). 17

Έχοντας υπόψιν την περίπτωση της ισορροπίας για τον η(i) (και συμβολίζοντας με x την ανάθεση που εμφανίζεται όταν ο o(i) αποκλίνει στην τιμή δ), προκύπτει ότι: u o(i) (x, p) u o(i) (x, (δ, p o(i) )) µ i (δ c o(i) ). Αφού δ < q o(i) ισχύει ότι: u o(i) (x, p) µ i (q o(i) c o(i) ) = µ i (v i,o(i) c o(i) ) µ i (v i,η(i) p η(i) ) = µ i (v i,o(i) c o(i) ) t i (x, p). που οδηγεί στην ανίσωση (3.1), και στην ολοκλήρωση της απόδειξης. 3.2 Ύπαρξη Ισορροπιών Παρόλο που καταφέραμε να αξιολογήσουμε ποιοτικά τα παίγνια τιμολόγησης, δεν έχουμε εξασφαλίσει την ευστάθειά τους. Έχουμε δει ότι υπάρχουν αγνές ισορροπίες Nash, αλλά δεν γνωρίζουμε αν η ύπαρξη αυτή είναι εγγυημένη σε κάθε παίγνιο. Όπως θα δείξουμε στη συνέχεια, στη γενική περίπτωση δεν υπάρχει κάποια εγγύηση για την ύπαρξη τέτοιων ισορροπιών. Αρχικά θα δούμε ένα υποσύνολο παιγνίων όπου υπάρχουν πάντοτε ισορροπίες σε αγνές στρατηγικές. Λήμμα 3.3. Σε παίγνια με ένα μόνο τύπο πελάτη υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια ισορροπία. Απόδειξη. Η υπόθεση ενός μόνο τύπου πελατών επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε την απλοποιημένη σημειογραφία v j, ώστε να υποδείξουμε το κέρδος του προμηθευτή j. Αρχικά ονομάζουμε τον προμηθευτή j argmax(v j c j ) σαν αυτόν που έχει το μεγαλύτερο περιθώριο κέρδους ενώ ο j argmax(v j c j ) είναι αυτός με το δεύτερο μεγαλύτερο. Ισχυριζόμαστε, τώρα, j M j M\j ότι οι τιμές p j = v j v j + c j και p j = c j, μαζί με την (συνεπή) ανάθεση x όπου όλοι οι πελάτες αγοράζουν από τον j είναι μια κατάσταση ισορροπίας. Πράγματι, τότε ο j δεν έχει κίνητρο να αλλάξει την τιμή. Η ελάχιστη αύξηση της τιμής του θα οδηγήσει όλους τους πελάτες στον ανταγωνιστή j, ο οποίος δίνει ήδη την ίδια ωφέλεια στους πελάτες, αλλά δεν τους προσελκύει. Μειώνοντας την τιμή δεν μπορεί να κερδίσει νέους πελάτες, τους εξυπηρετεί ήδη όλους. Παρομοίως, ο j δεν μπορεί να μειώσει την τιμή του, ώστε να κερδίσει κάποιο πελάτη, αφού ήδη χρεώνει στο κόστος. 18

Είδαμε μόλις ένα ενθαρρυντικό αποτέλεσμα για την ύπαρξη ισορροπιών. Παρόλα αυτά, στη γενική περίπτωση υπάρχουν παίγνια τα οποία δεν φτάνουν σε κατάσταση ισορροπίας, ακόμη και με 2 μόνο τύπους πελατών. Λήμμα 3.4. Υπάρχει παίγνιο με δύο τύπους πελατών όπου δεν υπάρχει καμία (αγνή) ισορροπία Nash. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε το πιο πάνω λήμμα περιγράφοντας ένας τέτοιο παίγνιο. Στο παίγνιο αυτό υπάρχουν δύο τύποι παικτών, και δύο προμηθευτές, που προσφέρουν το ίδιο προϊόν. Το κόστος παραγωγής και για τους δύο προμηθευτές είναι μηδενικό. Ονομάζουμε τόσο τους δυο τύπους πελατών, όσο και τους δύο προμηθευτές le (l) και right (r). Οι δύο τύποι πελατών έχουν τις εξής (συμμετρικές) αποτιμήσεις: v ll = v rr = 5, ενώ v lr = v rl = 3. Οι πελάτες τύπου le έχουν μεγαλύτερη προτίμηση για τον προμηθευτή le και αντίστοιχα το ίδιο συμβαίνει και για τους right. Θα δείξουμε ότι σε οποιαδήποτε συνεπή ανάθεση, κάποιος εκ των προμηθευτών μπορεί να αλλάξει τη τιμή του (p l ή p r ) ώστε να βελτιώσει το κέρδος του. Για να το δει κανείς, πρέπει να ελέγξει κατά περιπτώσεις: Αρχικά, ας δούμε τι γίνεται στην περίπτωση όπου μόνο ο προμηθευτής le (αντίστοιχα ο right) προσελκύει πελάτες. Τότε ο προμηθευτής right (αντίστοιχα, ο le ) μπορεί να χαμηλώσει την τιμή του, σε κάτι πιο χαμηλό από το 2. Έτσι θα προσελκύσει τους πελάτες τύπου right (αντίστοιχα, le ), δίνοντάς τους όφελος τουλάχιστον 3 (κάτι που ο προμηθευτής le μπορεί να προσεγγίσει μόνο προσφέροντας το προϊόν του δωρεάν) και θα αυξήσει το μηδενικό, προηγουμένως, κέρδος του. Στην επόμενη υπό μελέτη περίπτωση, ο προμηθευτής le δεν προσελκύει καθόλου πελάτες τύπου le, και ο προμηθευτής right καθόλου πελάτες τύπου right. Για να ισχύει αυτό πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες: v ll p l (v lr p r ) + και v rr p r (v rl p l ) +. Μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ισχύουν μόνο όταν p l 5 και p r 5: Με αυτές τις τιμές δεν καταφέρνουν τα προσελκύσουν κανένα πελάτη, ούτε καν το φανατικό κοινό τους, και φυσικά και οι δύο μπορούν να βελτιώσουν τη θέση τους χαμηλώνοντας ελαφρώς τις τιμές του. Η τελευταία περίπτωση, είναι αυτή όπου κάποιοι πελάτες τύπου le ανατίθενται στο προμηθευτή le, και κάποιοι πελάτες τύπου right στον προμηθευτής right. Οι ανισότητες που πρέπει να ισχύουν σε αυτή την περίπτωση είναι v ll p l (v lr p r ) + και v rr p r (v rl p l ) +. Βλέπει κανείς ότι το μεγαλύτερο κέρδος οι προμηθευτές το αποκομίζουν στις ισότητες: 5 p l = (3 p r ) + και 5 p r = (3 p l ) +. Οί μόνες τιμές που ικανοποιούν και τις δύο ισότητες είναι οι p r = p l = 5. Τότε, όμως, οποιοσδήποτε προμηθευτής μπορεί να χαμηλώσει ελαφρώς κάτω από το 3 την τιμή του και να αυξήσει το κέρδος του, προσελκύοντας όλους τους πελάτες. 19

3.3 Υπολογισμός των σημείων Ισορροπίας Έχουμε δει μέχρι τώρα ότι η ύπαρξη σημείων ισορροπίας δεν είναι εγγυημένη, στη γενική περίπτωση. Θα θέλαμε όμως, να μπορούμε να ελέγξουμε πότε υπάρχουν, και όταν υπάρχουν να τα υπολογίσουμε. Για να μελετήσουμε τον τρόπο υπολογισμού αυτών των ισορροπιών ορίζουμε τα πιο κάτω (υπολογιστικά) προβλήματα. VERIFYEQUILIBRIUM: Δεδομένου ενός διανύσματος τιμών p και μίας ανάθεσης πελατών προς προμηθευτές x σε ένα παίγνιο τιμολόγησης G, αποφάσισε αν το ζεύγος (x, p) είναι ισορροπία για το G. COMPUTEPRICE: Δεδομένης μίας ανάθεσης πελατών προς προμηθευτές x σε ένα παίγνιο τιμολόγησης G, αποφάσισε αν υπάρχει ένα διάνυσμα τιμών p, για το οποίο η x είναι συνεπής έτσι ώστε το ζεύγος (x, p) να αποτελεί σημείο στρατηγικής ισορροπίας για το G. PRICECOMPETITION: Αποφάσισε αν κάποιο συγκεκριμένο παίγνιο τιμολόγησης έχει κάποια ισορροπία ή όχι. Ας τα δούμε ένα - ένα. Το πρώτο πρόβλημα, VERIFYEQUILIBRIUM, μπορεί να επιλυθεί σε χρόνο O(nm). Αρχικά πρέπει να ελεγχθεί αν η ανάθεση x είναι συνεπής με το διάνυσμα τιμών p, δηλαδή, αν το όφελος που έχει κάθε πελάτης για τον αγοραστή στον οποίο ανατέθηκε είναι το μέγιστο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γίνει υπολογισμός και σύγκριση των οφελών κάθε πελάτη ως προς κάθε προμηθευτή, κάτι που γίνεται σε χρόνο O(nm). Στη συνέχεια, για κάθε προμηθευτή j και κάθε πελάτη i υπολογίζεται η μέγιστη τιμή για την οποία ο πελάτης i έχει κίνητρο να αλλάξει την επιλογή του προς όφελος του προμηθευτή j, και υπολογίζεται και το κέρδος του σε αυτή την περίπτωση. Αν η ανάθεση x είναι συνεπής και οι υπολογισμένες μέγιστες τιμές που οδηγούν στο μέγιστο κέρδος είναι ίσες με τις τιμές p, τότε η απάντηση στο πρόβλημα είναι ΝΑΙ. Αλλιώς, η απάντηση είναι ΟΧΙ. Η διαδικασία που μόλις περιγράφηκε, θα ονομάζεται αλγόριθμος Verify. 3.3.1 Ένας αλγόριθμος για το CοMPUTEPRICE Με μια πρώτη ματιά, το πρόβλημα μοιάζει δύσκολο. Μία ανάθεση x μπορεί να είναι συνεπής με πολλά διανύσματα τιμών p. Παρόλα αυτά, υπάρχει αλγόριθμος που να επιστρέφει ένα μόνο διάνυσμα τιμών, το οποίο μπορεί να ελεγχθεί μετά από τον προαναφερθέντα αλγόριθμο Verify. 20

Ονομάζουμε τον εν λόγω αλγόριθμο CandidatePrice, και λειτουργεί ως εξής: Αρχικά υπολογίζει ένα σύνολο Z, αποτελούμενο από προμηθευτές που θα αναγκαστούν1 να έχουν τιμή ίση με το κόστος παραγωγής. Ονομάζουμε αυτούς τους προμηθευτές seed vendors. Για τον ορισμό του Z, μπορεί κανείς να δημιουργήσει ένα κατευθυνόμενο γράφημα H, που θα έχει για κόμβους όλους τους προμηθευτές. Το γράφημα θα έχει μια ακμή από ένα κόμβο j προς κάποιο j, (με ετικέτα i) αν πελάτες του τύπου i, στην ανάθεση x, ανατίθενται στον κόμβο j, και v ij c j v ij c j. Διαισθητικά, η ακμή δηλώνει ότι υπάρχουν πελάτες που δεν έχουν ανατεθεί από την x στον προμηθευτή j, αλλά αυτός έχει περιθώριο να τους προσελκύσει. Αφού έχει οριστεί πλήρως το γράφημα H, το σύνολο Z ορίζεται, αναδρομικά ως εξής: 1. Κάθε προμηθευτής, στον οποίο δεν έχει ανατεθεί κάποιος πελάτης από την x, ανήκει στο Z. Αυτοί οι προμηθευτές θα ονομάζονται empty vendors (Αντίστοιχα, σε όσους έχει ανατεθεί κάποιος όγκος χ > 0 θα ονομάζονται non-empty vendors). 2. Κάθε προμηθευτής j, τέτοιος ώστε min i:xi j>0 v ij = c j ανήκει στο Z. Πρόκειται για προμηθευτές που για να κρατήσουν τους πελάτες τύπου i πουλάνε στο κόστος. 3. Κάθε προμηθευτής που ανήκει σε κάποιο κατευθυνόμενο κύκλο στο H, ανήκει στο Z. 4. Κάθε προμηθευτής που έχει κατευθυνόμενη ακμή προς ένα κόμβο που ήδη ανήκει στο Z, ανήκει επίσης στο Z. Ο αλγόριθμος επιστρέφει το διάνυσμα τιμών p με p j = c j για κάθε seed vendor j και: p j = min i:x ij >0 v ij, min i:x ij >0 { v ij max j Z {v ij c j }+ αν Z = }, αλλιώς (3.2) Παράδειγμα εκτέλεσης CandidatePrice Πριν παρουσιαστεί η απόδειξη ορθότητας του αλγορίθμου, ας δούμε ένα παράδειγμα: Έστω λοιπόν ένα παίγνιο τιμολόγησης με 5 προμηθευτές, τους w i, για i = 1 5 και 6 τύπους πελατών, τους {a, b, c, d, e, f}. Όλοι οι τύποι πελατών έχουν όγκο 1, ενώ οι αποτιμήσεις των πελατών, καθώς και τα κόστη φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα (οι τελείες αντιστοιχούν σε μηδενικά): 1Προφανώς, κανένας προμηθευτής δεν επιθυμεί να πουλάει στο κόστος. Στον πραγματικό κόσμο, πιθανότατα θα προτιμούσε να μην πουλήσει καν, ώστε να περιορίσει τα λειτουργικά έξοδα. 21

w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 a 5 3 b 5 4 c 5 3 d 4 3 e 4 1 f 4 cost 4 3 2 0 2 Επιπλέον, δίνεται στο CandidatePrice η ανάθεση πελατών προς προμηθευτών x, όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα: w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 Με βάση την ανάθεση, τις προτιμήσεις των παικτών και τα κόστη δημιουργείται το γράφημα H, που παρουσιάζεται ακριβώς από κάτω. Οι κόκκινοι κόμβοι είναι seed vendors. (Ως seed vendors χαρακτηρίστηκαν, αρχικά όσοι βρίσκονται στον κύκλο (a, b, d) και στη συνέχεια ο w 4 λόγω της ακμής e προς ήδη seed vendor). w 2 w 4 e w 5 a w 1 c b d w 3 Παρατηρούμε αρχικά ότι δεν υπάρχει κάποιος empty vendor. Επιπλέον, ούτε το δεύτερο βήμα βάζει κάποιο προμηθευτή στο Z. Στο τρίτο βήμα όμως, βλέπουμε να εμφανίζεται o κύκλος w 1, w 2, w 3, άρα και οι τρεις κόμβοι τοποθετούνται στο Z. Από το βήμα 4, θα τοποθετηθεί στο Z και ο w 4, που έχει ακμή προς το κύκλο. Τελικά το Z έχει τους προμηθευτές {w 1, w 2, w 3, w 4 }. Εκτός του παραμένει μόνο ο w 5. Ο CandidatePrice θα δώσει τιμές p i = c i για i < 5. Η τιμή p 5, θα δωθεί απο τον δεύτερο τύπο, καθώς δεν είναι άδειο το σύνολο Z. H τιμή αυτή θα είναι p 5 = 2. Έτσι p = {4, 3, 2, 0, 2}. Ας δούμε, λοιπόν, αν το ζεύγος (x, p) αποτελεί σημείο ισορροπίας (κάτι που δεν εγγυάται ο αλγόριθμος). Αρχικά, εύκολα παρατηρούμε ότι οι τιμές είναι συνεπείς με την ανάθεση. Τώρα, βλέπουμε ότι κανένας προμηθευτής δεν μπορεί να κατεβάσει την τιμή του, με στόχο να βελτιώσει το κέρδος του. χρεώνουν 22

όλοι στο κόστος. Όσον αφορά τις αυξήσεις: η παραμικρή αύξηση στον w 1 θα οδηγήσει τον a στον w 5 και τον b στον w 2, αφήνοντάς τον με κέρδος 0. Παρομοίως, ο w 2 θα χάσει τον d προς τον w 3, ενώ ο w 3 θα χάσει τον c προς τον w 1. Όπως και οι προηγούμενοι, ούτε ο w 4 μπορεί να αυξήσει, καθώς θα χάσει προς w 2. O w 5 δεν θα χάσει προς κάποιον άλλο τους πελάτες τύπου f, αλλά μια μικρή αύξηση θα τους οδηγήσει στην αποχή. Ανάλυση του αλγορίθμου CandidatePrice Αφού είδαμε τον τρόπο λειτουργίας του αλγορίθμου, με ένα στιγμιότυπο που πράγματι επιστρέφει σωστό αποτέλεσμα, ας ελέγξουμε τώρα αν ο αλγόριθμος λειτουργεί σωστά σε όλα τα στιγμιότυπα. Δηλαδή, θέλουμε να δούμε ότι αν υπάρχει ισορροπία σε μια συγκεκριμένη ανάθεση, τότε θα επιστραφούν τιμές p που θα την επιβάλλουν. Λήμμα 3.5. Έστω p το διάνυσμα τιμών που επιστρέφει ο αλγόριθμος CandidatePrice με είσοδο το παίγνιο τιμολόγησης G και μία ανάθεση πελατών προς προμηθευτές x. Αν το G έχει κάποια ισορροπία (x, q), τότε q j = p j για κάθε non-empty vendor j. Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχει ένα σημείο ισορροπίας (x, q) για G. Ξεκινώντας από το διάνυσμα τιμών q, κατασκευάζουμε ένα νέο διάνυσμα q, θέτοντας την τιμή q j = c j, για κάθε empty vendor στην ανάθεση x, και την τιμή q j = q j για κάθε άλλο προμηθευτή j. Ισχυριζόμαστε τώρα, ότι αφού το ζεύγος (x, q) είναι σημείο στρατηγικής ισορροπίας, το μερικώς αλλαγμένο ζεύγος (x, q ) είναι επίσης ισορροπία. Για να ισχύει ο ισχυρισμός, πρέπει να μην υπάρχει κάποιος πελάτης στην ανάθεση που να προτιμά έναν empty vendor, αντί αυτού στον οποίο είναι ανατεθειμένος. Τονίζουμε εδώ, ότι οι μετακινήσεις μεταξύ non-empty vendors δεν πρόκειται να γίνουν, αφού κανένας τους δεν αλλάζει τιμή. Έστω ότι ισχύει το αντίθετο. Υπάρχει κάποιος τύπος πελατών δηλαδή, ο i, οι πελάτες του οποίου έχουν κίνητρο να μετακινηθούν από τον προμηθευτή j και να επιλέξουν έναν empty vendor j. Άρα, για το όφελος του i μεταξύ των δύο προμηθευτών ισχύει ότι: v ij q j > v ij q j. Από τον ορισμό του q, αυτό σημαίνει ότι v ij c j > v ij q j. Άρα, υπάρχει κάποια θετική τιμή την οποία ο empty vendor j μπορεί να θέσει και να αυξήσει το κέρδος από 0 σε κάτι θετικό, πράγμα που αντικρούει με την υπόθεση ότι το ζεύγος (x, q) είναι ισορροπία. Αν υπάρχει, λοιπόν ισορροπία στο παίγνιο, τότε το ζεύγος (x, q ) είναι επίσης ισορροπία (όχι κατ ανάγκη διαφορετική της πρώτης). Για την πλήρη απόδειξη του λήμματος, πρέπει να δειχθεί ότι q = p. Για αυτό, θα ελέγξουμε αρχικά τις τιμές των seed vendors: ένας seed vendor j πρέπει να έχει τιμή q j = c j. Αρχικά, όσον αφορά τις τιμές των empty vendors, τα δύο διανύσματα ταυτίζονται: έχουν σαν τιμή του προμηθευτή την τιμή κόστους. Επιπλέον, για κάθε μη empty vendor j, που του ανατίθεται κάποιος τύπος πελάτη που θέλει το προϊόν του όσο κοστίζει και σε αυτόν (δηλαδή min i:xij >0 = c j ) τότε q i = c j, 23

ώστε η ανάθεση x να είναι συνεπής με τις τιμές του q. Ας δούμε τώρα τις όχι τόσο προφανείς περιπτώσεις, ξεκινώντας από τις περιπτώσεις των προμηθευτών που ανήκουν σε κατευθυνόμενους κύκλους. Έστω λοιπόν, ότι υπάρχει στο H, κάποιος κατευθυνόμενος κύκλος L, μήκους l. Πρέπει να δείξουμε ότι q j = c j, για κάθε j L. Συμβολίζουμε με j 1, j 2,, j l τους κόμβους - προμηθευτές που ανήκουν στον κύκλο L και με i 1, i 2,, i l τις (όχι κατ ανάγκη διακριτές μεταξύ τους) ετικέτες στις ακμές. Υπενθυμίζεται, ότι η ετικέτα αυτή συμβολίζει τον τύπο πελάτη που ενώ τώρα είναι ανατεθειμένος στον κόμβο αφετηρία, αν και οι δύο πωλούσαν στο κόστος, θα προτιμούσε τον κόμβο προορισμού. Τώρα, αφού υπάρχει ο κύκλος θα ισχύουν οι δύο πιο κάτω προτάσεις: 1. ότι οι πελάτες τύπου i k, δεν προτιμούν τον προμηθευτή j k+1 από τον προμηθευτή j k, για k [l 1], και 2. ότι οι πελάτες τύπου i 1 δεν προτιμούν το j l από τον j 1. Αυτές ισχύουν αν: 1. v ik j k q j k = v ik j k+1 q j k+1 για k [l 1] και 2. v il j l q j l = v il j 1 q j 1. Η ισότητα επιβάλλεται λόγω της κατάστασης ισορροπίας και του κύκλου. Αν οι q δεν ήταν τιμές ισορροπίας, τότε, οι πιο πάνω συνθήκες θα ήταν ανισότητες της φοράς. Όμως, αυτό σημαίνει πως προμηθευτής στην αριστερή πλευρά την ανισότητας θα έχει περιθώριο να ανεβάσει τιμή, μέχρι η ανισότητα να γίνει ισότητα. Οι ακμές του κύκλου, επιπλέον, επιβάλλουν ότι η δεξιά πλευρά των εξισώσεων μπορεί να είναι μηδενική, μόνο αν είναι και η αριστερή μηδενική. Έστω, τώρα, ότι στον κύκλο L υπάρχει κάποιος προμηθευτής j με τιμή q j > c j, και j ο προηγούμενος προμηθευτής στον κύκλο L. Τότε, με μια πολύ μικρή μείωση στην τιμή του, ο j μπορεί να προσελκύσει και τους πελάτες που προτιμούσαν τον j στην x. Αυτό, θα προκαλούσε σίγουρα αύξηση στο όφελος του j, αλλά αυτό έρχεται σε σύγκρουση με την αρχική υπόθεση: το ζεύγος (x, q ) αποτελεί ισορροπία. Ελέγχουμε τώρα τους seed vendors που εμφανίζονται από το βήμα 4. Δηλαδή, αυτούς που έχουν κατευθυνόμενη ακμή προς κάποιον ήδη seed vendor. Έστω λοιπόν ότι υπάρχει ο κόμβος j με q j > c j, ο οποίος είναι ο πρώτος που έχει αναγνωριστεί σαν seed, από το βήμα 4, χωρίς να χρεώνει στο κόστος του. Αφού αναγνωρίστηκε από το συγκεκριμένο βήμα του CandidatePrice, υπάρχει ακμή προς κάποιο seed vendor j, με ετικέτα i, άρα v ij c j v ij c j. Επιπλέον, καθώς ο j είναι ο πρώτος κόμβος που 24