P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων, που ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο µ. Εστω M ο αριθμός αφίξεων κατά τη διάρκεια του T. Υπολογίστε την κατανομή του M με δύο τρόπους. Εστω f(t) = µ exp µt η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της T. Εφαρμόζουμε το νόμο ολικής πιθανότητας δεσμεύοντας ως προς την τιμή της T, και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της διαδικασίας Poisson ότι για t 0, N(t) P oisson(λt): P (M = n) = = = = 0 0 P (M = n T = t)µe µt dt λt (λt)n e µe µt dt n! µλ n (λ + µ) n+1 0 (λ + µ) µλ n (λ + µ) n+1 = ( λ λ + µ n+1 tn n! e (λ+µ)t dt ) n µ λ + µ. Το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι ίσο με 1, καθώς η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής Γάμμα με παραμέτρους n + 1, λ + µ. Επομένως P (M = n) = (1 p) n p, n = 0, 1,,... δηλαδή η M ακολουθεί γεωμετρική κατανομή (αριθμός αποτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία) με παράμετρο p = µ λ+µ. Το αποτέλεσμα αυτό θα μπορούσαμε να το συμπεράνουμε και με βάση τις ιδιότητες της εκθετικής κατανομής. Συγκεκριμένα, έστω το διάστημα [0, T ], A 1 ο χρόνος άφιξης του πρώτου πελάτη και A, A 3,... οι διαδοχικοί χρόνοι μεταξύ αφίξεων της{n(t), t 0}. Οι A 1, A,... είναι α.ι.τ.μ. που ακολουθούν εκθετική κατανομή με παράμετρο λ f Aj (x) = λe λx, x 0, j = 1,,.... Η πιθανότητα P (M = n μπορεί να γραφτεί ως εξής: και P (M = 0) = P (A 1 > T ) (1) P (M = n) = P (A 1 + + A n < T, A 1 + + A n + A n+1 > T ), n = 1,,.... Επειδή οι A 1, T είναι ανεξάρτητες εκθετικές, P (A 1 > T ) = µ λ+µ. Για n 1, έχουμε P (M = n) = P (A1 + + A n < T )P (A 1 + + A n + A n+1 > T A 1 + + A n < T () ). Για τη δεσμευμένη πιθανότητα παραπάνω θα δείξουμε ότι P (A 1 + + A n + A n+1 > T A 1 + + A n < T ) = P (A n+1 > T ) = µ λ + µ. (3) Η ισότητα αυτή είναι επέκταση της αμνήμονης ιδιότητας της εκθετικής κατανομής και σημαίνει ότι αν η διάρκεια του T ξεπεράσει το χρόνο άφιξης του n οστού πελάτη, τότε η υπόλοιπη

διάρκεια του T συνεχίζει να ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ σα να ξεκινούσε το T τη στιγμή της n-οστής άφιξης. Για να αποδείξουμε την (3) έχουμε P (A 1 + + A n + A n+1 > T A 1 + + A n < T ) = 1 P (A 1 + + A n + A n+1 < T A 1 + + A n < T ) = 1 1 P (A 1 + + A n + A n+1 < T ) P (A 1 + + A n < T ) x = 1 1 =0 x n+1 =0 P (T > x 1 + + x n+1 )f A1 (x 1 ) f An+1 (x n+1 )dx n+1 dx 1 x 1 =0 x P (T > x n=0 1 + + x n )f A1 (x 1 ) f An (x n )dx n dx 1 x = 1 1 =0 x n+1 =0 e µ(x 1+ +x n+1 ) f A1 (x 1 ) f An+1 (x n+1 )dx n+1 dx 1 x 1 =0 x n=0 e µ(x 1+ +x n+1 ) f A1 (x 1 ) f An (x n )dx n dx 1 = 1 E(e µa 1 )E(e µa ) E(e µa n+1 ) E(e µa 1 )E(e µa ) E(e µa n) = 1 E(e µa n+1 ) = 1 = 1 x n+1 =0 x n+1 =0 e µx n+1 f An+1 (x n+1 )dx n+1 P (T > x n+1 )f An+1 (x n+1 )dx n+1 = 1 P (T > A n+1 ) = P (T < A n+1 ). Αξίζει να σημειωθεί ότι η παραπάνω απόδειξη της (3) ισχύει στη γενική περίπτωση που οι A 1, A,... είναι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες μεταξύ τους και ανεξάρτητες της T, χωρίς να απαιτείται να είναι ισόνομες ή εκθετικές. Τώρα η κατανομή του M μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας επαναληπτικά την (3). Πραγματικά για n > 0 από την (): P (M = n) = P (A 1 + + A n < T )P (A 1 + + A n + A n+1 > T A 1 + + A n < T ) Επίσης = P (A 1 + + A n < T )P (A n+1 > T ). (4) P (A 1 + + A n < T ) = P (A 1 + + A n 1 < T )P (A 1 + + A n < T A 1 + + A n 1 < T ) = P (A 1 + + A n 1 < T )P (A n < T ) λόγω πάλι της (3). Επαναλαμβάνοντας την παρακάτω ανισότητα για n 1, n,..., 1 παίρνουμε P (A 1 + + A n < T ) = P (A 1 < T ) P (A n < T ) = αφού οι A 1,..., A n είναι ισόνομες εκθετικές. Επομένως από την (4) P (M = n) = ( ) λ n µ λ + µ λ + µ. ( ) λ n, λ + µ ΑΣΚΗΣΗ. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία Poisson. Δείξτε ότι για 0 s < t, η δεσμευμένη κατανομή του αριθμού αφίξεων N(s) στο διάστημα [0, s], δεδομένου ότι ο συνολικός αριθμός αφίξεων N(t) στο διάστημα [0, t] είναι ίσος με n, είναι διωνυμική με παραμέτρους (n, s/t).

Εστω N(s, t] ο αριθμός αφίξεων στο διάστημα (s, t]. Χωρίς την πληροφορία ότι N(t) = n, οι N(s) και N(s, t] αναφέρονται σε μη επικαλυπτόμενα διαστήματα χρόνου, επομένως είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν κατανομή Poisson με παραμέτρους λs και λ(t s), αντίστοιχα. Επομένως η δεσμευμένη κατανομή της N(s) δεδομένου ότι N(t) = n υπολογίζεται ως εξής: P (N(s) = k N(t) = n) = = = P (N(s) = k, N(s, t] = n k) P (N(t) = n) λksk e λs k! e λ(t s) λ n k (t s) n k (n k)! e λt λ n t n ( n k ) (s t n! ) k ( 1 s ) n k, t για k = 0, 1,..., n. Επομένως N(s) N(t)=n B(n, s t ). ΑΣΚΗΣΗ 3. Εστω {X(t), t 0} μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου, όπου X(t) δηλώνει τον αριθμό εργασιών που βρίσκονται σε ένα κέντρο εξυπηρέτησης, στο οποίο επιτρέπεται να υπάρχουν μέχρι 3 εργασίες. Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων εργασιών στο σύστημα είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1 ημέρα. Αν κατά την άφιξη μιας εργασίας δεν υπάρχει κενή θέση, αυτή απορρίπτεται από το σύστημα. Στο σύστημα υπάρχει ένας σταθμός εξυπηρέτησης που μπορεί να εξυπηρετεί το πολύ μια εργασία κάθε στιγμή. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1 ημέρα. (α) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης για την αλυσίδα. (β) Να διατυπωθούν οι εξισώσεις στάσιμης κατάστασης. (γ) Να βρεθεί η οριακή κατανομή του αριθμού εργασιών στο σύστημα. (α) Πρόκειται για υπόδειγμα ουράς M/M/1/3 με ρυθμό αφίξεων λ και εξυπηρετήσεων µ. Το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης φαίνεται στο Σχήμα 1. Σχήμα 1: Άσκηση 3 (β) Παίρνοντας τις εξισώσεις ισορροπίας για τις τρεις τομές που φαίνονται στο διάγραμμα έχουμε p 0 λ = p 1 µ p 1 λ = p µ

p λ = p 3 µ p 0 + p 1 + p + p 3 = 1 (γ) Η λύση του συστήματος μας δίνει την οριακή κατανομή του αριθμού πελατών στο σύστημα. Συγκεκριμένα για ρ = λ/µ 1: p n = (1 ρ)ρn 1 ρ 4, n = 0, 1,, 3 ενώ για ρ = 1 p n = 1/4, n = 0, 1,, 3. ΑΣΚΗΣΗ 4. Εστω ένα σύστημα εξυπηρέτησης με m υπηρέτες, στο οποίο οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή με ρυθμό µ. Κάποια στιγμή (έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας t = 0) όπου στο σύστημα υπάρχουν n πελάτες, με n > m, το σύστημα σταματά να δέχεται εξωτερικές αφίξεις και συνεχίζει τη λειτουργία του μέχρι να αδειάσει. (α) Να γίνει το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης για τη διαδικασία {X(t), t }0. (β) Είναι αυτή η διαδικασία εργοδική; (γ) Να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι τη στιγμή που θα αδειάσει το σύστημα. (α) Πρόκειται για Μαρκοβιανή διαδικασία θανάτων με ρυθμό αναχωρήσεων µ j = min(j, k)µ, j = 1,..., n. Το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα : Άσκηση 4 (β) Η διαδικασία δεν είναι εργοδική γιατί οι καταστάσεις δεν επικοινωνούν μεταξύ τους και είναι όλες μεταβατικές εκτός από την 0 που είναι απορροφητική. (γ) Ο αναμενόμενος χρόνος πρώτης μετάβασης από την κατάσταση n στην κατάσταση 0 υπολογίζεται ως εξής: Για τις μεταβάσεις n n 1, n 1 n,..., k + 1 k, ο αναμενόμενος χρόνος για την κάθε μετάβαση είναι ίσος με 1/(kµ). Επομένως ο αναμενόμενος χρόνος για τη μετάβαση n k 1 είναι ίσος με n k kµ. Μετά κάθε μετάβαση j j 1 έχει αναμενόμενο χρόνο 1/(jµ), επομένως ο αναμενόμενος χρόνος k 0 είναι ίσος με k j=1 1 jµ. Συνεπώς ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να αδειάσει το σύστημα είναι ίσος με 1 k µ j=1 1 j + n k. k ΑΣΚΗΣΗ 5. Εστω μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων S = {1,, 3, 4} και πίνακα ρυθμών μετάβασης Q = 3 1 0 3 6 0 3 3 6 1 1 3 5.

(α) Να διατυπωθούν οι εξισώσεις στάσιμης κατάστασης. (β) Να βρεθεί η οριακή κατανομή. (α) Οι εξισώσεις στάσιμης κατάστασης σε πινακική μορφή γράφονται p Q = 0, και η εξίσωση κανονικοποίησης είναι p n = 1. Από τις 4 εξισώσεις στάσιμης κατάστασης οι 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αν παραλείψουμε την 4η, το σύστημα γίνεται : 3p 1 + 3p + p 3 + p 4 = 0 p 1 6p + 3p 3 + p 4 = 0 p 1 6p 3 + 3p 4 = 0 p 1 + p + p 3 + p 4 = 1 (β) Λύνοντας το παραπάνω γραμμικό σύστημα προκύπτει το διάνυσμα της οριακής κατανομής p = (0.4, 0.69, 0.150, 0.159). ΑΣΚΗΣΗ 6. Σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης με ένα υπηρέτη και πειθαρχία F CF S παρατηρήθηκαν οι παρακάτω τιμές για τους ενδιάμεσους χρόνους μεταξύ αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρέτησης των πρώτων 0 πελατών, όπως φαίνονται στον Πίνακα 1. Τη στιγμή t = 0 το σύστημα είναι άδειο ενώ ο χρόνος άφιξης του πρώτου πελάτη είναι t 1 = 0. Εστω ότι δεν υπάρχουν άλλες αφίξεις μετά την 0ή. Πελάτης (C i ) Ενδιάμεσος χρόνος (T i ) Χρόνος εξυπηρέτησης (X i ) 1 1 3 9 7 3 4 9 4 6 9 5 7 10 6 9 4 7 5 8 8 8 5 9 4 5 10 10 3 11 6 6 1 1 3 13 6 5 14 8 4 15 9 9 16 5 9 17 7 8 18 8 6 19 8 8 0 7 3 Πίνακας 1: Στοιχεία αφίξεων εξυπηρετήσεων (α) Σχεδιάστε το διάγραμμα μεταβολής του μήκους ουράς Q(t) συναρτήσει του χρόνου t. (β) Υπολογίστε το μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα ανά πελάτη και το μέσο μήκος ουράς ανά μονάδα χρόνου.

(γ) Υπολογίστε το μέσο χρόνο σε κατάσταση αναμονής ανά πελάτη για όλους τους πελάτες, όπως επίσης και το μέσο χρόνο σε κατάσταση αναμονής ανά πελάτη μόνο για τους πελάτες που δεν εξυπηρετήθηκαν αμέσως. (δ) Υπολογίστε το μέσο αριθμό πελατών σε κατάσταση αναμονής ανά μονάδα χρόνου, και τα ποσοστά χρόνου που ο υπηρέτης εργάζεται ή είναι σε αδράνεια. (α) Πριν σχεδιάσουμε το διάγραμμα είναι χρήσιμο να συμπληρώσουμε στον πίνακα που δόθηκε για κάθε πελάτη C i το χρόνο άφιξης t i το χρόνο έναρξης της εξυπηρέτησης σ i και το χρόνο αναχώρησης τ i. Οι χρόνοι αυτοί δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: t i+1 = t i + T i, σ i = max(τ i 1, t i ), τ i = σ i + X i, 1 για i, ενώ οι αρχικές τιμές είναι t 1 = 0, σ 1 = t 1 = 0, τ 1 = X 1. Η εξίσωση για το σ i προκύπτει από το γεγονός ότι για να ξεκινήσει η εξυπηρέτηση του πελάτη C i θα πρέπει να έχει τελειώσει η εξυπηρέτηση του προηγούμενου πελάτη C i 1 και να έχει γίνει και η άφιξη του C i. Αφού βρεθούν οι χρόνοι t i, σ i, τ i, i = 1,..., 0, μπορούν άμεσα να υπολογιστούν οι χρόνοι παραμονής στην ουρά και στο σύστημα: W i = σ i t i S i τ i t i = W i + X i Οι παραπάνω υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα. Πελάτης (C i ) T i X i t i σ i τ i W i S i 1 1 3 0 0 3 0 3 9 7 1 3 10 9 3 4 9 10 10 19 0 9 4 6 9 14 19 8 5 14 5 7 10 0 8 38 8 18 6 9 4 7 38 4 11 15 7 5 8 36 4 50 6 14 8 8 5 41 50 55 9 14 9 4 5 49 55 60 6 11 10 10 3 53 60 63 7 10 11 6 6 63 63 69 0 6 1 1 3 69 69 7 0 3 13 6 5 81 81 86 0 5 14 8 4 87 87 91 0 4 15 9 9 95 95 104 0 9 16 5 9 104 104 113 0 9 17 7 8 109 113 11 4 1 18 8 6 116 11 17 5 11 19 8 8 134 17 135 3 11 0 7 3 13 135 138 3 6 Πίνακας : Χρόνοι άφιξης, έναρξης εξυπηρέτησης, αναχώρησης και καθυστερήσεων Το αρχικό μέρος του διαγράμματος φαίνεται στο Σχήμα 3. Σε κάθε πελάτη αντιστοιχεί ένα ορθογώνιο με μήκος ίσο με το χρόνο σε αναμονή W i (κόκκινο χρώμα) και ένα με μήκος ίσο με το χρόνο εξυπηρέτησης X i (πράσινο χρώμα). Το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με 1.

Σχήμα 3: Άσκηση 6: Διάγραμμα μήκους ουράς (β) Από τον Πίνακα προκύπτει ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα για τους 0 πελάτες S 0 = S 1 + + S 0 0 = 9.65 Για το μέσο μήκος ουράς ανά μονάδα χρόνου θεωρούμε το χρονικό διάστημα [0,138] από την άφιξη του πρώτου μέχρι την αναχώρηση του 0ού πελάτη. Το μέσο μήκος ουράς στο διάστημα αυτό είναι ίσο με 138 0 Q(t)dt Q 138 = 138 Το ολοκλήρωμα στον αριθμητή είναι ίσο με το εμβαδό της χρωματισμένης περιοχής (και των δύο χρωμάτων). Αυτό μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους ορθογωνίων κάθε πελάτη, δηλαδή: Επομένως 138 0 Q(t)dt = S 1 + S + + S 0 = 0 S 0. Q 138 = 0 S 0 = 1.4 138 (γ) Ο μέσος χρόνος σε αναμονή για τους 0 πελάτες είναι ίσος με W 0 = W 1 + + W 0 0 = 3.45 Οι πελάτες που δεν εξυπηρετήθηκαν αμέσως είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει W i > 0. Επομένως ο αριθμός τους είναι ίσος με 0 i=1 1(W i > 0) = 1 και ο μέσος χρόνος αναμονής αυτών των πελατών είναι ίσος με W W > 0 = 0 i=1 W i1(w i > 0) 0 i=1 1(W = 5.75 i > 0) (δ) Αντίστοιχα με τον υπολογισμό του μέσου μήκους ουράς, ο μέσος αριθμός πελατών σε αναμονή είναι ίσος με (Q q ) 138 = W 1 + + W 0 138 = 0 W 0 138 = 0.5

Το ποσοστό χρόνου που ο υπηρέτης εργάστηκε στο διάστημα [0,138] είναι ίσο με X 1 + + X 0 138 = 0.899 και επομένως το ποσοστό του χρόνου σε αδράνεια ίσο με 0.101. ΑΣΚΗΣΗ 7. Σε ένα κουρείο εργάζονται δύο κουρείς Α, Β, σε δύο διπλανές καρέκλες κουρέματος. Στο κουρείο υπάρχουν άλλα δύο καθίσματα για να περιμένουν πελάτες, ενώ όσοι πελάτες έρχοντι και δε βρίσκουν κενό κάθισμα φεύγουν. Οι ιδιοκτήτες έχουν συλλέξει στατιστικά στοιχεία σύμφωνα με τα οποία στο κατάστημα βρίσκονται 0, 1,, 3 ή 4 πελάτες σε αντίστοιχα ποσοστά χρόνου p 0 = 1 16, p 1 = 4 16, p = 6 16, p 3 = 4 16, p 4 = 1 16. Επίσης έχουν παρατηρήσει ότι στο κουρείο έρχονται και μένουν για κούρεμα κατά μέσο όρο 4 πελάτες την ώρα. (α) Υπολογίστε το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα Q, το μέσο αριθμό σε αναμονή Q q και το μέσο αριθμό πελατών σε εξυπηρέτηση Q s, σε στάσιμη κατάσταση. Δώστε δύο εναλλακτικές ερμηνείες για κάθε μια από αυτές τις ποσότητες. (β) Υπολογίστε το μέσο χρόνο παραμονής στο κουρείο και το μέσο χρόνο σε αναμονή ανά πελάτη σε στάσιμη κατάσταση. (γ) Πόσο διαρκεί κατά μέσο όρο ένα κούρεμα; (Υποθέστε ότι και οι δύο κουρείς εργάζονται με την ίδια ταχύτητα.) Το σύστημα που περιγράφεται αντιστοιχεί σε υπόδειγμα G/G//4. Δίνονται η οριακή κατανομή p του αριθμού πελατών στο σύστημα και ο μέσος ρυθμός εισόδου λ (αριθμός πελατών που παραμένουν ανά μονάδα χρόνου). Εστω λ ο συνολικός ρυθμός άφιξης των πελατών. Τότε λ = λ(1 p 4 ). (α) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή της οριακής κατανομής: Q = E(Q) = np n = p 1 + p + 3p 3 + 4p 4 =. n Επομένως αν το σύστημα παρατηρηθεί μια τυχαία χρονική στιγμή μετά από πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα αφού ξεκινήσει η λειτουργία του, ο αναμενόμενος αριθμός πελατών που θα βρεθούν είναι. Εναλλακτικά, από την εργοδική ερμηνεία της οριακής κατανομής προκύπτει ότι ο μέσος αριθμός ατόμων στο σύστημα ανά μονάδα χρόνου σε άπειρο ορίζοντα είναι. Ο αριθμός πελατών στο χώρο αναμονής Q q (t) προκύπτει από τη σχέση Q q (t) = max(q(t), 0). Επομένως Q q = E(Q q ) = n max(n, 0)p n = p 3 + p 4 = 3 8. Ο αριθμός πελατών σε εξυπηρέτηση είναι ίσος με Q s (t) = Q(t) Q q (t). Επομένως Q s = E(Q s ) = 3 8 = 13 8. (β) Εφαρμόζοντας το νόμο του Little στο συνολικό σύστημα και στο χώρο αναμονής προκύπτει αντίστοιχα: E(Q) = λe(s) E(S) = E(Q) = 1 λ και E(Q q ) = λe(s q ) E(S q ) = E(Q q) λ = 3 3.

(γ) Εφαρμόζοντας το νόμο του Little στο χώρο εξυπηρέτησης προκύπτει: E(Q s ) = λe(x) E(X) = E(Q s) λ = 13 3 ΑΣΚΗΣΗ 8. Υπολογίστε το μέσο οριακό μήκος ουράς για την ουρά GI/G/ με μέσο ενδιάμεσο χρόνο αφίξεων a και μέσο χρόνο εξυπηρέτησης b. Στην ουρά GI/G/ κάθε πελάτης αρχίζει την εξυπηρέτηση τη στιγμή που φτάνει στο σύστημα, επομένως ο συνολικός χρόνος παραμονής ισούται με το χρόνο εξυπηρέτησης b. Ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι ίσος με λ = 1/a. Εφαρμόζοντας το νόμο του Little στο συνολικό σύστημα βρίσκουμε E(Q) = λe(s) = b a = ρ. ΑΣΚΗΣΗ 9. Θεωρήστε μια ουρά M/M/k με μέσο ρυθμό αφίξεων 10 πελάτες την ώρα και μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 85 λεπτά. (α) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός υπηρετών που απαιτείται έτσι ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές; (α) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός υπηρετών που απαιτείται έτσι ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές, αν η εργατική νομοθεσία επιβάλλει κάθε υπηρέτης να είναι απασχολημένος το πολύ το 80% του χρόνου του; Ο ρυθμός αφίξεων είναι λ = 10, ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης 1 17 µ = 85/60 = 1, επομένως ο ρυθμός εξυπηρέτησης µ = 1 17. Επομένως ρ = λ µ = 85 6. Η συνθήκη ευστάθειας είναι ρ < k, επομένως k > 85 6, επομένως k 15. (β) Αν κάθε υπηρέτης εργάζεται το 80% του χρόνου του, ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι ίσος με µ 1 = 0.8µ, επομένως ρ 1 = 10 8 ρ = 45 4. Από τη συνθήκη ευστάθειας τώρα παίρνουμε k 18. ΑΣΚΗΣΗ 10. Θεωρήστε την ουρά M/M// με μέσο ρυθμό αφίξεων λ και μέσο χρόνο εξυπηρέτησης b = 1/µ. (α) Σχεδιάστε το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης για τη Μαρκοβιανή διαδικασία του μήκους ουράς, και υπολογίστε την οριακή κατανομή p = (p 0, p 1, p ). (β) Υπολογίστε το μέσο οριακό αριθμό πελατών στο σύστημα E(Q). (γ) Επαληθεύστε το θεώρημα του Little για το E(Q). (α) Το διάγραμμα ρυθμών μετάβασης φαίνεται στο Σχήμα 4. Οι εξισώσεις οριακής κατανομής είναι λp 0 = µp 1 ισοδύναμα λp 1 = µp p 0 + p 1 + p = 1 p 1 = ρp 0 p = ρ p 0 p 0 + p 1 + p = 1

Σχήμα 4: Άσκηση 10 Από τη λύση προκύπτει η οριακή κατανομή p 0 = 1 1 + ρ + ρ, p 1 = ρ 1 + ρ + ρ, p = (β) Ο μέσος οριακός αριθμός πελατών στο σύστημα είναι ίσος με ρ. 1 + ρ + ρ E(Q) = n (γ) Ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι ίσος με np n = p 1 + p = ρ + ρ 1 + ρ + ρ. λ = λ(p 0 + p 1 ) = λ 1 + ρ 1 + ρ + ρ Επειδή δεν υπάρχει χώρος αναμονής, ο συνολικός χρόνος παραμονής ισούται με το χρόνο εξυπηρέτησης E(S) = E(X) = 1/µ. Επομένως από το νόμο του Little προκύπτει E(Q) = λe(s) = ρ 1 + ρ 1 + ρ + ρ που ταυτίζεται με την έκφραση που υπολογίστηκε στο ερώτημα (β)...