Ρ Ο Σ Ο Σ Τ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Ι ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ & ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΕΙΑΣ

Ρ Ο Σ Ο Σ Τ Ι Κ Ε Σ Μ Ε Θ Ο Δ Ο Ι ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ & ΕΡΙΧΕΙΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΕΙΑΣ

Τι κάνει η Στατιςτική

Στατιςτικι (Statistics) Μετατρζπει αρικμθτικά δεδομζνα ςε χριςιμθ πλθροφορία. Εξάγει ςυμπεράςματα για ζναν πλθκυςμό. Τισ περιςςότερεσ φορζσ, με τθν χριςθ και τθν επεξεργαςία ενόσ μοναδικοφ δείγματοσ. Ραρζχει μεκόδουσ για τθ ςυνοπτικι παρουςίαςθ των αρικμθτικϊν δεδομζνων. Βοθκά ςτθν εξαγωγι αξιόπιςτων ςυμπεραςμάτων. Οδθγεί ςε αςφαλείσ προβλζψεισ που αφοροφν τισ επιχειρθματικζσ δραςτθριότθτεσ. Συμβάλλει ςτθ λιψθ αποφάςεων για τθ βελτίωςθ των επιχειρθματικϊν διαδικαςιϊν. 3

Οι δφο κφριοι κλάδοι τθσ Στατιςτικισ Ρεριγραφικι (Descriptive) Το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφμε για τθν οργάνωςθ, τθν παρουςίαςθ και τθν ανάλυςθ ενόσ ςυνόλου δεδομζνων. Επαγωγικι (Inferential) Το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφμε, ϊςτε από τα δεδομζνα μιασ μικρισ ομάδασ να εξάγουμε ςυμπεράςματα για μια μεγαλφτερθ ομάδα. 4

Το βαςικό λεξιλόγιο τησ Στατιςτικήσ

Μεταβλθτι (Variable) Κάκε χαρακτθριςτικό ενόσ αντικειμζνου ι ενόσ ατόμου. Δεδομζνα (Data) Οι τιμζσ που καταγράφονται για μία μεταβλθτι. Οι μεταβλθτζσ είναι τα χαρακτθριςτικά των ατόμων ι των αντικειμζνων τα οποία ενδιαφερόμαςτε να μελετιςουμε. Διαφοροποιοφνται από άτομο ςε άτομο, από αντικείμενο ςε αντικείμενο, από περιοχι ςε περιοχι ι αλλάηουν με το πζραςμα του χρόνου. Οι τιμζσ που ςυλλζγουμε όταν παρατθροφμε τα αντικείμενα αποτελοφν τα δεδομζνα τθσ μεταβλθτισ ι, με άλλα λόγια, τα δεδομζνα που πρόκειται να αναλυκοφν. 6

Ρλθκυςμόσ (Population) Το ςφνολο όλων των οντοτιτων που επικυμοφμε να μελετιςουμε ωσ προσ ζνα ι περιςςότερα χαρακτθριςτικά του. Δείγμα (sample) Μζροσ του πλθκυςμοφ που επιλζγεται για τθν ανάλυςθ. Δείγμα Ρλθκυςμόσ ςτόχοσ 7

Ραράμετροσ πλθκυςμοφ (parameter) Μζτρο, που περιγράφει (ςυνοψίηει) κάποιο χαρακτθριςτικό του πλθκυςμοφ. Η αρικμθτικι του τιμι υπολογίηεται από το ςφνολο του πλθκυςμοφ και είναι μοναδικι. Στατιςτικό ι ςτατιςτικι δείγματοσ (statistic) Μζτρο, που περιγράφει (ςυνοψίηει) κάποιο χαρακτθριςτικό του δείγματοσ. Η αρικμθτικι του τιμι υπολογίηεται από το δείγμα. Διαφορετικά δείγματα αποδίδουν, κατά κανόνα, διαφορετικι τιμι ςε ζνα ςτατιςτικό. 8

Ραράμετροσ vs. Στατιςτικό Ρλθκυςμόσ Δείγμα 1 Στθν παλζτα υπάρχουν 100 χάρτινεσ καρδοφλεσ, 20 από τισ οποίεσ είναι καφζ. Επομζνωσ, ςτον πλθκυςμό, θ αναλογία για τισ καφζ καρδοφλεσ είναι 20 0,20 100 Η αναλογία π ςτον πλθκυςμό είναι μία παράμετροσ του πλθκυςμοφ. Στο δείγμα, θ αναλογία για τισ καφζ καρδοφλεσ είναι 2 p1 0,18 11 Η αναλογία p ςτο δείγμα, είναι ζνα ςτατιςτικό δείγματοσ. Η τιμι του ςτατιςτικοφ p1 = 0,18 που υπολογίηεται από το δείγμα, είναι μία εκτίμθςθ τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου π ςτον πλθκυςμό. 9

Ραράμετροσ Στατιςτικό Εκτίμθςθ Ασ υποκζςουμε ότι από τον προθγοφμενο πλθκυςμό (παλζτα) επιλζγουμε ζνα δεφτερο δείγμα. Ρλθκυςμόσ Δείγμα 2 Η τιμι τθσ αναλογίασ π ςτον πλθκυςμό, για τισ καφζ καρδοφλεσ, παραμζνει ίδια. Ραρατθροφμε όμωσ, ότι θ τιμι τθσ αναλογίασ p ςτο δείγμα είναι διαφορετικι. 3 p2 0,21 14 Η τιμι p2 = 0,21 είναι επίςθσ μία εκτίμθςθ τθσ παραμζτρου π. Η τιμι μιασ παραμζτρου είναι μοναδικι, αλλά ςυνικωσ άγνωςτθ. Η τιμι ενόσ ςτατιςτικοφ είναι διαφορετικι από δείγμα ςε δείγμα. Η τιμι ενόσ ςτατιςτικοφ είναι μια εκτίμηςη τθσ πραγματικισ, αλλά ςυνικωσ άγνωςτθσ τιμισ, τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Διαφορετικά δείγματα δίνουν διαφορετικζσ εκτιμιςεισ για τθν ίδια παράμετρο. Η ςτατιςτικι εγγυάται ότι, όποιο και αν είναι το δείγμα που κα επιλζξουμε, θ τιμι του ςτατιςτικοφ κα είναι θ βζλτιςτθ εκτίμθςθ τθσ παραμζτρου. 10

Είδη Μεταβλητών Κλίμακεσ Μζτρηςησ

Είδθ μεταβλθτϊν Ροςοτικζσ (Quantitative) ι Αρικμθτικζσ (Numerical) Αντιςτοιχοφν ςτα χαρακτθριςτικά που μποροφν να μετρθκοφν, με τθν κοινι ζννοια του όρου. Κατθγορικζσ (Categorical) ι Ροιοτικζσ (qualitative) Καταγράφουν κάποιο ποιοτικό (μθ μετριςιμο) χαρακτθριςτικό. Τιμι μεταβλθτισ Το αποτζλεςμα που προκφπτει από τθ μζτρθςθ ι τθν καταγραφι τθσ. 12

Ροςοτικζσ μεταβλθτζσ Διακριτζσ (discrete) Τιμζσ από αρικμιςιμο ςφνολο (πεπεραςμζνο ι άπειρο) Χ: Το πλήθοσ των μαθημάτων που μπορεί να δηλϊςει ζνασ φοιτητήσ. Τιμζσ από το ςφνολο {1, 2,.,8} Υ: Το πλικοσ των αυτοκινιτων που παιρνοφν από μία διαςτάυρωςθ ςε μία θμζρα. Τιμζσ από το ςφνολο {0, 1, 2,.} Συνεχείσ (continuous) Τιμζσ από ζνα διάςτθμα πραγματικϊν αρικμϊν. T: Η διάρκεια λειτουργίασ ενόσ ηλεκτρικοφ λαμπτήρα ( ςε h) Τιμζσ ςτο διάςτθμα (0, 10.000) Η τιμι που καταγράφουμε όταν μετροφμε μία ςυνεχι μεταβλθτι είναι, τισ περιςςότερεσ φορζσ, μία προςζγγιςθ τθσ πραγματικισ τιμισ θ οποία εξερτάται από τθν ακρίβεια του οργάνου μζτρθςθσ. 13

Ροιοτικζσ μεταβλθτζσ Ονομαςτικζσ (nominal) Οι τιμζσ τουσ είναι λζξεισ, δθλαδι «χαρακτθριςμοί» ι «ετικζτεσ», και μεταξφ τουσ δεν υπάρχει καμιά ςχζςθ ιεραρχίασ. W: Το χρϊμα των μαλλιϊν Τιμζσ από το ςφνολο {ξανθό, καςτανό, μαφρο} Διατακτικζσ (ordinal) Οι τιμζσ τουσ είναι και πάλι λζξεισ, αλλά μεταξφ τουσ υπάρχει ιεραρχία. Q: Ροιότθτα διαμονισ ςε ζνα τουριςτικό κζρετρο. Τιμζσ από το ςφνολο {κακή, μζτρια, καλή, εξαιρετική} και μεταξφ των χρωμάτων δεν ζχει νόθμα να κεωριςουμε κάποια ιεραρχία. και θ ιεραχία μεταξφ των χαρακτθριςμϊν ζχει νόθμα. 14

Οργάνωςη και παρουςίαςη ποςοτικών δεδομζνων (ομαδοποίηςη)

Τίποτα καλφτερο από ζνα παράδειγμα. Κάναμε μια ζρευνα, για να μελετιςουμε το φψοσ τθσ ατομικισ δαπάνθσ (ζξοδα μετακίνθςθσ, καφζδεσ, τςιγάρα, κ.λ.π.) των εργαηομζνων. Για το ςκοπό αυτό, ρωτιςαμε 45 εργαηόμενουσ και πιραμε τισ παρακάτω απαντιςεισ. 3,7 6,7 4,4 6,2 4,1 6,0 5,1 5,3 2,8 5,3 5,3 1,4 5,4 7,5 3,0 6,6 1,1 4,7 1,6 1,7 4,4 5,5 3,0 9,4 6,5 1,4 5,5 5,4 5,8 6,8 4,2 6,0 2,4 6,1 5,6 6,8 5,6 5,8 6,0 7,4 2,5 6,2 3,9 4,7 3,1 Μπορείτε, κοιτάηοντασ τα παραπάνω δεδομζνα, να πείτε κάτι για τθν ατομικι δαπάνθ των εργαηομζνων; Μάλλον, όχι. Χρειαηόμαςτε μια «οργανωμζνθ» παρουςίαςθ των δεδομζνων και αυτι, ςτθν περίπτωςθ των ποςοτικϊν δεδομζνων, λζγεται ομαδοποίθςθ. 16

Ρίνακασ ςυχνοτιτων Ατομική Δαπάνη /ημζρα [ ) Κζντρο Συχνότητα Αθροιςτική xi fi Συχνότητα Σχετική Συχνότητα % Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα 1,0 2,5 1,75 6 6 13,33 13,33 2,5 4,0 3,25 7 13 15,56 28,89 4,0 5,5 4,75 12 25 26,67 55,56 5,5 7,0 6,25 17 42 37,78 93,33 7,0 8.5 7,75 2 44 4,44 97,78 8,5 10 9,25 1 45 2,22 100,00 ΣΥΝΟΛΑ n = 45 100,00 % 12 από τουσ 45 εργαηόμενουσ δαπανοφν 4 ζωσ 5,5 /θμζρα. 26,67% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν 4 ζωσ 5,5 /θμζρα. 55,56% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν λιγότερα από 5,5 /θμζρα. 100 55,56 = 44,44% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν 5,5 ζωσ 10 /θμζρα. 17

Σχετική Συχνότητα % Ιςτόγραμμα Σχετικϊν Συχνοτιτων 40 35 37,78 30 25 26,67 20 15 10 13,33 15,56 5 4,44 2,22 0 1,0 2,5 2,5 4,0 4,0 5,5 5,5 7,0 7,0 8.5 8,5 10 Ατομική Δαπάνη ( /ημζρα) Καταςκευάηεται από τθ ςτιλθ των % ςχετικϊν ςυχνοτιτων του πίνακα ςυχνοτιτων. Επομζνωσ, μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ. Αναπαριςτά τον τρόπο με τον οποίο οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα κατανζμονται ςτισ κλάςεισ. Το ιςτόγραμμα που καταςκευάηεται από το δείγμα είναι ζνα «αποτφπωμα», μια «ακτινογραφία» του πλθκυςμοφ, είναι το «παράκυρο μασ ςτον κόςμο». 18

Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα % Ιςτόγραμμα Σχετικϊν Ακροιςτικϊν Συχνοτιτων 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 93,33 97,78 100 55,56 28,89 13,33 1,0 2,5 2,5 4,0 4,0 5,5 5,5 7,0 7,0 8.5 8,5 10 Ατομική Δαπάνη ( /ημζρα) Καταςκευάηεται από τθ ςτιλθ των % ςχετικϊν ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων του πίνακα ςυχνοτιτων. Επομζνωσ, μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ. Αναπαριςτά τον τρόπο, τθν «ταχφτθτα» με τον οποίο οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα ςυςςωρεφονται ςταδιακά ςτισ κλάςεισ. 19

Συνεχείσ Τυχαίεσ Μεταβλητζσ Ιςτογράμματα και Πολφγωνα Συναρτήςεισ Κατανομήσ

Ρίνακασ Συχνοτιτων για το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων ςτισ 28 χϊρεσ τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ, το 2013. (ΡΗΓΗ: EUROSTAT) Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων Kgr/κεφαλή [ ) Κζντρο Συχνότητα Αθροιςτική xi fi Συχνότητα Σχετική Συχνότητα % Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα % 250 350 300 6 6 21,43 21,43 350 450 400 8 14 28,57 50,00 450 550 500 7 21 25,00 75,00 550 650 600 5 26 17,86 92,86 650 750 700 2 28 7,14 100 ΣΥΝΟΛΑ n = 28 100,00 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΡΛΗΘΥΣΜΟΣ Χ: Το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλι) Οι 28 χϊρεσ τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ 21

Σχετική Συχνότητα (%) Το ιςτόγραμμα των ςυχνοτιτων (frequency histogram) απεικονίηει το ςχιμα, τθ μορφι τθσ κατανομισ. Για ιςοπλατείσ κλάςεισ, και λαμβάνοντασ ωσ μονάδα μζτρθςθσ το εφροσ τουσ, το φψοσ ενόσ ορκογωνίων είναι ίςο με τθ ςυχνότθτα τθσ αντίςτοιχθσ κλάςθσ. Το ςυνολικό εμβαδό των ορκογωνίων είναι 1 (ι 100). 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 21,43 28,57 25,00 17,86 5,00 7,14 0,00 ΡΗΓΗ: EUROSTAT 250-350 350-450 450-550 550-650 650-750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Ραρατθροφμε τθν αυξθμζνθ ςυγκζντρωςθ τιμϊν ςτισ κλάςεισ 350 450 και 450 550. Η κατανομι εμφανίηει μία μόνον κορυφι. Φαίνεται επίςθσ να μθν είναι ςυμμετρικι, κακϊσ οι παρατθτιςεισ εκτείνονται προσ τα δεξιά περιςςότερο απ ότι προσ τα αριςτερά. 22

Σχετική Συχνότητα (%) Το πολφγωνο των ςυχνοτιτων (frequency polygon) μασ επιτρζπει να κατανοιςουμε το ςχιμα τθσ κατανομισ. Είναι ιδιαίτερα χριςιμο όταν κζλουμε να ςυγκρίνουμε ςφνολα δεδομζνων. 30,00 28,57 25,00 25,00 20,00 15,00 21,43 17,86 10,00 7,14 5,00 0,00 ΡΗΓΗ: EUROSTAT 300 400 500 600 700 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Στο πολφγωνο των ςυχνοτιτων τα κζντρα των κλάςεων χρθςιμοποιοφνται ωσ «αντιπρόςωποι» των κλάςεων και, μαηί με δφο υποκετικά κζντρα μθδενικισ ςυχνότθτασ ςτα αριςτερά τθσ πρϊτθσ κλάςθσ και ςτα δεξιά τθσ τελευταίασ κλάςθσ, ςυνδζονται με ευκφγραμμα τμιματα, ςχθματίηοντασ το πολφγωνο των ςυχνοτιτων. 23

Κάτω από το πολφγωνο των ςυχνοτιτων Χωρίηουμε τϊρα το πολφγωνο ςε τραπζηια και δφο ορκογϊνια τρίγωνα. Το εμβαδό κακενόσ από αυτά τα χωρία, χρθςιμοποιϊντασ πάντα ωσ μονάδα μζτρθςθσ το εφροσ των κλάςεων, είναι μια εκτίμθςθ του ποςοςτοφ ςυγκζντρωςθσ (τθσ πυκνότθτασ) των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ ςτθν αντίςτοιχθ κλάςθ. Το άκροιςμα όλων των εμβαδϊν είναι ίςο με 1 (ι 100%). Στο 26,785 % περίπου, των χωρϊν τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων είναι 400 500 Kgr/κεφαλι. 24

Σχετική Συχνότητα (%) Συνάρτθςθ Κατανομισ ( ι Ρυκνότθτασ) Ρικανότθτασ Probability Distribution (Density) Function 30,00 f(x) 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 250 300 400 500 600 700 750 ΡΗΓΗ: -5,00 ΕΛΣΤΑΤ Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Τζλοσ, πάνω ςτο πολφγωνο ςυχνοτιτων μιασ ςυνεχοφσ μεταβλθτισ προςαρμόηουμε μια λεία καμπφλθ. Αυτι θ καμπφλθ δεν είναι τίποτα άλλο παρά θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθσ f(x). Μια τζτοια ςυνάρτθςθ ονομάηεται ςυνάρτθςθ κατανομισ πικανότθτασ (probability distribution function) ι ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ (probability density function) τθσ ςυνεχοφσ τυχαίασ μεταβλθτισ Χ. 25

Συναρτιςεισ πυκνότθτασ και υπολογιςμόσ πικανοτιτων Είδαμε παραπάνω πϊσ, χρθςιμοποιϊντασ το πολφγωνο των ςυχνοτιτων, μποροφμε να υπολογίςουμε (για τθν ακρίβεια να εκτιμιςουμε) το ποςοςτό των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ που ςυγκεντρϊνονται ςε κάκε μια από τισ κλάςεισ που ζχουμε ορίςει. Αυτό το ίδιο ποςοςτό, είναι ταυτόχρονα και μία εκτίμθςθ τθσ πικανότθτασ θ μεταβλθτισ μασ να παίρνει τιμι ςτο ςυγκεκριμζνο διάςτθμα. Για παράδειγμα, θ πρόταςθ «Στο 26,785 % περίπου, των χωρϊν τησ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων είναι από 400 500 Kgr/κεφαλή» είναι ιςοδφναμθ με τθν πρόταςθ «Η πιθανότητα για μια χϊρα τησ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι 400 500 Kgr/κεφαλή, εκτιμάται ςε 0,26785 (ή 26,785%). Το μειονζκτθμα με το πολφγωνο των ςυχνοτιτων είναι ότι δεν μποροφμε να δϊςουμε εφκολα τισ απαντιςεισ για κάκε διάςτθμα, αλλά μόνον για τα διαςτιματα που ορίηονται από τισ κλάςεισ. Ρϊσ λοιπόν μποροφμε να απαντιςουμε ςτθν ερϊτθςθ «Ποιά η πιθανότητα για μια χϊρα τησ Ε.Ε., το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι 520 630 Kgr/ κεφαλή;» 26

Συναρτιςεισ πυκνότθτασ και υπολογιςμόσ πικανοτιτων f f x x A 630 520 630 P X A f x dx 520 Η ηθτοφμενθ πικανότθτα, υπολογίηεται από το εμβαδόν του χωρίου Α που ορίηεται από τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ πυκνότθτασ f(x), τον οριηόντιο άξονα και τα κάκετα ευκφγραμμα τμιματα ςτα ςθμεία 520 και 630. Ζτςι, το πρόβλθμα ανάγεται ςτον υπολογιςμό ενόσ οριςμζνου ολοκλθρϊματοσ, δθλαδι 630 520 630 P X A f x dx 520 27

Ιδιότθτεσ των ςυναρτιςεων πυκνότθτασ πικανότθτασ Οι ςυναρτιςεισ πυκνότθτασ πικανότθτασ που περιγράφουν τθν κατανομι μιασ ςυνεχοφσ τυχαίασ μεταβλθτισ ζχουν τισ παρακάτω ιδιότθτεσ. 1) Το ςυνολικό εμβαδόν κάτω από μία καμπφλθ πυκνότθτασ πικανότθτασ είναι ίςο με 1. Δθλαδι f x dx 1 E 1 f x 2) Μια ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ παίρνει μόνον μθ αρνθτικζσ τιμζσ, και επομζνωσ θ γραφικι τθσ παράςταςθ βρίςκεται πάνω από τον οριηόντιο άξονα. Δθλαδι f x 0 28

Υπολογιςμόσ πικανοτιτων από τθ ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ 1) Για μια ςυνεχι τυχαία μεταβλθτι Χ, θ πικανότθτα να πάρει ακριβϊσ μία ςυγκεκριμζνθ τιμι είναι 0,δθλαδι a 0 P X 2) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ ςε ζνα διάςτθμα (α, b), υπολογίηεται από το εμβαδόν κάτω από τθν καμπφλθ τθσ πυκνότθτασ που ορίηεται από τα άκρα του διαςτιματοσ, δθλαδι b P a X b f x dx a f x 3) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ μικρότερεσ από ζναν ζναν αρικμό α, υπολογίηεται από το εμβαδόν κάτω από τθν καμπφλθ τθσ πυκνότθτασ ςτα αριςτερά του α, δθλαδι P X a f x dx a f x α 29

Σετική Αθροιςτική Συχν τητα ( % ) Το ιςτόγραμμα των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων (cumulative percentage histogram) μασ δείχνει τον τρόπο με τον οποίο ςυγκεντρϊνονται οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. 100,00 100,00 90,00 92,86 80,00 70,00 75,00 60,00 50,00 50,00 40,00 30,00 20,00 21,43 10,00 0,00 ΡΗΓΗ: EUROSTAT 250 350 450 550 650 750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Ραρατθροφμε ότι ιδθ μζχρι τθν τθν δεφτερθ κλάςθ ζχει ςυγκεντρωκεί το 50% των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. Αυτό ςθμαίνει ότι ςτο 50% του δείγματοσ οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ είναι μικρότρεσ από το άνω άκρο τθσ δεφτερθσ κλάςθσ. Επομζνωσ, για το ζτοσ 2013 ςτισ μιςζσ χϊρεσ τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων ιταν μικρότερο από 450 Kgr/ κεφαλι. 30

Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα ( % ) Το πολφγωνο των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων (cumulative percentage polygon ι ogive) μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ με το ιςτόγραμμα των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων. Επίςθσ, χρθςιμεφει όταν κζλουμε να ςυγκρίνουμε ςφνολα δεδομζνων 100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 75,00 92,86 100,00 50,00 50,00 40,00 30,00 20,00 21,43 10,00 0,00 ΡΗΓΗ: EUROSTAT 250 350 450 550 650 750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Για τθν καταςκευι του χρθςιμοποιοφμε τα άνω δεξιά άκρα των κλάςεων και το κάτω αριςτερό άκρο τθσ πρϊτθσ κλάςθσ, τα οποία ςυνδζονται με εκφγραμμα τμιματα. Μεγάλθ κλίςθ ενόσ τμιματοσ φανερϊνει αυξθμζνθ και απότομθ ςυγκζντρωςθ τιμϊν ςτθν κλάςθ που ορίηεται από τα άκρα του. 31

Η χρθςιμότθτα τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ κατανομισ F(600)=0.85 F 250 350 450 550 600 650 750 ΡΗΓΗ: EUROSTAT Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Η ςυνάρτθςθ ακροιςτικισ κατανομισ μασ επιτρζπει να υπολογίςουμε τθν πικανότθτα θ μεταβλθτισ μασ να παίρνει τιμζσ μικρότερεσ ι ίςεσ από ζναν δοςμζνο αρικμό. Για παράδειγμα, θ πικανότθτα για μια χϊρα τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι το πολφ 600 Kgr/ είναι F P X 600 600 0.85 32

Υπολογιςμόσ πικανοτιτων από τθν ακροιςτικι ςυνάρτθςθ κατανομισ. F(b) F (x) F(b) F(α) F(α) α b x 1) Για μια ςυνεχι τυχαία μεταβλθτι, θ πικανότθτα να ζχει τιμζσ μικρότερεσ ι ίςεσ ενόσ αρικμοφ α, υπολογίηεται από τθν τιμι τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ κατανομισ ςτο α, δθλαδι P X a F a 2) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ ςε ζνα διάςτθμα (α, b) υπολογίηεται από τθ διαφορά των τιμϊν τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ ςτα άκρα του διαςτιματοσ, δθλαδι P a x b F b F a 33

Αριθμητικά Περιγραφικά Μζτρα

Τα αρικμθτικά περιγραφικά μζτρα (numerical descriptive measures) είναι αρικμοί που ςυμβάλουν ςτθν περιγραφι τθσ κατανομισ μιασ τυχαίασ μεταβλθτισ. Ονομάηονται παράμετροι του πλθκυςμοφ (parameters) όταν υπολογίηονται από τον πλθκυςμό και τότε θ τιμι τουσ είναι μοναδικι. Κατά κανόνα, θ τιμι μιασ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό δεν μπορεί να υπολογιςτεί. Και είναι ακριβϊσ αυτι θ άγνωςτθ ποςότθτα τθν οποία θ Στατιςτικι προςπακεί να «εντοπίςει» και για τθν οποία προςπακεί να «μιλιςει». Ονομάηονται ςτατιςτικά (statistics) όταν υπολογίηονται από ζνα δείγμα του πλθκυςμοφ. Ρροφανϊσ, από διαφορετικά δείγματα προκφπτουν διαφορετικζσ τιμζσ για ζνα ςτατιςτικό. Στισ περιςςότερεσ περιπτϊςεισ όμωσ, θ τιμι του ςτατιςτικοφ είναι θ βζλτιςτθ εκτίμθςθ τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτου ςτο πλθκυςμό, ενϊ θ ορκι χριςθ των μεκόδων τθσ Στατιςτικισ μασ επιτρζπει να εξάγουμε αξιόπιςτα ςυμπεράςματα για τθν παράμετρο και, ςυνεπϊσ, για τον πλθκυςμό. 35

Τα αρικμθτικά περιγραφικά μζτρα ορίηονται ςτον πλθκυςμό, αλλά υπολογίηονται (εκτιμϊνται) από ζνα δείγμα. Ραράμετροσ ςτον πλθκυςμό ο «ςτόχοσ» μασ. Γνωςτόσ, αλλά μακρινόσ και διςδιάκριτοσ. Τιμι μοναδικι αλλά άγνωςτθ. Στατιςτικό δείγματοσ το «όπλο» μασ Από διαφορετικά δείγματα, προκφπτουν διαφορετικζσ τιμζσ. Οι περιςςότρεσ κα βρίςκονται πολφ κοντά ςτον ςτόχο. (Ράντα υπάρχει θ πικανότθτα να αςτοχίςουμε!!) Τα «εργαλεία» τθσ Στατιςτικισ καταςκευάηονται με τζτοιο τρόπο, ϊςτε θ πικανότθτα αςτοχίασ (ςφάλματοσ) να είναι όςο το δυνατόν μικρότερθ. 36

Μζτρα Κεντρικήσ Τάςησ

Τα Μζτρα Κεντρικισ Τάςθσ (Central Tendency Measures) μασ πλθροφοροφν, το κακζνα με διαφορετικό τρόπο, για το «κζντρο» τθσ κατανομισ. Ρροςπακοφν να αποτυπϊςουν με τρόπο μακθματικό, τισ διαιςκθτικζσ αντιλιψεισ που ζχουμε όταν αναφζρουμε ι ακοφμε τθ λζξθ «κζντρο». Τί δθλϊνει, για παράδειγμα, κάποιοσ όταν λζει, «Η πλατεία Αριςτοτζλουσ είναι το κζντρο τθσ Θεςςαλονίκθσ»; Τθν ποιό πολυςφχναςτθ πλατεία; Το μζροσ που πρζπει να επιςκεφτεί κάποιοσ για να αποκτιςει τθν ποιο ςαφι εικόνα για τθν πόλθ; Το γεωγραφικό τθσ κζντρο; Ταυτίηονται οι παραπάνω ιδιότθτεσ, ι μποροφμε να μιλάμε για διαφορετικά «κζντρα;». Και αν ζχουμε διαφορετικά κζντρα ποιό είναι το καταλλθλότερο, το ποιό αντιπροςωπευτικό του πλθκυςμοφ; 38

Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ (Arithmetic Mean) Ο αρικμθτικόσ μζςοσ (arithmetic mean) ι απλά μζςοσ (mean) ι μζςθ τιμι τθσ μεταβλθτισ Χ ςτον πλθκυςμό ςυμβολίηεται με και ορίηεται να είναι το πθλίκο x1 x2 xn N όπου x1, x2,, xn οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό και N το μζγεκοσ του πλθκυςμοφ. Εκτιμάται από τον δειγματικό αρικμθτικό μζςο (sample arithmetic mean) ι δειγματικι μζςθ τιμι τθσ μεταβλθτισ Χ (sample mean value). Η δειγματικι μζςθ τιμι ςυμβολίηεται με X και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό x1 x2 xn X n όπου x1, x2,, xn οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό και το μζγεκοσ του δείγματοσ. n 39

Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ και το είδοσ τθσ πλθροφορίασ που μασ δίνει o Αντιπροςωπεφει τον πλθκυςμό, και είναι εκείνθ θ τιμι που χρθςιμοποιοφμε για να αξιολογιςουμε τθν απόκλιςθ ενόσ τυχαίου αντικειμζνου του πλθκυςμοφ από τον «κανόνα». Για παράδειγμα, αν το μζςο μθνιαίο ειςόδθμα των εργαηομζνων εκτιμάται ςε 1.000, τότε κα χαρακτθρίςουμε ωσ υψθλόμιςκο κάποιον που αμοίβεται με 1400. o Υπολογίηει τθν αναμενόμενθ (ι προςδοκόμενθ) τιμι. Αυτό ςθμαίνει ότι αν επιλζξουμε τυχαία ζνα αντικείμενο από τον πλθκυςμό και μετριςουμε κάποιο χαρακτθριςτικό του, αναμζνουμε (προςδοκοφμε, ελπίηουμε) ότι θ τιμι που κα βροφμε κα βρίςκεται κοντά ςτον αρικμθτικό μζςο του χαρακτθριςτικοφ. Για παράδειγμα, αν ζχουμε τθν πλθροφορία ότι το μζςο κζρδοσ για ζνα τυχερό παιχνίδι εκτιμάται ςε 50 τότε, ςτθν περίπτωςθ που παίξουμε, προςδοκοφμε ςε κζρδοσ τθσ τάξθσ των 40-50. 40

Ο Αρικμθτικόσ Μζςοσ ωσ ςθμείο ιςορροπίασ τθσ Κατανομισ Μια ακόμθ ερμθνεία του αρικμθτικοφ μζςου είναι αυτι του ςθμείου ιςοοροπίασ μιασ κατανομισ. Δθλαδι, τοποκετϊντασ μοναδιαία βάρθ ςτισ κζςεισ των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ πάνω ςε μία βακμονομθμζνθ ράβδο αμελθτζου βάρουσ, αυτι κα ιςορροπίςει ςτθν ζνδειξθ που ςυμπίπτει με τον αρικμθτικό μζςο. 2 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ΑΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ = 7 Αυτό ςθμαίνει ότι αν ο πλθκυςμόσ μασ γινόταν ξαφνικά απολφτωσ ομοιογενισ ωσ προσ το χαρακτθριςτικό που μελετάμε, αν για κάποιο λόγο εξζλειπε θ μεταβλητότητα, τότε, για όλα τα αντικείμενα του πλθκυςμοφ θ τιμι του αυτοφ του χαρακτθριςτικοφ κα ταυτιηόταν με τον αρικμθτικό μζςο. Στο παράδειγμά μασ, όλεσ οι μετριςεισ κα ςτοιβάηονταν ςτο 7. 41

Ρλεονεκτιματα Μειονεκτιματα Στον υπολογιςμό του χρθςιμοποιοφνται όλεσ οι τιμζσ του δείγματοσ. Ραράγει μία μοναδικι τιμι. Υπολογίηεται εφκολα. Χρθςιμοποιείται για περεταίρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. Επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ. Πταν θ κατανομι τθσ μεταβλθτισ εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρνθτικι αςυμμετρία, τότε ο μζςοσ είναι ακατάλλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ δθλαδι δεν μπορεί να κεωρθκεί ωσ κατάλλθλοσ αντιπρόςωποσ του πλθκυςμοφ. Σε κάποιεσ περιπτϊςεισ δεν αποτελεί τιμι τθσ μεταβλθτισ. Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα του Αριθμητικοφ Μζςου 42

Η Επικρατοφςα τιμι ι Τφποσ (Mode) Η επικρατοφςα τιμι μιασ μεταβλθτισ Χ ςτον πλθκυςμό, είναι θ τιμι που εμφανίηεται τισ περιςςότερεσ φορζσ. Θα τθ ςυμβολίηουμε με Εκτιμάται από τθν δειγματικι επικρατοφςα τιμι τθν οποία κα ςυμβολίηουμε με M o. Ραρακάτω βλζπετε το γραφικό προςδιοριςμό τθσ επικρατοφςασ τιμισ. 43

Η Επικρατοφςα Τιμι και το είδοσ τθσ πλθροφορίασ που μασ δίνει Πταν για μία ςυνεχι μεταβλθτι Χ μασ δίνεται θ επικρατοφςα τιμι, τότε γνωρίηουμε ότι το μεγαλφτερο ποςοςτό του πλθκυςμοφ ςυγκεντρϊνεται γφρω από από αυτι τθν τιμι. Αν, για παράδειγμα, μασ δοκεί θ πλθροφορία ότι θ επικρατοφςα τιμι του μθνιαίου ειςοδιματοσ των εργαηομζνων εκτιμικθκε ςε 780, τότε γνωρίηουμε ότι ςτο μεγαλφτερο ποςοςτό των εργαηομζνων οι μθνιαίεσ αποδοχζσ είναι περίπου 780. Η αξία βζβαια τθσ παραπάνω πλθροφορία εξαρτάται από τιμι του ποςοςτοφ. Μια τιμι μπορεί να είναι επικρατοφςα ςε ςχζςθ με τισ υπόλοιπεσ αλλά αυτό δεν ςθμαίνει κατ ανάγκθ ότι είναι και «ιςχυρι». Ζτςι, ςτα ομαδοποιθμζνα δεδομζνα, είναι πολλζσ φορζσ προτιμότερο να αναφερόμαςτε ςτθν επικρατοφςα κλάςθ και ςτο αντίςτοιχο ποςοςτό, λαμβάνοντασ ωσ αντιπρόςωπο το κζντρο τθσ. Για παράδειγμα, «ςτο μεγαλφτερο ποςοςτό των εργαηομζνων ( 35%) οι μθνιαίεσ αποδοχζσ είναι περίπου 750» 44

Ρλεονεκτιματα Μειονεκτιματα Σε μία ςυμμετρικι μονοκόρυφθ κατανομι είναι επίςθσ αμερόλθπτθ εκτιμιτρια του μζςου και τθσ διαμζςου. Υπολογίηεται εφκολα. Στον υπολογιςμό τθσ δεν χρθςιμοποιοφνται όλεσ οι τιμζσ του δείγματοσ. Δεν ζχει πάντα μοναδικι τιμι. Δεν χρθςιμοποιείται για περεταίρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα τησ Επικρατοφςασ Τιμήσ 45

Η Διάμεςοσ (Median) Η διάμεςοσ τιμι τθσ μεταβλθτισ Χ ςτον πλθκυςμό, βρίςκεται ςε εκείνθ τθ κζςθ που χωρίηει τον διατεταγμζνο πλθκυςμό ςε δφο ίςα μζρθ. Θα τθ ςυμβολίηουμε Εκτιμάται από τθν δειγματικι διάμεςο τθν οποία κα ςυμβολίηουμε με και υπολογίηεται από τα παρακάτω ςτατιςτικά M d όταν το πλικοσ όταν το πλικοσ n n Md x n 1 2 των παρατθριςεων του δείγματοσ είναι περιττό x n x n 1 2 2 M d 2 των παρατθριςεων είναι άρτιο. Οι τφποι χρθςιμοποιοφνται αφοφ τα δεδομζνα διαταχκοφν ςε n n 1 αφξουςα ςειρά, ενϊ τα ςφμβολα και δθλϊνουν κζςθ ςτθν 2 2 παραπάνω ςειρά κατάταξθσ. 46

Η Διάμεςοσ και το είδοσ τθσ πλθροφορίασ που μασ δίνει Η διάμεςοσ χωρίηει τον διατεταγμζνο πλθκυςμό ςε δφο ίςα, ωσ προσ το πλικοσ τουσ, μζρθ. 50% του πλθκυςμοφ 50% του πλθκυςμοφ M d Επομζνωσ, όταν για μία ςυνεχι μεταβλθτι Χ μασ δίνεται θ διάμεςοσ γνωρίηουμε ότι ςτο μιςό πλθκυςμό θ μεταβλθτι ζχει τιμζσ μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ διαμζςου και ςτον υπόλοιπο μιςό ζχει τιμζσ μεγαλφτερεσ ι ίςεσ τθσ διαμζςου. Αν, για παράδειγμα, μασ δοκεί θ πλθροφορία ότι θ διάμεςοσ του μθνιαίου ειςοδιματοσ των εργαηομζνων εκτιμικθκε ςε 1000, τότε ξζρουμε ότι ςτο 50 % των εργαηομζνων οι μθνιαίεσ αποδοχζσ δεν υπερβαίνουν τα 1000 το μινα και, αντίςτοιχα, ςτο 50 % των εργαηομζνων οι μθνιαίεσ αποδοχζσ είναι τουλάχιςτον 1000 το μινα. 47

Διάμεςοσ και Συνάρτθςθ Ρυκνότθτασ f(x) 0.5 0.5 Αν ςτο ςθμείο τθσ διαμζςου φζρουμε μία κάκετθ προσ τον οριηόντιο άξονα ευκεία, τότε αυτι κα χωρίςει τθν καμπφλθ τθσ πυκνότθτασ ςε δφο χωρία με εμβαδόν 0.5 το κακζνα. Στο παραπάνω ςχιμα, το κόκκινο βζλοσ ςθμειϊνει το μζςο τθσ ζκταςθσ των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ και παρατθροφμε ότι θ διάμεςοσ δεν ςυμπτίπτει με αυτό το ςθμείο. Είναι ςθμαντικό να κατανοιςουμε ο οριςμόσ τθσ διαμζςου δεν ζχει ςχζςθ με το μζςο των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ, αλλά με διαχωριςμό του πλθκυςμοφ ςε δφο ίςα μζρθ. 48

Ρλεονεκτιματα Μειονεκτιματα Ραράγει μία μοναδικι τιμι. Υπολογίηεται εφκολα. Δεν επθρεάηεται από ακραίεσ τιμζσ. Πταν θ κατανομι εμφανίηει ζντονθ κετικι ι αρντικι αςυμμετρία, τότε θ διάμεςοσ κεωρείται καταλλθλότερθ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ από ότι ο μζςοσ Στον υπολογιςμό τθσ δεν ειςζρχονται όλεσ οι παρατθριςεισ του δείγματοσ Δεν μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για περεταίρω ςτατιςτικι ανάλυςθ. Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα τησ Διαμζςου 49

Μορφζσ Κατανομϊν και Μζτρα Κεντρικισ Τάςθσ Τα ιςτογράμματα ςυχνοτιτων που προκφπτουν από τθν ομαδοποίθςθ των δεδομζνων, ςυνεπϊσ και οι καμπφλεσ των ςυναρτιςεων πυκνότθτασ που προκφπτουν από αυτά, ζχουν πολλζσ διαφορετικζσ μορφζσ. Κάκε καμπφλθ ςυγκρίνεται και ταξινομείται ζχοντασ ωσ πρότυπο τθν καμπφλθ τθσ Κανονικισ Κατανομισ. μ = τ = δ = 2 μ = τ = δ = 2 μ = τ = δ = 4 Πλεσ οι καμπφλεσ που προκφπτουν από Κανονικοφσ πλθκυςμοφσ ζχουν τα εξισ κονινά χαρακτθριςτικά: Μία κορυφι Σχιμα «καμπάνασ» (κωδονοειδισ καμπφλθ - bell shaped curve) Μζςθ Τιμι = Διαμζςο Τιμι = Επικρατοφςα Τιμι Συμμετρία ωσ προσ τον άξονα που διζρχεται από τθν κορυφι τθσ καμπφλθσ 50

Αςυμμετρία ι Λοξότθτα (Skewness) Θετικι Αςυμμετρία (ι Λοξότθτα) (Positive or right skewed) Ωφείλεται ςτθν παρουςία κάποιων μεγάλων τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. M M X o e M M X και 0 o e Αρνθτικι Αςυμμετρία (ι Λοξότθτα) (Negative or left skewed) Ωφείλεται ςτθν παρουςία κάποιων μικρϊν τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. X M και e M o 0 0 Συντελεςτισ Αςυμμετρίασ Πταν υπάρχει ςυμμετρία X M e Mo Πταν θ αςυμμετρία είναι ζντονθ, ο μζςοσ είναι ακατάλθλοσ ωσ μζτρο κεντρικισ τάςθσ, και προτιμάται θ διάμεςοσ. 51

Μζτρα Σχετικήσ Θζςησ

Τα τεταρτθμόρια Τα τεταρτθμόρια (quartiles) ενόσ δείγματοσ ι ενόσ πλθκυςμοφ είναι εκείνεσ οι τιμζσ που χωρίηουν το δείγμα (αντίςτοιχα τον πλθκυςμό) ςε τζςςερα ιςοπλθκι μζρθ. 53

Μζτρα Μεταβλητότητασ

Τα Μζτρα Μεταβλθτότθτασ (Variability Measures) ζχουν ωσ ςτόχο να παρουςιάςουν με τρόπο ςυνοπτικό τθ μεταβλητότητα (ι διαςπορά) των δεδομζνων. Ρρόκειται για δείκτεσ που ςτοχεφουν ςτθ μζτρθςθ τθσ ανομοιογζνειασ του πλθκυςμοφ. Στο ςχιμα βλζπουμε δφο ςυμμετρικζσ κατανομζσ με το ίδιο κζντρο (επομζνωσ ίδιο μζςο, ίδια διάμεςο και επικρατοφςα τιμι) Διαφζρουν όμωσ πολφ ωσ προσ τθ διαςπορά των τιμϊν τουσ. Ραρατθροφμε ότι ςτθν πρϊτθ κατανομι οι παρατθριςεισ είναι περιςςότερο ςυγκεντρωμζνεσ γφρω από το μζςο από ότι ςτθ δεφτερθ. Και λζμε ότι ζχουμε μικρότερθ διαςπορά των τιμϊν. 55

Εφροσ (Range) Το εφροσ τθσ κατανομισ των τιμϊν μιασ μεταβλθτισ Χ, είναι απλϊσ θ διαφορά τθσ μικρότερθσ από τθ μεγαλφτερθ τιμι. R x x max Το εφροσ μασ δίνει μια εικόνα για τθν ζκταςθ που καταλαμβάνουν τα δεδομζνα, δεν μετρά όμωσ τθ ςυνολικι διαςπορά, κακϊσ ςτον υπολογιςμό του δεν ειςζρχονται οι υπόλοιπεσ τιμζσ. min Τα παραπάνω ςφνολα δεδομζνων ζχουν το ίδιο εφροσ, όμωσ δεν ζχουν τθν ίδια διαςπορά. Ραίρνοντασ ωσ αρχι των μετριςεων το κζντρο, είναι προφανζσ ότι ςτο άκροιςμα των γεωμετρικϊν αποςτάςεων των ςθμείων από το κζντρο, ςτο δεφτερο ςφνολο είναι πολφ μεγαλφτερο από ότι ςτο πρϊτο. Επίςθσ, θ αναφορά μόνον τθσ τιμισ του εφρουσ δεν μασ δίνει καμία πλθροφορία για τθ κζςθ των δεδομζνων. Ζτςι, είναι προτιμότερο αντί του εφρουσ να παρουςιάηουμε τθ μζγιςτθ και τθν ελάχιςτθ τιμι. 56

Η Διακφμανςθ ι Διαςπορά (Variance) Η διακφμανςθ ι διαςπορά είναι ο ςθμαντικότεροσ από τουσ δείκτεσ μεταβλθτότθτασ και, μαηί με τον αρικμθτικό μζςο, χρθςιμοποιείται πολφ ςτισ μεκόδουσ τθσ επαγωγικισ ςτατιςτικισ. Η διακφμανςθ ςτον πλθκυςμό, ςυμβολίηεται με 2 και ορίηεται ωσ θ μζςθ τιμι των τετραγϊνων των αποκλίςεων όλων των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ από τον αρικμθτικό μζςο 2 1 N N i 1 X i 2 Εκτιμάται από τθ δειγματικι διακφμανςθ, θ οποία ςυμβολίηεται με και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό 2 1 s X X n n i 1 i 1 2 s 2 Πςο περιςςότερεσ είναι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ που βρίςκονται μακριά από τον αρικμθτικό μζςο, τόςο μεγαλφτερθ είναι θ διαςπορά. 57

Διακφμανςθ Ερμθνεία και Ρροβλιματα Πταν θ τιμι τθσ διακφμανςθσ μιασ μεταβλθτισ Χ είναι μεγάλθ, τότε ξζρουμε οι τιμζσ τθσ είναι διαςκορπιςμζνεσ ςε μεγάλθ ζκταςθ γφρω από τθ μζςθ τιμι. Ταυτόχρονα, αυτό μασ δίνει τθ δυνατότθτα να χαρακτθρίςουμε τον πλθκυςμό ωσ ανομοιογενι ι ευμετάβλθτο, ωσ ζναν πλθκυςμό από τον οποίο λείπει θ ςτακερότθτα. Θα λζγαμε ότι αντιςτοιχεί ςε εκφράςεισ όπωσ «ή του φψουσ ή του βάθουσ», «ικανόσ για το καλφτερο και το χειρότερο». Ζνα πρόβλθμα που αντιμετωπίηουμε με τθ διακφμανςθ είναι οι μονάδεσ μζτρθςισ τθσ. Κακϊσ για τον υπολογιςμό τθσ οι αποςτάςεισ υψϊνονται ςτο τετράγωνο, υψϊνονται μαηί τουσ ςτο τετράγωνο και οι μονάδεσ μζτρθςθσ τθσ μεταβλθτισ. Επιπλζον οι τιμζσ τθσ διακφμανςθσ είναι κατά κανόνα πολφ μεγάλοι αρικμοί και αυτό κακιςτά τθν ερμθνεία τθσ, ςχεδόν αδφνατθ. Για παράδειγμα, τί μποροφμε να καταλάβουμε αν κάποιοσ μασ πλθροφοριςει ότι θ διακφμανςθ του χρόνου που χρειάηεται για να 2 πάει ςτθ δουλειά του είναι 225 min. Είναι μικρι ι μεγάλθ; Ρροφανϊσ, δεν καταλαβαίνουμε τίποτα! 58

Η Τυπικι Απόκλιςθ (Standard Deviation) Η επιςτροφι ςτισ μονάδεσ μζτρθςθσ τθσ μεταβλθτισ επιτυγχάνεται με τθν τυπικι απόκλιςθ, θ οποία ορίηεται ωσ θ τετραγωνικι ρίηα τθσ διαςποράσ. Η τυπικι απόκλιςθ ςτον πλθκυςμό, ςυμβολίηεται με και ορίηεται από τθ ςχζςθ 2 Εκτιμάται από τθ δειγματικι τυπικι απόκλιςθ, θ οποία ςυμβολίηεται με s και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό s s 2 Επομζνωσ, εάν θ διακφμανςθ του χρόνου που χρειάηεται για να πάει κάποιοσ ςτθ δουλειά του είναι 2 325min τότε θ τυπικι απόκλιςθ κα είναι 2 s 225min 225 min 15 min Αν υποκζςουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ για να πάει ςτθ δουλειά του είναι 1h, τότε αποκτοφμε μια πρϊτθ «εικόνα» για το χρόνο που χρειάηεται να φτάςει ςτθ δουλειά του, δθλαδι 1 h ± 15 min. Και πάλι όμωσ, δεν είμαςτε ςε κζςθ να χαρακτθρίςουμε τθ μεταβλθτότθτα ωσ μικρι ι μεγάλθ. 59

Ο Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ (Coefficient of Variation) Για να μπορζςουμε, να χαρακτθρίςουμε μια διαςπορά ωσ μικρι ι μεγάλθ, αλλά και για να μπορζςουμε να ςυγκρίνουμε τθ διαςπορά μεταβλθτϊν με διαφορετικζσ μονάδεσ μζτρθςθσ (για παράδειγμα, να απαντιςουμε ςτο ερϊτθμα το βάροσ ι το φψοσ των ανκρϊπων εμφανίηει μεγαλφτερθ μεταβλθτότθτα), χρειαηόμαςτε ζναν δείκτθ απαλλαγμζνο από τισ μονάδεσ μζτρθςθσ. Ο δείκτθσ αυτόσ είναι ο ςυντελεςτισ μεταβλθτότθτασ, ο οποίοσ ορίηεται ωσ το πθλίκο τθσ τυπικισ απόκλιςθσ προσ τον αρικμθτικό μζςο. Ο % ςυντελεςτισ μεταβλθτότθτασ ςτον πλθκυςμό εκτιμάται από τον δειγματικό ςυντελεςτι μεταβλθτότθτασ και υπολογίηεται από το ςτατιςτικό s cv % 100 X Για παράδειγμα, θ μεταβλθτότθτα του χρόνου που χρειάηεται να πάει ςτθ δουλειά του κάποιοσ, όταν θ μζςοσ είναι 1h και θ τυπικι απόκλιςθ 15min, εκτιμάται ςε s 15 cv % 100 100 25% X 60 60

Ο Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ Ερμθνεία και χριςεισ. Ο Συντελεςτισ Μεταβλθτότθτασ, εκφράηει τθν τυπικι απόκλιςθ ωσ ποςοςτό τθσ μζςθσ τιμισ. Χρθςιμοποιείται για να ςυγκρίνουμε τθ μεταβλθτότθτα διαφορετικϊν ςυνόλων δεδομζνων όταν: o Οι τιμζσ ςτα δφο ςφνολα δεν ζχουν τισ ίδιεσ μονάδεσ μζτρθςθσ. o Οι τιμζσ ςτα δφο ςφνολα ζχουν τισ ίδιεσ μονάδεσ μζτρθςθσ, αλλά οι αρικμθτικοί τουσ μζςοι είναι διαφορετικοί. Επίςθσ, χρθςιμοποιείται ωσ μζτρο ομοιογζνειασ ενόσ ςνόλου δεδομζνων. Αν για ζνα ςφνολο δεδομζνων cv% < 10%, το ςφνολο κεωρείται ομοιογενζσ (μικρισ μεταβλθτότθτασ). Διαφορετικά κεωρείται ανομοιογενζσ (μεγάλθσ μεταβλθτότθτασ) Ζτςι, αν θ μεταβλθτότθτα του χρόνου που χρειάηεται κάποιοσ για να πάει ςτθ δουλειά του εκτιμάται ςε 25%, τότε καταλαβαίνουμε ότι χρόνοι παρουςιάηουν μεγάλθ μεταβλθτότθτα, δθλαδι υπάρχουν θμζρεσ που φτάνει πολφ γρθγορότερα από τθ μία ϊρα αλλά και θμζρεσ που χρειάηεται πολφ περιςςότερο από μία ϊρα. 61

Ενδοτεταρτθμοριακό Εφροσ (Interquartile Range) Η διαφορά Q3 Q1 ανάμεςα ςτο 1 ο και 3 ο τεταρτθμόριο ονομάηεται Ενδοτεταρτθμοριακό Εφροσ (IQR) Συγκεντρϊνει το 50% των παρατριςεων που βρίςκονται γφρω από τθ διάμεςο. 62

Σχζςθ Ενδοτεταρτθμοριακοφ Εφρουσ και Μεταβλθτότθτασ Στο διάςτθμα ανάμεςα ςτο 1 ο και ςτο 3 ο τεταρτθμόριο περιζχεται το 50% των παρατθριςεων. Πταν το ενδοτεταρτθμοριακά εφροσ Q3 Q1 είναι μικρό, τότε γνωρίηουμε ότι το 50% των παρατθριςεων ςυγκεντρϊνεται ςε ζνα μικρό διάςτθμα και, επομζνωσ, θ μεταβλθτότθτα των δεδομζνων είναι μικρι. Αντίκετα, όταν ζχουμε μεγάλο ενδοτεταρτθμοριακό εφροσ, τότε γνωρίηουμε ότι θ μεταβλθτότθτα των δεδομζνων είναι μεγάλθ. 63

Κριτήρια Κανονικότητασ

Η αξία τθσ Κανονικισ Κατανομισ Πλθ θ ανάπτυξθ τθσ Στατιςτικισ, όπωσ θ παραγωγι τφπων για τθν εκτίμθςθ αρικμθτικϊν μζτρων, διαςτθμάτων εμπιςτοςφνθσ, ςτατιςτικϊν ελζγχων και πολλά άλλα ςτθρίηονται ςτθν προχπόκεςθ ότι οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτον πλθκυςμό ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι. Ραραβίαςθ αυτισ τθσ κεμελιϊδουσ προχπόκεςθσ ακυρϊνει ςτθν πράξθ τισ διαδικαςίεσ και οδθγεί ςε εςφαλμζνα ςυμπεράςματα. Είναι λοιπόν ςθμαντικό, ςε πάρα πολλζσ περιπτϊςεισ, προτοφ προχωριςουμε ςτθ χριςθ των μεκόδων τθσ Επαγωγικισ Στατιςτιςτικισ, να εξακριβϊςουμε εάν τα δεδομζνα μασ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό. Πταν θ Κανονικότθτα απουςιάηει, θ Στατιςτικι επεξεργάηεται και προτείνει τισ κατάλλθλεσ, ανάλογα με τθν κάκε περίπτωςθ, μεκόδουσ για τθν επεξεργαςία των δεδομζνων. 65

Κριτιρια Κανονικότθτασ βάςει των δεικτϊν ςχετικισ κζςθσ και διαςποράσ. 66

Κριτιρια Κανονικότθτασ βάςει των δεικτϊν αςυμμετρίασ και κφρτωςθσ Κάκε Κανονικι Κατανομι είναι ςυμμετρικι και μεςόκυρτθ 67