x 3 = 0 x 6 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 aff(p )

Σχετικά έγγραφα
2. dim(p ) = n rank(a = )

rec(p ) rec(p ) = {y Ay = 0}. lin(p ) := rec(p ) rec(p ) = {y Ay = 0}. Ax b = α T i x = b i. P = {x R n Ax b} { x R n α T i x = b i 11-1 α T i x b i

( ) x 1 1. cone( (10.1) ( ) x ) := D (10.2) D Ax b 0 Ax 0 b. i λ i 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ILP-Feasibility conp

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Γραμμικός Προγραμματισμός

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Διάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

Γραμμικός Προγραμματισμός

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

y ) = f ( x ) + f ( y ) x ) = λ f ( x ) x + x ) + f (

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Επιχειρησιακή Έρευνα I

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

( AB) + ( BC) = ( AC).

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

t t j=1 span(x) = { 1-1

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μεγάλων τάξεων Ενδεικτικές λύσεις

B είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν υπάρχουν διατεταγμένες βάσεις ˆv του. , b, έχει λύση αν και μόνο αν rank( A) rank( A b)

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Transcript:

Διάλεξη 5: 22.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφείς: Ζακυνθινού Λυδία & Τζιώτης Ισίδωρος 5.1 Εκφυλισμένες βασικές λύσεις Ορισμός 5.1 Εστω πολύεδρο P = {x Ax b} και έστω το υποσύστημα A = x b = του οποίου οι περιορισμοί ικανοποιούνται με ισότητα για κάθε σημείο x P. Οι περιορισμοί αυτοί ονομάζονται έμμεσες ισότητες του συστήματος. Στη συνέχεια θα θεωρούμε ότι στα συστήματα που θα μελετήσουμε δεν υπάρχουν έμμεσες ισότητες. Πρόταση 5.1 Εστω διαφορετικές βασικές λύσεις x 1, x 2. επίσης διαφορετικές. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Τότε οι αντίστοιχες βάσεις B 1, B 2 είναι Ορισμός 5.2 Μία βασική λύση x R n καλείται εκφυλισμένη αν περισσότεροι από n περιορισμοί είναι ενεργοί στο x. n = 2 D P E C Σχήμα 5.1: Οι C, D είναι εκφυλισμένες και η E μη εκφυλισμένη βασική λύση. Παρατήρηση 5.1 Εστω πολύεδρο P = {x R n Ax = b, x 0}, A R m n, και x μία βασική λύση. Η x είναι εκφυλισμένη βασική λύση αν περισσότερες από n m συντεταγμένες του x είναι μηδέν. Δηλαδή υπάρχουν βασικές μεταβλητές που είναι μηδέν. 5-1

Διάλεξη 5: 22.10.2014 5-2 Παράδειγμα 5.1 Εστω πολύτοπο P σε πρότυπη μορφή με n = 6, m = 4 και άρα n m = 2. x 3 = 0 A x 6 = 0 x 4 = 0 B P x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 Σχήμα 5.2: Πολύτοπο P στον R 6. Από το σχήμα προκύπτει ότι η διάσταση του πολυτόπου είναι 2. Παρατήρηση 5.2 Οι ανισότητες του συστήματος δεν επηρεάζουν τους αφινικούς συνδυασμούς. Δηλαδή aff(p ) = aff({x Ax = b, x 0}) = aff({x Ax = b}), όπως φαίνεται και από το παράδειγμα του Σχήματος 5.3. aff(p ) P Σχήμα 5.3: Παρότι το P είναι φραγμένο από ανισότητες, το αφινικό κάλυμα του P δεν επηρεάζεται από αυτές.

Διάλεξη 5: 22.10.2014 5-3 Παρατήρηση 5.3 Εστω P = {x R n Ax = b, x 0}. Η διάσταση dim(p ) είναι ίση με: max{#αφινικά ανεξάρτητων διανυσμάτων του P } 1 = (Ορισμός 1.3) max{#αφινικά ανεξάρτητων διανυσμάτων του {x Ax = b}} 1 = (Παρατήρηση 5.2) max{#γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων του {x Ax = 0}} = (Σχήμα 5.4) n rank(a) = n m (full rank hypothesis) x 2 x 1 x 2 x 1 Ax = b x 1 x 2 Ax = 0 Σχήμα 5.4: Παράδειγμα στο οποίο max{#αφ.ανεξ.διαν. του {x Ax = b}} 1 = 2 1 = max{#γρ.ανεξ.διαν. του {x Ax = 0}}. Άρα στο Παράδειγμα 5.1, η διάσταση του πολυτόπου είναι όντως n m = 2 όπως φαινόταν κι από το σχήμα. Το σημείο A του πολυτόπου είναι μη εκφυλισμένη βασική λύση γιατί έχει 2 n m συντεταγμένες στο 0, τις x 4 και x 5. Αυτές είναι και οι μη βασικές μεταβλητές της λύσης. Αντίθετα, το σημείο B είναι εκφυλισμένη βασική λύση αφού έχει 3 > n m συντεταγμένες στο 0, τις x( 1,) x 5 και x 6. Εδώ μπορούμε να διαλέξουμε οποιεσδήποτε δύο εξ αυτών ως μη βασικές, δηλαδή έχουμε 3 επιλογές για βάση. Βέβαια, δεν υπάρχει εγγύηση ότι θα είναι όλες οι πιθανές βάσεις και έγκυρες, 2 δηλαδή θα αποτελούνται από γραμμικά ανεξάρτητες στήλες. Πρόταση 5.2 Η ιδιότητα του εκφυλισμού εξαρτάται από την αλγεβρική αναπαράσταση του πολυτόπου. Για παράδειγμα, αν x είναι μία μη εκφυλισμένη βασική λύση του πολυτόπου P = {x Ax = b, x 0}, A R m n, τότε ακριβώς n m συντεταγμένες της είναι 0. Η ίδια λύση στο ίδιο πολύτοπο εκφρασμένο στη μορφή P = {x Ax b, Ax b, x 0} ικανοποιεί 2m + (n m) = n + m > n περιορισμούς με ισότητα, άρα από τον Ορισμό 5.2 είναι εκφυλισμένη.

Διάλεξη 5: 22.10.2014 5-4 5.2 Ακραία σημεία σε πολύεδρα Παρατήρηση 5.4 Υπάρχουν πολύεδρα χωρίς ακραία σημεία. Παράδειγμα 5.2 Νοτηινγ το σεε! 1. P = {x a T x = b} (ευθεία) 2. P = {x Ax b} Αν m < n τότε δεν ικανοποιούνται n γραμμικά ανεξάρτητοι περιορισμοί και ως άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 3.2 το πολύτοπο δεν έχει ακραία σημεία. Ορισμός 5.3 Εστω πολύεδρο P R n. Το P περιέχει μία ευθεία αν υπάρχει σημείο x P και μη μηδενικό διάνυσμα d R n τέτοια ώστε: λ R, x + λd R x d O d Σχήμα 5.5: Παράδειγμα πολυτόπου του R 3 που περιέχει ευθεία, με σημείο x και διάνυσμα d τα αντίστοιχα του Ορισμού 5.3. P 1 P 2 Σχήμα 5.6: Το πολύεδρο P 1 δεν περιέχει ευθεία και το ίδιο ισχύει για το P 2 παρότι είναι μη φραγμένο.

Διάλεξη 5: 22.10.2014 5-5 Θεώρημα 5.1 Εστω μη κενό πολύεδρο P = {x R n a T i x b, i = 1,..., m} Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα : (i) Το P έχει τουλάχιστον ένα ακραίο σημείο. (ii) Το P δεν περιέχει ευθεία. (iii) Υπάρχουν n διανύσματα στο σύνολο {a 1,..., a m } τα οποία είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Απόδειξη: (ii) = (i) Εστω x P, I = {i a T i x = b i} και A I = {a i }. i I Αν το A I περιέχει n γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε το x είναι β.ε.λ. και κατ επέκταση ακραίο σημείο. Αν το παραπάνω δεν ισχύει τότε έχουμε span(a I ) R n και άρα υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα d τέτοιο ώστε i I, a T i d = 0. Ορίζουμε ευθεία y = x + λd, λ R. Γνωρίζουμε ότι i I, a T i y = at i (x + λd) = at i x + λat i d = at i x = b i. Ομως αφού δεν υπάρχει ευθεία στο πολύεδρο P, μεταβάλλοντας κατάλληλα το λ θα παραβιάσουμε έναν περιορισμό (Σχήμα 5.7). Στην οριακή τιμή του λ κάποιος περιορισμός j γίνεται ενεργός έτσι ώστε a T j (x + λ d) = b j, j / I. (5.1) x a T j z = b j y = x + λ d Σχήμα 5.7: Ο περιορισμός a T j z = b j είναι ενεργός για το σημείο y = x + λ d της ευθείας. Ισχυρισμός 5.1 Το διάνυσμα a j / span(a I ). Απόδειξη: j / I a T j x b j. (5.2) Από τις (5.1) και (5.2) προκύπει a T j d 0. (5.3) Επομένως, αφού το διάνυσμα d είναι κάθετο στο span(a I ) το a j δεν μπορεί να ανήκει στο span(a I ) γιατί διαφορετικά η (5.3) δε θα ίσχυε. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία προσθέτουμε διαδοχικά νέους γραμμικά ανεξάρτητους ενεργούς περιορισμούς μέχρι το πλήθος τους να γίνει n, δίνοντας μας έτσι β.ε.λ., δηλαδή ακραίο σημείο. (i) = (iii) Προκύπτει με τετριμμένο τρόπο από τον ορισμό του ακραίου σημείου.

Διάλεξη 5: 22.10.2014 5-6 (iii) = (ii) Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε a 1,..., a n γραμμικά ανεξάρτητα και υποθέτουμε ότι υπάρχει ευθεία y = x + λd, d 0, τα σημεία της οποίας ανήκουν στο πολύεδρο λ R. Άρα i και λ R ισχύει a T i (x + λd) b i. (5.4) Αν a T i d > 0 η (5.4) θα παραβιάζεται για «πολύ αρνητικό» λ ενώ αντίστοιχα αν at i d < 0 η (5.4) θα παραβιάζεται για «πολύ θετικό» λ. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι a T i d = 0 δηλαδή υπάρχει d 0 το οποίο είναι κάθετο στο span( n {a i }) άρα span( n {a i }) R n, ολοκληρώνοντας το άτοπο. i=1 i=1