Μαθηματική προσομοίωση φυσικών φαινομένων

Κεφάλαιο 1 Μαθηματική προσομοίωση φυσικών φαινομένων Σ αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε μαθηματικές έννοιες και μαθηματικά μοντέλα που χρησιμεύουν για την περιγραφή φυσικών φαινομένων. Ένα παράδειγμα είναι η μηχανική παραμορφώσιμου σώματος και συγκεκριμένα η ελαστικότητα που περιγράφεται μέσω του γραμμικού καταστατικού νόμου υλικού, των εξισώσεων ισορροπίας μεταξύ δυνάμεων και τάσεων, του συμβιβαστού των παραμορφώσεων και μετακινήσεων και τελικά τις συνοριακές συνθήκες που ολοκληρώνουν την περιγραφή του προβλήματος συνοριακών τιμών. Το κεφάλαιο αρχίζει με επανάληψη βασικών εννοιών, όπως οι ορισμοί και οι ιδιότητες των πινάκων (ορισμός πίνακα ή μητρώου, πράξεων πινάκων, αντίστροφοι πίνακες κ.τ.λ.) και των διανυσμάτων. Παρουσιάζονται αναλυτικές (ευθείες) και επαναληπτικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων (κανόνας Cramer, αντίστροφη μέθοδος, μέθοδος απαλοιφής Gauss). Ορίζονται επίσης οι τανυστές (ορισμός των τάσεων και των παραμορφώσεων) και δίδονται οι εξισώσεις της Θεωρίας Ελαστικότητας, ως παράδειγμα από τη θεωρία του συνεχούς μέσου (διαφορικές σχέσεις ισορροπίας, συνοριακές συνθήκες ([5], [3] και [4]) Παρουσιάζεται επίσης η γραφή των μερικών διαφορικών εξισώσεων / συστημάτων μ.δ.ε. για μονοδιάστατα προβλήματα (βαθμωτά και διανυσματικά πεδία, ράβδος, δοκός, δίσκος). Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα ακόλουθα συγγράμματα (για εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας, [1] και [2] για τη θεωρία παραμορφώσιμου σώματος [6]). 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 1.1 Άλγεβρα Πινάκων Πρώτα Θα ξεκινήσουμε με τον ορισμό των διανυσμάτων και πινάκων (οι οποίοι σε ορισμένες πηγές ονομάζονται και μητρώα). Το διάνυσμα είναι ευθύγραμμο τμήμα με μήκος και κατεύθυνση, όπως απεικονίζεται σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο Σχήμα 1.1. To Σχήμα 1.1 δείχνει τη θέση μιας a z z e z e y a P a 3 x 3 a P a y y e 3 e 2 a 2 x 2 e x ax x e 1 a 1 x 1 Σχήμα 1.1: Διάνυσμα σε καρτεσιανό, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. δύναμης τοποθετημένης σε ένα σημείο P ή δύναμη. Τα διανύσματα e x, e y και e z η e 1, e 2 και e 3 είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης, e x = (1, 0, 0) T, e y = (0, 1, 0), e z = (0, 0, 1) T με e x = e y = e x = 1 (το ίδιο για τις e 1, e 2 και e 3 ), υποδηλώνει το μήκος. Για το διάνυσμα a έχουμε a = a x e x + a y e y + a z e z η a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, όπου a x, a y, και a z η a 1, a 2, και a 3 είναι συντεταγμένες τους. Οι συντεταγμένες a 1, a 2 και a 3 (το ίδιο για τις a x, a y και a z ) μπορούν να γραφούν ως a = a 1 a 2 a 3 = (a 1, a 2, a 3 ) T με την ευκλείδεια νόρμα a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3.

1.1. ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Γενικά, το διάνυσμα a περιγράφεται για δεδομένο σύστημα αναφοράς από το διατεταγμένο σύνολο αριθμών a 1 a = a 2... = (a 1, a 2,..., a n ) T, a n όπου n είναι η διάσταση του διανύσματος. Ο πίνακας A (m x n) είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών σε m γραμμές και n στήλες, A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n......... a m1 a m2... a mn. (1.1) Στο πίνακα (1.1) tο a ij είναι το στοιχείο του πίνακα Α στην γραμμμή i και στη στήλη j. Το διάνυσμα είναι ένας πίνακας στήλη (η γραμμή). Ειδικές περιπτώσεις: Αν ο αριθμός των γραμμών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών, δηλαδή m = n, έχουμε ένα τετραγωνικό πίνακα. Όταν m = 1, έχουμε ένα πίνακα γραμμή και για n = 1 έναν πίνακα στήλη, αντίστοιχα. Ο συμμετρικός πίνακας είναι τετραγωνικός πίνακας που τα στοιχεία κάτω και πάνω από την κύρια διαγώνια είναι τα ίδια, a ij = a ji. Ο διαγώνιος πίνακας είναι ο πίνακας που έχει μηδενικά στοιχεία εκτός από τα διαγώνια. Ο διαγώνιος πίνακας με μονάδες σε όλα του τα στοιχεία είναι ο μοναδιαίος πίνακας που συμβολίζεται με το σύμβολο I, 1 0 0... 0 0 I = 0 1 0... 0 0.......... 0 0 0... 0 1 Όθεν AI = IA = A.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ιδιότητες: Πολλαπλασιασμός ενός πίνακα C με έναν αριθμό (βαθμωτό μέγεθος) k θα είναι ένας πίνακας A = kc για τον οποίο τα στοιχεία υπολογίζονται ως: Ομοίως για διανύσματα, a i = kc i. a ij = kc ij. Η προσθήκη/αφαίρεση των μητρών είναι προσθήκη/αφαίρεση των αντίστοιχων στοιχείων τους. Δηλαδή, C = A ± B σημαίνειι c ij = a ij ± b ij. Οι πίνακες θα πρέπει να είναι της ίδιας τάξεως (m x n). Ομοίως για διανύσματα. Βαθμωτό/εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι c = a b = n a i b i, i=1 όπου n είναι ορισμός των στοιχείων. Εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο, παράδειγμα για το διάνυσμα με τρία στοιχεία (n = 3) είναι e 1 e 2 e 3 a 2 b 3 a 3 b 2 c = a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 c i = 3 ε ijk a j b k j,k=1 με το σύμβολο της μετάθεσης 1 i, j, k ζυγή μετάθεση (π.χ. 231) 1 i, j, k μονή μετάθεση (π.χ. 321) ε ijk = 0 i, j, k δεν έχουμε μετάθεση, δηλαδή δύο ή περισσότεροι δείκτες έχουν την ίδια αξία. (1.2)

1.1. ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 5 Μερικοί κανόνες για το εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο είναι οι ακόλουθοι a b = (b a) (c a) b = a (c b) = c(a b) (a + b) c = a c + b c a (b c) = (a c) b (a b) c. Το εσωτερικό γινόμενο δεν έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα. Γινόμενο δυο πινάκων A και B είναι ένας πίνακας C με στοιχεία που υπολογίζονται ως n c ij = a ie b ej. Αν ο πίνακας A είναι (m x n) τότε ο Β πρέπει να έχει n γραμμές. e=1 Παρατηρήσεις σχετικά με τους ειδικούς πίνακες: Το σύμβολο ανταλλαγής (μετάθεσης, βλ. (1.2)) ε ijk = 1 (i j)(j k)(k i) 2 το δέλτα του Kronecker δ ij = { 1 αν i = j 0 αν i j έτσι ( λ 0 0 ) λδ ij 0 λ 0 0 0 λ για i, j = 1, 2, 3 δ ij a i = a j, δ ij D jk = D ik. Γινόμενο δυο μοναδιαίων πινάκων e i e j = δ ij (ορθογώνια βάση) Διάσπαση πινάκων A ij = 1 2 (A 1 ij + A ji ) + }{{} 2 (A ij A ji ) }{{} συμμετρική Αντι-συμμετρική/συμμετρική

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ορισμοί: Ο ανάστροφος πίνακας A T είναι ο πίνακας που [a ij ] = [a ji ] T. Δηλαδή όταν έχουμε αντικατάσταση σειρών και στηλών. Εάν A είναι (m x n) τότε A T, είναι (n x m). Ο συμμετρικός πίνακας είναι ίσος με τον ανάστροφο του, A=A T. Ο αντίστροφος πίνακας A 1 ορίζεται ως εξής: AA 1 = A 1 A = I. Η τεχνική για την εύρεση του A 1 δίδεται στο επόμενο σημείο. Η ορίζουσα είναι η τιμή (μέτρο) ενός τετραγωνικού πίνακα και μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του μητρώου μέσω ενός τύπου. Η ορίζουσα συμβολίζεται ως A. Παράδειγμα για τον (2 2) πίνακα η ορίζουσα ορίζεται ως a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 και για τον (3 3) πίνακα η ορίζουσα ορίζεται ως a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a = a 22 a 23 11 a 31 a 32 a 33 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 31 a 22 a 11 a 32 a 23 a 12 a 21 a 33 Ο ίδιος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί για τον πίνακα (n x n) ([1], [2] κλπ). Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα A 1 θα πρέπει να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα A και τους παράγοντες του A. Οι παράγοντες του a ij δίνονται C ij = ( 1) i+j d, όπου ο πίνακας d είναι η ελάσσων ορίζουσα που προκύπτει από τον πίνακα a ij διαγράφοντας τη i γραμμή και j στήλη. Τότε τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα Â = A 1 ορίζονται ως â ij = C ji A,

1.2. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 όπου â ij είναι τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα ˆΑ. Διαφόριση ενός πίνακα-συνάρτηση A της μεταβλητής x είναι [ ] d dx [A] = daij dx που λέγεται εφαπτομενικός πίνακας. Ολοκλήρωση ενός πίνακα-συνάρτηση A της μεταβλητής x είναι [ ] [A]dx = a ij dx. 1.2 Το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων Σε αυτό το τμήμα θα παραθέσουμε βασικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Λεπτομέρειες μπορούν να βρεθούν σε συγγράμματα γραμμικής άλγεβρας και αριθμητικών μαθηματικών ([1], [2] κ.τ.λ.). Υποθέτουμε ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα Ax = b, (1.3) όπου A είναι γνωστής πίνακας, b είναι γνωστό διάνυσμα και x είναι η άγνωστη. Με τη μορφή δεικτών (1.3) γράφεται ως: n a ij x j = b i. j=1 Ο Κανόνας του Cramer. Ο πίνακας [C (i) ] ορίζεται από τον πίνακα A με αντικατάσταση της στήλης i με τη σταθερά b. Τότε η λύση των (1.3) είναι x i = C(i) A. Παράδειγμα 1.2.1. θεωρούμε το ακόλουθο σύστημα x 1 + 3x 2 2x 3 = 2, 2x 1 4x 2 + 2x 3 = 1, 4x 2 + x 3 = 3.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Σε μορφή πίνακα έχουμε 1 3 2 2 4 2 0 4 1 Η λύση είναι: Αντιστροφή Μέθοδος. (1.3) έχουμε Όθεν δηλαδή x 1 = C(1) A x 2 = C(2) A x 3 = C(3) A x 1 x 2 x 3 2 = 1. (1.4) 3 2 3 2 1 4 2 3 4 1 = = 41 1 3 2 10 = 4.1, 2 4 2 0 4 1 1 2 2 2 1 2 0 3 1 = = 1.1, 1 3 2 2 4 2 0 4 1 1 3 2 2 4 1 0 4 3 = = 1.4. 1 3 2 2 4 2 0 4 1 Με χρήση των αντιστρόφων μητρώων για το σύστημα A 1 Ax = A 1 b. Ix = A 1 b x = A 1 b. Για το παράδειγμα (1.4) έχουμε x 1 1.2 1.1 0.2 2 4.1 x 2 = 0.2 0.1 0.2 1 = 1.1 0.8 0.4 0.2 3 1.4 x 3

1.2. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 Η απαλοιφή Gauss. τη γενική μορφή: Ένα σύστημα n εξισώσεων με n άγνωστους γράφεται με a 11 a 12... a 1n x 1 b 1 a 21 a 22... a 2n x 2 b 2 =........ a n1 a n2... a nn x n b n Βήματα Απαλοιφής Gauss: Απαλείφουμε τον συντελεστή του x 1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός της αρχικής. Επιλέγουμε τον a 11 ως το οδηγό στοιχείο. Εκτελούμε τα ακόλουθα βήματα. Προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με την τιμή a 21 /a 11 στη δεύτερη γραμμή. Προσθέτουμε τα a 31 /a 11 της πρώτης γραμμής στην τρίτη γραμμή. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία έως τη n-ιοστή σειρά a 11 a 12... a 1n x 1 b 1 0 a 22... a 2n x 2 b 2 =........ 0 a n2... a nn x n b n Απαλείφουμε τον συντελεστή του x 2 σε όλες τις εξισώσεις εκτός της αρχικής. Επιλέγουμε τον a 22 ως το οδηγό στοιχείο. Προσθέτουμε το a 32 /a 22 της πρώτης γραμμής στη δεύτερη γραμμή. Προσθέτουμε τα a 42 /a 22 της πρώτης γραμμής στη τρίτη γραμμή. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία έως τη n-ιοστή σειρά. a 11 a 12 a 13... a 1n x 1 b 1 0 a 22 a 23... a 2n x 2 b 0 0 a 33... a 2 3n x 3 = b 3........ 0 0 a n3... a nn x n b n

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τις υπόλοιπες γραμμές ώσπου να προκύψει ένα τριγωνικό σύστημα εξισώσεων. a 11 a 12 a 13 a 14... a 1n x 1 b 1 0 a 22 a 23 a 24... a 2n x 2 b 0 0 a 33 a 34... a 3n x 3 2 b 0 0 0 a 44... a 3 4n x = 4 b. 4......... 0 0 0 0... a n 1 nn x n Η λύση με αντικατάσταση είναι x n = bn 1 n a n 1 nn, x i = 1 a i 1 ii ( b i 1 i n r=i+1 Παράδειγμα 1.2.2. Θεωρούμε το σύστημα 2 2 1 x 1 9 2 1 0 x 2 = 4. 1 1 1 6 Βήμα 1: Βήμα 2: x 3 2 2 1 0 1 1 0 0 0.5 2 2 1 0 1 1 0 0 0.5 Η λύση με αντικατάσταση θα είναι x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 9 = 5. 1.5 9 = 5. 1.5 x 3 = 3, x 2 = 2, x 1 = 1. b n 1 n a i 1 ir x r ). 1.3 Ορισμοί και συμβολισμοί Σε αυτό το τμήμα δίνουμε βολικούς συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στη μηχανική για διανύσματα και πίνακες. Αν χρησιμοποιήσουμε το σύστημα συντεταγμένων με βάση τα μοναδιαία διανύσματα (e 1, e 2, e 3 ), τα στοιχεία για

1.4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 11 ένα διάνυσμα a θα είναι a i και για έναν πίνακα A θα είναι A ij με i = 1, 2,..., m και j = 1, 2,...n. Όταν ένας δείκτης εμφανίζεται δύο φορές, κάνουμε τη σύμβαση ότι εννοείται πρόσθεση με την τιμή του δείκτη να παίρνει όλες τις τιμές που μπορεί (σύμβαση επαναλαμβανόμενου δείκτη του Einstein). Στο φυσικό χώρο το εύρος τιμών που δέχονται οι δείκτες είναι 1, 2, 3 και A ii = m A ii = A 11 + A 22 +... + A mm i=1 a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a m b m, A ij b j = A i1 b 1 + A i2 b 2 +... + A ik b k, που i είναι ελεύθερος δείκτης και j είναι ένας βοηθητικός δείκτης. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει σε ένα σύμβολο πρόσθεσης ή αφαίρεσης, δηλαδή αν a i + b i η a i b j. Επιπλέον, 3 a i = a 1 a 2 a 3, i=1 ή a i x j = a i,j, a i,i = a 1 x 1 + a 2 x 2 +... A ij x j = A i1 x 1 + A i2 x 2 +... = A ij,j. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται και κόμμα σύμβασης. 1.4 Μετασχηματισμός συντεταγμένων Δύο συστήματα συντεταγμένων, όπου το ένα έχει περιστραφεί σε σχέση με το άλλο, εμφανίζονται στο Σχήμα 1.2. Η αλλαγή συστήματος συντεταγμένων περιγράφεται από τις ακόλουθες γραμμικές σχέσεις x 1 = α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 = α 1j x j x 2 = α 2j x j x 3 = α 3j x j x i = α ij x j (1.5)

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 Σχήμα 1.2: Αρχικοί (x 1, x 2, x 3 ) και περιστραμμένοι (x 1, x 2, x 3) άξονες του μετασχηματισμένου συστήματος συντεταγμένων. x 1 με τους σταθερούς (σταθεροί μόνο για καρτεσιανό σύστημα αναφοράς) συντελεστές α ij = cos(x i, x j ) = x j }{{} x i κατεύθυνση συνημίτονο Στο συμβολισμό πινάκων για (1.5) έχουμε x = }{{} R x. πίνακας περιστροφής R ij = x i,j = cos(e i, e j ) = e i e j. Έτσι, οι τονούμενες συντεταγμένες μπορεί να εκφρασθούν ως συνάρτηση των μη τονούμενων. x i = x i(x i ) x = x (x). Εάν το J = R δεν μηδενίζεται, αυτός ο μετασχηματισμός διαθέτει ένα μοναδικό αντίστροφο x i = x i (x i) x = x(x ). Η ποσότητα J είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. 1.5 Τανυστές Ο τανυστής τάξης n είναι ένα σύνολο N n ποσοτήτων που μετατρέπονται από το ένα σύστημα x i στο άλλο x i με τη χρήση του

1.6. ΒΑΘΜΩΤΟ, ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 13 n τάξη κανόνα μετασχηματισμού 0 βαθμωτό a a(x i) = a(x i ) 1 διάνυσμα x i x i = α ij x j 2 τανυστής T ij T ij = α ik α jl T kl Ο τανυστής αντιπροσωπεύει μια ποσότητα με φυσική σημασία. Η ποσότητα αυτή υπάρχει ανεξάρτητα από το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε. Ο πίνακας (ή μητρώο) ποσοτικοποιεί τον τανυστή σε σχέση με ένα συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Οι τιμές αυτού του πίνακα εξαρτώνται από το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων και τροποποιούνται με συστηματικό τρόπο αν αλλάξει το σύστημα αναφοράς. Μπορεί να αποδειχθεί ότι έτσι A = RAR T. Περαιτέρω, ένα διάνυσμα μετασχηματίζεται από x i = α ij x j η x j = α ij x i η οποία είναι έγκυρη μόνο αν x j = α ij α il x l α ij α il = δ jl. Κάθε μετασχηματισμός που ικανοποιεί αυτήν την συνθήκη λέγεται ότι είναι ένας ορθογωνικός μετασχηματισμός. Οι τανυστές που ικανοποιούν ορθογώνιο μετασχηματισμό λέγονται καρτεσιανοί τανυστές. Οι τανυστές εκφράζουν φυσικές ποσότητες και ενώ οι τιμές που παίρνουν σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς διαφέρουν, οι ποσότητες που εκφράζουν έχουν ορισμένα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά μεγέθη. Ένα διάνυσμα, για παράδειγμα, μπορεί να έχει διαφορετικές συντεταγμένες σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς, έχει όμως πάντα ίδιο μήκος (αναλλοίωτη ποσότητα). Ομοίως οι τανυστές τάσης και παραμόρφωσης διαθέτουν αναλλοίωτα χαρακτηριστικά, όπως θα δούμε και παρακάτω. 1.6 Βαθμωτό, διανυσματικό και τανυστικό πεδίο Το τανυστικό πεδίο αναφέται με τον τανυστή T(x, t) για κάθε ζευγάρι (x, t), όπου x συμβολίζει το διάνυσμα θέσης και μεταβάλλεται σε μια συγκεκριμένη

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ περιοχή του χώρου και ο χρόνος t μεταβάλλεται μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το τανυστικό πεδίο λέγεται συνεχές (διαφορίσιμο), εάν οι συνιστώσες του T(x, t) είναι συνεχείς (διαφορίσιμες) συναρτήσεις των x και t. Αν ο τανυστής T δεν εξαρτάται από τον χρόνο, το τανυστικό πεδίο λέγεται ότι είναι σταθερό (steady), δηλαδή T = T(x). Για το βαθμωτό, διανυσματικό και τανυστικό πεδίο τα ακόλουθα σύμβολα χρησιμοποιούνται. 1. Βαθμωτό πεδίο: Φ = Φ(x i, t), Φ = Φ(x, t), 2. Διανυσματικό πεδίο: v i = v i (x i, t), v = v(x, t), 3. Τανυστικό πεδίο: T ij = T ij (x i, t), T = T(x, t). Ο διαφορικός τελεστής ονομάζεται del ή Nabla τελεστής (gradient) και ορίζεται από = e i. x i Ο διαφορικός τελεστής ονομάζεται ή Laplacian (αρμονική) τελεστής και ορίζεται από = =. x i x i Μερικοί διαφορικές τελεστές σε διανύσματα ή σε βαθμωτά πεδία είναι οι ακόλουθοι: grad Φ = Φ = Φ,i e i (αποτέλεσμα: διάνυσμα) div v = v = v i,i (αποτέλεσμα: βαθμωτό) curl v = v = ε ijk v k,j (αποτέλεσμα: διάνυσμα) Παρόμοιοι κανόνες υπάρχουν για τανυστές / διανύσματα. 1.7 Θεώρημα απόκλισης Για ένα χωρίο V με σύνορο το A, ο παρακάτω ολοκληρωτικός μετασχηματισμός ισχύει για τον τανυστή πρώτης τάξεως g divgdv = gdv = n gda, V V A g i,i dv = g i n i da V A

1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 15 και για τον τανυστή σ σ ji,j dv = σ ji n j da, divσdv = V σdv = A σnda. V V A Με n = n i e i συμβολίζεται το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο A. 1.8 Εξισώσεις ελαστικότητας Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιαστούν συνοπτικά οι εξισώσεις της θεωρίας ελαστικότητας για παραμορφώσιμο συνεχές σώμα ([3], [4], [5]). Η μηχανική καταπόνηση είναι η περισσότερο γνωστή περίπτωση φυσικού προβλήματος που περιγράφεται με μερικές διαφορικές εξισώσεις και ιστορικά χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα εφαρμογής αριθμητικών μεθόδων για την προσέγγιση της λύσεως, είτε με τη μορφή της μητρωϊκής στατικής είτε με τη μορφή των πεπερασμένων στοιχείων. Στη θεωρία του συνεχούς ελαστικού σώματος ζητείται το διανυσματικό πεδίο μετακινήσεων, το οποίο παράγει ένα πεδίο παραμορφώσεων, κάτω από τους περιορισμούς της θεωρίας του συνεχούς, έτσι ώστε οι τάσεις που δημιουργούνται από τις παραμορφώσεις μέσω του καταστατικού νόμου (νόμου μηχανικής απόκρισης του υλικού) να ευρίσκονται σε ισορροπία με τις εξωτερικά επιβαλλόμενες μαζικές δυνάμεις. Το πρόβλημα συνοριακών τιμών συμπληρώνεται από τις συνοριακές συνθήκες, στηρίξεις ή φορτίσεις σε καθορισμένα τμήματα του εξωτερικού συνόρου του χωρίου. 1.8.1 Τανυστής τάσης Σε κάθε στοιχειώδες κομμάτι του συνεχούς αναπτύσσονται τάσεις, οι οποίες περιγράφουν την εντατική κατάσταση στη συγκεκριμένη θέση. Οι τάσεις μετράνε τη δύναμη στη μονάδα της επιφάνειας και περιγράφουν τόσο αξονική (θλιπτική ή εφελκυστική), όσο και διατμητική καταπόνηση. Οι τάσεις εκφράζονται από τον τανυστή σ του οποίου η τιμή σε καθορισμένο ορθογώνιο σύστημα

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ σ 13 σ 33 σ 31 σ 32 σ 11 σ 12 σ21 t 3 σ 23 σ 22 t 1 t 2 Σχήμα 1.3: Οι συνιστώσες του τανυστή τάσεων και οι διανυσματικές δυνάμεις πάνω στις πλευρές του στοιχειώδους εξαπλεύρου. αναφοράς περιγράφεται από τον πίνακα με τα εννέα στοιχεία σ 11 σ 12 σ 13 σ xx σ xy σ xz σ x τ xy τ xz σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ yx σ yy σ yz τ yx σ y τ yz, (1.6) σ 31 σ 32 σ 33 σ zx σ zy σ zz τ zx τ zy σ z όπου σ 11, σ 22, και σ 33 είναι οι κάθετες τάσεις, και σ 12, σ 13, σ 21, σ 23, σ 31, και σ 32 είναι οι διατμητικές τάσεις. Ο πρώτος δείκτης i σε κάθε στοιχείο σ ij καθορίζει την πλευρά και ο δεύτερος δείκτης j την κατεύθυνση (κάθετα ή εφαπτομενικά) της τάσης (πρβλ. Σχήμα 1.3). Από τον τανυστή τάσης μπορεί να εξαχθεί το διάνυσμα της δύναμης που μεταφέρεται μέσω μιας δοσμένης επιφάνειας, ως t i = σ i1 e 1 + σ i2 e 2 + σ i3 e 3 σ ij e j. όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.3. Από τα παραπάνω είναι κατανοητό ότι οι τάσεις περιγράφουν την εμφάνιση σε μια επίπεδη τομή (επίπεδο) μιας κάθετης συνιστώσας (κάθετη τάση) και δύο εφαπτομενικών συνιστωσών (διατμητικές τάσεις). Ο πρώτος δείκτης i δείχνει ότι η τάση δρα στο κάθετο επίπεδο στον x i -άξονα, και ο δεύτερος δείκτης j δείχνει την κατεύθυνση της τάσης. Μια συνιστώσα της τάσης έχει θετικό πρόσημο εάν έχει τη φορά των θετικών αξόνων και εάν το επίπεδο πάνω στο οποίο επενεργεί έχει κάθετη ίδιας φοράς με τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων. Σε περίπτωση που υπάρχουν μόνο κάθετες τάσεις, τότε ο πίνακας (1.6)

1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 17 γίνεται διαγώνιος σ 11 0 0 σ = 0 σ 22 0 0 0 σ 33 Ο τανυστής τάσης για συνηθισμένα υλικά είναι συμμετρικός σ ij = σ ji. Μια συνηθισμένη απλοποίηση, ιδιαίτερα σε εγχειρίδια μηχανικών, χρησιμοποιεί τη συμμετρία του τανυστή τάσεων κατά Caushy για να εκφράσει τα στοιχεία του τανυστή στο διάνυσμα με έξι στοιχεία της μορφής (συμβολισμός κατά Voigt): σ = [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] T [ σ11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] T. Η γραφή αυτή χρησιμοποιείται ευρέως στη βιβλιογραφία συνεχούς σώματος και σε προγράμματα υπολογιστή. Θα πρέπει πάντως να σημειωθεί ότι ο τανυστής τάσης είναι τανυστής δεύτερης τάξης και υπακούει σε αυστηρούς κανόνες όταν αλλάξει το σύστημα των συντεταγμένων, ενώ η απλοποιημένη διανυσματική γραφή Voigt θέλει περισσότερη προσοχή όταν χρησιμοποιείται, διότι δεν διαθέτει την τανυστική ιδιότητα. 1.8.2 Τανυστής παραμόρφωσης Η επιβολή δύναμης σε παραμορφώσιμο σώμα προκαλεί τις μετακινήσεις καθενός σημείου του σώματος. Το σώμα παραμένει συνεχές μετά την παραμόρφωσή του (δεν σχίζεται, δεν υπάρχει επικάλυψη δύο διαφορετικών σημείων). Η παραμόρφωση είναι ένα τοπικό μέγεθος που μετράει τις σχετικές χωρικές μεταβολές του διανυσματικού πεδίου μετακινήσεων. Η παραμόρφωση σχετίζεται με την αλλαγή του σχήματος (μήκους και γωνιών σε ένα στοιχειώδες τετράπλευρο ή εξάπλευρο στον διδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο αντίστοιχα) και όχι με την απόλυτη μετακίνηση. Ο τανυστής παραμόρφωσης περιγράφει την κατάσταση παραμόρφωσης στη συγκεκριμένη θέση. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ο τανυστής περιγράφεται από ένα πίνακα με διαστάσεις 3 3, ε 1 1 ε 1 2 ε 1 3 ε = ε 2 1 ε 2 2 ε 2 3 ε 3 1 ε 3 2 ε 3 3 Ας θεωρήσουμε την απαραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ενός συνεχούς, π.χ. στη χρονική στιγμή t = 0 και t = t f, αντιστοίχως (Σχήμα 1.4).

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Με παραμόρ. Χωρίς παραμόρ. x 3 X 3 P (x) u p(x) x 2 X 2 x t = 0 X t = t f x 1 X 1 Σχήμα 1.4: Παραμόρφωση συνεχούς σώματος Για την περιγραφή της παραμόρφωσης χρησιμοποιούμε δύο συστήματα καρτεσιανών συντεταγμένων x και X, τα οποία καλούνται υλικό (αρχικό) σύστημα συντεταγμένων και χωρικό (τελικό) σύστημα συντεταγμένων και σχετίζονται με το απαραμόρφωτο και παραμορφωμένο σώμα, αντίστοιχα. Η θέση κάθε σημείου μπορεί να αποδοθεί με τις υλικές συντεταγμένες (περιγραφή Lagrange) P = P(x, t) ή τις χωρικές συντεταγμένες (περιγραφή Euler) p = p(x, t). Υλικές συντεταγμένες χρησιμοποιούνται συνήθως στη μηχανική του παραμορφώσιμου στερεού, ενώ στη ρευστομηχανική χρησιμοποιούνται οι χωρικές συντεταγμένες. Γενικά κάθε σημείο μπορεί να περιγραφεί με ή με τη σχέση X = X(x, t) x = x(x, t) ενώ η απεικόνιση από το ένα σύστημα στο άλλο περιγράφεται από την Ιακωβιανή J = X i x j = X i,j. Συνεπώς το διαφορικό της απόστασης ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο dx i = X i x j dx j,

1.8. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 19 όπου ( ) συμβολίζει μια καθορισμένη απόσταση. Από το σχήμα προκύπτει το διάνυσμα μετακίνησης u = X x u i = X i x i. Παρατήρηση: Η Lagrangian ή υλική διατύπωση περιγράφει τη μετακίνηση ενός σημείου, ενώ η Eulerian ή χωρική διατύπωση περιγράφει τη διέλευση ενός σημείου από μια καθορισμένη θέση στο χώρο. Ο τανυστής παραμόρφωσης κατά Green ορίζεται ως ε L jk = 1 2 [(u i,j + δ ij )(u i,k + δ ik ) δ jk ] = 1 2 [u i,ju i,k + u i,j δ ik + δ ij u i,k + δ jk δ jk ] = 1 2 [u k,j + u j,k + u i,j u i,k ] ενώ ο τανυστής παραμόρφωσης κατά Almansi όπου ή ε E jk = 1 2 [δ jk (δ ij u i,j )(δ ik u i,k )] = 1 2 [u k,j + u j,k u i,j u i,k ], u i x k = X i x k x i x k = X i,k δ ik X i,k = u i,k + δ ik u i X k = X i X k x i X k = δ ik x i,k x i,k = δ ik u i,k. Καθένας ορισμός του τανυστή παραμόρφωσης είναι κατάλληλος για διαφορετικές εφαρμογές. Με την υπόθεση μικρών μετακινήσεων και παραμορφώσεων ισχύει u i,j u k,l u i,j και οι δύο παραπάνω ορισμοί συμπίπτουν ε ij = ε L ij = ε E ij = 1 2 (u i,j + u j,i ),

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ όπου ε ij είναι ο γραμμικός ή σημειακός τανυστής παραμόρφωσης (βλέπε Σχήμα 5.5). Η παραδοχή είναι ισοδύναμη με την παραδοχή μικρών μετακινήσεων ε 2 ε, που οδηγεί στη σχέση 2ε(e) = 2e T E L e = 2e T E E e. Για μικρές μετακινήσεις και παραμορφώσεις δεν υπάρχει ανάγκη να γίνει διαχωρισμός μεταξύ του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιείται. Τα διαγώνια στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης είναι οι κύριες παραμορφώσεις και τα υπόλοιπα οι διατμητικές παραμορφώσεις. Οι διατμητικές παραμορφώσεις είναι ίσες με ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) = 1 2 γ ij, δηλαδή το μισό από τις συνηθισμένες διατμητικές παραμορφώσεις, σύμφωνα με τον ορισμό που είναι περισσότερο οικείος σε μηχανικούς γ ij. Παρόλα αυτά σε περίπτωση χρήσεως των τελευταίων ορισμών της διατμητικής παραμόρφωσης (ορισμός μηχανικών ), χάνεται η τανυστική ιδιότητα, που ισχύει μόνο για το ε 11 ε 12 ε 13 ε = ε 12 ε 22 ε 23. ε 13 ε 23 ε 33 Ο τανυστής παραμόρφωσης είναι εξ ορισμού συμμετρικός. 1.9 Γενικευμένος καταστατικός νόμος υλικού του Hook για συνεχή σώματα Η γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων σε ένα μονοδιάστατο συνεχές (μία ράβδο, ένα σχοινί) ονομάζεται νόμος του Hook. Η γενίκευσή της, δηλαδή η γραμμική σχέση μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων μέσα σε ένα συνεχές ελαστικό και παραμορφώσιμο σώμα, ονομάζεται γενικευμένος νόμος του Hooke. Ο νόμος Hooke για συνεχή μέσα έχει τη μορφή σ = Cε, όπου C είναι ένας τανυστής τέταρτης τάξης (με άλλα λόγια, μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ τανυστών δεύτερης τάξης) ο οποίος συνήθως καλείται τανυστής ακαμψίας ή ελαστικότητας. Μια άλλη γραφή είναι η ε = Sσ,

1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 21 όπου S είναι ένας τανυστής συμμόρφωσης. Λεπτομερέστερα, τα στοιχεία του νόμου του Hooke γράφονται ως σ ij = 3 k=1 l=1 3 C i j k l ε k l, όπου οι δείκτες i και j είναι ίσοι με 1, 2, ή 3. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας συμβολισμό με δείκτες έχουμε σ ij = C ijkl ε kl. Ο τανυστής ακαμψίας C (πίνακας) είναι ένας τανυστής τέταρτης τάξης που περιγράφει τη γραμμικά ελαστική μηχανική συμπεριφορά του υλικού. Είναι ιδιότητα του υλικού και συχνά εξαρτάται από τη θερμοκρασία, πίεση, μικροδομή και άλλες παραμέτρους. Στην πιο γενική περίπτωση ενός υλικού με διαφορετική μηχανική συμπεριφορά σε διαφορετικές διευθύνσεις, ο τανυστής C ijkl έχει 81 στοιχεία. Τα 81 στοιχεία μειώνονται σε 36 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές, αν ληφθεί υπόψη η συμμετρία των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης. Με τη χρήση του συμπυκνωμένου συμβολισμού και ο νόμος του Hooke γράφεται σ = (σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 ) T ε = (ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 2ε 23 2ε 31 ) T σ K = C KL ε L, K, L = 1, 2,..., 6, όπου K και L περιγράφουν τους διπλούς δείκτες: 1 ˆ= 11, 2 ˆ= 22, 3 ˆ= 33, 4 ˆ= 12, 5 ˆ= 23, 6 ˆ= 31. Από τον ορισμό της ενέργειας παραμόρφωσης προκύπτει η συμμετρία του τανυστή υλικού C ijkl = C klij or C KL = C LK και οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μόνο 21 ανεξάρτητες μεταβλητές υπάρχουν στη γενική περίπτωση C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 σ = C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 ε. συμ. C 55 C 56 C 66

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Το υλικό αυτό ονομάζεται ανισότροπο. Τα περισσότερα υλικά που χρησιμοποιούνται σε τεχνικές εφαρμογές έχουν ιδιότητες συμμετρίας γύρω από ένα ή περισσότερους άξονες. Εάν για παράδειγμα το επίπεδο x 2 x 3 είναι επίπεδο συμμετρίας, η φορά του άξονα x 1 μπορεί να αντιστραφεί (Σχήμα 1.5), x 3 x 3 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 (αʹ) Αρχικό σύστημα συντεταγμένων (βʹ) Ένα επίπεδο συμμετρίας (γʹ) Δύο επίπεδα συμμετρίας Σχήμα 1.5: Συστήματα συντεταγμένων για διάφορα επίπεδα συμμετρίας και οδηγεί στον μετασχηματισμό 1 0 0 x = 0 1 0 x. 0 0 1 Με τη χρήση των ιδιοτήτων μετασχηματισμού για τανυστές σ ij = α ik α jl σ kl και προκύπτει σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 = σ 23 σ 31 σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 ε ij = α ik α jl ε kl = C ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 2ε 23 2ε 31 ε 11 ε 22 = C ε 33 2ε 12. 2ε 23 2ε 31

1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 23 Η παραπάνω σχέση μπορεί να αναδιαταχθεί ως ακολούθως, C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 σ = C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 ε συμ. C 55 C 56 C 66 αλλά εφόσον οι σταθερές δεν μεταβάλλονται με τον μετασχηματισμό C 14, C 16,! C 24, C 26, C 34, C 36, C 45, C 56 = 0 αφήνει 21 8 = 13 ανεξάρτητες σταθερές. Το υλικό αυτό ονομάζεται μονοκλινές. Η περίπτωση τριών επιπέδων συμμετρίας οδηγεί σε ένα ορθότροπο που περιγράφεται με τις ακόλουθες σχέσεις C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 22 C 23 0 0 0 σ = C 33 0 0 0 C 44 0 0 ε συμ. C 55 0 C 66 και τη χρήση μόνο 9 ανεξάρτητων σταθερών. Παραπέρα απλοποίηση επιτυγχάνεται για την περίπτωση ενός υλικού που έχει τις ίδιες ιδιότητες σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, δηλαδή μπορεί να αλλάξει η θέση των αξόνων ή και να στραφούν. Το υλικό που προκύπτει, και περιγράφεται από δύο ανεξάρτητες σταθερές, είναι το γνωστό ισότροπο υλικό. Συνοψίζουμε με την παράθεση των πινάκων ελαστικών σταθερών για μερικές επιλεγμένες κατηγορίες υλικών. Ανισότροπα υλικά (γενικότερη περίπτωση): 21 σταθερές C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 συμ. C 55 C 56 C 66

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ορθότροπα υλικά: 9 σταθερές Ισότροπα υλικά: 2 σταθερές C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 22 C 23 0 0 0 C 33 0 0 0 C 44 0 0 συμ. C 55 0 C 66 C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 11 C 12 0 0 0 C 11 0 0 0 συμ. 1 2 11 C 12 ) 0 0 1 2 11 C 12 ) 0 1 2 11 C 12 ) 1.9.1 Ισότροπος ελαστικός καταστατικός νόμος Τα ισότροπα υλικά χαρακτηρίζονται από ιδιότητες που είναι ανεξάρτητες της κατεύθυνσης. Οι φυσικές εξισώσεις που περιγράφουν θα πρέπει συνεπώς να είναι ανεξάρτηττες του επιλεχθέντος συστήματος συντεταγμένων. Ο τανυστής παραμόρφωσης είναι συμμετρικός. Εφόσον το ίχνος κάθε τανυστή είναι ανεξάρτητο του συστήματος συντεταγμένων, η πληρέστερη διάσπαση ενός συμμετρικού τανυστή είναι η γραφή του ως άθροισμα ενός σταθερού τανυστή και ενός συμμετρικού τανυστή με μηδενικό ίχνος ([4]). Χρησιμοποιώντας τις δύο σταθερές του Lamé τις λ, µ στη σχέση τάσεωνπαραμορφώσεων γράφεται 2µ + λ λ λ 0 0 0 2µ + λ λ 0 0 0 σ = 2µ + λ 0 0 0 2µ 0 0 συμ. 2µ 0 2µ ε 11 ε 22 ε 33 ε 12 ε 23 ε 31 ή με χρήση δεικτών και των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης σ ij = 2µε ij + λδ ij ε kk (1.7)

1.9. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 25 ή και αντίστροφα ε ij = σ ij 2µ λδ ijσ kk 2µ(2µ + 3λ). Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί διαφορετικό ζευγάρι τιμών: το μέτρο διάτμησης (shear modulus) µ = G = E 2(1 + ν), (1.8) λ = νe (1 + ν)(1 2ν), (1.9) το μέτρο του Young E = µ(2µ + 3λ) µ + λ, ο λόγος διόγκωσης ή λόγος του Poisson ν = λ 2(µ + λ), το μέτρο bulk K = E 3(1 2ν) = 3λ + 2µ 3. Η χρήση της εξίσωσης (1.9) καθορίζει το επιτρεπτό εύρος τιμών 1 < ν < 0.5, εάν το λ παραμένει πεπερασμένο. Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει για ιστότροπα ελαστικά υλικά και διαφοροποιείται αναλόγως για ανισότροπα. Με χρήση των ορισμών (1.8), (1.9), ο νόμος του Hooke (1.7) για ισότροπα υλικά μπορεί να γραφεί ως σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 = σ 13 σ 12 1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 E ν ν 1 ν 0 0 0 (1 + ν)(1 2ν) 1 2ν 0 0 0 0 0 2 1 2ν 0 0 0 0 0 2 1 2ν 0 0 0 0 0 2 ε 11 ε 22 ε 33 2ε 23 2ε 13 2ε 12.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Σε αντίστροφη μορφή η σχέση είναι: ε 11 ε 11 1 ν ν 0 0 0 ε 22 ε 22 ε 33 2ε 23 = ε 33 γ 23 = 1 ν 1 ν 0 0 0 ν ν 1 0 0 0 E 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 2ε 13 γ 13 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 2ε 12 γ 12 0 0 0 0 0 2(1 + ν) Οι παραδοχές απλοποίησης του τρισδιάστατου προβλήματος σε διδιάστατο εισάγουν μικρές τροποποιήσεις στις σχέσεις της ελαστικότητας. Για συνθήκες επίπεδης έντασης σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0 ο νόμος του Hooke παίρνει τη μορφή και ο αντίστροφος τη μορφή ε 11 ε 22 = 1 E 2ε 12 1 ν 0 σ 11 σ 22 = E ν 1 0 1 ν σ 2 12 0 0 1 ν 2 ε 11 ε 22 2ε 12 1 ν 0 ν 1 0 0 0 2(1 + ν) σ 11 σ 22 σ 12 1.10 Οι εξισώσεις ισορροπίας των τάσεων Ας υποθέσουμε μικρό κομμάτι του υλικού, Dx, Dy, Dz, αποκομμένο από ένα γραμμικό ελαστικό σώμα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάθε θέση επιβάλλεται η κατανεμημένη δύναμη με συνιστώσες X b, στη x κατεύθυνση, Για μονοδιάστατο πρόβλημα ισχύει η απλοποίηση σ 22 = σ 12 = σ 21 = 0 and σ 33 = σ 13 = σ 23 = 0. Η σχέση ισορροπίας για τη μοναδική συνιστώσα του τανυστή τάσεως σ x = σ 11 γράφεται.. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 σ x x + X b = 0. (1.10) Πολλά προβλήματα αντιμετωπίζονται επιτυχώς ως τρισδιάστατα. Γενικώς ισχύουν οι ακόλουθες περιπτώσεις. 1. Η γεωμετρική μορφή είναι επίπεδος δίσκος με το επιβαλλόμενο φορτίο εντός του επιπέδου του δίσκου, ομοιόμορφα κατανεμημένο στο πάχος του δίσκου. Αυτό είναι το μοντέλο της επίπεδης έντασης (Σχ. 1.6).

1.10. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ 27 x 2 x 2 φόρτιση x 1 x 3 Σχήμα 1.6: Επίπεδη ένταση: γεωμετρική μορφή και φόρτιση 2. Η γεωμετρική μορφή είναι ένας πρισματικός κύλινδρος με τη μία διάσταση πολύ μεγαλύτερη των υπολοίπων. Τα φορτία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα κατά μήκος της μεγάλης διεύθυνσης. Θεωρούμε μια φέτα από τον πρισματικό κύλινδρο. Η περίπτωση αυτή είναι η επίπεδη παραμόρφωση (Σχ. 1.7). x 2 φόρτιση x 1 x 3 Σχήμα 1.7: Επίπεδη παραμόρφωση: γεωμετρική μορφή και φόρτιση Κάθε μια από τις παραπάνω υποθέσεις οδηγεί σε διαφορετικό διδιάστατο μοντέλο.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ 1.10.1 Επίπεδη ένταση Οι υποθέσεις οδηγούν σε μηδενισμό των συνιστωσών της τάσης κατά την κάθετη στο επίπεδο x 3 διεύθυνση σ 33 = σ 13 = σ 23! = 0 ενώ επιπλέον ισχύει σ = σ(x 1, x 2 ). Το σύστημα των δύο εξισώσεων ισορροπίας που προκύπτει έχει τη μορφή σ x x + τ xy y + X b = 0, τ xy x + σ y y + Y b = 0. 1.10.2 Εξισώσεις ισορροπίας τρισδιάστατου συνεχούς Σε τρεις διαστάσεις, υπό την επίδραση δύναμης Z b στην z κατεύθυνση οι εξισώσεις ισορροπίας γράφονται σ x x + τ xy y + τ xz z + X b = 0, τ xy x + σ y y + τ yz z + Y b = 0, τ xz x + τ yz y + σ z z + Z b = 0. Οι τάσεις εμφανίζονται σχηματικά στο Σχήμα 1.3, με χρήση του εναλλακτικού συμβολισμού x 1, x 2, x 3 στη θέση των x, y, z για τους τρεις άξονες του συστήματος αναφοράς. Υπενθυμίζονται εδώ οι σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων και μετακινήσεων ε x = u x, γ xy = u y + v x ε y = v y, γ xz = u z + w x ε z = w z, γ yz = w y + v z, όπου (x, y, z) είναι οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης X και (u, v, w) οι συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης u.

1.11. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΙΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 29 1.11 Εξισώσεις ισορροπίας για μονοδιάστατα προβλήματα Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται μονοδιάστατα προβλήματα εξισώσεων ισορροπίας, όπως αυτά που εμφανίζονται σε ράβδους, δοκούς. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η εξίσωση (1.10). 1.11.1 Ράβδος Θεωρούμε ράβδο που υπόκειται σε αξονική καταπόνηση T λόγω κατανεμημένης μαζικής φόρτισης F. Η ράβδος έχει μήκος L, διατομή A και μέτρο ελαστικότητας E. Από την Παράγραφο 1.10 προκύπτει ότι υπάρχει μόνο η συνιστώσα της τάσης στην κατεύθυνση του άξονα x δηλαδή σ xx σ 0 και ε xx ε 0. Οι εξισώσεις ισορροπίας της ράβδου γράφονται T x + F = 0. Με τη χρήση της σχέσης μεταξύ δύναμης και τάσης T = σa η τελευταία εξίσωση μετασχηματίζεται στην A σ + F = 0. (1.11) x Ο καταστατικός νόμος του υλικού (γραμμικός νόμος ελαστικότητας του Hook) δίδει τη σχέση σ = Eε, (1.12) και από την κινηματική προκύπτει η σχέση συμβιβαστού μετακινήσεων και παραμορφώσεων ε x = u x. (1.13) Με χρήση των σχέσεων (1.12), (1.13) από (1.11) προκύπτει AE 2 u x 2 + F = 0. Ένα απλό παράδειγμα ράβδου φαίνεται στο σχήμα 1.8 με συγκεντρωμένες δυνάμεις στο άκρο και χωρίς να ληφθούν υπόψη οι επιρροές από τα άκρα του στοιχείου: EA L [ 1 1 1 1 ] [ u1 u 2 ] = [ F1 F 2 ]

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ οι οποίες είναι οι γνωστές εξισώσεις ισορροπίας για πρισματική ράβδο. Σε μητρωική γραφή K e u = F e. Τα μητρώα και διανύσματα K F αλλάζουν μορφή για περισσότερο πολύπλοκα προβλήματα. L F 2 x dx F 1 Σχήμα 1.8: Ισορροπία του στοιχείου της ράβδου. 1.12 Συνοριακές συνθήκες Στα σύνορα του χωρίου μπορούμε να έχουμε δύο τύπων συνοριακές συνθήκες, συνοριακές συνθήκες τάσεων και συνοριακές συνθήκες μετακινήσεων. Γενικά μία από τις δύο ποσότητες μπορούν να ορισθούν σε κάθε σημείο: 1. Σε ένα ελεύθερο σύνορο οι τάσεις είναι δοσμένες (σ), και οι μετακινήσεις άγνωστες, πριν την επίλυση. 2. Σε ένα στηριγμένο σύνορο οι μετακινήσεις είναι δοσμένες (u), ενώ οι τάσεις και δυνάμεις στηρίξεως μένουν να υπολογισθούν.

Βιβλιογραφία [1] Strang G., Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρητης. Ηρακλείο, 2004. [2] Lay D. C., Linear Algebra and Its Applications. Addison Wesley, World Student Series, 2003. [3] Fridtjov I., Continuum Mechanics. Springer. ISBN 3-540-74297-2, 2008. [4] Symon K., Mechanics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7, 1971. [5] Lutz L., Lecture Notes on Solid Mechanics. Institute of Applied Mechanics, Braunschweig, 2005. [6] Βαρδουλάκης, Ι., Εισαγωγή στη μηχανική του συνεχούς μέσου. Συμμετρία, Αθήνα, 1999. 31