1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135 ο με τον x x β) η (ε) είναι παράλληλη στο διάνυσμα (6,10) γ) η (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 δ) η (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (η) η οποία έχει συντελεστή 3 Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η (ε) διέρχεται από τα σημεία Α( 3, -) και Β( 5, 0) β) η (ε) διέρχεται από τα σημεία Α( 1, - ) και Β( 1, - ) γ) η (ε) διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β( - 3, ) 3 Θεωρούμε την ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο Α( 1, ) Να βρείτε την εξίσωση της (ε) σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η (ε) είναι παράλληλη προς την ευθεία y= 4x 5 β) η (ε) είναι κάθετη προς την ευθεία y = 3x + 5 γ) η (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) η (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x ε) η (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y y στ) η (ε) διέρχεται και από το σημείο Β(-1, 3) 4 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1, -) και είναι: α) παράλληλη στο διάνυσμα ( 1, ) β) κάθετη στο διάνυσμα (0, ) 5 Θεωρούμε την ευθεία ε1: y= -x + 1 α) Αν ε : y = x +3 να βρείτε το σημείο τομής των ε1 και ε β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέ μνει η ε1 τους άξονες x x, y y γ) Ανήκει το σημείο Η(, -1) στην ε1 ; δ) Βρείτε το ώστε το σημείο Ζ(μ-1, μ+3) να ανήκει στην ε1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΝΑΓ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ 3 ο ΓΕΛ ΝΙΚΑΙΑΣ 1
1 6 Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών 1 : y x και 3 3 1 : y x για τις διάφορες πραγματικές τιμές των λ και μ 3 7 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y = x + 1 α) Να βρείτε την προβολή του σημείου Ρ (, 3) πάνω στην ευθεία (ε) β) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμετρίας την (ε) 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(0, ), Β(-1, 0) και Γ(3, 0) Να βρείτε την εξίσωση: α) του ύψους ΑΔ β) της διαμέσου ΒΜ γ) της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ 9 Να βρείτε τις γραμμές που παριστάνουν οι εξισώσεις : α) x 9y 0 β) x y 0 γ) (x 3)(3y 1) 0 δ) x x y 4y 5 0 ε) 6x xy y 0 10 Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(-, 0) και Β(0, 3) Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 με Α + Β 0 1 Να βρείτε την εξίσωση τις ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 1 : 3x 4y 11 0, : x 3y 1 0 και είναι: α) παράλληλη στην ευθεία 3 : x y 1 0 β) κάθετη στην ευθεία 4 : x y 5 0 γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στη διχοτόμο της 1 ης γωνίας των αξόνων ε) κάθετη στη διχοτόμο της ης γωνίας των αξόνων στ) παράλληλη στον χ χ ζ) παράλληλη στον ψ ψ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΝΑΓ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ 3 ο ΓΕΛ ΝΙΚΑΙΑΣ
Να βρεθεί η μεσοπαράλληλη των ευθειών στις παρακάτω περιπτώσεις: α) : 3x y 1 0 1 : 6x y 3 0 β) : x 1 1 : x 5 γ) : y 1 : y 4 3 Δίνονται οι ευθείες 1 : x 3y 1 0, : x 4y 3 0 και το σημείο Α(1, -) Να βρείτε σημείο Β της 1 τέτοιο ώστε το μέσο Μ του ΑΒ να ανήκει στην 4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3xy y 0 παριστάνει ένα ζεύγος ευθειών Ποια είναι η σχετική θέση των ευθειών αυτών; 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(1, 1), η διάμεσος ΒΜ: x y 4 0 και το ύψος ΓΔ:3x y 4 0 Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του 6 Να βρείτε αν τα σημεία Α(1, -) και Β(-, 1) βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ευθείας : 3x 5y 0 7 Εξετάστε αν υπάρχει ευθεία που περνά από το σημείο Μ(1, ) και σχηματίζει τρίγωνο με τους αρνητικούς ημιάξονες 8 Δίνεται τρίγωνο με Β(1, ), πλευρά ΑΓ με εξίσωση x y 5 0 και διάμεσο ΑΜ με εξίσωση x y 1 0 Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών 9 Δίνεται η ευθεία (ε): αχ+βψ+γ=0 Να βρεθούν : α) Η συμμετρική της ως προς τον άξονα χ χ β) Η συμμετρική της ως προς τον άξονα ψ ψ γ) Η συμμετρική της ως προς την αρχή των αξόνων Εφαρμογή για ε:3χ+ψ=6 10 Δίνονται οι εξισώσεις δύο πλευρών ενός παρ/μου ΑΒΓΔ 1 : 8x 3y 1, : x y 1 και η εξίσωση μιας διαγωνίου του 1 : 3x y 3 0 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΝΑΓ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ 3 ο ΓΕΛ ΝΙΚΑΙΑΣ 3
11 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1 : 3x y 1, : 5x y 6 και : x y 1 3 διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο και να βρεθεί β) Για ποιες τιμές του λ οι ευθείες 1 : x 4y 5, και :( 1)x y 0 διέρχονται από το παραπάνω σημείο; 1 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (λ-1)χ-(λ+1)ψ+4=0 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, διέρχονται από το ίδιο σημείο (αποτελούν δέσμη ευθειών) 13 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(-, ), διάμεσο : 4 3 1 και ύψος : 3 3 0 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ 14 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες: α) β) γ) ( 4)( 5 6) 5 0 () 3 0 ( 3)( 3 4) 0 15 Δίνεται ευθεία (ε), όχι παράλληλη προς τους άξονες, η οποία απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ΟΡ=d Αν, με 0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι :()() d 16 Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε:3χ-ψ+1=0 και ζ:4χ+ψ+7=0 17 Δίνονται οι ευθείες 1 :( 1) και :( 1) 3, Να βρείτε τις τιμές του μ ώστε 1 18 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) ( 1, 3), β) 3 1 (, ), {1} ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΝΑΓ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ 3 ο ΓΕΛ ΝΙΚΑΙΑΣ 4
Απόσταση σημείου από ευθεία Εμβαδόν τριγώνου 1 Δίνονται οι ευθείες : x 3y 6 0 και : x 3y 6 0 Να βρείτε την εξίσωση ευθείας () η οποία είναι παράλληλη στην ε και ισχύει d(,) d(,) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες προς την : 1 0 και απέχουν από αυτήν 3 μονάδες 3 Να βρεθεί η μεσοπαράλληλη των ευθειών 1 : 3 4 0 και : 3 4 4 0 4 Δίνεται η ευθεία ε:(λ-1)χ-(λ-3)ψ-4λ+1=0 Αν το σημείο Α(4, 6) απέχει από την ευθεία (ε) 3 μονάδες, δείξτε ότι 11 6 15 0 5 Ένα τρίγωνο έχει πλευρές οι οποίες βρίσκονται στον άξονα χ χ και στο ζεύγος των ευθειών 0 Να βρείτε το εμβαδόν του 6 Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ όταν Α(-, 0), Β(0, 3) και Γ(5, 0) 7 Δίνονται τα σημεία Α(1, 1), Β(5, 5) και η ευθεία ε:χ-ψ-1=0 Να βρείτε σημείο Γ της (ε) τέτοιο ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι 4 τετρ μονάδες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΝΑΓ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ 3 ο ΓΕΛ ΝΙΚΑΙΑΣ 5