Yπεράνω της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού που περιέχεται στο ευρύ δοχείο του σχήµατος () υπάρχει αέριο, του οποίου η πίεση υπερβαίνει την ατµοσφαιρική πίεση κατά ΔP. Eάν το ύψος του υγρού στο δοχείο είναι h 0, να βρεθεί το ύψος του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ, ο οποίος έχει προσαρµοσθεί στον οριζόν τιο σωλήνα εκροής του υγρού. Δίνεται η πυκνότητα ρ του υγρού, ο λόγος S /S = των διατοµών στα σηµεία B και Γ του σωλήνα εκροής και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Nα θεωρήσετε ότι, η ροή του υγρού στο κατακόρυφο δοχείο και στον οριζόντιο σωλήνα είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβή, οπότε για την ροή αυτή ισχύει ο νόµος Bernulli. ΛYΣH: Eφαρµόζουµε τον νόµο Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΒ µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που περιέχει τον γεωµετρικό άξονα του σωλήνα εκροής του υγρού, οπότε θα έχουµε: P A + gh 0 + v A / = P " + v / + 0 P + "P + #gh 0 + #v A / = P + #v / P + "gh 0 + "v A / = "v / () Σχήµα όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση. Όµως η ταχύτητα ροής v A του υγρού στο σηµείο Α είναι πολύ µικρότερη κατά µέτρο της ταχύτητας εκροής του v στο σηµείο Γ, οπότε ο όρος ρv Α / µπορεί να παραλειφθεί σε σχέση µε τον όρο ρv / και η σχέση () γράφεται: P + "gh 0 # "v / v ("P/# + gh 0 ) ()
Eφαρµόζοντας εξάλλου τον νόµο Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµ µής ΒΓ παίρνουµε την σχέση: P + "v / = P # + "v / P + "gh + "v / = P + "v / gh = v - v h = (v - v )/g (3) όπου h το ζητούµενο ύψος του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ και v η ταχύτητα ροής του υγρού στο σηµείο Β. Όµως σύµφωνα µε τον νόµο της συνέ χειας ισχύει και η σχέση: S v = S v v = (S /S )v = v / (4) οπότε η (3) γράφεται: h = v - v /4 g = 3v () g h = 6 ( P/" + gh 0 ) 8g h = 3 # 4 h 0 + P & % ( $ "g ' P.M. fysikος Στην διάταξη του σχήµατος () ο οριζόντιος σωλή νας που συγκοινωνεί µε το ευρύ δοχείο Δ φέρει στένωση, της οποίας η διατοµή είναι ίση µε το µισό της διατοµής του υπόλοιπου σωλήνα. Στην στένωση έχει συνδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου µανοµετρικού σωλήνα, ο οποίος έχει βυθιστεί σε δεξαµενή Δ που περιέχει το ίδιο υγρό που περιέχεται στο δοχείο Δ. i) Να δείξετε ότι, όταν η στρόφιγγα Σ είναι ανοιχτή τo υγρό θα ανέλ θει στον κατακόρυφο σωλήνα σε ύψος ίσο µε το τριπλάσιο του ύψους H του υγρού στο δοχείο Δ. ii) Nα βρείτε µε ποιο ρυθµό πρέπει να αναπληρώνεται η µάζα του υγρού στο δοχείο Δ, ώστε η στάθµη του υγρού στο δοχείο αυτό να παραµένει σταθερή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ακτίνα r του σωλήνα εκροής του υγρού. Η ροή του υγρού όταν ανοίξει η στρόφιγγα, να θεω ρηθεί µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: i) Επειδή το δοχείο Δ παρουσιάζει ευρεία διατοµή σε σχέση µε την δια τοµή του σωλήνα εκροής του υγρού, η ταχύτητα v µε την οποία εξέρχεται στην ατµόσφαιρα το υγρό έχει µέτρο που δίνεται από το θεώρηµα Τοricelli, δηλαδή από την σχέση: v = gh ()
Eφαρµόζοντας εξάλλου τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΒΓ, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρ χεται από τον άξονα του οριζόντιου σωλήνα, παίρνουµε την σχέση: P B + v / + 0 = P " + v / + 0 P B + v / = P " + v / () όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση, P Β η στατική πίεση του υγρού στο Β, ρ η πυκνό τητά του και v η ταχύτητα ροής του στο Β. Όµως η πίεση P Β είναι ίση µε την πίεση P αερ του αέρα που έχει εγκλωβιστεί στον κατακόρυφο µανοµετρικό σωλή η οποία είναι ίση µε P α -ρgh, όπου h το ύψος του υγρού στον σωλήνα, οπότε η σχέση () γράφεται. P - "gh + "v / = P + "v / -gh + v / = v / (3) Σχήµα Ο νόµος της συνέχειας για τις διατοµές του σωλήνα στα σηµεία Β και Γ δίνει: v S/ = v S v = v και η (3) γράφεται: () -gh + 4v / = v / gh = 3v / gh = 3gH h = 3H ii) Για να µένει σταθερή η στάθµη του υγρού στο δοχείο Δ θα πρέπει ο ρυθµός dm/ µε τον οποίο προστίθεται µάζα υγρου στο δοχείο να είναι ίσος µε τον ρυθµό εκρόης dm/ µάζας υγρού από το άκρο Γ του σωλήνα, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: dm = dm = dv (4)
όπου dv/ η παροχή του οριζόντιου σωλήνα ίση µε πr v, οπότε η (4) δίνει: () dm = "r v dm = "r gh P.M. fysikos To ευρύ δοχείο Δ της διαταξης του σχήµατος (3) περιέχει ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ, του οποίου η ελεύθερη επιφά νεια ευρίσκεται υπό υπερπίεση ΔP έναντι της ατµοσφαιρικής πίεσης. Το υγρό εκρέει προς την ατµόσφαιρα µέσω οριζόντιου σωλήνος του οποίου το στόµιο εκροής έχει διατοµή πολύ µικρότερη της διατοµής του δοχείου Δ. i) Να βρεθεί η υψοµετρική διαφορά των ελευθερων επιφανειών του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ και στο δοχείο. ii) Eάν από το δοχείο Δ αφαιρεθεί ο αέρας και στην συνέχεια αποκα τασταθεί η ροή του υγρού, να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του υγρού. Δίνεται η ατµοσφαιρική πίεση P α, το ύψος Η του υγρού στο δοχείο και η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η δε ροή του υγρού θα θεωρηθεί µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: i) Η παρουσία του κατακόρυφου σωλήνα Σ αλλοιώνει την µορφή της ροής στο άκρο του Β δηµιουργώντας σηµείο ανακοπής της ροής, δηλαδή σηµείο µηδενισµού της ταχύτητας του υγρού στο Β, που σηµαίνει ότι η δυναµική πίεση του υγρού στο Β είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΒ, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρι κών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που περιέχει τον άξονα του σωλήνα, παίρ νουµε την σχέση: Σχήµα 3 P A + v A / + gh = P B + 0 + 0 P A + v A / + gh = P B () Όµως η ταχύτητα v A είναι πολύ µικρή (περίπου µηδενική), αφού η διατοµή του δοχείου Δ είναι πολύ µεγαλύτερη της διατοµής του σωλήνα εκροής, η δε πίεση P B δίνεται από την σχέση:
P B = P + "g( H + #h) Έτσι η σχέση () γράφεται: P + "P + #gh = P + #g( H + "h) P + "gh = H"g + "gh h = P/"g > 0 () δηλαδή η στάθµη του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ βρίσκεται πάνω από την στάθµη του υγρού στο δοχείο Δ (σχ. 3). ii) Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΓ στην περίπτωση που έχει αφαιρεθεί ο αέρας στο δοχείο Δ, παiρνουµε την σχέση: 0 + v A / + gh = P " + v " / + 0 v A / + gh = P " + v / (3) Σχήµα 4 Όµως η ταχύτητα καθόδου v A της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στο δοχείο Δ είναι πολύ µικρότερη της ταχύτητας εκροής του υγρού, οπότε η σχέση (3) µε καλή προσέγγιση γράφεται: gh = P " + v / v = gh - P " v = ( gh - P /") Για την περίπτωση που εξετάζουµε η ροή του υγρού είναι εφικτή, έφ όσον ισχύει η σχέση: gh - P /" > 0 H > P /"g Παρατήρηση: Eπειδή πάλι το άκρο Β του µανοµετρικού σωλήνα Σ αποτελεί σηµείο ανακοπής της ροής, θα έχουµε µε εφαρµογή του νόµου του Βernulli για την ρευµατική γραµµή AB την σχέση:
0 + v A / + gh = P B + 0 + 0 gh = P " + g h # h = H - P " /#g H - h = P " /#g > 0 δηλαδή η στάθµη του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ βρίσκεται κάτω από την στάθµη του υγρού στο δοχείο Δ (σχ. 4). P.M. fysikos Σε οριζόντιο αγωγό σταθερής διατοµής εµβαδού S, ρέει νερό. Ο αγωγός διακλαδίζεται σε δύο κατακόρυφους αγωγούς () και () του ίδιου µήκους, όπως φαίνεται στο σχήµα (5), από τους οποίους το νερό εξέρχεται προς την ατµόσφαιρα. Εάν τα εµβαδά διατο µής των αγωγων () και () είναι S/3 και S/4 αντιστοίχως και η παρο χη του αγωγού () αποτελεί τα 60% της παροχής Π 0 του οριζόντιου κεντρικού αγωγού, να βρεθεί η σχετική ως προς την ατµοσφαιρική πίεση στατική πίεση του νερού στον κεντρικό αγωγό. Δίνεται η πυκνό τητα ρ του νερού. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒ (σχ. 5) µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από τον άξονα του κεντρικού αγωγού, παίρνουµε την σχέση: P A + v / + 0 = P B + v / + gh P + v / = P " + v / + gh () Σχήµα 5 όπου v, v οι ταχύτητες ροής του νερού στον κεντρικό αγωγό και στον αγωγο () αντιστοίχως, P η στατική πίεση του νερού στον κεντρικό αγωγό και P α η ατµοσφαιρική πίεση. Εφαρµόζοντας τον ίδιο νόµο για την ρευµατική γραµµή ΓΔ παίρνουµε την σχέση:
P + "v / + 0 = P + "v / - "gh P + v / = P " + v / - gh () όπου v η ταχύτητα ροής του νερού στον αγωγό (). Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις () και () έχουµε: P + v = P " + v / + v / ( P - P ) = "( v / + v / - v ) 4P " = #( v + v - v ) (3) όπου η διαφορά P-P σχ εκφράζει την ζητούµενη σχετική στατική πίεση του νερού στον κεντρικό αγωγό, σε σχέση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v, v, v ισχύουν οι σχέσεις: v = 0 / S v = / S = ( 3 0 / 5) /( S/ 3) = 9 0 / 5S v = / S = ( 0 / 5) /( S/ 4) = 8 0 / 5S οπότε η (3) γράφεται: + % 4P " = #-' &, - 9$ 0 5S ( * ) % + 8$ ( 0 ' * & 5S ) % - $ ( 0 ' * & S ). 0 / 0 4P " = # 0$ 0 5S P " = 6#$ 0 5S P.M. fysikos Ένα δοχείο φέρει στον πυθµένα του µικρή οπή O εµβαδού S και περιέχει νερό µέχρις ορισµένου ύψους. Στην οπή έχει προσαρµοσθεί στρόφιγγα που αρχικά είναι κλειστή, ενώ το δοχείο έχει την µορφή ενός παραβολοειδούς εκ περιστροφής, δηλαδή προ κύπτει από την περιστροφή περι τον κατακόρυφο άξονα Οy της παραβολής y=px, όπου p θετική σταθερή ποσότητα (σχ. 6). Να βρε θεί σε συνάρτηση µε την απόσταση y της ελεύθερης επιφάνειας του νερού από την οπή, η ταχύτητα εκροής του όταν ανοίξουµε την στρόφιγγα. Να δεχθείτε ότι η ροή του νερού είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές.
ΛYΣH: Έστω ότι κάποια στιγµή η απόσταση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στο δοχείο από την οπή εκροής O είναι y. Eάν V είναι η ταχύτητα καθό δου της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και v η ταχύτητα εκροής του από την οπή, τότε σύµφωνα µε το νόµο* του Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµ µής AO, παίρνουµε την σχέση: P A + gy + V / = P O + 0 + v / () Σχήµα 6 όπου ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Όµως οι στατικές πιέσεις P A καί P Ο είναι ίσες προς την ατµοσφαιρική πίεση P α, οπότε η σχέση () γράφεται: v = V + gy () Eξάλλου, λόγω της ασυµπίεστης ροής του νερού ισχύει ο νόµος της συνέχειας, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: Sv = S x V Sv = x V Sv = yv/p V= Spv/y (3) όπου S x το εµβαδον της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και x η ακτίνα της επιφάνειας αυτής κατά την χρονική στιγµή που το εξετάζουµε το υγρό. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις () καί (3) παίρνουµε: " v = Spv % $ ' # y & " + gy v - Spv % $ ' # y & = gy " v - 4S p % $ # y ' = gy v = & gy - 4S p / y P.M. fysikos -------------------------- * Στην πραγµατικότητα δεν έχουµε δικαίωµα να χρησιµοποιούµε τον νόµο Bernulli, διότι η ροή του νερού δεν είναι µόνιµη, αφού η ταχύτητα ροής του σε κάθε σηµείο µεταβάλλεται χρονικά. Άρα η λύση του προβλήµατος είναι σε κάποιο βαθµό προσεγ γιστική.
Tο νερό οριζόντιας φλέβας νερού εξέρχεται στην ατµόσφαιρα από ακροφύσιο και προσπίπτει µε ταχύτητα v σε πτερύ γιο που κρατείται ακίνητο. Eάν η υδάτινη φλέβα εκτρέπεται από το πτερύγιο κατά γωνία φ<π/ ως προς την αρχική της διεύθυνση, να βρεθεί η εξωτερική δύναµη που εξασφαλίζει την ακινησία του πτερυ γίου (δυναµη αγκύρωσης). Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και το εµβαδόν διατοµής S της φλέβας. Το όλο σύστηµα να θεωρηθεί εκτος πεδίου βαρύτητας. ΛYΣH: Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται από το άκρο Α της φλέβας που είναι σε επαφή µε το ακροφύσιο µια µάζα dm νερού, οπότε στον χρόνο θα εξέρχεται από το άλλο άκρο της άκρο Β η ίδια µάζα dm. H µεταβολή d P της ορµής της φλέβας θα είναι: d P = dm v - dm v = dm v - ( v ) () όπου v η ταχύτητα ροής του νερού στο άκρο Β. Εάν F είναι η δύναµη επαφής που δέχεται η φλέβα από το πτερύγιο και F "# η δύναµη επαφής από τον ατµοσ φαιρικό αέρα που την περιβάλλει θα έχουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, την σχέση: d P = F + F () "# dm ( v - v ) = F + F "# () Σχήµα 7 Eξετάζοντας το πτερύγιο παρατηρούµε ότι αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση της εξωτερικής δύναµης R που το κρατά ακίνητο (το αγκυρώνει), την δύναµη επαφής από την φλέβα ίση µε - F (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και την δύναµη επαφής F "#$ από τον αέρα που το περιβάλλει. Λόγω της ισορροπίας του πτερυγίου ισχύει η σχέση: R - F + F "#$ = 0 R = F - F "#$ (3)
Εξάλλου εάν θεωρήσουµε το σύστηµα πτερύγιο-φλέβα (εστιγµένη κόκκινη γραµµή) αυτό θα δέχεται από τον αέρα που το περιβάλλει δύναµη εξαρτώµενη από το σχήµα της εξωτερικής επιφάνειας του συστήµατος και από την πίεση του αέρα, που σηµαίνει ότι αν στην θέση του συστήµατος θεωρήσουµε αέρα της ίδιας πίεσης µε εκείνον του εξωτερικού του περιβάλλοντος, η ποσότητα αυτή θα δέχεται από τον υπόλοιπο αέρα δύναµη ίση µε εκείνη που δέχεται το σύστη µα. Επειδή η θεωρούµενη αυτή ποσότητα του αέρα ισορροπεί, η δύναµη αυτή θα είναι µηδενική, οπότε θα έχουµε την σχέση: F "# + F "# $ = 0 F "#$ = - F και η (3) παίρνει την µορφή: R = F + F () "# ( v ) = " v - dm "#$ ( v - v ) = R dv ( v ) = R Sv v - ( v - v ) = R R (4) H διανυσµατική σχέση (4) αναλύεται σε δύο αλγεβρικές λαµβάνοντας τις συνισ τώσες των διανυσµάτων που περιέχει κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων x, y οπότε θα λάβουµε τις σχέσεις: R x = Sv v x - v x R y = Sv v y - v y " $ # % $ R x = Sv v "#$% - v R y = Sv v &µ% - 0 Όµως λόγω του νόµου της συνέχειας ισχύει v =v και οι σχέσεις (5) γράφονται: R x = Sv v "#$% - v = Sv v &µ% R y ' ( ) R x = -Sv - "#$% = Sv &µ% R y Aπό τις (6) προκύπτει ότι η x-συνιστώσα της R κατευθύνεται προς την αρνητι κή φορά του άξονα x η δε y-συνιστώσα της προς την θετική φορά του άξονα y (σχ. 7). To µέτρο της R δίνεται από την σχέση: ') ( *) ') ( *) (5) (6) R = R x + R y (6) R = Sv ( - "#$% ) + &µ % R = Sv ( - "#$%) R = Sv "µ (# / ) (7) Η διεύθυνση της R καθορίζεται από την γωνία θ, για την οποία ισχύει: "# = R (6) x R y $µ % / "# = $µ (% /)&'( % / "# = $Sv ( - %&'() $Sv )µ( "# = $ ( $ / )
P.M. fysikos Οριζόντια φλέβα νερού εµβαδού διατοµής S, προσ πίπτει κάθετα στο κέντρο µιας κατακόρυφης πλάκας ορθογωνιακής µορφής και διαχωρίζεται σε δύο σχεδόν κατακόρυφες αντιδια µετρικές φλέβες που κινούνται παράλληλα προς την πλάκα (σχ. 8). Η φλέβα εξέρχεται στον ατµοσφαιρικό αέρα πιέσεως P α από ακροφύσιο εµβαδού διατοµής S που φέρει µανόµετρο Μ. Εάν η πλάκα κρατείται ακίνητη µε την βοήθεια µιας οριζόντιας δύναµης R, να βρεθει η ενδει ξη του µανοµέτρου. Δίνεται η ατµοσφαιρική πίεση P α το δε συστηµα θα θεωρηθεί εκτός πεδίου βαρύτητας, ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα που περιλαµβάνει την προσπίπτουσα οριζόν τια φλέβα και τις δύο ανακλώµενες κατακόρυφες φλέβες που είναι σε επαφή µε την πλάκα. Έαν dm είναι η µάζα του νερού που εισέρχεται στο σύστηµα σ ένα στοιχειώδη χρόνο ( 0), τότε η αντίστοιχη εισερχόµενη στο σύστηµα ορµή είναι οριζόντια και ίση µε dm v, όπου v η ταχύτητα εξόδου του νερού από το ακροφύσιο. Εξάλλου στον χρόνο εξέρχεται από το σύστηµα µέσω των δύο κατακόρυφων φλεβών, µάζα νερού dm που η ορµή της δεν είναι κατα κόρυφη, γεγονός που σηµαίνει ότι η µεταβολή της ορµής του συστήµατος κατά Σχήµα 8 την οριζόντια διεύθυνση στον χρόνο είναι d P =- dm v. Εφαρµόζοντας κατά την διεύθυνση αυτή τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρνουµε την σχέση: d P = F + F "# - dm v = F + F "# () όπου F η δύναµη επαφής που ασκεί η πλάκα στο εξεταζόµενο σύστηµα και F "# η δύναµη από τον ατµοσφαιρικό αέρα που το περιβάλλει. Εξετάζοντας την πλάκα παρατηρούµε ότι αυτή ισορροπεί υπό την επίδραση της δύναµης R που την κρατά σε ακινησία, της δύναµης επαφής από το νερό που είναι ίση µε - F (αξίωµα ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης) και της δύναµης F "#$ από τον
ατµοσφαιρικό αέρα που την περιβάλλει. Λόγω της ισορροπίας της πλάκας ισχύ ει η σχέση: R - F + F "#$ = 0 R = F - F "#$ () Εξάλλου εάν θεωρήσουµε το σύστηµα πλάκα οριζόντια φλέβα και τις δύο κατα κόρυφες φλέβες (εστιγµένη κόκκινη γραµµή) αυτό θα δέχεται από τον αέρα που το περιβάλλει µηδενική συνισταµένη πιεστική δύναµη (βλέπε και προηγού µενη άσκηση), οπότε θα έχουµε την σχέση: F "# + F "# $ = 0 F "#$ = - F "#$ (3) και η () παίρνει την µορφή: R = F + F () "# R = - dm v (4) Aπό την (4) προκύπτει ότι η δύναµη R είναι αντίρροπή της ταχύτητας v το δε µέτρο της ακολουθεί την σχέση: R = dm v R = dv v R = Sv v v = R/S (5) όπου dv ο όγκος νερού που αντιστοιχε;i στην µάζα dm. Eφαρµόζοντας στην συνέχεια τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒ, που αντιστοιχεί στην ροή του νερού στο εσωτερικό του ακροφυσίου, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από τον άξονα του ακροφυσίου, παίρνουµε την σχέση: P A + v / = P B + v / P (M) + v / = P " + v / (6) όπου ρ η πυκνότητα του νερού, v η ταχύτητα ροής του νερού στο εσωτερικό του ακροφυσίου ενώ η ένδειξη P (M) του µανοµέτρου Μ εκφάζει την στατική πίε ση P Α του σηµείου Α. Όµως σύµφωνα µε τον νόµο της συνέχειας ισχύει: Sv = Sv / v = v / και η (6) γράφεται: (5) P (M) + v /8 = P " + v / P (M) = P + 3"v /8 P (M) = P + 3F"/8"S P (M) = P + 3F/8S P.M. fysikos
Τα ακραία τµήµατα () και () του οριζόντιου αγωγού του σχήµατος (9) είναι κυλινδρικά µε αντίστοιχα εµβαδά διατοµών S και S/, ενώ το µέσαιο τµήµα τoυ έχει διατοµή που ελατ τώνεται. Κατά µήκος του αγωγού συµβαίνει ροή νερού του οποίου οι πιέσεις στα τµήµατα () και () καταγράφωνται µε τα µανόµετρα Μ και Μ αντιστοίχως. Στο µεσαίο τµήµα του αγωγού υπάρχει µικρή κυκλική πλάκα ακτίνας r, που είναι στερεωµένη ώστε το κέντρο της να είναι πάνω στον άξονα του αγωγού και το επίπεδό της κάθετο στον άξονα αυτόν. Eάν η παροχή του σωλήνα σε νερό είναι Π, η πυκ νότητα του νερού ρ και η διαφορά των ενδείξεων των δύο µανοµέτ ρων ΔP, να βρεθεί η δύναµη που δέχεται ο δίσκος από το νερό. Να δεχθείτε ότι η ροή του νερού είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: Η πλάκα δηµιουργεί µια παραµόρφωση της ροής του νερού γύρω από αυτήν και µάλιστα επί των δύο όψεων της πλάκας εµφανόζονται σηµεία ανακοπής της ροής, δηλαδή σηµεία µηδενικής ταχύτητας του νερού. Εάν P (K) είναι η στατική πίεση του νερού στο κέντρο της πρόσθιας όψεως της πλάκας, σύµφωνα µε τον νόµο του Bernulli για την ρευµατική γραµµά ΑΚ θα ισχύει: P A + v / + 0 = P (K) + 0 + 0 P (K) = P + v / () Σχήµα 9 όπου v η ταχύτητα ροής του νερού στο ακραίο τµήµα () του αγωγού και P η πίεσή του στο τµήµα αυτό, που εκφράζεται µε την ένδειξη του µανοµέτρου Μ. Εφαρµόζοντας εκ νέου τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΚΒ θα πά ρουµε την σχέση: P (K) + 0 + 0 = P B + v / + 0 P (K) = P + v / () όπου P (K) η στατική πίεση του νερού στο κέντρο της οπίσσθιας όψεως της πλά κας, v η ταχύτητα ροής του νερού στο ακραίο τµήµα () του αγωγού και P η πίεσή του στο τµήµα αυτό, δηλαδή η ένδειξη του µανοµέτρου Μ. Η πλάκα δέχεται από το νερό πιεστικές δυνάµεις F, F που για λόγους συµµετρίας οι φορείς τους διέρχονται από τα κέντρα των δύο όψεων της τα δε µέτρα τους είναι µε καλή προσέγγιση ίσα µε πr P (K) και πr P (K) αντιστοίχως, αφού δεχθήκαµε ότι η ακτίνα r της πλάκας είναι µικρή και εποµένως στα σηµεία
κάθε όψεως της η πίεση είναι περίπου ίδια. H αλγεβρική τιµή της συνισταµέ νης F " των F, F είναι: (),() [ ] F " = F - F = #r P (K) - P (K) [ - ( P + $v / ) ] F " = #r P + $v / F " = #r P - P [ + $ ( v / - v / ) ] (3) Όµως ο νόµος της συνέχειας για την ροή του νερού κατα µήκος του αγωγού επιτρέπει ότι v >v, οπότε από τον νόµο του Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒ έχουµε P >P, δηλαδή είναι ΔP=P -P. Aκόµη έχουµε Sv =Sv /, δηλαδή v =v και η (3) γράφεται: F " = #r [ $P + %( v / - 4v / ) ] F " = #r ( $P - 3%v / ) F " = #r ( $P - 3%& / S ) P.M. fysikos Υγρό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα εµβαδού διατοµής S και περνά απότοµα σε ένα άλλο επίσης οριζόντιο σωλήνα µικρό τερης διατοµής S και εκρέει στην ατµόσφαιρα, όπως φαίνεται στο σχήµα (0). Εάν P είναι η πίεση του νερού στην είσοδο του φαρδύτερου σωλήνα και ρ η πυκνότητα του νερού, να βρεθούν: i) η παροχή του νερού στους δύο σωλήνες και ii) η δύναµη που εξασκεί το νερό στο σύστηµα των δύο σωλήνων. H ατµοσφαιρική πίεση να θεωρηθεί ασήµαντη, η ροή του νερού µόνι µη, ασυµπίεστη και απαλλαγµένη από τριβές όλο δε το σύστηµα να θεωρηθεί εκτός του πεδίου βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Eφαρµόζοντας τον νόµο του Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒ (σχ. 0) µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από τον άξονα των δύο σωλήνων, παίρνουµε την σχέση: P A + v / + 0 = P B + v / + 0 P + v / = v / () όπου v, v οι ταχύτητες ροής του νερού στον ευρύ και στον στένο σωλήνα αν τιστοίχως. Εξάλλου ο νόµος της συνέχειας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: S v = S v v = S v /S () Συνδυάζοντας τις () και () παίρνουµε:
P + v / = S v /S P = v ( S /S - ) v = P S /S - P v = S S ( - S ) (3) Σχήµα 0 H παροχή του νερού στους δύο σωλήνες είναι κοινή, η δε τιµή της Π δίνεται από την σχέση: (3) = S v P = S S " S ( - S ) (4) ii) Εξετάζοντας το υγρό που περιέχεται στους δύο σωλήνες (εστιγµένη κόκκι νη γραµµή) παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται την δύναµη επαφής F από τα τοι χώµατα των δύο σωλήνων και την πιεστική δύναµη F, η οποία ενεργεί στην διατοµή εισόδου του νερού και οφείλεται στην πίεση P (η πιεστική δύναµη στην διατοµή εξόδου του νερού παραλείπεται ως ασήµαντη). Aς δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται µια µάζα dm νερού από το ευρύ άκρο του συστήµατος των δύο σωλήνων, οπότε θα εξέρχεται στον χρόνο ίδια µάζα από το στενό άκρο του συστήµατος. Η µεταβολή d P της ορµής του εγκλωβισµένου στους δύο σωλήνες νερού είναι: ( v ) d P = dm v - dm v = dm v - d P = dv v - ( v ) = S v ( v - v ) (5) όπου dv ο όγκος του νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, θα έχουµε: d P = F + F (5) ( v ) - F = S v v - S v ( v - v ) = F + F F (6) Όµως τα διανύσµατα v, v, F είναι συγγραµικά προς τον άξονα των δύο αγωγών, οπότε από την (6) προτύπτει ότι η δύναµη F έχει την διεύθυνση του
άξονα αυτού η δε αλγεβρική της τιµή, µε θετική φορά την κατεύθυνση της ρο ής, είναι: F = S v v - v () - F " F = S v ( S v /S - v ) - P S " (4) F = S v ( S /S - ) - P S " F = (# / S )( S /S - ) - P S " F = S S P S S - S " S % $ - ' - P # S S ( F = P S S & S - S " S % $ - ' - P # S S ( & F = P S S S - P ( S = P S $ # - & S + S )S " S + S % ' S F = P S - S $ # & < 0 διότι S " S + S % <S δηλαδή η δύναµη F είναι αντίρροπη προς στην κατευθυνση της ροής του νερού. Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης η δύ ναµη επαφής που δέχεται το σύστηµα των δύο σωλήνων από το νερό είναι - F. P.M. fysikos Mια υδάτινη φλέβα, προερχόµενη από υδατόπτωση ύψους h, εισέρχεται σε χώρο όπου υπάρχει υδροστρόβιλος, τον οποίο θέτει σε περιστροφή. Το νερό εξέρχεται από τον χώρο αυτόν στην ατµόσφαιρα, µε οριζόντια ταχύτητα v η δε διατοµή του σωλήνα εκροής έχει εµβαδον S. Nα βρεθεί µε ποιο ρυθµό το νερό παρέχει ενέργεια στα πτερύγια του υδροστροβίλου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η πυκνότητα ρ του νερού και ότι η ροή του είναι µόνι µη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε µια ρευµατική γραµµή ΑΒ που αντιστοιχεί στην ροή του νερού από την ελεύθερη επιφάνεια του φράγµατος της υδατόπτωσης προς την είσοδο του χώρου όπου έχει εγκατασταθεί ο υδροστρόβιλος. Εφαρµόζοντας τον νόµο Bernulli κατά µήκος της ΑΒ µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέ σεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από την είσοδο Β, παίρνουµε την σχέση: P A + v A / + gh = P B + v B / + 0 P + "gh = P B + "v B / P B - P = "gh - "v B / () όπου P B, v B η στατική πίεση και η ταχύτητα αντιστοίχως του νερού στην είσο δο Β, ενώ θεωρήθηκe αµελήτεα η ποσότητα ρv Α / λόγω του πολύ µεγάλου εµβαδού της ελευθερης επιφάνειας του νερού στο φράγµα. Ας δεχθούµε τώρα
ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται στον χώρο του υδροστ ροβίλου µια µάζα dm νερού, οπότε στον χρόνο θα εξέρχεται ίση µάζα από τον σωλήνα εκροής. Εάν dk είναι η µεταβολή στον χρόνο της κινητικής ενέργει Σχήµα ας του νερού που περιβάλλει τον υδροστρόβιλο και dw υ η αντίστοιχη ενέργεια που παρέχεται από το νερό στα πτερύγια της υδροστροβίλου, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα έργου-ενέργειας θα έχουµε την σχέση: dk + dw = dw F + dw F () όπου dw F, dw F τα έργα των πιεστικών δυνάµεων F, F στις άκρες εισόδου και εξόδου αντιστοίχως του νερού, στον χρόνο. Όµως για την ποσότητα dk ισχύει η σχέση: dk = dmv / - dmv B / (3) για δε τα έργα dw F, dw F έχουµε: dw F dw F = F v B = P B S B v B " $ # = -F v = -P Svd % $ (4) όπου S Β το εµβαδόν της διατοµής εισόδου του νερού. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουµε: dmv / - dmv B / + dw = P B S B v B - P " Sv dm dv v - v $ B # " & + dw ' % = P BS B v B - P ( Sv v - v " % B $ # ' + dw ( & = P ) - P ) B *
- v # & B % $ ( + dw ) ' = " P - P B * " v (5) όπου dv ο όγκος νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ τα πηλίκα dv/, dw υ / εκφράζουν την παροχή Π του νερού και τον ρυθµό προσφοράς ενέργει ας στα πτερύγια του υδροστροβίλου (ισχύς υδροστροβίλου) αντιστοίχως. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: - v # & B % $ ( + dw ) ' " v = " gh - v # & B % $ ( ' " v + dw # = "gh dw # v& = "Sv% gh - $ ( ' P.M. fysikos