Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και R Εξετάστε αν το V αποτελεί R- διανυσματικό χώρο. Πρέπει να ελέγξουμε αν ισχύουν οι ακόλουθες 8 ιδιότητες για κάθε yz,, V, ab, R ) y y ) ( y) z ( y z) ) O: O O 4) ( ): ( ) O 5) ( ab) a ( b ) 6) a ( y) a ay 7)( a b) a b 8) Έχουμε: ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: y y y y y Επομένως η πρώτη ιδιότητα ισχύει ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: ( y) z ( y) z ( y) z yz ( y z) ( yz) ( yz) yz Άρα και η δεύτερη ιδιότητα ισχύει ) Αναζητούμε το μηδενικό διάνυσμα O V τέτοιο ώστε O O O O Παρατήρηση: H απλοποίηση της σχέσης O για κάθε V είναι εφικτή γιατί το σύνολο V όπως δίνεται στην εκφώνηση δεν περιέχει το 0. Άρα υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα: O ώστε για κάθε να ισχύει O Επειδή ισχύει η πρώτη ιδιότητα θα είναι προφανώς και O Επομένως και η τρίτη ιδιότητα ισχύει. 4) Αναζητούμε το αντίθετο διάνυσμα ( ) τέτοιο ώστε ( ) O ( ) O ( ) ( ) (Υπενθυμίζουμε ότι είναι 0 για κάθε V )
Άρα για κάθε υπάρχει το αντίθετο διάνυσμα: ( ) Επομένως ισχύει και η τέταρτη ιδιότητα 5) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 5 δίνει: ( ab) ab ( ab) ( ) ( ) b b a ba ab a ( b ) a Επομένως ισχύει και η πέμπτη ιδιότητα 6) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: ( ) ( ) a a a a ( y) a y y y a a a a a ay y y Επομένως ισχύει και η έκτη ιδιότητα 7) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: a b ( a b) a b a b a b a b Επομένως ισχύει και η έβδομη ιδιότητα 8) Προφανώς ισχύει ότι Άρα ισχύει και η όγδοη ιδιότητα Επομένως τελικά το V αποτελεί R- διανυσματικό χώρο Παράδειγμα Να εξετασθεί αν τα σύνολα U ( yz,, ) R : y z 0 και a) { } b) W {( yz,, ) R : y z } αποτελούν υποχώρους του R α) Παρατηρούμε το μηδενικό στοιχείο (0,0,0) ανήκει στο U (επαληθεύει τον περιορισμό y z 0) επομένως U Έστω δύο διανύσματα u (, y, z) και u (, y, z) με u, u U. Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός ku lu των u,u με kl, R ανήκει στο U. Έχουμε u U y z 0 () u U y z 0 () Θέλουμε να δείξουμε ότι τα διάνυσμα: ku lu k (, y, z) l (, y, z) ( k l, ky ly, kz lz) () Ικανοποιεί τη συνθήκη: y z 0 δηλ
( k l ) ( ky ly ) ( kz lz ) 0 (4) Εργαζόμαστε με το αριστερό μέλος της (4) και έχουμε διαδοχικά: k l ky ly kz lz ( ) ( ) ( ) k l ky ly kz lz k ky kz l ly lz k( y z) l( y z) Η παράσταση αυτή λόγω των () και () ισούται με 0, επομένως επαληθεύεται η (4). Άρα το U αποτελεί υποχώρο του R b) Παρατηρούμε ότι το μηδενικό στοιχείο (0,0,0) δεν ανήκει στο W (δεν επαληθεύει τον περιορισμό y z ), επομένως το W δεν αποτελεί υποχώρο του R Παράδειγμα Δείξτε ότι span{ u, u, u } R αν u (,,), u (0,, ), u (0,0,) Ο χώρος που παράγεται από τα u,u,u είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών τους: 0 0 span{ u, u, u} { u u u} 0 :,, R Θέλουμε να γράψουμε το τυχόν στοιχείο του R : (,y,z) στην μορφή αυτή. Με άλλα λόγια θέλουμε το σύστημα: y z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 0 0 Ab 0 y z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον 0 0 0 0 y 0 0 y z Επομένως το σύστημα έχει λύση για κάθε,y,z Άρα span{ u, u, u } R Παράδειγμα 4
Δείξτε ότι span{ u, u, u } u (,, 5), u (,, 7), u (,, ) R αν Εργαζόμαστε όπως και στο παράδειγμα span{ u, u, u} { u u u} :,, R 5 7 7 Θέλουμε το σύστημα: y 5 7 z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο Ab y 5 7 z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον 0 y 0 0 0 y z Άρα το σύστημα έχει λύση μόνον αν ισχύει y z 0 και όχι για κάθε,y,z Επομένως span{ u, u, u } R Παράδειγμα 5 Γράψτε το διάνυσμα v(-4,6,5) ως γραμμικό συνδυασμό των u(,,7), u(4,,0) και u(-,7,) Tο v θα πρέπει να ανήκει στο span{u,u,u}. Επομένως θα πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, ώστε να ισχύει: u u u v Θα είναι u u u v 4 4 7 6 7 0 5 4 4 7 6 7 5 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: 4
4 4 Ab 7 6 7 0 5 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα: 4 4 0 8.5 8 0 0 06.5 ο οποίος αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 4 4 8.5 8 06.5 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε τελικά: Επομένως v u u u Παράδειγμα 6 Γράψτε το πολυώνυμο P ( ) 5 7 ως γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων P( ) 4, P ( ), P( ) 5 Πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, R ώστε να ισχύει P( ) P( ) P( ) P( ) Έχουμε: P( ) P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) 5 7 4 5 ( ) ( ) 5 7 4 5 Εξισώνοντας τους συντελεστές τον ίδιων δυνάμεων του δημιουργείται το ακόλουθο σύστημα: 5 4 5 7 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 0 5 Ab 4 5 7 H απαλοιφή Gauss δίνει 5
0 5 0 / / 0 0 4 / 6 4 / 6 που αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 5 4 4 6 6 η λύση του οποίου είναι: 4 Επομένως P ( ) P ( ) 4 P( ) P( ) 6