Mέρος 2 Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 1 Για τα συστήµατα του Σχ. 1-1 (στο τρίτο µας ενδιαφέρει η κατακόρυφη δυναµική): C 1 R C 1 R 1 v S (t) L C 2 v S (t) C 2 R 2 B M V K Σχήµα 1-1. Φυσικά µοντέλα συστηµάτων. (α) Κατασκευάστε το γραµµικό γράφο. (β) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες µεταβλητές και την τάξη του συστήµατος. (γ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις στην κανονική µητρωική µορφή. (δ) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς που συνδέει τη είσοδο του κάθε συστήµατος µε έξοδο την v C2 για τα δύο πρώτα συστήµατα και µε την κατακόρυφη ταχύτητα της µάζας για το τρίτο. Άσκηση 2 Η διάταξη του Σχ. 2-1 µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ζυγός ταχείας απόκρισης. Αποτελείται από µία κινούµενη µαγνητική βάση µάζας m που ολισθαίνει κατακόρυφα και στηρίζεται σε ελατήριο σκληρότητας Κ. Περιµετρικά υπάρχει λίπανση που δηµιουργεί τριβή µε συντελεστή ιξώδους Β. Στο κάτω µέρος της βάσης υπάρχει ακίνητο πηνίο φωνής το οποίο έχει αντίσταση R και αυτεπαγωγή L. Το πηνίο εφαρµόζει δύναµη στην κινούµενη µάζα που εξαρτάται από το ρεύµα από το οποίο διαρρέεται. Θεωρείστε καταρχάς ότι η είσοδος είναι η τάση V S που επιβάλλεται στο πηνίο από ενισχυτή τάσης (voltage mode). 1
m v m D R, L N S N B K i S - V s Σχήµα 2-1. Ζυγός ταχείας απόκρισης. (α) Αναπτύξτε το φυσικό µοντέλο συγκεντρωµένων στοιχείων του ζυγού και εξηγείστε όλες τις υποθέσεις που κάνατε. (β) Κατασκευάστε το γραµµικό γράφο που αντιστοιχεί στο φυσικό µοντέλο. (γ) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες µεταβλητές και την τάξη του συστήµατος. (δ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις σε µητρωική µορφή. (ε) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου G p (s) που συνδέει την έξοδο v m µε την είσοδο V S. (στ) Βρείτε τους πόλους της G p (s). Σε ποια δυναµική οφείλεται ο κάθε ένας από αυτούς; Υπάρχουν κυρίαρχοι πόλοι; Εάν ναι, απλοποιήστε τη δυναµική του συστήµατος σε σύστηµα δεύτερης τάξης κρατώντας µόνο τους κυρίαρχους πόλους. Προσέξτε ώστε το κέρδος της G p (s) για s = 0 (δηλαδή το κέρδος σε DC είσοδο) να µην µεταβληθεί. Σηµείωση. Αυτό το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί µετά το µάθηµα για κυρίαρχους πόλους. Επαναλάβετε τα ερωτήµατα (α)-(στ) υποθέτοντας ότι η είσοδος στο πηνίο είναι το ρεύµα i S που επιβάλλεται στο πηνίο από ενισχυτή ρεύµατος (current mode). Τι παρατηρείτε; Άσκηση 3 Ένας µηχανισµός κανόνα-πινιόν (βλέπε Σχ. 3-1) χρησιµοποιείται για να κινήσει το φορείο µιας εργαλειοµηχανής. Power Amplifier Rigid rack bar DC Motor Carriage v c Compliant shaft Pinion Viscous damping Σχήµα 3-1. Οδήγηση φορείου. 2
Ο ενισχυτής ισχύος είναι ικανός να παρέχει οποιοδήποτε ρεύµα ( i S ) στον DC κινητήρα µε σταθερά ροπής K T, ανεξάρτητα της τάσης του κινητήρα. Ο δροµέας του κινητήρα έχει αδράνεια ( J m ) και υπόκειται σε ιξώδη τριβή ( B m ). Η άτρακτος είναι παραµορφώσιµη ( K ). Η ακτίνα του πινιόν είναι r, και η ροπή αδράνειάς του J p. Ο κανόνας µπορεί να θεωρηθεί στερεό σώµα, αλλά υπόκειται σε ιξώδη τριβή B 1 λόγω της «γλύστρας». Η ισοδύναµη µάζα του κανόνα και του φορείου είναι m c. (α) Αναπτύξτε το φυσικό µοντέλο συγκεντρωµένων στοιχείων του συστήµατος και εξηγείστε όλες τις υποθέσεις που κάνατε. (β) Κατασκευάστε το γραµµικό γράφο που αντιστοιχεί στο φυσικό µοντέλο. (γ) Βρείτε το κανονικό δένδρο και αναγνωρίστε τις πρωτεύουσες και δευτερεύουσες µεταβλητές και την τάξη του συστήµατος. (δ) Κατασκευάστε τις εξισώσεις κατάστασης και γράψτε τις στην κανονική µητρωική µορφή. Επαληθεύστε ότι η τάξη του συστήµατος είναι n=3. (ε) Βρείτε µία διαφορική εξίσωση εισόδου-εξόδου για την εξίσωση για την ταχύτητα v c του φορείου. (στ) Βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος, και εκφράστε την οµογενή λύση της διαφορικής εξίσωσης, που έχετε βρει στο ερώτηµα (ε). (ζ) Βρείτε την ειδική λύση όταν το ρεύµα που οδηγεί τον κινητήρα είναι i S = 5 A. (η) Υποθέτοντας αρχικές µηδενικές συνθήκες, και µία είσοδο βαθµίδας i S = 5 A, βρείτε την απόκριση της ταχύτητας, v c, και σχεδιάστε την. Είναι η απόκριση ικανοποιητική; Σηµείωση: Τα βήµατα (στ)-(η) µπορούν να ενοποιηθούν εάν χρησιµοποιηθεί η εύρεση της απόκρισης µέσω µετασχηµατισµού Laplace και αντίστροφού του. (θ) Βρείτε την απόκριση µόνιµης κατάστασης και για τις τρεις µεταβλητές κατάστασης, όταν i S = 5 A. (ι) Χρησιµοποιώντας MATLAB, σχεδιάστε την βηµατική απόκριση και για τις τρεις µεταβλητές κατάστασης ως συναρτήσεις του χρόνου. Συµφωνεί η απόκριση σταθερής κατάστασης, που έχετε βρει στο (θ) µε την απόκριση που προέκυψε από το MATLAB? Συµφωνεί το αποτέλεσµα στο ερώτηµα (η) µε αυτό που έχετε βρει εδώ? Χρησιµοποιήστε τις παρακάτω παραµέτρους συστήµατος στους υπολογισµούς σας: B m = 0,03Nms / rad, K = 8500 Nm / rad, J m = 0,0075 Nms 2 / rad, B 1 = 15 Ns / m, m c = 65 kg, r = 10cm, J p = 0,0025 Nms 2 / rad και K T = 1Nm / A. Άσκηση 4 Αναλάβατε τη µελέτη του συστήµατος προσανατολισµού ενός νέου δορυφόρου. Στα άκρα των εύκαµπτων ηλιακών συλλεκτών τοποθετούνται ευαίσθητα όργανα, των οποίων η γωνιακή θέση πρέπει να ελεγχθεί µε ακρίβεια. Παρατηρείστε ότι το σύστηµα είναι τελείως συµµετρικό και τα δύο όργανα έχουν διαφορά στη γωνιακή τους θέση πάντοτε π rad. Εποµένως, εάν η µία γωνία είναι θ(t), η άλλη είναι θ(t) π. Προφανώς τα όργανα έχουν κοινή γωνιακή ταχύτητα, θ(t) = ω(t). Ο δορυφόρος διαθέτει προωθητήρες µε τους οποίους µπορεί να περιστρέφεται, βλ. Σχ. 4-1. 3
(t) B r K r T (t) J 1 J 2 (t) Σχήµα 4-1. Δορυφόρος µε εύκαµπτους ηλιακούς συλλέκτες. (α) Κατασκευάστε ένα απλό φυσικό µοντέλο του συστήµατος µε είσοδο την ροπή από τους προωθητήρες T (t) και έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t). Τα όργανα έχουν ισοδύναµη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα του δορυφόρου J 2, οι συλλέκτες έχουν ισοδύναµη απόσβεση B r και ισοδύναµη σταθερά στροφικού ελατηρίου K r και ο δορυφόρος ροπή αδρανείας J 1. (β) Κατασκευάστε το γραµµικό γράφο που αντιστοιχεί και βρείτε τις εξισώσεις κατάστασης. Θεωρείστε ως έξοδο την θ(t) = ω(t). (γ) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς µεταξύ T (s) και Ω(s) = sθ(s). (δ) Επαληθεύστε ότι η συνάρτηση µεταφοράς µεταξύ T (s) και Θ(s) έχει τη µορφή: Θ(s) T (s) = As B s 2 (s 2 Cs D) (ε) Δίνοντας µία µοναδιαία βηµατική είσοδο ροπής T (s) = 1/ s µε ενεργοποίηση των προωθητήρων, η γωνιακή θέση των οργάνων βρέθηκε να είναι η εξής: θ(t) = 3t 2 2 3e t e 3t Βρείτε τους συντελεστές A, B, C, και D. Μπορείτε να βρείτε τις παραµέτρους του συστήµατος (ροπές αδράνειας, κ.λπ.); (στ) Υπολογίστε την απόκριση του συστήµατος µε έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t) για εισόδους ροπής: T (t) = 5t T (t) = sint (ζ) Επαληθεύστε τα αποτελέσµατά σας στο (στ) µε χρήση Matlab/ Simulink. Για την απόκριση, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τη συνάρτηση µεταφοράς ή τις εξισώσεις κατάστασης. Εάν χρησιµοποιήσετε τις τελευταίες, προσθέστε σε αυτές τη γραµµή d θ(t) = ω(t) dt ώστε να έχετε ως έξοδο τη γωνιακή θέση θ(t) και όχι τη γωνιακή ταχύτητα θ(t) = ω(t). Τι παρατηρείτε; 4
Άσκηση 5 Σας προσέλαβαν ως σύµβουλο δυναµικής και ελέγχου σε ναυπηγείο ιστιοπλοϊκών σκαφών µε στόχο να µελετήσετε το πρόβληµα ελέγχου της γωνίας διατοίχισης (roll angle, µπότζι) ενός νέου ιστιοπλοϊκού, βλ. Σχ. 5-1. Προκειµένου να γίνει µια προκαταρκτική µελέτη του προβλήµατος της δυναµικής και του ελέγχου, αποφασίζετε να αναπτύξετε ένα πολύ απλό µοντέλο συγκεντρωµένων παραµέτρων που να περιγράφει τη συµπεριφορά διατοίχισης του ιστιοπλοϊκού σε πλευρικούς ανέµους. v w (t) Σχήµα 5-1. Ιστιοπλοϊκό σε πλευρικούς ανέµους. Όταν το ιστιοπλοϊκό βρεθεί σε περιοχή µε πλευρικούς ανέµους, η αντίσταση των πανιών το αναγκάζει να στραφεί γύρω από το διαµήκη του άξονα. Η ροπή αυτή αντισταθµίζεται από το βάρος της βαριάς καρίνας (περιέχει µόλυβδο) και της άνωσης. Κάνετε τις εξής παρατηρήσεις: (α) Η καρίνα παρουσιάζει µεγάλη πλευρική επιφάνεια και εποµένως κατά την κίνησή της µέσα στο νερό πρέπει να παρουσιάζει µεγάλη αντίσταση στην κίνηση διατοίχισης. (β) Το αυτό συµβαίνει και για τα πανιά. Στη συνέχεια, κάνετε το εξής πείραµα. Με το ιστιοπλοϊκό δεµένο στη προκυµαία, τραβάτε το κατάρτι µε ένα σκοινί δεµένο σε γερανό ύψους 30 µ. Μετράτε την τάση του σκοινιού ως συνάρτηση της γωνίας θ και βρίσκετε ότι για µικρές γωνίες (έως 0,4 rad) η τάση του σκοινιού είναι ανάλογη της γωνίας. Όταν η γωνία του σκάφους είναι 0,4 rad, αφήνετε απότοµα το σκοινί και το σκάφος ταλαντώνεται µέχρι να ισορροπήσει ξανά. Η ταλάντωση καταγράφεται από ένα κλισιόµετρο και παρουσιάζεται στο Σχ. 5-2 (β). (α) Βασιζόµενοι στα πειράµατα και τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν, εξηγείστε γιατί η δυναµική διατοίχισης του σκάφους µπορεί να περιγραφεί από ένα σύστηµα δεύτερης τάξης. (β) Βασιζόµενοι στα πειράµατα και τις παρατηρήσεις που προηγήθηκαν, βρείτε τη φυσική συχνότητα του σκάφους σε κίνηση διατοίχισης ω n, το λόγο απόσβεσης ζ και την ποσοστιαία υποακόντιση M P %. 5
T Σχήµα 5-2. Πείραµα ανοικτού βρόχου. Ο στόχος είναι να διατηρείται η γωνία διατοίχισης ίση µε µία επιθυµητή γωνία παρά τους πλευρικούς ανέµους. Για να επιτευχθεί αυτό, χρησιµοποιείτε αδρανειακό αισθητήρα που µετρά τη γωνία θ(t) η/και τη ταχύτητα θ(t) και ένα σύστηµα από υδροπτέρυγες στην καρίνα του σκάφους που παράγουν ροπή αντίθετη από αυτή του ανέµου. Τέλος, σχεδιάζετε ένα σύστηµα ελέγχου κλειστού βρόχου που παρουσιάζεται στο Σχ. 5.3. Σε αυτό, d είναι η διαταραχή ροπής που οφείλεται στους πλευρικούς ανέµους, τ C η ροπή ελέγχου που οφείλεται στις υδροπτέρυγες και G C (s), H (s) οι συναρτήσεις µεταφοράς του κατευθυντή και της ανάδρασης που θα επιλέξετε, αντίστοιχα. d e G C (s) C d 2 n s 2 2 2 n s n H(s) Σχήµα 5-3. Σύστηµα ελέγχου διατοίχισης σκάφους. Αναλογικός Έλεγχος (P) Ο αισθητήρας που διαθέτετε µετράει µόνο τη γωνία θ(t). Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιµοποιήσετε έλεγχο αναλογικού τύπου: τ C = K P e (γ) Συµπληρώστε το Σχ. 5-3 µε κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόµος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s) / d(s). (δ) Εάν d(s) = 1/ s, δηλαδή ο πλευρικός άνεµος είναι σταθερός, βρείτε τη γωνία µόνιµης κατάστασης θ( ) = θ ss. Μπορείτε να µεταβάλετε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης e ss, µεταβάλλοντας το αναλογικό κέρδος ελέγχου K P ; 6
Αναλογικός και Διαφορικός Έλεγχος (P-V) Πέρα από τον αισθητήρα που µετράει τη γωνία θ(t), διαθέτετε πλέον και γυροσκόπιο που µετράει το ρυθµό µεταβολής της θ(t) δηλαδή την θ(t). Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιµοποιήσετε τον εξής νόµο ελέγχου: τ C = K P e K V θ (ε) Συµπληρώστε το Σχ. 5-3 µε κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόµος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s) / d(s). (στ) Επιλέξτε τα κέρδη K P, K V έτσι ώστε να επιτύχετε τις εξής προδιαγραφές: Χρόνος αποκατάστασης 1% = 1,3 Μέγιστη υπερ(υπό)ακόντιση 1,22% (ζ) Με θ d = 0 και d(s) = 1/ s, βρείτε τη γωνία µόνιµης κατάστασης θ( ) = θ ss και το σφάλµα e ss. Μπορείτε να µηδενίσετε το e ss µε αυτόν τον κατευθυντή; (η) Έστω ότι είχατε δοκιµάσει τον κλασικό έλεγχο P-D: τ C = K P e K D e µε θ d = 0 και d(s) = 1/ s. Χρησιµοποιήστε τα ίδια κέρδη που βρήκατε στο (στ), µε K D = K V. Χρησιµοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραµµα και βρείτε την απόκριση που αντιστοιχεί σε κάθε ένα από τους δύο κατευθυντές. Σχολιάστε τις διαφορές που παρατηρείτε. Αναλογικός, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Έλεγχος (P-I-D) Η διατήρηση της βέλτιστης γωνίας του σκάφους είναι σηµαντική για την ασφάλεια του σκάφους. Αποφασίζετε λοιπόν να χρησιµοποιήσετε τον εξής νόµο ελέγχου: τ C = K P e K D e K I (θ) Συµπληρώστε το Σχ. 5-3 µε κατάλληλες συναρτήσεις G C (s), H (s) έτσι ώστε να υλοποιηθεί αυτός ο νόµος ελέγχου. Στη συνέχεια, θέτοντας θ d = 0 (σκάφος χωρίς κλίση), βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου θ(s) / d(s). Ποιο είναι το σφάλµα µόνιµης κατάστασης όταν d = 2Nm ; t 0 edt (ι) Βρείτε τη χαρακτηριστική εξίσωση της συνάρτησης κλειστού βρόχου. Υπολογίστε τα κέρδη ελέγχου K P, K D, K I έτσι ώστε όλοι οι πόλοι κλειστού βρόχου να είναι στο -4 rad/s. Χρησιµοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραµµα και βρείτε την απόκριση που αντιστοιχεί σε διαταραχή d = 2Nm. Σχολιάστε την απόκριση. Άσκηση 6 Η Ελλάδα έχει µεγάλο αριθµό ιχθυοτροφείων µε µεγάλες εξαγωγές (12% των εξαγωγών της Ελλάδος). Αυτές εξαρτώνται από την ποιότητα των ψαριών και αυτή µε τη σειρά της προϋποθέτει γρήγορο πακετάρισµα των κατεψυγµένων ψαριών και συσκευασία τους σε κιβώτια όπου σε κάθε κιβώτιο, το κάθε ψάρι έχει πολύ µικρή απόκλιση σε βάρος από τα άλλα. Έτσι, απαιτείται ζύγισµα των ψαριών όταν κινούνται µε µεγάλη ταχύτητα προς τη συσκευασία τους. 7
Οι κοινοί ζυγοί είναι που βασίζονται σε ελατήρια ή ηλεκτροµηκυνσιόµετρα είναι αργοί και εποµένως τα σφάλµατα στη µέτρηση του βάρους είναι µεγάλα. Μας ενδιαφέρει λοιπόν να εξετάσουµε µία άλλη µέθοδο ζύγισης. Βασιζόµαστε στη διάταξη της Άσκησης 2 µε σκοπό να προχωρήσουµε στο σχεδιασµό ενός ζυγού ταχείας απόκρισης. Όπως αναφέρθηκε ήδη, ο ζυγός πρόκειται να χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση του βάρους κατεψυγµένων ψαριών που κινούνται σε ιµάντες µε µεγάλη ταχύτητα µε σκοπό την γρήγορη ταξινόµησή τους στο κατάλληλο κιβώτιο. Σε κάποιο σηµείο, οι ιµάντες διακόπτονται και παρεµβάλλεται ο ζυγός. Το κάθε ψάρι παραµένει στο ζυγό για πολύ λίγο χρόνο, της τάξης του 1s. Σε αυτό το χρόνο, το ψάρι πρέπει να ζυγισθεί, δηλαδή η µέτρηση του βάρους του να έχει σταθεροποιηθεί στο 2% της πραγµατικής του τιµής. Η αρχή λειτουργίας του ζυγού είναι ως εξής: Όταν ο ζυγός είναι κενός, τότε x = 0, βλ. Σχ. 6-1. (Το βάρος της κινούµενης πλάκας µε µάζα Μ αντισταθµίζεται από αρχική παραµόρφωση του ελατηρίου). Όταν ένα ψάρι προωθηθεί στο ζυγό, τότε λόγω του βάρους του, τείνει να εµφανισθεί µία µετατόπιση x της πλάκας του ζυγού. Η µετατόπιση µετράται µε αισθητήρα LVDT. Ορίζοντας στο σύστηµα ελέγχου ως επιθυµητή µετατόπιση την x d = 0, βλ. Σχ. 6-2, ο κατευθυντής εφαρµόζει στο πηνίο φωνής κατάλληλο ρεύµα έτσι ώστε αυτό να επιβάλλει τη δύναµη που απαιτείται για να εξουδετερωθεί η µετατόπιση αυτή. Τότε, το βάρος του ψαριού είναι ίσο µε τη δύναµη που επιβάλλει το πηνίο φωνής στη µόνιµη κατάσταση και που βρίσκεται από µέτρηση του ρεύµατος του πηνίου ( f (t) = k F i(t) ). m M k F x N B k S N R, L i v Σχήµα 6-1. Ζυγός ταχείας απόκρισης µε είσοδο ρεύµατος. d = mg x d = 0 e G C (s) i f e f x Σχήµα 6-2. Δοµικό διάγραµµα ελέγχου ζυγού. Οι παράµετροι του ζυγού βρέθηκαν από πειράµατα και τη φυσική του πηνίου φωνής και είναι οι εξής: R = 4Ω, L = 1mH, k F = 8N / A, M = 0,5kg, k = 10 4 N / m, B = 5Ns / m. Τα ψάρια που µας ενδιαφέρουν εδώ έχουν µάζα m = 0,5kg. Καταρχάς θεωρούµε ότι ο κατευθυντής ορίζει την τάση i του ζυγού. Το ψάρι εµφανίζεται ως διαταραχή δύναµης d = mg στο ζυγό. 8
(α) Χρησιµοποιώντας ως βάση την Άσκηση 2, (µε είσοδο το ρεύµα στο πηνίο i ), βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς G p (s) = x(s) / e f (s) που συνδέει τη συνισταµένη δύναµη e f (s) µε τη µετατόπιση x(s) του κινητού µέρους του ζυγού. (β) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς G a (s) = f (s) / i(s) που συνδέει την είσοδο ρεύµατος i(s) µε τη δύναµη που εφαρµόζει το πηνίο f (s). Θεωρείστε ότι ο ιµάντας τροφοδοσίας προωθεί ένα ψάρι στο ζυγό. Το ψάρι είναι µια βηµατική διαταραχή δύναµης d(s) = mg / s, αυξάνει όµως και τη συνολική µάζα που επιταχύνεται. Η εντολή προς το σύστηµα ελέγχου είναι x d = 0, βλ. Σχ. 6-2. (γ) Τι τύπου είναι η εγκατάσταση ανοικτού βρόχου; Επιλέξτε ένα κατευθυντή µε συνάρτηση µεταφοράς G C (s) = i(s) / e(s) έτσι ώστε το σφάλµα στη µέτρηση του βάρους να µηδενίζεται για κάθε ψάρι, δηλ. e f,ss = f ( ) mg = 0 όπου f (t) = k F i(t) το µετρούµενο βάρος. (δ) Σχεδιάστε το δοµικό διάγραµµα του συστήµατος κλειστού βρόχου και βρείτε τις συναρτήσεις µεταφοράς: G x (s) = x(s) / d(s) G i (s) = i(s) / d(s) G v (s) = v(s) / d(s) G f (s) = e f (s) / d(s) (ε) Επιλέξτε τις παραµέτρους του κατευθυντή έτσι ώστε το σφάλµα στη µέτρηση του βάρους του ψαριού e f (t) να είναι µικρότερο από 2% του βάρους του ψαριού σε χρόνο το πολύ ίσο µε 1s και M P = 1,4%. Εάν αυτό δεν είναι επιτεύξιµο, χαλαρώστε την απαίτηση για την υπερακόντιση. (στ) Υποθέτοντας ένα ψάρι 0,5kg, χρησιµοποιήστε το Matlab/ Simulink ή ανάλογο πρόγραµµα και βρείτε την απόκριση της τάσης στα άκρα του πηνίου v(s) = v L (s) και του ρεύµατος i(s) = i L (s) που το διαρρέει. Επίσης, δώστε την απόκριση της µετατόπισης (βύθισης) του ζυγού x(s) και του σφάλµατος βάρους του ψαριού e f (s). Πληροί η απόκριση αυτή τις προδιαγραφές που τέθηκαν; Άσκηση 7 Ένα σύστηµα µε µοναδιαία ανάδραση έχει συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K(s 3) s 2 2s 10 (α) Σχεδιάστε τους πόλους και µηδενιστές ανοικτού βρόχου και εξετάστε εάν το σύστηµα ανοικτού βρόχου είναι ευσταθές. (β) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για K από 0 έως άπειρο. (γ) Υπάρχει περιοχή του Κ για την οποία το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές; 9
(δ) Εάν υπάρχει Κ για το οποίο το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι οριακά ευσταθές, βρείτε τη συχνότητα ω n στην οποία θα ταλαντώνεται. (ε) Βρείτε την τιµή του Κ για την οποία ο λόγος απόσβεσης ζ είναι ίσος µε 0,707. Άσκηση 8 Ένα σερβοϋδραυλικό σύστηµα µε έλεγχο τύπου P (αναλογικό έλεγχο) και µε µοναδιαία ανάδραση έχει συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K s(s 2 6s 1) (α) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για K από 0 έως άπειρο. (β) Βρείτε την τιµή του Κ για την οποία ο λόγος απόσβεσης ζ που αντιστοιχεί στους κυρίαρχους πόλους είναι ίσος µε 0,707. (γ) Για την τιµή του Κ που υπολογίσατε στο (β), βρείτε τη θέση του τρίτου πόλου. Άσκηση 9 Ένας κατευθυντής PID ελέγχει τη γωνιακή θέση ενός στροφικού µηχανικού συστήµατος που εδράζεται σε ηλεκτροµαγνητικά έδρανα (µηδέν δυναµική τριβή). Η ροπή αδράνειας των στρεφόµενων µερών είναι J = 1kgm 2. d e 10 1 s ks T 1 Js 2 Σχήµα 9-1. Δοµικό διάγραµµα ελέγχου στροφικού µηχανικού συστήµατος. (α) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών για k από 0 έως άπειρο. (β) Εξετάστε την ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου ως συνάρτηση του k. (γ) Εξετάστε την απόκριση της γωνιακής θέσης θ ως συνάρτηση του k. Άσκηση 10 Ένα σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου την εξής: G(s) = K(s 100) (s 5) 2 (s 2 2s 5) (α) Χρησιµοποιείστε το Matlab και τη συνάρτηση rlocus για να βρείτε τον τόπο των ριζών. (β) Υπάρχει περιοχή του Κ για την οποία το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές; (γ) Εάν υπάρχει Κ για το οποίο το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι οριακά ευσταθές, βρείτε τη συχνότητα ω n στην οποία θα ταλαντώνεται. 10
(δ) Εάν επαναλαµβάνατε την ίδιες ερωτήσεις αναλυτικά-γραφικά, τι θα ήταν πιο εύκολο; Τι πιο δύσκολο; Άσκηση 11 Ο έλεγχος της κλίσης ενός πυραύλου κατά την απογείωσή του γίνεται µε ρύθµιση της γωνίας των προωθητήρων στη βάση του µέσω σερβοϋδραυλικών επενεργητών (εµβόλων). Υποθέτοντας ότι η δυναµική των επενεργητών που κινούν τους προωθητήρες µπορεί να παραληφθεί ως πολύ γρήγορη σε σχέση µε τη δυναµική της κλίσης του, η συνάρτηση µεταφοράς που συνδέει την κλίση θ του πυραύλου ως προς την κατακόρυφο µε τη δύναµη F από τους προωθητήρες είναι η εξής: Θ(s) F(s) = 1 s 2 4 Ο στόχος του ελέγχου είναι η γωνία θ να είναι µηδέν. Για το λόγο αυτό, σχεδιάζουµε ένα σύστηµα ελέγχου κλειστού βρόχου χρησιµοποιώντας ανάδραση της γωνίας θ που παρέχεται π.χ. από ένα κλινόµετρο. Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση µεταφοράς αυτή περιγράφει και το ανάστροφο εκκρεµές του Σχ. 11-1β. Για το λόγο αυτό θα επικεντρώσουµε την ανάλυσή µας στο ανάστροφο εκκρεµές. F Σχήµα 11-1. (α) Έλεγχος κλίσης πυραύλου. (β) Ανάστροφο εκκρεµές. Το δοµικό διάγραµµα του συστήµατος κλειστού βρόχου απεικονίζεται στο Σχ. 11-2. Θα δοκιµάσουµε διάφορους κατευθυντές και θα εξετάσουµε την αποτελεσµατικότητά τους. d e G C (s) F 1 s 2 4 Σχήµα 11-2. Δοµικό διάγραµµα συστήµατος ελέγχου κλίσης πυραύλου/ ανάστροφου εκκρεµούς. (α) Έστω G C (s) = K. (1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήµατος κλειστού βρόχου. (2) Μπορείτε να κρατήσετε το εκκρεµές κατακόρυφο εάν υπάρξουν µικρές διαταραχές; (β) Έστω G C (s) = K(s 0,75). 11
(1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήµατος κλειστού βρόχου. (2) Μπορείτε να κάνετε το σύστηµα ευσταθές; Εάν ναι, για ποιες τιµές του Κ είναι αυτό δυνατόν; (3) Μπορείτε να ρυθµίσετε το σύστηµα ελέγχου έτσι ώστε να κάνετε το χρόνο αποκατάστασης (2%) µικρότερο από 2s; Εξηγείστε µε βάση τον τόπο των ριζών. (γ) Έστω G C (s) = K(s 4). Επαναλάβετε τις ερωτήσεις στο (β). (δ) Έστω G C (s) = K(s 0,75) (s 4) Επαναλάβετε τις ερωτήσεις στο (β).. Ορισµένα πειράµατα µε προωθητήρες πυραύλων οδηγούν στο συµπέρασµα ότι οι προωθητήρες δεν µπορούν να κινηθούν αρκετά γρήγορα ώστε να µπορεί η δυναµική τους να αγνοηθεί. Τα πειράµατα έδειξαν ότι το δοµικό διάγραµµα θα πρέπει να βελτιωθεί έτσι ώστε να περιλάβει και αυτή τη δυναµική, βλ. Σχ. 11-3. d e G C (s) s 5 s 6 F 1 s 2 4 Σχήµα 11-3. Δοµικό διάγραµµα συστήµατος ελέγχου κλίσης πυραύλου µε δυναµική προωθητήρων. (ε) Εξηγείστε συνοπτικά γιατί η δυναµική κίνησης των προωθητήρων δεν θα µπορούσε να αγνοηθεί (µη µοντελοποιηµένη δυναµική). (στ) Έστω G C (s) = K(s 4). (1) Σχεδιάστε τον τόπο των ριζών του συστήµατος κλειστού βρόχου. (2) Κατάλληλη διέγερση έδειξε ότι ο πύραυλος παρουσιάζει µηχανικές ταλαντώσεις µε κυκλική συχνότητα γύρω στα 80 rad/s. Εξηγείστε πως θα επιλέξετε το κέρδος K έτσι ώστε ο κατευθυντής να είναι αποτελεσµατικός (ευσταθής, καλή απόκριση). Άσκηση 12 (α) Για το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου: G(s) = G C (s)g P (s)h (s) = 10 s(1 0,2s)(1 0,02s) βρείτε το περιθώριο κέρδους και φάσης. Χρησιµοποιείστε το διάγραµµα Nyquist. (β) Για το σύστηµα µε µοναδιαία ανάδραση και µε συνάρτηση µεταφοράς πρόσω βρόχου: 12
G(s) = G C (s)g P (s) = K(1 0,2s)(1 0,1s) s 2 (1 s)(1 0,01s) 2 βρείτε την περιοχή κερδών Κ για την οποία το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές. Χρησιµοποιείστε διαγράµµατα Bode. (γ) Σχεδιάστε τα διαγράµµατα Nyquist (πολικά διαγράµµατα) για τις εξής συναρτήσεις µεταφοράς ανοικτού βρόχου: G(s) = G C (s)g P (s)h (s) = K s(s 2 s 4), G(s) = G (s)g K(s 1) C P (s)h (s) = s 2 (s 2) Εάν τα συστήµατα αυτά είναι ευσταθή (όταν κλείσει ο βρόχος), βρείτε το µέγιστο κέρδος Κ που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διατηρώντας την ευστάθεια. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα µε χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz. Άσκηση 13 To σύστηµα ελέγχου στροφών βενζινοµηχανής περιγράφεται από το Σχ. 13-1: n d 1 1 f s 1 K e s 1 n 1 s s 1 Σχήµα 13-1. Δοµικό διάγραµµα συστήµατος ελέγχου στροφών βενζινοµηχανής. Λόγω περιορισµών στην εισαγωγή του καρµπυρατέρ και την ύπαρξη χωρητικότητας (fluid capacitance) στην εισαγωγή, µεταξύ εντολής για παροχή καυσίµου και ανάπτυξης ροπής υπάρχει µία καθυστέρηση µε χρονική σταθερά τ f ίση προς 1 s. Η µηχανή έχει µηχανική σταθερά χρόνου τ e = 4s. Το αισθητήριο που µετρά την ταχύτητα έχει δυναµική µε χρονική σταθερά τ s = 0,5s. (α) Βρείτε το κέρδος Κ που είναι αναγκαίο για να κρατήσετε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης στο 7% της εντολής ταχύτητας, όταν αυτή είναι βηµατική. (β) Με το Κ που βρήκατε στο (α), και χρήση του κριτηρίου Nyquist, εξετάστε την ευστάθεια του συστήµατος. (γ) Βρείτε τα περιθώρια κέρδους και φάσης του συστήµατος. Άσκηση 14 Έχετε ως στόχο το σχεδιασµό ενός αυτόµατου πιλότου για τη δυναµική ανόδου ενός lear jet, βλ. Σχ. 14-1. Η δυναµική του αεροπλάνου που παίζει το µεγαλύτερο ρόλο είναι αυτή µε τη µεγάλη περίοδο, δηλαδή η φυγοειδής (phugoid motion). Η δυναµική αυτή µπορεί να περιγραφεί από την εξής απλοποιηµένη εξίσωση κίνησης: α 0,01 α 0,002α = 0,5 β 0,005β h = 30α 13
όπου α είναι η γωνία προσβολής, β η γωνία ελέγχου ύψους-βάθους και h το ύψος του κέντρου µάζας του αεροπλάνου. L mg Σχήµα 14-1. Αεροπλάνο κατά την άνοδο. (α) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς που συνδέει το ύψος h µε τη γωνία ελέγχου β. G P (s) = h(s) β(s) Για τον αυτόµατο πιλότο αποφασίζετε να χρησιµοποιήσετε το δοµικό διάγραµµα του Σχ. 14-2. Σε αυτό ορίζετε το υψοµετρικό σφάλµα e(s) = h d (s) h(s) και επιλέγετε να σχεδιάσετε ένα κατευθυντή/ αντισταθµιστή G C (s) που να έχει ως είσοδο το υψοµετρικό σφάλµα και ως έξοδο τη γωνία ελέγχου ύψους-βάθους. h d e G C (s) G P (s) h Σχήµα 14-2. Δοµικό διάγραµµα αυτόµατου πιλότου. (β) Σχεδιάστε τα διαγράµµατα Bode για την G P (s). (γ) Καταρχάς, χρησιµοποιείτε ένα κατευθυντή τύπου P ( G C (s) = K ). Βρείτε το κέρδος K έτσι ώστε η συχνότητα αποκοπής να είναι ω CG = 0,15rad / s. Για αυτό το κέρδος, είναι το σύστηµα κλειστού βρόχου ευσταθές; Αν ναι, ποια είναι το περιθώρια κέρδους και φάσης; (δ) Για τον κατευθυντή του ερωτήµατος (γ) και εάν το επιθυµητό ύψος είναι µια συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m, όπου t ο χρόνος, ποιο είναι το σφάλµα µόνιµης κατάστασης; (ε) Εξετάζετε το ενδεχόµενο να χρησιµοποιήσετε έναν αντισταθµιστή προπορευόµενης φάσης (lead compensator). H συχνότητα αποκοπής επιλέγεται εκ νέου ως ω CG = 0,15rad / s ενώ το περιθώριο κέρδους πρέπει να είναι ϕ M = 50, έτσι ώστε να περιορισθούν οι ανεπιθύµητες ταλαντώσεις. Συγκρίνετε τα διαγράµµατα Bode που αντιστοιχούν στην KG P (s) (έλεγχος τύπου P) µε αυτά της G C (s)g P (s) (αντισταθµιστής). Τι παρατηρείτε; (στ) Για τον αντισταθµιστή του ερωτήµατος (ε) και εάν το επιθυµητό ύψος είναι µια συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m, ποιο είναι το σφάλµα µόνιµης κατάστασης; (ζ) Μπορείτε να σχεδιάσετε έναν αντισταθµιστή που θα µείωνε το σφάλµα στη συνάρτηση αναρρίχησης h d (t) = 2t m στο µισό από ότι στο (στ); 14
Άσκηση 15 Αναλάβατε να σχεδιάσετε ένα σύστηµα ελέγχου υδραυλικού σερβοµηχανισµού. Η εγκατάσταση αποτελείται από µία σερβοβαλβίδα, ένα υδραυλικό έµβολο και το µηχανικό του φορτίο. Η είσοδος στο σύστηµα αυτό είναι το ρεύµα που ελέγχει τη σερβοβαλβίδα και η έξοδος είναι η θέση του µηχανικού φορτίου. Το σύστηµα σας φάνηκε πολύ πολύπλοκο για να το µοντελοποιήσετε µε υποσυστήµατα συγκεντρωµένων στοιχείων στο χρόνο που διαθέτετε. Αποφασίζετε λοιπόν να διεγείρετε την εγκατάσταση ανοικτού βρόχου µε ρεύµα µεταβλητής κυκλικής συχνότητας στην περιοχή 10 3 10 2 rad / s και να µετρήσετε το κέρδος και τη γωνία του συστήµατος ανοικτού βρόχου. Τα αποτελέσµατα του πειράµατος σας εµφανίζονται στο Σχ. 15-1. 80 Bode Diagram 60 Magnitude (db) 40 20 0 20 40 0 45 Phase (deg) 90 135 180 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/s) Σχήµα 15-1. Απόκριση συχνότητας σερβοϋδραυλικού συστήµατος. (α) Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου που αντιστοιχεί στα διαγράµµατα Bode του Σχ. 15-1. (β) Βρείτε το περιθώριο κέρδους και γωνίας, καθώς και τις συχνότητες αποκοπής που αντιστοιχούν. (γ) Σχεδιάστε το διάγραµµα Nyquist που αντιστοιχεί και επαληθεύστε και από αυτό τα περιθώρια κέρδους και γωνίας. (δ) Έχοντας υπόψη τα αποτελέσµατα του (β) ερωτήµατος, εάν χρησιµοποιήσουµε έναν κατευθυντή P και µοναδιαία ανάδραση, ποιο είναι το µέγιστο κέρδος για το οποίο το σύστηµα είναι ευσταθές; Επαληθεύστε το αποτέλεσµά σας µε χρήση του κριτήριου Routh-Hurwitz. (ε) Οι αναλογικές σερβοβαλβίδες έχουν κάποια µικρή χρονική καθυστέρηση. Ποια είναι η µέγιστη καθυστέρηση σε ms που µπορούµε να δεχτούµε πριν το σύστηµα κλειστού βρόχου γίνει ασταθές όταν κλείσουµε το βρόχο (µε το ίδιο κέρδος); 15
(στ) Έχοντας τη συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου από το (α), σχεδιάστε τον τόπο των ριζών ως προς το κέρδος K P του κατευθυντή P. Τι είδους απόκριση αναµένουµε για διάφορα κέρδη K P ; (ζ) Θέλουµε η απόκριση του συστήµατος σε βηµατική συνάρτηση να έχει χρόνο αποκατάστασης 2 s και ει δυνατόν να µην παρουσιάζει ταλαντώσεις. Για το σκοπό αυτό αποφασίζουµε να απαλείψουµε τους ενοχλητικούς πόλους και µηδενιστές ανοικτού βρόχου µε τους εξής όρους: τ Z s 1 τ P s 1 s 2 2 2ζ Z ω nz s ω nz s 2 2 2ζ P ω np s ω np Τότε ο κατευθυντής θα έχει τη µορφή: για όρους α τάξης για όρους β τάξης τ G C (s) = K Z s 1 P τ P s 1... s2 2 2ζ Z ω nz s ω nz s 2 2ζ P ω np s ω... 2 np Βρείτε τις παραµέτρους του κατευθυντή και τη χρονική απόκριση του συστήµατος για βηµατική είσοδο. (η) Για τον κατευθυντή που βρήκατε, υπολογίστε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης για (i) µοναδιαία βηµατική είσοδο και (ii) για µοναδιαία είσοδο αναρρίχησης. (θ) Ένας συνάδελφός σας πρότεινε να επεκτείνετε τα πειράµατά σας σε συχνότητες πέρα από τα 100 rad/s. Το αποτέλεσµα παρουσιάζεται στο Σχ. 15-2. Τι παρατηρείτε; Πρέπει να ανησυχείτε για την επάρκεια του κατευθυντή σας; 80 Bode Diagram 60 40 Magnitude (db) 20 0 20 40 60 80 0 45 Phase (deg) 90 135 180 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/s) Σχήµα 15-2. Απόκριση συχνότητας σερβοϋδραυλικού συστήµατος σε µεγάλος εύρος συχνοτήτων. 16