ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá

ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Äåéãìáôïëçøßá óêçóç.0 (Åêôüò Âéâëßïõ) óôù x n cos(π k mn) üðïõ k êáé m ðñþôïé ìåôáîý ôïõò. Íá âñåèåß ç óõíèþêç ðïõ åîáóöáëßæåé ôçí ðåñéïäéêüôçôá ôïõ óþìáôïò x n. Ëýóç: Åßíáé ãíùóôü üôé Ýíá óþìá åßíáé ðåñéïäéêü ìå ðåñßïäï N, üôáí x n+n x n. ñá èá ðñýðåé cos(π k m (n + N)) cos(π k mn). ÅðéðëÝïí cosx cosy üôáí êáé ìüíïí üôáí x lπ ± y, áðü ôï ïðïßï ðñïêýðôåé üôé π k m (n + N) (lπ ± π k m n). Ãéá ôçí + ðåñßðôùóç Ý ïõìå ôüôå üôé π k m N lπ. ñá k mn l. Áöïý ôï m äåí äéáéñåß ôï k èá ðñýðåé õðï ñåùôéêü íá äéáéñåß ôï N (þóôå ôï áðïôýëåóìá ôçò ðñüîçò k mn íá ìðïñåß íá åßíáé ï áêýñáéïò l). Áöïý ôï m äéáéñåß ôï N óõìðåñáßíïõìå üôé N im, üðïõ i áêýñáéïò. ï ìéêñüôåñïò åðïìýíùò áêýñáéïò N ðïõ åßíáé óå èýóç íá éêáíïðïéþóåé ôçí ðáñáðüíù åîßóùóç áíôéóôïé åß óôçí ðåñßðôùóç i êáé áðïäßäåé N m. Ãéá ôçí ðåñßðôùóç π k m n +π k m N lπ π k m. Ïðüôå π k m n +π k mn lπ êáé ôåëéêü k m (n + N) l ðïõ áðïññßðôåôáé ãéáôß äåí åßíáé äõíáôüí ôï m íá äéáéñåß ôï n + N ãéá üëåò ôéò ôéìýò ôïõ n. Ëýóç óêçóçò.: óôù x a (t) cos(πf 0 t). Ãéá t n s, x n x a (n s ) cos(πf 0 s n). Ïðüôå êáé x n cos(πλ 0 n), üðïõ λ 0 f 0 s. Ðåñéïäéêüôçôá : ¼ôáí x n+n x n, äçëáäþ cos(πλ 0 (n + N)) cos(πλ 0 n). ¼ðùò êáé óôçí ðñïçãïýìåíç Üóêçóç cos x cos y üôáí êáé ìüíïí üôáí x kπ ± y. ñá : πλ 0 n +πλ 0 N kπ ± πλ 0 n. ÐÜëé äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò : Ãéá ôçí + ðåñßðôùóç: πλ 0 n +πλ 0 N kπ +πλ 0 n, åðïìýíùò λ 0 k N (ñçôüò áñéèìüò). Ãéá ôçí ðåñßðôùóç: πλ 0 n +πλ 0 N kπ πλ 0 n, åðïìýíùò ðüëé λ 0 k n+n (ñçôüò áñéèìüò). Áðü ôá ðáñáðüíù óõìðåñáßíïõìå üôé ãéá Üññçôï äåí åßíáé äõíáôüí íá éó ýåé ç ðåñéïäéêüôçôá. Ãéá ðáñüäåéãìá óþìá ôçò ìïñöþò cos π t åßíáé ìç ðåñéïäéêü. Ëýóç óêçóçò.3: x a (t) cosπ0.t + sinπ.t á). ÌåôÜ áðü ðáñáôþñçóç äéáðéóôþíåôáé ç ðåñéïäéêüôçôá ôïõ óþìáôïò. Ç ÂáóéêÞ óõ íüôçôá åßíáé ç

f 0. åíþ f 6 0. áðïôåëåß ôçí Ýêôç áñìïíéêþ. â). x n x a (n s ) cos(π0.n s ) + sin(π.n s ).Ãéá s åðïìýíùò Ý ïõìå x n cos(π0.n) + cos(π.n). Ëüãù áíáäßðëùóçò ïé óõ íüôçôåò ìåôü ôç äåéãìáôïëçøßá ðñýðåé íá âñßóêïíôáé óôï äéüóôçìá [ 0.50.5], åðïìýíùò ðáñáôçñïýíôáé ôá åîþò:. (. ) 0. 0. 0., åðïìýíùò ôï óþìá ãñüöåôáé x n cos(π0.n) + sin(π0.n) áðü üðïõ óõìðåñáßíïõìå üôé ç âáóéêþ óõ íüôçôá åßíáé 0. êáé üôé äåí õðüñ åé êáìßá áñìïíéêþ! Ëýóç óêçóçò.: Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç ôï øçöéáêü óþìá Ý åé óõ íüôçôåò λ 0.5,λ 0. êáé λ 3 0.. Ùò ãíùóôüí ìéá øçöéáêþ óõ íüôçôá λ áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá áíáëïãéêþ óõ íüôçôá f ìýóù ôçò ó Ýóçò f λ f s. á). ÅÜí åðïìýíùò f s 8KHz ôüôå ïé λ,λ,λ 3 áíôéóôïé ßæïíôáé óôéò f.khz, f.6khz, f 3 3.KHz. â). ÅÜí ôþñá ôï øçöéáêü óþìá áíáêáôáóêåõáóôåß ìå ðåñßïäï äåéãìáôïëçøßáò s 0.msec ðïõ áíôéóôïé åß óå f s 0KHz ôüôå ç λ áíôéóôïé ßæåôáé óôçí f λ 0, 000 500Hz, ç λ óôçí f, 000Hz êáé ç λ 3 óôçí f 3, 000Hz. ÄçëáäÞ åüí ïé λ,λ,λ 3 áíôéóôïé éóôïýí óôïí ñõèìü ôïõ áíáëïãéêïý óþìáôïò áðü ôï ïðïßï ðñáãìáôïðïéþèçêå ç äåéãìáôïëçøßá ôüôå åßíáé ïé ðñþôåò ôéìýò, åíþ åüí áíôéóôïé éóôïýí óôï áíáêáôáóêåõáóìýíï óþìá ôüôå åßíáé ïé äåýôåñåò ôéìýò. Ëýóç óêçóçò.: Ôï óýóôçìá åßíáé óõíå ïýò ñüíïõ, ãñáììéêü, ñïíéêü óôáèåñü êáé áéôéáôü. ÅÜí ç ÓõíÜñôçóç ÌåôáöïñÜò åßíáé ôçò ìïñöþò : H(s) b 0 + b s + + b s s + a s + + a

ôüôå áíáëýïíôáò óå áðëü êëüóìáôá ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå H(s) A + A + + A, s s s s s s üðïõ s,s,...,s ïé ðüëïé (ñßæåò ôïõ ðáñïíïìáóôþ) ïé ïðïßïé, ãéá åõêïëßá, èåùñþèçêáí üôé åßíáé äéáöïñåôéêïß. Åöáñìüæïíôáò áíôßóôñïöï ìåôáó çìáôéóìü aplace êáôáëþãïõìå üôé ç êñïõóôéêþ áðüêñéóç Ý åé ôçí áêüëïõèç ìïñöþ h(t) (A e s t + A e s t + + A e s t )u(t) üðïõ u(t) ç ìïíáäéáßá âçáìôéêþ óõíüñôçóç. ÅÜí óôç óõíý åéá äåéãìáôïëçðôþóïõìå ôüôå h n h(n s )(A e s s n + + A e s s n )u n [A (e s s ) n + + A (e s s ) n ]u n (A z n + + A z n )u n üðïõ u n åßíáé ç ìïíáäéáßá âçìáôéêþ óõíüñôçóç äéáêñéôïý ñüíïõ êáé ïñßæïõìå z i e s i s. () ÅÜí ôþñá õðïëïãßóïõìå ôïí Ìåôáó çìáôéóìü Z ôçò h n ôüôå H(z) h n z n (A z n + + A z)z n n A (z z ) n + + A (z z ) n n n0 n0 n0 A z z + A z z A z + + A z. () z z z z ÓõíäõÜæïíôáò ôá êëüóìáôá êáôáëþãïõìå óôï üôé H(z) c 0 + + c z z + d z + + d ðïõ åßíáé ëüãïò ðïëõùíýìùí ôïõ z. Ïé ðüëïé ìéáò ìéãáäéêþò óõíüñôçóçò H(z) åßíáé ôá óçìåßá z óôá ïðïßá ç óõíüñôçóç áðåéñßæåôáé.áðü ôç Ó Ýóç () ðáñáôçñïýìå üôé ôá óçìåßá áõôü åßíáé ôá z i,i,...,. Ç ó Ýóç äå ðïõ óõíäýåé ôïõò ðüëïõò ôçò H(z) ìå ôïõò ðüëïõò ôçò H(s) åßíáé ç (). íá óçìáíôéêü óõìðýñáóìá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôç ó Ýóç áõôþ åßíáé üôé åüí üëïé ïé ðüëïé s i ôïõ áíáëïãéêïý óõóôþìáôïò Ý ïõí áñíçôéêü ðñáãìáôéêü ìýñïò (äçëáäþ ôï áíáëïãéêü óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò) ôüôå ïé ðüëïé ôïõ øçöéáêïý óõóôþìáôïò H(z) âñßóêïíôáé ìýóá óôïí ìïíáäéáßï êýêëï áöïý z i e s i s e Re{s i} s +jim{s i } s e Re{s i} s <. Ãéá ôï ßäéï ëüãï åüí Ýóôù êáé Ýíáò ðüëïò s i Ý åé èåôéêü ðñáãìáôéêü ìýñïò ôüôå êáé ï áíôßóôïé ïò 3

ðüëïò z i åßíáé åêôüò ìïíáäéáßïõ êýêëïõ. Ìå Üëëá ëüãéá ç êñïõóôéêþ áðüêñéóç h n áíôéóôïé åß óå Ýíá åõóôáèýò óýóôçìá üôáí êáé ìüíï ç áíáëïãéêþ êñïõóôéêþ áðüêñéóç h(t) áíôéóôïé åß óå åõóôáèýò óýóôçìá. Ëýóç óêçóçò.6: Áðü ôç èåùñßá Ý ïõìå üôé ç áíáêáôáóêåõþ ˆx α (t), óõíáñôþóåé ôùí äåéãìüôùí x n ãñüöåôáé ˆx α (t) x n φ( t n). n s ÅÜí êáëýóïõìå Φ(s) φ(τ)e sτ dτ ôï Ìåôáó çìáôéóìü aplace ôçò óõíüñôçóçò φ(τ) ôüôå ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ˆX α (s) n ˆx α (t)e st dt x n s e s sn n x n ( ) ( s x n (e ss ) n n s H(e ss )Φ(s s ), φ(τ)e (s s)τ dτ φ( t s n)e st dt ) φ(τ)e (ss)τ dτ üðïõ, èõìßæïõìå üôé, H(z) åßíáé ï ìåôáó çìáôéóìüò Z ôçò áêïëïõèßáò x n êáé Φ(s) o ìåôáó çìáôéóìüò aplace ôçò óõíüñôçóçò φ(τ). Ãéá ôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç ðïõ ç áíáêáôáóêåõþ ãßíåôáé ìå ôçí êëéìáêùôþ óõíüñôçóç Ý ïõìå üôé φ(τ), ãéá τ 0.5, ïðüôå Φ(s) 0.5 0.5 e sτ dτ s (e0.5s e 0.5s ) s sinh(0.5s). ¼ôáí ôýëïò ñçóéìïðïéåßôáé ç ôñéãùíéêþ áíáêáôáóêåõþ (ðïõ êáôáëþãåé óå ãñáììéêþ ðáñåìâïëþ ìåôáîý äéáäï éêþí äåéãìüôùí), ôüôå Φ(s) 0 ( + τ)e sτ dτ + ( τ)e sτ dτ. ñçóéìïðïéþíôáò ïëïêëþñùóç êáôü ðáñüãïíôåò ôá äýï ïëïêëçñþìáôá ãßíïíôáé: 0 ÐñïóèÝôïíôáò ôá äýï áðïôåëýóìáôá êáôáëþãïõìå 0 ( + τ)e sτ dτ s s + s es ( τ)e sτ dτ s s + s e s. Φ(s) s s + s (es + e s ) s + (cosh(s) ). s 0

ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Ðáñáèýñùóç Ëýóç óêçóçò 3. Ôï ôåôñáãùíéêü ðáñüèõñï ùò ãíùóôüí åßíáé ç áêïëïõèßá n 0,,, ϖ n 0 áëëïý. Åöáñìüæïíôáò Ìåôáó çìáôéóìü Fourier Π (e jω ) n0 e jnω e jω e j e ω sin( ω) sin( ω ), e j jω e j ω ω (e j ω e j ω ) j (e j ω e j ω ) j óõíåðþò Π (e jω sin( ω ) ) sin( ω ). ïíôáò ôýëïò õðüøç üôé sin(x) lim x 0 sinx lim cos(x) x 0 cosx óõìðåñáßíïõìå üôé Π (e j0 ), üðïõ óôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ñçóéìïðïéåßôáé o êáíüíáò ôïõ Hospital Þ ôï ãåãïíüò üôé sin x x ãéá x êïíôü óôï ìçäýí. Ðáñáôçñïýìå üôé sin( ω)0ãéá kπ ω kπ êáé Üñá ω áðïôåëïýí ôá öáóìáôéêü êåíü (óçìåßá ìçäåíéóìïý) ôçò Π (e jω ). ÅðéëÝãïíôáò ôç óõ íüôçôá ω 3π äéáðéóôþíïõìå Π (e jω ) sin( 3π lim lim ) sin 3π 3π sin( 3π lim ) 3π sin 3π 0. üðïõ ðüëé ñçóéìïðïéþèçêå ç éäéüôçôá üôé sin x x ãéá x êïíôü óôï ìçäýí. Ëýóç ìýñïõò Aóêçóçò 3. - ãéá ÐáñÜèõñï Bartlett o ôñéãùíéêü ðáñüèõñï ðñïêýðôåé áðü óõíýëéîç äýï ôåôñáãùíéêþí ðáñáèýñùí ìþêïõò k /. Áõôü óõíåðüãåôáé, áðü ó åôéêþ éäéüôçôá ôïõ Ìåôáó çìáôéóìïý Fourier, üôé óôï ðåäßï ôçò óõ íüôçôáò èá Ý ïõìå ðïëëáðëáóéáóìü ôùí áíôßóôïé ùí Ìåôáó çìáôéóìþí Fourier ôùí äýï ôåôñáãùíéêþí ðáñáèýñùí. Áðü ôçí óêçóç 3. õðåíèõìßæåôáé üôé ôï ôåôñáãùíéêü ðáñüèõñï Ý åé ìåôáó çìáôéóìü Fourier ðïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï Π(e jω k j )e ω sin( ω k) sin( ω ). ÅðïìÝíùò ôï ôñéãùíéêü ðáñüèõñï óôï ðåäßï ôçò óõ íüôçôáò éêáíïðïéåß ( Π tr (e jω / j ω ) e sin( ω ) ) sin( ω )

ìå áðïôýëåóìá Ôï ðëüôïò ôïõ êýñéïõ ëïâïý õðïëïãßæåôáé Π tr (e jω ) ( sin( Π tr (e 0 ω ) lim ω 0 sin( ω ) ) ( sin( ω sin( ω ) ) ( ) ). lim ω 0 ω sin( ) sin( ω ) ), üðïõ ðüëé ñçóéìïðïéþèçêå ç ãíùóôþ éäéüôçôá üôé sin x x ãéá x êïíôü óôï ìçäýí. ÅðéëÝãïíôáò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ω 3π Ý ïõìå Π tr (e jω ( ) sin( 3π lim ( ) lim ) ) sin( 3π ) sin ( 3π ) lim sin ( 3π ) ( 3π ) sin ( 3π ) ( sin( 3π lim ) 3π sin ( 3π ) ( 3π ) ) (0.) 0.0. Áðü ôá ðáñáðüíù óõìðåñáßíïõìå ðùò ãéá ôï ÐáñÜèõñï Bartlett ï ìýãéóôïò êõìáôéóìüò åßíáé ðïëý ìéêñüôåñïò, áðü áõôüí ôïõ Ôåôñáãùíéêïý.

ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå ÄÌF Ëýóç óêçóçò. á). N êáé x n x n äçëáäþ x 0 x,x x,x x 3. Åöáñìüæïíôáò Äéáêñéôü Ìåôáó çìáôéóìü Fourier X k l0 x l e j π kl l0 x l e j π kl + l x l e j π kl x l e j π kl + x l e j π k( l) l0 l0 x l (e j π kl + e j π k( l) ). l0 Ï ðñïçãïýìåíïò ôýðïò åüí åöáñìïóôåß ãéá k êáé N êáôáëþãåé X x l (e j π l0 l0 l + e j π ( l) ) x l (e jlπ + e jπ( l) ) x l (e jlπ e jlπ ) l0 x l (j) (ejlπ e jlπ ). (j) l0 ìå e jπ( ) e jπ(n ) e jπ êáé Ý ïíôáò óôçí ôåëåõôáßá ó Ýóç, ðïëëáðëáóéüóåé êáé äéáéñýóåé ìå j. Ïðüôå ôåëéêü X jx l sin(lπ) 0, l0 áöïý ãéá êüèå áêýñáéï l éó ýåé üôé sin(lπ) 0. â). ÅðåéäÞ x n x n áíôéóõììåôñéêü äåßãìáôá X 0 l0 x l (x l x l )0. l0 Ëýóç óêçóçò.3 á). óôù x 0,x,,x ðñáãìáôéêïß áñéèìïß. Ôüôå X k n0 x n e j π nk. ÅðïìÝíùò X k n0 x n e j π n( k) n0 x n e j π nk e j π n n0 x n e j π nk,

áöïý e jπn. ÅÜí åðïìýíùò ðüñïõìå ôïí ìéãáäéêü óõæõãþ ôçò ðñïçãïýìåíçò ó Ýóçò êáôáëþãïõìå X k n0 x n(e j π nk ) n0 x n e j π nk X k ëüãù ôïõ üôé x n åßíáé ðñáãìáôéêþ áêïëïõèßá. Áðåäåß èç åðïìýíùò üôé åüí x n åßíáé ðñáãìáôéêþ áêïëïõèßá ôüôå X k X k. Ãéá íá äåßîïõìå ôï áíôßóôñïöï, äçëáäþ üôáí X k X k ôüôå x n åßíáé ðñáãìáôéêþ áêïëïõèßá, åñãáæüìáóôå ùò åîþò: x n k0 Áí áëëüîïõìå ìåôáâëçôýò êáé êáëýóïõìå l k x n l0 X l e j π n( l) X k e j π nk () l0 X l e j π nl e j π n Óôç óõíý åéá ñçóéìïðïéþíôáò ôï ãåãïíüò e jπn êáé áíôéêáèéóôþíôáò üðïõ l ôï k êáôáëþãïõìå x n k0 X k e j π nk k0 X ke j π nk () üðïõ óôçí ôåëåõôáßá éóüôçôá Ý ïõìå êüíåé ñþóç ôçò õðüèåóçò X k X k. ÐñïóèÝôïíôáò ôéò () êáé () x n k0 k0 k0 (X k e j π nk + X ke j π nk ) (X k e j π nk )+(X k e j π nk ) Re {X k e j π nk} ôï ïðïßï áðïôåëåß ðñáãìáôéêþ áêïëïõèßá. â). Ôï X 0 x 0 + x + + x åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò áöïý åßíáé Üèñïéóìá ðñáãìáôéêþí üñùí. ã). Ãéá ôïí üñï X X Ý ïõìå n0 x n e j π n( ) n0 áöïý e jπn ( ) n. Ç ôåëåõôáßá ðáñüóôáóç åßíáé ðñáãìáôéêþ. x n e jπn x 0 x + x x 3 + x,

Ëýóç óêçóçò.7 óôù x 0,x,,x ç áêïëïõèßá ìþêïõò êáé X k l0 x l e j π lk, x n k0 X k e j π nk ï ÄÌF êáé ï ÁÄÌF áíôßóôïé á. Ï Ìåôáó çìáôéóìüò Fourier ôçò áêïëïõèßáò x n ïñßæåôáé X(e jω ) n0 x ne jnω. Áí áíôéêáôáóôþóïõìå ôá x n áðü ôïí ÁÄÌF ðñïêýðôåé X(e jω ) n0 ( n0 k0 k0 k0 X k e j π nk ) e jnω X π j( ke k ω)n π j( e k ω) X k e, j( π k ω) k0 X k e j( π k ω)n n0 üðïõ ôï n0 ej( π k ω)n åßíáé ÃåùìåôñéêÞ ðñüïäïò ôçò ìïñöþò n0 an a a. e j( π k ω) e j(πk ω) e jπk e jω e jω, ðñüãìá ðïõ áðïäåéêíýåé ôï æçôïýìåíï. Åðßóçò Ãéá íá áðïäåé èåß üôé lim ω πl/ X(e jω )X l åñãáæüìáóôå ùò åîþò Ãéá k l lim ω πl lim X(e jω ) ω πl e jω e j(ω π l0 X k lim ω πl e jω e j(ω π k). πl e j k) e 0 0. j π (l k) e j π (l k) Ãéá k l e jω π e j l lim ω πl e j(ω π l) e j0 0 0 ðïõ åßíáé áðñïóäéüñéóôç ìïñöþ. Åöáñìüæïíôáò êáíüíá ôïõ Hospital óôï ðñïçãïýìåíï ðçëßêï ðáßñíïõìå e jω lim ω πl e j(ω π ÅðïìÝíùò óõìðåñáßíïõìå üôé ñá lim X(e jω ) ω πl l0 lim ω πl X k l) lim ω πl e jω je jω je j(ω π e j(ω π ) δ k l. lim ω πl e jω e j(ω π k) πl e j l) e j0 k0 X k (δ k l )X l. 3

ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå Ößëôñá Ëýóç óêçóçò 5.5: Ïé áðáéôþóåéò ôïõ ðñïâëþìáôïò óå óöüëìáôá åßíáé ïé áêüëïõèåò D(e jω ) R(e jω ) D(e jω 0.0, ãéá ω π ) D(e jω ) R(e jω ) 0.0, ãéá ω.π. Áðü ôçí åîßóùóç (5.) ôïõ âéâëßïõ Ý ïõìå üôé W (ω) D(e jω ) R(e jω ) δ max åðïìýíùò, óõãêñßíïíôáò ìå ôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò, óõìðåñáßíïõìå üôé D(e W (ω) jω ) ω ãéá ω π ãéá ω.π, êáé ôýëïò δ max 0.0. Ôï ó åôéêü óöüëìá óôç æþíç äéüâáóçò åîáóöáëßæåé üôé óôï óçìåßï ω 0èá Ý ïõìå ìçäåíéêü áðüëõôï óöüëìá, äçëáäþ ç R(e jω ), ãéá ω 0èá åßíáé ßóç ìå ìçäýí. ÅÜí óôç æþíç áðïêïðþò ç áðáßôçóç Þôáí áðüëõôï óöüëìá ßóï ð.. ðñïò 0.00 ôüôå èá Ýðñåðå D(e jω ) R(e jω ) D(e jω 0.0, ãéá ω π ) D(e jω ) R(e jω ) 0.00, ãéá ω.π. Ç äåýôåñç åîßóùóç èá Ýðñåðå ôüôå íá ãñáöåß 0 D(e jω ) R(e jω ) 0.0, ãéá ω.π, þóôå íá åîéóùèïýí ôá ìýãéóôá áðïäåêôü óöüëìáôá êáé óôéò äýï æþíåò. Óõíåðþò, óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, åðéëýãïõìå ãéá óõíüñôçóç âüñïõò ôçí D(e W (ω) jω ) ω ãéá ω π 0 ãéá ω.π, êáé óáí ìýãéóôï áðïäåêôü óöüëìá ðüëé ôï δ max 0.0. Ëýóç óêçóçò 5.9(á): Ôï óýóôçìá ãéá íá åßíáé åõóôáèýò èá ðñýðåé ïé ðüëïé (ñßæåò ôïõ ðáñïíïìáóôþ) íá âñßóêïíôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ. Ôï ðïëõþíõìï ôïõ ðáñïíïìáóôþ åßíáé ôï z + αz + β êáé ç äéáêñßíïõóá α β. Äéáêñßíïõìå ôéò åîþò ðåñéðôþóåéò: α β< 0. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå äýï ìéãáäéêýò óõæçãåßò ñßæåò z,z ìå z z. Ëüãù ôéò ôåëåõôáßáò éóüôçôáò, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå z z z z z z z β.

H ôåëåõôáßá éóüôçôá ðñïêýðôåé áðü ôç ãíùóôþ ó Ýóç ìåôáîý ãéíïìýíïõ ñéæþí êáé óõíôåëåóôþí ðïëõùíýìïõ. Áöïý åðéèõìïýìå z < êáé z <, óõìðåñáßíïõìå üôé áñêåß β< Þ β<. ÅðïìÝíùò ç ðñþôç ðåñéï Þ ðïõ åîáóöáëßæåé åõóôüèåéá åßíáé üëá ôá óçìåßá (α, β) ôá ïðïßá éêáíïðïéïýí ôéò äýï áíéóüôçôåò β< êáé β> α. Ç ðåñéï Þ áõôþ ôùí óçìåßùí óôï åðßðåäï (α, β) ðáñïõóéüæåôáé ãñáììïóêéáóìýíç óôï Ó Þìá (á). - α - α - α β β β - (á) - (â) - (ã) α β 0. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå äýï ðñáãìáôéêýò ñßæåò z ( α + α β) êáé z ( α α β). ÅðåéäÞ z z êáé åðéèõìïýìå ïé ñßæåò íá åßíáé êáô áðüëõôç ôéìþ ìéêñüôåñåò ôçò ìïíüäïò èá ðñýðåé z z, ðïõ éêáíïðïéåßôáé üôáí z êáé z. Ïé äýï áõôýò ó Ýóåéò åßíáé éóïäýíáìåò ìå α + α β α + α β áðü ôéò ïðïßåò óõìðåñáßíïõìå üôé α + α β α α β. ÅðåéäÞ üìùò ç ôåôñáãùíéêþ ñßæá åßíáé èåôéêþ ðïóüôçôá, ç ôåëåõôáßá áíéóüôçôá åßíáé äõíáôþ ìüíï üôáí α. Ìå äåäïìýíï ôïí åí ëüãù ðåñéïñéóìü, ìðïñïýìå íá õøþóïõìå ôçí ôåëåõôáßá áíéóüôçôá óôï ôåôñüãùíï êáé ìåôü áðü áðëïðïéþóåéò êáôáëþãïõìå óôç ó Ýóç β α. Óõìðåñáßíïõìå åðïìýíùò üôé ôá óçìåßá (α, β) ðïõ éêáíïðïéïýí óõã ñüíùò ôéò áíéóüôçôåò β α α β α åßíáé æåõãüñéá ðáñáìýôñùí ðïõ áíôéóôïé ïýí óå åõóôáèýò óýóôçìá. Ç ðåñéï Þ óçìåßùí ðïõ éêáíïðïéåß ôéò áíéóüôçôåò áõôýò ðáñïõóéüæåôáé ãñáììïóêéáóìýíç óôï Ó Þìá (â). ÅÜí åðïìýíùò óõíäõüóïõìå üëá ôá óçìåßá ðïõ åîáóöáëßæïõí åõóôüèåéá äçëáäþ ôá óçìåßá ôùí Ó çìüôùí (á) êáé (â), ôüôå ðñïêýðôåé ôï ôñßãùíï åõóôüèåéáò ðïõ ðáñïõóéüæåôáé óôï Ó Þìá (ã).

ÓåéñÜ ÁóêÞóåùí óå IIR Ößëôñá Ëýóç óêçóçò 7. Êáô áñ Þí Ý ïõìå ôçí åîßóùóç ç ïðïßá ãñüöåôáé áíáëõôéêü W (Ω p )( H(jΩ p ) ) W (Ω s ) H(jΩ s ) Õøþíïíôáò óôï ôåôñüãùíï ôçí ðñïçãïýìåíç ó Ýóç êáôáëþãïõìå 0. () +( Ω p ) +( Ω s ) + +( Ω p ) +( Ω p ) 00 +( Ω p ) óôçí ïðïßá åíáëëüóóïíôáò üñïõò, ìåôü áðü ýøùóç óôï ôåôñüãùíï ðáßñíïõìå + +( Ωp ) 00 +( Ωs ) +( Ωp ) + +( Ωp ) 00 +( Ω s Ω p ) ( Ωp ) +( Ωp ). Êáëþíôáò x ( Ωp ), êáé áðü ôçí åêöþíçóç Ý ïõìå üôé ( Ωs Ω p ) 6, ç ðñïçãïýìåíç ó Ýóç ìåôü áðü áðáëïéöþ ðáñïíïìáóôþí ãñüöåôáé 56x 368x 3 + 0x + 3000x + 9600 0 ðïõ åßíáé áëãåâñéêþ åîßóùóç ïõ âáèìïý. ÅðéëýïíôÜò ôçí (ð.. áñéèìçôéêü) åðéëýãïõìå ìüíï ôéò èåôéêýò ñßæåò, áöïý ç ðïóüôçôá x üðùò ôçí ïñßóáìå ìðïñåß íá ðüñåé ìüíï èåôéêýò ôéìýò. Ç åîßóùóç Ý åé äýï èåôéêýò ñßæåò ôéò.9303 êáé.639 áðü üðïõ óõìðåñáßíïõìå üôé ðéèáíýò ôéìýò ãéá ôï ëüãï Ωp åßíáé.9303.8585 Þ.639.77. Ç ìåí ðñþôç ðåñßðôùóç êáôáëþãåé óå Ω p.8585.8585 0.538 åíþ ç äåýôåñç óå Ω p.77.77 0.7857. ÂÝâáéá ðñýðåé íá ðáñáôçñþóïõìå üôé ëüãù ôùí õøþóåùí óôï ôåôñüãùíï (äýï öïñýò) ïé ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ äåí åßíáé õðï ñåùôéêü êáé ëýóåéò ôçò Åîßóùóçò (), ôï áíôßóôñïöï âýâáéá éó ýåé ðüíôïôå, äçëáäþ ïé ëýóåéò ôçò Åîßóùóçò () åìðåñéý ïíôáé óôéò ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ. Áðü ôéò äýï ôéìýò 0.538, 0.7857 ðïõ õðïëïãßóôçêáí ðñýðåé íá äéáðéóôþóïõìå ðïéá éêáíïðïéåß ôçí Åîßóùóç (). Áíôéêáèéóôþíôáò óôçí óôçí åîßóùóç ðáñáôçñïýìå üôé ç ìüíï ç ôéìþ 0.538 éêáíïðïéåß ôçí éóüôçôá. Ëýóç óêçóçò 7.6 Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå W (e jω ). ÌÝóù ôïõ äéãñáììéêïý Ìåôáó çìáôéóìïý ç ó Ýóç ôùí øçöéáêþí êáé áíáëïãéêþí óõ íïôþôùí, ùò ãíùóôüí, åßíáé Ω tan( ω ). ÅðïìÝíùò ôï äéüóôçìá ìåôüâáóçò óôïí áíáëïãéêü êüóìï Ý åé Üêñá ðïõ ïñßæïíôáé Ω p tan( ω p ) tan 0.5π 0.5095 êáé Ω s tan( ωs ) tan 0.π 0.765. Ç Áðüêñéóç ðëüôïõò ôïõ ößëôñïõ åßíáé H(jΩ) +( Ω Ωc ),

åíþ ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò, áðü ôéò óçìåéþóåéò, åßíáé H (s) s +(. )s + Ωc ÅðïìÝíùò ãéá íá ïñéóôåß ôï áíáëïãéêü ößëôñï áñêåß íá ðñïóäéïñßóïõìå ôç óõ íüôçôá 3-db. Áöïý ç óõíüñôçóç âüñïõò åßíáé ßóç ðñïò ôç ìïíüäá, áñêåß íá åðéëýîïõìå ôçí Ýôóé þóôå ôá äýï óöüëìáôá óôéò óõ íüôçôåò Ω p êáé Ω s íá åßíáé ßóá. ÄçëáäÞ Ω c ( H(jΩ p ) ) H(jΩ s ) Þ éóïäýíáìá +( Ω p ) +( Ω s ). () Áêïëïõèþíôáò áêñéâþò áíôßóôïé á âþìáôá üðùò êáé óôçí ðñïçãïýìåíç Üóêçóç âñßóêïõìå + +( Ωp ) +( Ω p ) +( Ω p ) + +( Ω p ) +( Ω s ) +( Ω p ) + +( Ω p ) +( Ωs Ω p ) ( Ω p ) +( Ω p ). Êáëþíôáò ðüëé x ( Ωp ) êáé áðáëåßöïíôáò ðáñïíïìáóôýò, ç áëãåâñéêþ åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé 7.0908x.806x 0.536x 30, ç ïðïßá Ý åé ìéá èåôéêþ ñßæá ôçí x.50. Áðü ôçí ôéìþ áõôþ Ý ïõìå üôé Ω p x êáé åðïìýíùò Ωp x 0.587. Ìðïñïýìå üíôùò íá äéáðéóôþóïõìå üôé ç ôéìþ áõôþ éêáíïðïéåß åðßóçò êáé ôçí Åîßóùóç (). Áðü ôç óôéãìþ ðïõ õðïëïãßóôçêå ç ðáñüìåôñïò ìðïñïýìå íá êüíïõìå áíôéêáôüóôáóç óôç Ωc óõíüñôçóç (s) s +( ìå ôç âïþèåéá ôïõ äéãñáììéêïý ìåôáó çìáôéóìïý s z, ïðüôå )s+ωc +z ðñïêýðôåé, ìåôü áðü ðñüîåéò, ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò H(z) Ç ðñïçãïýìåíç ó Ýóç åßíáé ôçò ìïñöþò Ωc + (+z + z ) +Ωc + ( ) + +Ω c. z + +Ωc + z +Ωc Y (z) X(z) H(z) b 0 + b z + b z b(z) +a z + a z a(z) ðïõ õëïðïéåßôáé ìå åëü éóôï áñéèìü óôïé åßùí ìíþìçò êüíïíôáò ñþóç ôïõ âïçèçôéêïý óþìáôïò V (z) X(z) a(z) üðùò áêñéâþò ðåñéãñüöåôáé óôéò óçìåéþóåéò.

'. FIR, 7! c :3.. h 3 h h h 0 h h h 3. D(!) D(!) ( j!j :3 0 n Fourier 0 Z n Z D(!)d! 0:3 D(!)e jn! d! sin(0:3n) n n 6 0 N + w n jnj (N +) n 0 ::: N 7 w n jnj n 0 3. - h n w n n, h 0 0:3 h n n sin(0:3n) n n 3 h 0 :3 h :93 h 0:0757 h 3 0:008.. FIR, N + [0 0:3], [0: ] [0:3 0:] 0.. D(!) 8 >< j!j :3 D(!) 0 >: j!j :3 j!j : 0 0: j!j Fourier D(!).. (, ). h n Fourier D(!) n D 00 (!) ( ) n 6 0 h n n ( jn) n n n 6 0

D(!) D 00 (!) 0 (! + :) (! + :3) (! :3) +(! :) Fourier n Z D 00 (!)e jn! d! 0 h n n 6 0 fcos(:n) cos(:3n)g h n n n 0 n fcos(:3n) cos(:n)g n 0. h 0 ' D(!). ( ' ) h 0 Z D(!)d! 0:35 h n n 0 ::: N. 3. FIR, 3 [0 0:3], [0: ] [0:3 0:]..,. D(!) ( j!j :3 0 0: j!j [0:3 0:]. h h 0 h H(e j! )h + h 0 e j! + h e j! e j! fh 0 +h cos(!)g, R(!) fh 0 +h cos(!)g,, D(!). E(h 0 h ) E(h 0 h ) Z [0 :3][[: ] hd(!) R(!)i d! h 0 h, -, :3 h 0 (:9) +h fsin(:3) sin(:)g sin(:3) h 0 fsin(:3) sin(:)g + h f:9 + :5[sin(:6) sin(:8)]g h 0 0:36 h 0:860.

. (min-max) FIR, 3 [0 0:3], [0: ] [0:3 0:].. D(!) R(!) h 0 +h cos(!). min-max.! <! <! 3 D(! ) R(! ) [D(! ) R(! )] D(! 3 ) R(! 3 ) jd(! i ) R(! i )j max! jd(!) R(!)j i 3!!! 3 ',. R(!) h sin(!) [0 ], ( ). D(!) R(!) [0 :3], [: ] ( D(!) ). [0 :3] [: ].! i 0 :3 :. (0 :3 :) (:3 : ) ( ) ( ). (0 :3 ) (0 : ). (0 :3 :) h 0 h h 0 h cos(:3) h 0 h cos(:) h 0 0:89 h 0:736 0:983. h 0 +h :596,. (:3 : ) h 0 h cos(:3) h 0 h cos(:) h 0 +h h 0 0:76 h 0:39 0:. 0 h 0 h 0:56,. 3

' IIR.. # # ; 9 ; R 9 ) v i (t) v o (t). ) - ) Butterworth KHz.. aplace R R sc sc. H V i + R I + sc (I I )0 sc (I I )+ R + sc I 0 I I. V o (s) I (s) sc, H(s) V o(s) V i (s) s R R C C + s(r C + R C + R C )+ ) ' c. Butterworth N H B (s) N c (s s 0 )(s s ) (s s N ) s n c e j( + N +n N ). N c, s 0 e j 3 p ( +j), s e j 5 p ( j). c H(s) s + s p + c 000 s s000 H(s) s 0 6 + s p 0 3 + R R C C 0 6 R C + R C + R C p 0 3

x R C y R C p xy 0 6 x+y x y 0 6 0 3, x +y 0 3!!!. c. Butterworth N, (.. Chebyshev) ( ).. IIR Butterworth,! c 0:3,.. Butterworth c H(s) p s + s + s z P +z P.. s j z e j!,, P tan(! ) c!c tan( ), P tan(0:5). P s cot(0:5) z z :963 +z +z Butterworth +z + z H(z) 0:3 :0z + :z 3. IIR Butterworth! c : N 3.. : ) - ) ). c. s 0 s s. s n e j( + N +n N ) n 0 p p s 0 + j 3 s s j 3. H k (s) (s + s +)(s +)

E(!) ' &. y n x n x n ().. D(e j! )j!! : FIR Z (). Y (z) X(z) z X(z) Y H(z) (z) X(z) z : H(e j! ) e j! e j! j sin! : () () e j! ( ). () (n 0:5) n, (n ) n x n x n. E(!) D(e j! ) j sin! D(e j! ) sin!!! 0. 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 0 0.π 0.π 0.6π 0.8π π!

! 35%..! c. ) FIR - ( ). ) FIR! c 0:6 N 7. ) FIR ) Hamming.. 8 >< j! 0!! c I(!) >: 0! c <!, FIR. N M + h M h M h h 0 h h h M h M H(e j! )je jm! fh sin! +h sin! + +h M sin M!g : e jm! M, -. I(!) j(h sin! +h sin! + +h M sin M!). E(h ::: h M ) Z 0 ^I(!) h sin! h sin! h M sin M! d! (3) 8 >< ^I(!) >:! 0!! c 0! c <! : h k (3) h k! c cos! c k sin k! c k k ::: M: )! c 0:6 M 3 5 0..

jh(!)j jh(!)j.5 0.5 0 0.5 0 0.π 0.π 0.6π 0.8π π!. ) ) Hamming. w n 0:5 + 0:6 cos k M + k 0 ::: M.5 0.5 0 0 0.π 0.π 0.6π 0.8π π! Hamming. 3. : ). ). ) Simpson.. I(e j! )! : () j! x (t) [(n ) n ] n, x n x (n ). y n (n ) y n y n + x n : 3

Z Y (z) z Y (z) +X(z) H(z) Y (z) X(z) z IIR, H(e j! ) e j! ej! j sin! : e j! `` ''. y n n (n +0:5). (). E (!) j! j sin! j!! sin!! 0, (!).. 56%. ),, -. (n ) n 0:5 (x n + x n ). y n y n +0:5 (x n + x n ): (5) Z : H(z) 0:5 +z z H(e j! )0:5 cos! j sin! j cot! : (!). (5) ( ) n. E (!) 0:5!! cot! 0.

..! 00%. Simpson n (n ). (n ) n x n x n x n. x (t) [(n ) n ]. (x n x n x n ). - [(n ) n ] 3 (x n+x n +x n ). y n y n + 3 (x n +X n + x n ): Z H(z) 3 H(e j! ) 3 +z + z z + cos! j sin! :. y n n. E 3 (!)! sin! +cos!! 0,.!!. Simpson. -,. x n [0 ], Simpson, x (t) Nyquist. 3 :. 0.8 0.6 0. 0. 0 0 0.π 0.π 0.6π 0.8π π! E (!), E (!), E 3 (!) -. 5