ΓΕΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΤΑΝΥΣΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ, ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έστ ότι το στερεό του σχήµατος στρέφεται µε γνιακή ταχύτητα (,, γύρ από άξονα που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο. Αν θερήσουµε το Ο ς αρχή του συστήµατος αναφοράς, τότε το διάνυσµα θέσης στοιχειώδους µάζας m είναι (,,. Αν είναι,, τα µοναδιαία διανύσµατα τν τριών αξόνν, τότε τα διανύσµατα και µπορούν αντίστοιχα να γραφούν: Ο m και ( ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Η ταχύτητα της µάζας m είναι υ και η στροφορµή της ς προς Ο είναι l m υ ή αλλιώς l m (. Εποµένς, η συνολική στροφορµή του στερεού σώµατος είναι: l m ( ( Από την ιδιότητα του τριπλού εξτερικού γινοµένου: A (B C B(A C C(A B και εποµένς: A (B A A B A(A B προκύπτει: ( ( ( ( ( ( οπότε αντικαθιστώντας στην (, και αναδιατάσσοντας παίρνουµε: Σελίδα από 6
Σελίδα από 6 m m m ( m m ( m m ( m m (3 ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ, ΓΙΝΟΜΕΝΑ Α ΡΑΝΕΙΑΣ Από τη σχέση (3 φαίνεται ότι τα µέτρα τν τριών συνιστσών της στροφορµής είναι: m m m ( (3α m m ( m (3β m ( m m (3γ Οι όροι Ι, Ι, Ι είναι οι ροπές αδράνειας του στερεού, ς προς τους αντίστοιχους άξονες: m (, m (, m ( (4α Ενώ οι όροι Ι, Ι, Ι, Ι, Ι, Ι ονοµάζονται γινόµενα αδράνειας: m, m, m (4β ΤΑΝΥΣΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ Η σχέση (3 µεταξύ τν και µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή γινοµένου πινάκν: ή συµβολικά: [ ] (5
Ο 3 3 πίνακας [ ] είναι ο τανυστής αδράνειας (τανυστής ας τάξης του στερεού στο σύστηµα (Ο. Οι ποσότητες Ι, Ι, λέγονται στοιχεία του πίνακα, ή συνιστώσες του τανυστή αδράνειας. Οι ροπές αδράνειας Ι, Ι, Ι ς προς τους τρεις άξονες είναι τα στοιχεία της κύριας διαγνίου του πίνακα, ς προς την οποία ο πίνακας είναι συµµετρικός. Ο τανυστής αδράνειας δεν είναι µονόµετρο µέγεθος, εποµένς από τον πολλαπλασιασµό µε το διάνυσµα της γνιακής ταχύτητας δεν προκύπτει συγγραµµικό διάνυσµα. εν είναι όµς ούτε διανυσµατικό µέγεθος ώστε να πρόκειται για το γνστό εστερικό ή εξτερικό γινόµενο διανυσµάτν. Έτσι, η στροφορµή δεν είναι γενικά συγγραµµική µε τη γνιακή ταχύτητα παρά µόνο για συγκεκριµένους άξονες περιστροφής, όπς θα δούµε πιο κάτ. Αυτό µπορούµε εύκολα να το επιβεβαιώσουµε και χρίς υπολογισµούς µε το ακόλουθο απλό παράδειγµα: Οι δύο σφαίρες m, m είναι ενµένες µε αβαρή ράβδο και το σύστηµα στρέφεται γύρ από σταθερό άξονα περιστροφής που συµπίπτει µε τον άξονα του συστήµατος αναφοράς, έτσι ώστε το Ο να µένει ακίνητο (η ράβδος σχηµατίζει σταθερή γνία φ µε τον άξονα ώστε να διαγράφονται δύο κώνοι µε κορυφή Ο. Στο δεξιό σχήµα, το γραµµοσκιασµένο επίπεδο συµπίπτει µε τη σελίδα (οι ταχύτητες είναι κάθετες σ αυτό το επίπεδο. Παρατηρήστε ότι οι στροφορµές τν δύο µαζών ς προς το ακίνητο σηµείο Ο, µε µέτρα m ²ηµφ και m ²ηµφ δεν είναι συγγραµµικές µε τη γνιακή ταχύτητα. Έχουν συνιστώσες κατά τον άξονα µε µέτρα m ²ηµ²φ και m ²ηµ²φ, αλλά έχουν και συνιστώσες πάν στο (, επίπεδο. Αν όµς η ράβδος ήταν τοποθετηµένη έτσι ώστε να βρίσκεται στο (, επίπεδο (δηλαδή φ90 και η περιστροφή γινόταν πάν του, τότε οι, θα είχαν τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής και θα ήταν συγγραµµικές µε τη γνιακή ταχύτητα. Ο m υ m υ φ υ m υ m Ο Επίπεδο (, Σελίδα 3 από 6
ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ Τρείς κάθετοι ανά δύο άξονες,,, σταθεροί ς προς ένα στερεό (στρεφόµενοι δηλαδή µαζί του, που τέµνονται σε σηµείο Ο θερούµενο ς αρχή, και είναι τέτοιοι ώστε τα γινόµενα αδράνειας ς προς αυτούς να είναι µηδέν, ονοµάζονται κύριοι ή πρτεύοντες άξονες αδράνειας του στερεού στο σηµείο Ο. Τα σηµείο Ο ονοµάζεται πρτεύον σηµείο για τους άξονες αυτούς και τα επίπεδα που ορίζονται από οποιοδήποτε ζευγάρι τν αξόνν αυτών ονοµάζονται πρτεύοντα επίπεδα στο σηµείο Ο. Η σχέση (3, µε τη βοήθεια τν (3α, 3β, 3γ, µετασχηµατίζεται στην περίπτση αυτή στην: Ι Ι Ι (6 Από την (6 φαίνεται ότι αν οι περιστροφή γίνεται ς προς κάποιον από τους κύριους άξονες (αν δηλαδή δύο από τις τρεις συνιστώσες,, είναι µηδενικές, τότε η θα συµπίπτει µε την τρίτη συνιστώσα της και η θα έχει την ίδια κατεύθυνση µε αυτήν. Ισχύει δηλαδή πλέον η γνστή σχέση Ι (7, όπου η Ι είναι βαθµτό µέγεθος. Μια σηµαντική ιδιότητα δηλαδή ενός κύριου άξονα (που µπορεί να θερηθεί και ς ορισµός είναι ότι αν το στερεό περιστρέφεται γύρ από αυτόν, τότε τα διανύσµατα και είναι συγγραµµικά. Μερικές περιπτώσεις όπου µπορούµε εύκολα να αναγνρίσουµε έναν κύριο άξονα είναι οι εξής: Α Αν το στερεό έχει κάποιο επίπεδο συµµετρίας, τότε κάθε άξονας κάθετος σ αυτό είναι κύριος άξονας στο σηµείο τοµής του Ο µε το επίπεδο. Β Αν ένα στερεό «προκύπτει» από περιστροφή γύρ από κάποιο άξονα, τότε ο άξονας αυτός είναι κύριος άξονας σε κάθε σηµείο του Ο. Γ Αν ένα σώµα είναι επίπεδο (αµελητέου πάχους, π.χ. έχει µορφή ελάσµατος τότε κάθε άξονας κάθετος στο επίπεδό του είναι κύριος άξονας στο σηµείο τοµής του Ο µε το επίπεδο σώµα. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ, ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Η κινητική ενέργεια ενός στερεού, που στρέφεται γύρ από άξονα που διέρχεται από σταθερό σηµείο Ο, µπορεί να βρεθεί ς εξής: K mυ m (υ υ m ( υ Με τη βοήθεια της ιδιότητας του τριπλού εστερικού γινοµένου: προκύπτει: A (B C B (A C C (A B Σελίδα 4 από 6
K ( mυ m υ (8 K Ή αν χρησιµοποιήσουµε τις συνιστώσες τν και :, και τελικά: K ( και µε τη βοήθεια τν (3α, 3β, 3γ: ( K (9 Και για σύστηµα κυρίν αξόνν (λόγ µηδενισµού τν γινοµένν αδρανείας: ( K (0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ( Στην περίπτση που η περιστροφή γίνεται γύρ από κύριο άξονα, τότε µε τη βοήθεια και της σχέσης (7, η (8 γίνεται: K K Ι( K Ι ( Η γενική σχέση (8 που βρήκαµε πιο πάν ισχύει γενικά για οποιοδήποτε ακίνητο ή στιγµιαία ακίνητο σηµείο από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής (σταθερός ή στιγµιαίος άξονας. εδοµένου ότι οποιαδήποτε περιστροφή γύρ από ακίνητο ή στιγµιαία ακίνητο σηµείο (πλην του είναι στην ουσία µεταφορά και περιστροφή του στερεού, αφού το έχει µη µηδενική ορµή, η κινητική ενέργεια που υπολογίζουµε µε τη σχέση είναι η συνολική κινητική ενέργεια του στερεού. Μέσα σ αυτή δηλαδή περιέχεται και η ποσότητα που είχαµε ονοµάσει ntnsc eneg αλλά και αυτή που οφείλεται στην µεταφορική κίνηση του (βλέπε στο τέλος *. Αν όµς χρησιµοποιήσουµε τη σχέση (8 ς προς το τότε, είτε αυτό κινείται είτε όχι, θα βρούµε µόνο την κινητική ενέργεια λόγ περιστροφής του στερεού γύρ από το κέντρο µάζας του. Αν θέλουµε να βρούµε τη συνολική κινητική ενέργεια του στερεού θα πρέπει τότε να προσθέσουµε και την κινητική του ενέργεια εξαιτίας της µεταφορικής του κίνησης. * Η κινητική ενέργεια του στερεού ς προς ακίνητο ή στιγµιαία ακίνητο σηµείο, όπς βρήκαµε στη σχέση (8, είναι: K Σελίδα 5 από 6
Γνρίζουµε ότι για τη στροφορµή του στερεού ς προς οποιοδήποτε σηµείο Ο ενός αδρανειακού συστήµατος ισχύει: Έτσι η (8 γίνεται: (O (O K ( (O (O K ( Mυ Mυ ( K Mυ υ και τελικά: K Mυ ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 6 από 6