ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του και ποιο το τέλος. Π.χ. στο παρακάτω διάνυσμα, Α είναι η αρχή και Β είναι το τέλος, συμβολίζεται με AB και παριστάνεται από ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στο Β. Α Β Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το τέλος συμπίπτουν. Μέτρο του διανύσματος λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται με AB Μοναδιαίο λέγεται το διάνυσμα με μέτρο το Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Φορέας του μηδενικού διανύσματος AA ευθεία που περνάει από το σημείο Α. Στα παρακάτω σχήματα : Στο (α) τα διανύσματα AB συμβολίζουμε AB ενώ στο (β) τα διανύσματα AB αντίρροπα και συμβολίζουμε AB θεωρείται κάθε,, είναι ομόρροπα και, είναι (α) (β) Δύο μη μηδενικά διανύσματα AB, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγραμμικά και συμβολίζεται AB // Δύο διανύσματα λέμε ότι είναι ίσα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και είναι ομόρροπα, ενώ λέμε ότι είναι αντίθετα όταν έχουν το ίδιο μέτρο και είναι αντίρροπα. Αν τα διανύσματα AB Γενικά ισχύει: είναι αντίθετα γράφουμε AB, AB BA =-

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα,. Αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα OA και OB τότε την κυρτή γωνία ˆ που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ ονομάζεται γωνία των διανυσμάτων, και συμβολίζεται (, ) ή (, ). Αν (, )=90 0, τότε λέμε ότι τα διανύσματα, είναι κάθετα. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα,. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OB. Αν με αρχή το σημείο Α πάρουμε το διάνυσμα AM OB, τότε το διάνυσμα OM λέγεται άθροισμα των διανυσμάτων, ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ () + = + () ( + )+ = +( + ) (3) + 0 = (4) +(- )= 0 Διαφορά - του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα του με το -. Δηλαδή - = +(- )

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Διάνυσμα θέσης ενός σημείου Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ ως προς ένα σταθερό σημείο Ο του χώρου λέγεται το διάνυσμα OM. Κάθε διάνυσμα AB σημείων Α και Β και είναι AB = OB OA μπορεί να γραφεί συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης των Α Ο Β Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει γενικά - + + Αν τότε + = + Αν τότε - = + ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Αν λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και ένα μη μηδενικό διάνυσμα τότε ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και συμβολίζουμε λ ένα διάνυσμα το οποίο: Είναι ομόρροπο του, αν λ>0 και αντίρροπο του, αν λ<0 Έχει μέτρο λ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ () λ( + )=λ +λ () (λ+μ) =λ +μ (3) λ(μ )=(λμ) ΑΚΟΜΗ: α) λ = 0 λ=0 ή = 0 β) (-λ )=λ(- )=-(λ ) γ) λ( - )=λ -λ δ) (λ-μ) =λ -μ ε) Αν λ =λ και λ 0, τότε = ζ) Αν λ =μ και 0, τότε λ=μ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν, είναι δύο διανύσματα με 0, τότε // =λ, λ Αν Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ τότε είναι OA OB OM Κάθε διάνυσμα της μορφής =κ +λ, όπου κ,λ ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των δύο διανυσμάτων και.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας με αρχή Ο και μοναδιαίο διάνυσμα i χ Ο Ι Μ(χ) χ 0 i * Στο παραπάνω σχήμα είναι i = και για κάθε σημείο Μ του άξονα χ χ υπάρχει κάποιο χ, ώστε OM =χ i. Ο αριθμός χ ονομάζεται τετμημένη του Μ. Καρτεσιανό επίπεδο Οχψ ψ Μ Μ(χ,ψ) χ j χ Ο i Μ ψ Στο παραπάνω σχήμα έχουμε δύο κάθετους άξονες χ χ και ψ ψ. που ορίζουν το καρτεσιανό επίπεδο Οχψ. Αν Μ ένα σημείο αυτού του επιπέδου και Μ, Μ οι προβολές του Μ στους άξονες χ χ και ψ ψ αντίστοιχα και χ η τετμημένη του σημείου Μ ως προς τον άξονα χ χ και ψ η τετμημένη του σημείου Μ ως προς τον άξονα ψ ψ, τότε ο αριθμός χ λέγεται τετμημένη του σημείου Μ και ο αριθμός ψ λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ. Το διατεταγμένο ζεύγος (χ,ψ) αποτελεί τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Έτσι ένα σημείο συμβολίζεται με Μ(χ,ψ) ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ψ Α Α(χ,ψ) χ j χ Ο i Α ψ Αν τώρα μας δώσουν ένα διάνυσμα που ανήκει στο επίπεδο Οχψ, μπορούμε να πάρουμε το διάνυσμα OA με αρχή το Ο, ώστε OA =. Είναι τότε OA =OA +OA ή =χ i +ψ j. Το γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή αυτή.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Τα διανύσματα χ i, ψ j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση των i, j αντίστοιχα, ενώ οι αριθμοί χ, ψ λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος στο σύστημα Οχψ. Γράφουμε =(χ,ψ) Αν =(α,α ) και =(β,β ) τότε :. = αν και μόνο αν α =β και α =β. + =(α +β,α +β ) 3. λ =(λα,λα ) 4. λ +μ =(λα +μβ,λα +μβ ) Αν Μ μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) τότε οι συντεταγμένες του σημείου Μ(χ,ψ) είναι :, Το διάνυσμα που ορίζεται από τα σημεία Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) είναι το AB =(χ -χ, ψ -ψ ) Το διάνυσμα =(χ,ψ) έχει μέτρο = Αν Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ), τότε AB = ( ) ( ) Αν =(χ,ψ ) και =(χ,ψ ) ονομάζουμε det(, )= Είναι // det(, )=0 =χ ψ -χ ψ Αν =(χ,ψ) ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος το πηλίκο λ = Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε τον πραγματικό αριθμό όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και. Αν = 0 ή = 0, τότε ορίζουμε =0 Άμεσες συνέπειες του ορισμού: = =0 = συνφ = = - i = j =, i j =0 Αν =(χ,ψ ) και =(χ,ψ ) τότε =χ χ +ψ ψ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. (λ ) = (λ )=λ( ). ( + )= + 3. λ λ = - Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων και τότε συνθ= ή συνθ= Ο θ v Μ Μ Α OM = v v v v v

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Αν μία ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω τότε ο αριθμός λ=εφω ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας. Γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ χ ονομάζεται η γωνία που διαγράφεται αν ο άξονας χ χ περιστραφεί κατά τη θετική φορά (αντίθετα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού), με κέντρο περιστροφής το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα χ χ, μέχρι να ταυτιστεί με την ευθεία. Αν ε//χ χ τότε λ=0 Αν ε//ψ ψ, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που ορίζεται από τα σημεία Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) με χ χ είναι Αν ε και ε είναι δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα τότε: ε //ε λ =λ ε ε λ λ = - Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(χ 0,ψ 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ψ-ψ 0 =λ(χ-χ 0 ) Αν μια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα ψ ψ και διέρχεται από το σημείο Α(χ 0,ψ 0 ) τότε έχει εξίσωση χ=χ 0 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) είναι : ψ-ψ = ψ=ψ (χ-χ ) αν χ χ αν ψ =ψ και χ χ χ=χ αν χ =χ

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Γενικά μία ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση : ψ=λχ. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ=0 με Α 0 ή Β 0 και αντίστροφα κάθε εξίσωση αυτής της μορφής παριστάνει ευθεία γραμμή. Η ευθεία Αχ+Βψ+Γ=0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= (αν Β 0) Το διάνυσμα =(Β,-Α) είναι παράλληλο στην ευθεία ε : Αχ+Βψ+Γ=0 Το διάνυσμα n =(A,B) είναι κάθετο στην ευθεία ε : Αχ+Βψ+Γ=0 Για να βρούμε τη γωνία που σχηματίζουν δύο ευθείες ε και ε γράφουμε τα διανύσματα και που είναι αντίστοιχα παράλληλα στις ε και ε και βρίσκουμε τη γωνία που σχηματίζουν τα και B A τότε συνφ= Οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (Αχ+Βψ+Γ)+λ(Κχ+Λψ+Μ)=0 () αποτελούν μια οικογένεια ευθειών που περνούν από το κοινό σημείο των ευθειών ε : Αχ+Βψ+Γ=0 () και ε : Κχ+Λψ+Μ=0 (3). Για να βρούμε το κοινό σημείο αυτών των ευθειών λύνουμε το σύστημα των () και (3) Η απόσταση του σημείου Μ(χ 0,ψ 0 ) από την ευθεία ε: Αχ+Βψ+Γ=0 είναι: d ( M, ) 0 0 Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν τα σημεία : Α(χ,ψ ), Β(χ,ψ )και Γ(χ 3,ψ 3 ) είναι : ( AB ) det(, AB A)

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ο ΚΥΚΛΟΣ Κύκλο ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο του, που το ονομάζουμε κέντρο του κύκλου αυτού. Την απόσταση του τυχαίου σημείου του κύκλου από το κέντρο την ονομάζουμε ακτίνα. Αν πάρουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το κέντρο Ο, τότε η εξίσωση του κύκλου θα είναι: x y, όπου ρ η ακτίνα Η εξίσωση του κύκλου με κέντρο ένα σημείο Κ(χ 0,ψ 0 ) και ακτίνα ρ είναι: (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Αν Μ(χ,ψ) ένα σημείο κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ, τότε αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας χ χ με το διάνυσμα OM τότε : χ=ρσυνφ και ψ=ρημφ φ[0,π) ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ Η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ στο σημείο Μ(χ, ψ ) έχει εξίσωση: χχ +ψψ =ρ Η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο Κ(χ 0,ψ 0 ) και ακτίνα ρ στο σημείο Μ(χ, ψ ) έχει εξίσωση: (χ-χ )(χ-χ 0 )+(ψ-ψ )(ψ-ψ 0 )=ρ Η εξίσωση χ +ψ +Αχ+Βψ+Γ=0 με την προϋπόθεση ότι Α +Β -4Γ>0 A B παριστάνει κύκλο με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ= A B 4 4

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή με εστία το σταθερό σημείο Ε, και διευθετούσα την ευθεία δ ονομάζουμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από το σημείο Ε και την ευθεία δ. Αν θεωρήσουμε σαν άξονα χ χ την ευθεία που είναι κάθετη στην δ από το Ε και άξονα ψ ψ τη μεσοκάθετο της απόστασης του Ε από τη δ, τότε η εξίσωση της παραβολής είναι : τη διευθετούσα δ. ψ =ρx Η εστία έχει συντεταγμένες, όπου ρ είναι η απόσταση της εστίας Ε από E,0 και η διευθετούσα εξίσωση: x

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Αν θεωρήσουμε σαν άξονα ψ ψ την ευθεία που είναι κάθετη στην δ από το Ε και άξονα χ χ τη μεσοκάθετο της απόστασης του Ε από τη δ, τότε η εξίσωση της παραβολής είναι : τη διευθετούσα δ. χ =ρψ Η εστία έχει συντεταγμένες, όπου ρ είναι η απόσταση της εστίας Ε από 0, E, και η διευθετούσα εξίσωση: Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Μ(χ,ψ ) έχει εξίσωση : y ( x ) x ( y ), αν η παραβολή έχει εξίσωση y x, αν η παραβολή έχει εξίσωση x y Η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής. ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία ΜΕ και η Μt που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε, οι εστία της παραβολής. ΕΛΛΕΙΨΗ Έστω Ε και Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου που απέχουν απόσταση γ (γ>0). Τότε ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε. Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε με α. Η απόσταση Ε Ε=γ ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης. Αν θεωρήσουμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονα χ χ την ευθεία που ορίζουν οι Εστίες και άξονα ψ ψ τη μεσοκάθετο του Ε Ε τότε : Η εξίσωση της έλλειψης είναι x y, Οι Εστίες είναι : Ε (-γ,0), Ε(γ,0) Οι κορυφές : Κ (-α,0), Κ(α,0) Β (0,-β), Β(0,β) Ο μεγάλος άξονας Κ Κ=α Ο μικρός άξονας Β Β=β Εκκεντρότητα ε= Αν Μ(χ,ψ) σημείο της έλλειψης τότε x y Δύο ελλείψεις με ίδια εκκεντρότητα λέγονται όμοιες.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Αν θεωρήσουμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονα ψ ψ την ευθεία που ορίζουν οι Εστίες και άξονα χ χ τη μεσοκάθετο του Ε Ε τότε : Η εξίσωση της έλλειψης είναι x y, Οι Εστίες είναι : Ε (0,-γ), Ε(0,γ) Οι κορυφές : Κ (0,-α), Κ(0,α) Β (-β,0), Β(β,0) Ο μεγάλος άξονας Κ Κ=α Ο μικρός άξονας Β Β=β Εκκεντρότητα ε= Αν Μ(χ,ψ) σημείο της έλλειψης τότε x y Μία έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες χ χ και ψ ψ και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Αν δηλαδή το σημείο Μ(χ,ψ) είναι σημείο της έλλειψης τότε και τα σημεία Α(-χ,ψ), Β(χ,-ψ), Γ(-χ,-ψ) είναι σημεία της έλλειψης. Η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της Μ(χ,ψ ) έχει εξίσωση : xx, αν η έλλειψη έχει εξίσωση x y xx, αν η έλλειψη έχει εξίσωση x y ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία E, όπου Ε, Ε, οι εστίες της έλλειψης.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Έστω Ε και Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζουμε υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε,Ε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεών τους από τις εστίες είναι σταθερή και μικρότερη του Ε Ε. Η απόσταση Ε Ε=γ (γ>0) ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής. Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου από τις εστίες την παριστάνουμε συνήθως με α (α>0). Αν χρησιμοποιήσουμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με άξονα χ χ την ευθεία που ορίζουν οι εστίες και άξονα ψ ψ τη μεσοκάθετο του Ε Ε τότε η υπερβολή έχει εξίσωση: x y Όπου Οι εστίες είναι Ε (-γ,0), Ε(γ,0) Οι κορυφές Α (-α,0), Α(α,0) Εκκεντρότητα ε= > Αν α=β η υπερβολή λέγεται ισοσκελής. Αν Μ(χ,ψ) ένα σημείο της υπερβολής είναι : x ή x α Ασύμπτωτες οι ευθείες ε : y x και ε : y x Το ορθογώνιο με κορυφές Κ(α,β), Λ(α,-β), Μ(-α,-β) και Ν(-α,β) λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Αν χρησιμοποιήσουμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με άξονα ψ ψ την ευθεία που ορίζουν οι εστίες και άξονα χ χ τη μεσοκάθετο του Ε Ε τότε η υπερβολή έχει εξίσωση: y x Όπου Οι εστίες είναι Ε (0,-γ), Ε(0,γ) Οι κορυφές Α (0,-α), Α(0,α) Εκκεντρότητα ε= > Ασύμπτωτες οι ευθείες ε : y x και ε : y x Η εξίσωση της ευθείας που είναι εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο σημείο Μ(χ,ψ ) αυτής είναι : xx y x y, αν η υπερβολή έχει εξίσωση : y xx y x, αν η υπερβολή έχει εξίσωση : Σε κάθε άσκηση στις κωνικές τομές είναι χρήσιμο, αν όχι απαραίτητο να κατασκευάζετε ένα πρόχειρο σχήμα.

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Αρχή της μαθηματικής επαγωγής: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία πρόταση είναι αληθής για κάθε ν φυσικό ακολουθούμε την εξής διαδικασία:. Αποδεικνύουμε ότι η πρότασή μας επαληθεύεται για ν=. Δεχόμαστε ότι η πρόταση είναι αληθής για ν=κ 3. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη παραδοχή αποδεικνύουμε ότι η πρόταση επαληθεύεται και για ν=κ+. ( ) Π.χ. Να αποδειχθεί ότι ++3+ ν= () ( ) Έχω: για ν= η () γίνεται = ισχύει k( k ) Δεχόμαστε ότι η () επαληθεύεται για ν=κ δηλαδή ισχύει: ++3+ κ= k( k ) k( k ) ( k ) Τότε για ν=κ+ έχω: ++3+ κ+(κ+)= +(κ+)= ( k )( k ) = δηλαδή ισχύει η () και για ν=κ+. Με βάση την αρχή της επαγωγής η () θα επαληθεύεται για κάθε ν φυσικό. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α και β είναι ακέραιοι αριθμοί με β 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ και υ, τέτοιοι, ώστε α=κβ+υ, 0 υ< β Σημαντικές εφαρμογές: Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός. Το τετράγωνο κάθε περιττού ακεραίου είναι της μορφής 8λ+, λζ Κάθε άρτιος είναι της μορφής α=κ, κζ Κάθε περιττός είναι της μορφής α=κ+, κζ

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ Έστω α,β δύο ακέραιοι με β 0. Θα λέμε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουμε β/α, όταν η διαίρεση του α με τον β είναι τέλεια, δηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε α=κβ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α,β,γ ακέραιοι αριθμοί, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Αν α/β και β/α, τότε α=β Αν α/β και β/γ, τότε α/γ Αν α/β, τότε α/λβ για κάθε ακέραιο λ. Αν α/β και α/γ, τότε α/(β+γ). Αν α/β και β 0, τότε α β Μ.Κ.Δ Ε.Κ.Π. Έστω α και β δύο ακέραιοι, από τους οποίους ένας τουλάχιστον είναι διάφορος του μηδενός. Ορίζουμε ως Μέγιστο κοινό διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) των α και β και τον συμβολίζουμε (α,β) τον αριθμο δ που είναι τέτοιος, ώστε: δ/α και δ/β αν χ/α και χ/β είναι χ δ προκύπτει άμεσα ότι (α,β)=( α, β ) Έστω α και β δύο ακέραιοι, διάφοροι του μηδενός. Ορίζουμε ως Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των α και β και τον συμβολίζουμε [α,β] τον αριθμο ε που είναι τέτοιος, ώστε: α/ε και β/ε αν α/χ και β/χ είναι ε χ προκύπτει άμεσα ότι [α,β]=[ α, β ] Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, αν (α,β)= ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α,β είναι δύο φυσικοί αριθμοί και υ είναι το υπόλοιπο της ευκλείδιας διαίρεσης του α με το β, τότε (α,β)=(β,υ) Π.χ. (34,4)=(4,0)=(0,4)=(4,)=(,0)= Διότι: 34:4=6 και υπόλοιπο0 δηλ. 34=46+0 4:0= και υπόλοιπο 4 δηλ. 4=0+4 4:= και υπόλοιπο0 δηλ. 4=+0

Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δ=(α,β), τότε υπάρχουν αριθμοί κ,λζ τέτοιοι, ώστε: δ=κα+λβ Π.χ. (,78)=3 και 3=(-7) +078 δηλ. κ=-7, λ=0 Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους, αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι κ,λ, τέτοιοι, ώστε κα+λβ= Π.χ. (3,4)= και 33+(-)4= Αν χ/α, χ/β και δ=(α,β), τότε χ/δ Π.χ. 8=(4,6), 4/4, 4/6, αλλά και 4/8 Αν α/βγ και (α,β)=, τότε α/γ Π.χ. 6/6 (6=78) και (6,7)=. τότε 6/8 (α,β,γ)=((α,β),γ) [α,β,γ]=[[α,β],γ] π.χ. (4,34,6)=((4,34),6)=(,6)= Αν δ=(α,β,γ) τότε υπάρχουν ακέραιοι κ,λ,μ, τέτοιοι, ώστε δ=κα+λβ+μγ Αν δ=(α,β,γ), τότε,, Ισχύει: (α,β) [α,β]= α β Σημαντικές εφαρμογές: Για τους ακεραίους α,β,κ ισχύουν: (α,β)=(α-κβ,β) Ειδικότερα (α,β)=(α-β,β) (α,α+)= Αν α/γ και β/γ και (α,β)= τότε αβ/γ Αν κ>0, (κα,κβ)=κ(α,β) και [κα,κβ]=κ[α,β]