ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Θεωρίες μάθησης Αριθμητισμός Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Διδακτικό Μαθηματικών Ι Μϊθημα 2 ο Θεωρύεσ μϊθηςησ Αριθμητιςμόσ Παραδοςιακϋσ διδακτικϋσ προςεγγύςεισ «Μεταφορϊ» τησ γνώςησ υμπεριφοριςμόσ (behaviourism, Pavlov, Thorndike, Watson, Skinner) Η διδαςκαλύα εύναι η διαδικαςύα μετϊδοςησ γνώςεων και ςτηρύζεται ςτην: αναλυτικό εξόγηςη των γνώςεων που καθορύζει το αναλυτικό πρόγραμμα αξιολόγηςη των δεξιοτότων που αποκτούν οι μαθητϋσ. Η μαθηματικό γνώςη: αποτελεύται από αδιαμφιςβότητουσ κανόνεσ 14 Μαρτύου 2014 οργανώνεται ςε προκαθοριςμϋνεσ ενότητεσ Παραδοςιακϋσ διδακτικϋσ προςεγγύςεισ «Μεταφορϊ» τησ γνώςησ Οργϊνωςη διδαςκαλύασ: Λεκτικό «παρϊδοςη» μαθόματοσ παρουςύαςη τησ νϋασ ϋννοιασ ό διαδικαςύασ μϋςω παραδειγμϊτων επύλυςη ενδεικτικών αςκόςεων Εμπϋδωςη μαθόματοσ επύλυςη από το μαθητό παρόμοιων αςκόςεων Κριτόριο εμπϋδωςησ τησ γνώςησ: η επιτυχόσ αναπαραγωγό του τρόπου ςκϋψησ του δαςκϊλου, η οπούα επιτυγχϊνεται με εξϊςκηςη και επανϊληψη. Παραδοςιακϋσ διδακτικϋσ προςεγγύςεισ «Μεταφορϊ» τησ γνώςησ Σο μυαλό του μαθητό κατϊ την εύςοδό του ςτην υποχρεωτικό εκπαύδευςη θεωρεύται «κενό δοχεύο». Ο μαθητόσ πρϋπει να μην ϋρθει ςε επαφό με λανθαςμϋνεσ παραςτϊςεισ, γιατύ: το λϊθοσ μπορεύ να αποτυπωθεύ ςτο μυαλό του μαθητό. Σα λϊθη των μαθητών αποδύδονται ςε: απροςεξύα ϊγνοια των μαθηματικών εννοιών ςύγχυςη των εννοιών ανικανότητα αναγνώριςησ των χαρακτηριςτικών ςτοιχεύων ενόσ προβλόματοσ 1
Δομιςτικό καταςκευαςτικό Κονςτρουκτιβιςμόσ, ανακαλυπτικό μϊθηςη (discovery learning, Bruner, Piaget) Η διδαςκαλύα ςυνύςταται ςτο ςχεδιαςμό δραςτηριοτότων που ενςωματώνουν αναπαραςτϊςεισ των μαθηματικών εννοιών. Ο δϊςκαλοσ χρηςιμεύει κυρύωσ ωσ οδηγόσ τησ μϊθηςησ. Σο υλικό των δραςτηριοτότων πρϋπει να εύναι ςχεδιαςμϋνο ώςτε να απεικονύζει: τη δομό τησ μαθηματικόσ γνώςησ που ο μαθητόσ πρϋπει να ανακαλύψει. Δομιςτικό καταςκευαςτικό Βαςικϋσ ϋννοιεσ τησ θεωρύασ Piaget: Αφομούωςη: Η ενϋργεια του οργανιςμού να εντϊξει μια κατϊςταςη ςε ςχόματα δραςτηριοτότων που όδη διαθϋτει Συμμόρφωςη: Οι ενϋργειεσ του οργανιςμού ώςτε να επιτύχει ϋνα ςκοπό ανϊλογα με τισ απαιτόςεισ του περιβϊλλοντοσ Προςαρμογό = αφομούωςη + ςυμμόρφωςη Δομιςτικό καταςκευαςτικό Παρϊδειγμα: βρϋφοσ κουδουνύςτρα όχοσ ςχόμα τησ κουδουνύςτρασ: αναγνώριςη του αντικειμϋνου ςυςχϋτιςη ςυγκεκριμϋνησ δραςτηριότητασ με το αντικεύμενο προςδοκύα οριςμϋνου αποτελϋςματοσ Δομιςτικό καταςκευαςτικό Αν το βρϋφοσ επιλϋξει ϋνα κουτϊλι, γιατύ αναγνωρύζει ςε αυτό κοινϊ χαρακτηριςτικϊ με την κουδουνύςτρα: αφομοιώνει το κουτϊλι ςτο «ςχόμα τησ κουδουνύςτρασ». Κουνώντασ το όμωσ δεν παρϊγεται ο αναμενόμενοσ όχοσ διαταραχό. Η διαταραχό εύναι μια από τισ ςυνθόκεσ που προετοιμϊζουν το ϋδαφοσ για τη γνωςτικό αλλαγό. Σο βρϋφοσ μπορεύ να κοιτϊξει καλύτερα το κουτϊλι και να επιςημϊνει χαρακτηριςτικϊ που θα το βοηθόςουν ςτο μϋλλον να ξεχωρύζει την κουδουνύςτρα από το κουτϊλι. 1 η προςαρμογό. Θα μπορούςε όμωσ, χτυπώντασ το κουτϊλι ςε μια επιφϊνεια να παραχθεύ ϊλλοσ ευχϊριςτοσ για το παιδύ όχοσ. 2 η προςαρμογό, ςχόμα του κουταλιού με όχο. ςχόμα αντικειμϋνων με όχο 2
Δομιςτικό καταςκευαςτικό χόμα τριγώνου: Δομιςτικό καταςκευαςτικό χόμα πολλαπλαςιαςμού: πολλαπλαςιϊζω αυξϊνω Διαταραχό: Αφαύρεςη Διαταραχό: Αφαύρεςη 3 x0,4 = 1,2 Αφομούωςη Αφομούωςη Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 7 x 8 = 56 5 6 7 8 Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 7 x 8 = 56 5 6 7 8 5x8 + 2x8 = 40 + 16 7x7 + 7x1 = 49 + 7 2x(4x7) = 2x28 3
Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 37 + 28 = ; Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 37 + 28 = ; Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 37 + 28 = ; Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη 37 + 28 = ; 4
Καταςκευό vs. Αποςτόθιςη Προτεύνετε τρόπουσ εύρεςησ του αποτελϋςματοσ τησ πρϊξησ: 75 19 = ; Ριζοςπαςτικόσ κονςτρουκτιβιςμόσ Radical constructivism (Ernst von Glasersfeld). Η καταςκευό τησ γνώςησ εύναι υποκειμενικό. Δεν μασ απαςχολεύ η ύπαρξη μια αντικειμενικόσ εξωτερικόσ πραγματικότητασ, αλλϊ μια «εμπειρικό ό βιωμϋνη πραγματικότητα». Η γνώςη καταςκευϊζεται από το υποκεύμενο ωσ ϋνα εργαλεύο επιτυχούσ επιβύωςησ ϊρα πρϋπει να εύναι «λειτουργικϊ χρόςιμη» ςε ςχϋςη με προβλόματα, τα οπούα αντιμετωπύζει το υποκεύμενο. Ριζοςπαςτικόσ κονςτρουκτιβιςμόσ Ο δϊςκαλοσ δεν μπορεύ να εύναι βϋβαιοσ ότι ϋχει γύνει κατανοητόσ από τουσ μαθητϋσ αφού η κατανόηςη εύναι μια προςωπικό καταςκευό. Πρϋπει να εξηγηθεύ ςτουσ μαθητϋσ ότι ϋνα γεγονόσ, όπωσ 2 + 2 = 4, θεωρεύται βϋβαιο, όχι επειδό ορύςτηκε ϋτςι από μια ανώτερη δύναμη, αλλϊ επειδό ϋχουμε καταςκευϊςει το αριθμητικό ςύςτημα με ϋνα ςυγκεκριμϋνο τρόπο ο οπούοσ εύναι κοινϊ αποδεκτόσ. Κριτικό Όταν ο δϊςκαλοσ παρουςιϊζει ϋνα υλικό ϋχει υπόψη του μια ςυγκεκριμϋνη μαθηματικό ϋννοια. Σο υλικό ϋχει ςύμφωνα με το δϊςκαλο μύα ςυγκεκριμϋνη χρόςη ό ερμηνεύα, ςτην οπούα αναμϋνεται να οδηγηθεύ (από μόνοσ του) ο μαθητόσ. Παρϊδοξο τησ μϊθηςησ (learning paradox) 5
Πλϊτωνασ «Μϋνων» (80d-e) Μϋνων: Πού θα αναζητόςεισ, Σωκρϊτη, ϋνα πρϊγµα για το οπούο δεν γνωρύζεισ τη φύςη του; Ποιο εύδοσ πρϊγµατοσ, ανϊµεςα από αυτϊ που γνωρύζεισ, θα µασ προτεύνεισ ωσ αντικεύµενο τησ αναζότηςόσ µασ; Και υποθϋτοντασ ότι ςτο τϋλοσ το ϋχεισ βρει, µε ποιο τρόπο θα γνωρύζεισ ότι αυτό εύναι αυτό που δεν γνώριζεσ ϊλλοτε; ωκρϊτησ: Αντιλαμβϊνομαι αυτό που θϋλεισ να πεισ, Μϋνωνα. Βλϋπεισ ποιο ιδιαύτερο επιχεύρημα προωθεύσ; Γιατύ πρϊγματι ϋνασ ϊνθρωποσ, δεν μπορεύ να αναζητϊ, ούτε ανϊµεςα ς αυτϊ που όδη γνωρύζει, αλλϊ ούτε ανϊµεςα ς αυτϊ, τα οπούα δεν γνωρύζει καθόλου. Διότι δεν μπορεύ να αναζητϊ ανϊµεςα ς αυτϊ που γνωρύζει, γιατύ τα γνωρύζει και ςυνεπώσ δεν ϋχει ανϊγκη να τα αναζητϊ, αλλϊ δεν μπορεύ ακόμα επιπλϋον να αναζητϊ κϊτι ς αυτϊ που δεν γνωρύζει γιατύ δεν γνωρύζει αυτό που αναζητϊ. Κριτικό Παρϊδοξο τησ μϊθηςησ: θεωρούμε ότι ο μαθητόσ ϋχει μια γνωςτικό (υπο)δομό εξύςου πολύπλοκη με αυτό που θα μϊθει. Αλλιώσ οδηγούμαςτε ςτην παροχό εξηγόςεων από το δϊςκαλο μοντϋλο «μεταφορϊσ» γνώςησ. Κριτικό Κύβοι του Dienes Ο αριθμόσ 321 Σ Κριτικό Χρόςη υλικού 5 6 6 5 2 15 6
Σ Κριτικό Χρόςη υλικού 5 6 6 5 2 15 3 10 Σ Κριτικό Χρόςη υλικού 5 6 6 5 2 15 3 10 (3 6) + (2 6) Κοινωνικο-πολιτιςμικό Socio-cultural approaches (Vygotsky, Bakhtin, Dewey,Engström, Wertch, Lave & Wenger, Cole, Rogoff, Säljö) ύνολο θεωριών (διεπιςτημονικόσ τομϋασ), που μοιρϊζονται βαςικϋσ παραδοχϋσ για τη γνώςη, τη μϊθηςη και την ανϊπτυξη. τόχοσ τουσ εύναι να γύνει κατανοητό το πώσ η γνώςη ςυςχετύζεται με το: πολιτιςτικό θεςμικό ιςτορικό πλαύςιο. Κοινωνικο-πολιτιςμικό Η μϊθηςη προϋρχεται από τη ςυμμετοχό ςε κοινωνικϋσ δραςτηριότητεσ. Η μϊθηςη λαμβϊνει χώρα μϋςω τησ ςυζότηςησ, του διαλόγου, τησ ςυνεργαςύασ, και τησ ανταλλαγόσ πληροφοριών με ϊλλουσ (δϊςκαλοι, ςυμμαθητϋσ). Η αξιολόγηςη εςτιϊζει ςτισ δεξιότητεσ ςυνεργαςύασ των μαθητών ςτα πλαύςια μιασ ομϊδασ (ομαδοςυνεργατικό μϊθηςη). 7
Κοινωνικο-πολιτιςμικό Κοινωνικο-πολιτιςμικό Ιδιαύτερα ςημαντικόσ ο ρόλοσ των ςημειωτικών εργαλεύων εκ των οπούων το ιςχυρότερο εύναι η γλώςςα, η οπούα: καθιςτϊ δυνατό τη διεκπεραύωςη τησ επικοινωνύασ του ανθρώπου με τουσ ςυνανθρώπουσ του ςυμβϊλλει ςτην εςωτερικό αναδόμηςη τησ εμπειρύασ ςε γνώςη εκφρϊζει ςυγκεκριμϋνεσ ενϋργειεσ του ανθρώπου μορφοποιεύ το πλαύςιο μϋςα ςτο οπούο εύναι δυνατό η ερμηνεύα ςυγκεκριμϋνων ενεργειών. Κϊθε λειτουργύα ςτη γνωςτικό ανϊπτυξη εμφανύζεται δυο φορϋσ: αρχικϊ ςτο κοινωνικό επύπεδο, μεταξύ ανθρώπων (διαψυχολογικό) και αργότερα ςτο ατομικό επύπεδο, εςωτερικϊ (ενδοψυχολογικό)..όλεσ οι υψηλού επιπϋδου λειτουργύεσ ξεκινούν ωσ πραγματικϋσ αλληλεπικοινωνύεσ μεταξύ των ατόμων. Κοινωνικο-πολιτιςμικό Η Ζώνη Επικεύμενησ Ανϊπτυξησ (Zone of Proximal Development) εύναι η απόςταςη μεταξύ: του πραγματικού αναπτυξιακού επιπϋδου όπωσ καθορύζεται με την ανεξϊρτητη επύλυςη προβλόματοσ και του επιπϋδου δυνατότητασ όπωσ καθορύζεται μϋςω τησ επύλυςησ προβλόματοσ κϊτω από την ενόλικη καθοδόγηςη ό τη ςυνεργαςύα με τουσ ικανότερουσ ςυμμαθητϋσ. Κοινωνικο-πολιτιςμικό Ο ύδιοσ ο Bruner εύπε: Το μοντϋλο μου για το παιδύ εκεύνεσ τισ μϋρεσ όταν πιο κοντϊ ςτην παρϊδοςη του μοναχικού παιδιού. Έρχομαι να αναγνωρύςω ότι ςυνόθωσ η μϊθηςη ςτισ περιςςότερεσ εκφϊνςεισ τησ εύναι μια ςυλλογικό δραςτηριότητα, ϋνα μούραςμα τησ κουλτούρασ Αυτό εύναι που με οδηγεύ να τονύςω όχι μόνο την ανακϊλυψη και τη διαύςθηςη αλλϊ τη ςπουδαιότητα τησ διαπραγμϊτευςησ και τησ ανταλλαγόσ απόψεων - με μια φρϊςη, την από κοινού δημιουργύα τησ κουλτούρασ. 8
Μαθηματικόσ γραμματιςμόσ Περύ Μαθηματικού Γραμματιςμού η ικανότητα του ατόμου να: προςδιορύζει και να κατανοεύ το ρόλο που διαδραματύζουν τα μαθηματικϊ ςτον κόςμο διατυπώνει καλϊ θεμελιωμϋνεσ κρύςεισ χρηςιμοποιεύ και να αςχολεύται με τα Μαθηματικϊ με τρόπουσ που ικανοποιούν τισ ανϊγκεσ τησ ζωόσ αυτού του ατόμου ωσ δημιουργικού, ενδιαφερόμενου και αναςτοχαςτικού πολύτη (ΟΟΣΑ, 2006) Αριθμητιςμόσ Διδακτικό Πώσ μπορούμε να κϊνουμε τα παιδιϊ ενϊριθμα; Πώσ δημιουργούμε ϋνα ςχολικό περιβϊλλον ςτο οπούο τα παιδιϊ δεν μαθαύνουν μόνο τεχνικϋσ, αλλϊ και να ςκϋφτονται με μαθηματικούσ τρόπουσ; Αριθμητιςμόσ Λογικό Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να ςκϋφτονται με τουσ όρουσ τησ λογικόσ Τπϊρχουν και ϊλλεσ επιςτόμεσ οι οπούεσ ςτηρύζονται ςτη λογικό. Η ςχϋςη όμωσ των Μαθηματικών με τη λογικό εύναι ιδιαύτερα δυνατό και ςαφόσ. 9
Αριθμητιςμόσ Λογικό Απαρύθμηςη ςυνόλου αντικειμϋνων απόψεισ Piaget: Η λογικό αποτελεύ προώπόθεςη Σα παιδιϊ χρειϊζονται πολλϊ χρόνια για να κατακτόςουν τουσ κανόνεσ λογικόσ Αρχό διατόρηςησ Λογικού ςυμπεραςμού μεταβατικότητα Αριθμητιςμόσ Λογικό Απαρύθμηςη ςυνόλου αντικειμϋνων: ϋννοια ςυνόλου υποςυνόλου αρχό τησ 1-1 αντιςτούχιςησ ϋννοια μονϊδασ αρχό τησ ςταθερόσ ακολουθύασ τακτικό φύςη αριθμών μεταβατικότητα αρχό τησ πληθικότητασ αρχό τησ αφαύρεςησ αρχό τησ ανεξαρτηςύασ τησ ςειρϊσ αρχό του αναλλούωτου (αρχό διατόρηςησ) νοηματοδότηςη Αριθμητιςμόσ Λογικό Piaget: όλεσ οι δραςτηριότητεσ ςχετύζονται με τη λογικό Πρόςθεςη αφαύρεςη δεν αρκεύ να γνωρύζεισ ότι η πρόςθεςη αυξϊνει και η αφαύρεςη μειώνει μια ποςότητα, αλλϊ και ότι: οι δύο πρϊξεισ ϋχουν αντύςτροφεσ ςυνϋπειεσ: 4+2-2=4. Προςθετικό ςύνθεςη αριθμού 6 = 3+3 = 5+1 = 4+2 Αντιμεταθετικό ιδιότητα. Αριθμητιςμόσ υςτόματα Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να μϊθουν τα ςυςτόματα ςυμβϊςεων οι οπούεσ εύναι πολιτιςμικϊ προώόντα και παρϋχουν τρόπουσ αναπαρϊςταςησ εννοιών. 10
Αριθμητιςμόσ υςτόματα Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να μϊθουν τα ςυςτόματα ςυμβϊςεων Λεκτικϋσ ςυμβϊςεισ: 10 δϋκα 11 ϋντεκα και όχι δϋκα-ϋνα! Πόςεσ λϋξεισ πρϋπει να απομνημονεύςει κϊποιοσ για να μπορεύ να μετρόςει μϋχρι το ϋνα διςεκατομμύριο; Αριθμητιςμόσ υςτόματα Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να μϊθουν τα ςυςτόματα ςυμβϊςεων Μετρόςεισ: ενςωματώνουν τη λογικό (αν α=β και β=γ τότε α=γ) ςυμβϊςεισ που αφορούν μονϊδεσ μϋτρηςησ τρόπο μϋτρηςησ Αριθμητιςμόσ υςτόματα Έλεγχοσ 3 χαρακτηριςτικών: χρηςιμοπούηςαν ύςα διαςτόματα μεταξύ των αριθμών; ϋλαβαν υπόψη τισ υποδιαιρϋςεισ των μονϊδων αφόνοντασ ςυςτηματικϊ κενό διϊςτημα μεταξύ των αριθμών; ϋβαλαν μηδϋν ςτην αρχό ακολουθούμενο από κενό διϊςτημα; Αριθμητιςμόσ Νοηματοδότηςη Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να χρηςιμοποιούν τη μαθηματικό τουσ ςκϋψη με νόημα και κατϊλληλα ςτισ περιςτϊςεισ Situated knowledge υχνϊ οι μαθητϋσ δεν ξϋρουν ποια τεχνικό να χρηςιμοποιόςουν ςε μια καινούρια περύςταςη. δεν υπϊρχει ζότημα ϋλλειψησ γνώςησ των μαθηματικών διαδικαςιών, αλλϊ η γνώςη μιασ διαδικαςύασ δεν μασ λϋει πότε η διαδικαςύα αυτό εύναι κατϊλληλη για την επύλυςη ενόσ προβλόματοσ. 11
Αριθμητιςμόσ Νοηματοδότηςη Για να γύνουν τα παιδιϊ ενϊριθμα πρϋπει να χρηςιμοποιούν τη μαθηματικό τουσ ςκϋψη με νόημα και κατϊλληλα ςτισ περιςτϊςεισ Π.χ. ϋνασ μαθητόσ μπορεύ να επιλύςει το πρόβλημα «βρεύτε το 20% του 50», αλλϊ δεν μπορεύ να υπολογύςει πόςα χρόματα κερδύζει αν ςε ϋνα παντελόνι 50 υπϊρχει ϋκπτωςη 20%. 12
Χρηματοδότηση Τέλος Ενότητας Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Σημειώματα Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1315.
Σημείωμα Αναφοράς Σημείωμα Αδειοδότησης Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης. «Διδακτική Μαθηματικών I. Θεωρίες μάθησης Αριθμητισμός». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1315. Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.