ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. ίνονται τα διανύσματα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ1 και λ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι α β λλ 1 = 1 ( Μονάδες 10 ) Β. Έστω δύο σημεία Ε και Ε του επιπέδου. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε στο συγκεκριμένο επίπεδο; ( Μονάδες 5 ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσμα και μία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διευθύνσεως είναι παράλληλα. ( Μονάδες ) β. Αν Α 0 ή Β 0, η εξίσωση Αx+Βy+Γ = 0 παριστάνει ευθεία. ( Μονάδες ) γ. Η εξίσωση x +y +Ax+By+Γ = 0 με Α +Β -4Γ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Α Β Κ, ( Μονάδες ) δ. Το μέσο Μ(x,y) ενός τμήματος ΑΒ που έχει άκρα τα σημεία Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) έχει x x1 y y1 συντεταγμένες x = και y = ( Μονάδες ) ε. Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε (-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό άθροισμα α x y είναι + = 1 όπου β = α γ a β Θέμα ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,-1), Β(,3), Γ(-,6). Να βρείτε : α. τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ ( Μονάδες ) ( Μονάδες 5 ) β. την εξίσωση της ευθείας ΒΓ και το μήκος του ύψους Α του τριγώνου ΑΒΓ ( Μονάδες 5 ) γ. το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΓ ( Μονάδες 5 )

2 δ. τη γωνία ˆΑ του τριγώνου ΑΒΓ ε. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ( Μονάδες 5 ) ( Μονάδες 5 ) Θέμα 3 ίνεται η εξίσωση ε λ : (λ-1)x+(λ+1)y+4λ+8 = 0, λ R α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ε λ παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ ( Μονάδες 5 ) β. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα x x ( Μονάδες 6 ) γ. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να περνά από την αρχή των αξόνων ( Μονάδες 6 ) δ. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε λ διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να βρεθεί ( Μονάδες 8 ) Θέμα 4 ίνεται ο ακέραιος α = 6κ+5, όπου κ Z α. Να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός αριθμός β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3 γ. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Α = α -1 είναι πολλαπλάσιο του 1 ( Μονάδες 6 ) ( Μονάδες 8 ) ( Μονάδες 11 )

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Αν Μ το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και Ο τυχαίο σημείο αναφοράς uuu uuu uuuu ΟΑ + ΟΒ να αποδείξετε ότι : ΟΜ = ( Μονάδες 10 ) Β. Έστω Ε,Ε δυο σημεία του επιπέδου.τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα Ε,Ε ; ( Μονάδες 10 ) Γ. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα σε αυτόν το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το Λ αν η πρόταση είναι λάθος. 1. αν λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε 1 και ε αντίστοιχα,τότε, ε ε λ λ = η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(χ ο,ψ ο ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι ψ+ψ ο =λ(χ+χ ο ) 3. η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι μεγαλύτερη της μονάδας α = χ, χ,β = ψ,ψ τότεα β = χχ + ψψ 4. αν ( ) ( ) κάθε ακέραιος αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του ( Μονάδες 5 ) Θέμα Α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο α β δυο μη μηδενικών διανυσμάτων α,β; ( Μονάδες 7 ) Β. ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ με πλευρά ΑΒ=1.Να βρεθούν τα γινόμενα: uuu uuu uuu uuu uu uuu 1. ΑΒ Α. ΑΒ Γ 3. ΒΓ Α ( Μονάδες 18 ) Θέμα 3 ίνεται (ε) : ψ-χ-1=0 η εξίσωση μιας ευθείας α) να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε ( Μονάδες 10) β) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το Α(1,) και είναι κάθετη στην ε. ( Μονάδες 15 ) Θέμα 4 Α. Για οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς α,β,γ να δείξετε ότι : αν α/β και α/γ τότε α/(β+γ) ( Μονάδες 1 ) Β. Αν 5/(10+α) και 5/(β-5) να δείξετε ότι : 1. 5/α. 5/β 3. 5/(α+β) ( Μονάδες 13)

4 ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν α, β, γ ακέραιοι να αποδείξετε ότι : i. Αν α/β και β/α τότε α=β ή α=-β ii. Αν α/β και α/γ τότε α/β+γ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν det(, a β ) είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α, β, τότε ισχύει η ισοδυναμία α // β det( a, β ) = 1. β. Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε (-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό x y άθροισμα α είναι + = 1 όπου β = α γ, α>0,γ>0. β a γ. Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι μεγαλύτερη της μονάδας. δ. Αν Α, Β, Γ είναι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το εμβαδόν του είναι 1 ( AB Γ) = det( ΑΒ, ΑΓ). ΘΕΜΑ Ο Θεωρούμε την εξίσωση (λ-1)x + (λ+1)y λ-3 = 0, (1) όπου λ πραγματικός αριθμός. α. Δείξτε ότι για κάθε τιμή του λ R η (1) παριστάνει ευθεία ; β. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (1) διέρχονται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), από τις παραπάνω ευθείες που είναι παράλληλη στην ευθεία η: y=x+005. ΘΕΜΑ 3 Ο Για τα διανύσματα a,β δίνεται ότι α = 1, β = 1 και u = α β, v = a β. Να υπολογίσετε: α. Το εσωτερικό γινόμενο α β. β. Τα μέτρα των διανυσμάτων u και v. γ. Το εσωτερικό γινόμενο u v. δ. Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v. ε. το διάνυσμα β. προβ α π α, β = 3 (Μονάδες = 17) (Μονάδες 4 x = 8) (Μονάδες = 5). Έστω τα διανύσματα (Μονάδες = 5)

5 ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η παραβολή y =1x. α. Βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ της παραβολής. β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία x-y+1=0 και έχει κέντρο την εστία Ε της παραβολής. γ. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής της οποίας η μια εστία συμπίπτει με την 3 = εστία της παραβολής, και έχει εκκεντρότητα ε. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! (Μονάδες = 5) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Να γράψετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για καθένα από ερωτήματα Α 1, Α Α 1. Το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου (χ-) +(ψ+1) =4 είναι α) Κ(,-1), ρ=4 β) Κ(,-1) ρ = γ) Κ(-,1), ρ= δ) Κ (-,1), ρ=4 Α. ίνονται τα διανύσματα α1 = ( λ,λ 1 ),β1 = ( 4, λ) λ 0.Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα α 1,β 1 είναι κάθετα; α) λ=1 β) λ=3 γ) λ= δ) λ=- ε) λ=-3 ( Μονάδες 8 ) Β. Ν χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα,που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Στη παραβολή ψ =ρχ η εξίσωση της διευθετούσας είναι χ= ρ β. Αν α,β,γ,κ,λ ακέραιοι αριθμοί με α 0.Αν α/β και α/γ τότε α/(κβ+λγ) γ. Αν α β α β α β = 0 δ. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα uuu uuu uuu uuu ΑΒ έχουμε ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Μονάδες 10 ) Γ. ίνονται τα διανύσματα α,β τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα ψ ψ και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία α β λ1 λ = 1 (Μονάδες7) Θέμα π Αν α = β = 1 και ( α,β) =.Να υπολογίσετε 3 α) Τα μέτρα των διανυσμάτων u = α + 4β και v = α β β) Τη γωνία των διανυσμάτων u, v ( Μονάδες 5) Θέμα 3 ίνεται η εξίσωση (α +α)χ-(α +α+1)ψ-α -=0 (1) με α α) να δείξετε ότι για κάθε α η (1) παριστάνει ευθεία β) να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο γ) να βρείτε εκείνη την ευθεία ε που ορίζετε από την (1) και είναι κάθετη στην ευθεία ε : χ-ψ+3=0 ( Μονάδες 5)

7 Θέμα 4 ίνεται η εξίσωση (χ +ψ -)λ +χ-ψ+1=0 (1) α) να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο β) να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1) γ) να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δυο σταθερά σημεία ( Μονάδες 5)

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 u Α. Αν α,v είναι δυο διανύσματα του επιπέδου με α 0 u και η προβολή του νστοα συμβολίζεται με προβν αποδείξτε οτι α ν = α προβ ν ( Μονάδες 7 ) α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Αν α β τότε α β = α β και αντιστρόφως β. Η εφαπτομένη του κύκλου χ +ψ =ρ στο σημείο του Α(χ 1,ψ 1 ) έχει εξίσωση χψ+χ 1 ψ 1 =ρ γ. Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε (-γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό άθροισμα α χ ψ είναι + = 1 όπουβ = α γ α β uuu δ. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς,τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμε uuu uuu uuu ΑΒ = ΟΑ ΟΒ ( Μονάδες 8) Γ. α. Αν α,β είναι δυο ακέραιοι με β 0,πότε θα λέμε ότι ο β διαιρεί τον α; ( Μονάδες 5 ) β. ίνονται μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ.τι ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; ( Μονάδες 5 ) Θέμα π Για τα διανύσματα α,β δίνεται οτι α = 1, β = και ( α,β) =.Έστω τα διανύσματα 3 u= α + 3β,v = α β.να υπολογίσετε : α) το εσωτερικό γινόμενο α β ( Μονάδες 5 ) β) τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v ( Μονάδες 8) γ) το εσωτερικό γινόμενο uv ( Μονάδες 7 ) δ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v ( Μονάδες 5 ) α Θέμα 3 Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3χ +ψ =4 οι οποίες Α. είναι παράλληλες προς την ευθεία ψ=-3χ+1 ( Μονάδες 13 ) 1 Β. είναι κάθετες στην ευθεία ψ = χ ( Μονάδες 1) Θέμα 4 ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε 1 : 3χ+4ψ+6=0 και ε : 3χ+4ψ+16=0 Α. να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε ( Μονάδες 13) Β. να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε ( Μονάδες 1 )

9 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( κατεύθυνσης ) ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. α. Να ορίσετε το εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a, b. ( μονάδες 5 ) β. Να αποδείξετε ότι για τα μή μηδενικά διανύσματα ισχύουν a v = a προβ v a, v 1. ( μονάδες 4 ) a a v προβ v = λ a = a., όπου a λ ( μονάδες 4) Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας τη λέξη Σωστό ή λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. σε ένα σημείο της Α ( x 1, y1) έχει Η εφαπτομένη της παραβολής x = py εξίσωση yy 1 = p(x + x1) ( μονάδες ). Η απόσταση ενός σημείου ( x 0, y0) Μ απο την ευθεία ε με εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, Α 0η Β 0 δίνεται από τον τύπο: d( Μ, ε ) = Αx 0 + Βy Α 0 + Β + Γ ( μονάδες ) 3. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση:

10 1 ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ ). ( μονάδες ) a // b det( a, b) 4. Ισχύει η ισοδυναμία:. ( μονάδες ) 5. Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη της μονάδας. ( μονάδες ) 6. Η γωνία ω δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a, b δίνεται από τη σχέση: συνω = a b a b 0 ( μονάδες ) ΘΕΜΑ Ο : Δίνεται η εξίσωση: x + y 4x y = 0 ( Ε). 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (Ε) παριστά κύκλο C του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. ( μονάδες 6 ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο του Α(4,0) y y και το σημείο τομής Β της εφαπτομένης αυτής με τον άξονα. 3. Αν είναι ϑ η γωνία των διανυσμάτων να υπολογίσετε το προβ ΟΚ ΒΑ, ΟΚ ( μονάδες 7 ) συνϑ και την ( μονάδες 1 ) ΒΑ

11 ΘΕΜΑ 3 Ο : Δίνεται η εξίσωση kx ( k + 1) y + 3( k 1) = 0, k R (1) 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1) παριστά ευθεία για κάθε τιμή του k R ( μονάδες 4) ( 1) Ρ. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από σταθερό σημείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες. (1) 3. Να βρείτε ποιά από τις ευθείες της οικογένειας είναι παράλληλη στην ευθεία δ : 3x 4y 8 = 0. ( μονάδες 7 ) ( μονάδες 8 ) 4. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Ρ από την ευθεία δ. ( μονάδες 6 ) ΘΕΜΑ 4 Ο : x 4 y 9 Δίνεται η υπερβολή C Υ : = Να βρείτε τις συντεταγμένες των εστιών της Ε εξισώσεις των ασυμπτώτων της, έστω. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης Ε,, την εκκεντρότητα ε και τις δ, δ. ( μονάδες 6 ) C Ε που έχει κορυφές τις εστίες της C Υ και εστίες τις κορυφές της C Υ. ( μονάδες 7 )

12 3. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης t της να αποδείξετε ότι τέμνει τις ασύπτωτες 5 9 C Υ στο σημείο της (, ) 4 3 δ, δ στα σημεία ( 4,6), Δ(1, ) Μ και Γ. ( μονάδες 7 ) 4. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, είναι ίσο με 4 τ.μ. ( μονάδες 5 ) ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

13 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Αν α,β, γ ακέραιοι και α/ β και β/ γ να δείξετε ότι α/ γ. (10 μανάδες) Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ(λάθος): α) Το 0 είναι διαιρέτης κάθε ακέραιου. β) Η ισότητα 35 = 5 ( 6) + 5 εκφράζει ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο 35 και διαιρέτη 6. γ) Αν α, β ακέραιοι με α/ β και β/ α τότε α=β. δ) Αν α/ β και α/ γ τότε α/ (β+γ). ε) Ισχύει ότι 5/(0 α +15) για κάθε ακέραιο α. (15 μονάδες) ΘΕΜΑ ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1,4), Β (3,-) και Γ(1,6) i. Αν Μ μέσο της ΒΓ να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ και στην συνέχεια την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ (9 μονάδες) ii. Βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΚ και του ύψους ΒΛ. (16 μονάδες)

14 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται τα διανύσματα a = ( 1, 3) και β = (,4) καθώς και διάνυσμα v v // a + β ( ) x και a ( x β ) i. Βρείτε το διάνυσμα x. (15 μονάδες) ii. Υπολογίστε το ( x a ) s συν, (10 μονάδες) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση ( ) 3 + 4ψ = 8λ x (1) με λ 0 i. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ 0 (10 μονάδες) ii. Για λ = να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου (που ορίζεται από την (1) ), οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία 4 x 3ψ + 005= 0 (15 μονάδες) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

15 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ α χ 1,ψ1 και β χ,ψ με α β δείξτε ότι λ1 λ = -1 όπου λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των α,β αντίστοιχα (13 μονάδες) ΘΕΜΑ 1 ο :Α) Αν = ( ) = ( ) Β) 1) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα διανύσματα α= ( λ, λ) και β = ( 1, 1) να είναι κάθετα ) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α = ( 1,1) με τον άξονα χ χ α= κ + 1,1, β =, 1 είναι παράλληλα να βρείτε τις 3) Αν τα διανύσματα ( ) ( ) τιμές του κ. 4) Δίνονται τα σημεία Α(κ,κ+1),Β(κ+6,κ+1) και Γ(κ+3,κ) Για ποια τιμή του κ είναι συνευθειακά; (1 μονάδες) ΘΕΜΑ ο : Α. Να βρείτε τα μήκη των αξόνων,τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων χ ψ α) + = 1 β) 5χ + 9ψ = 5 (1 μονάδες) 9 4 Β. Δίνεται η παραβολή ψ =4χ α) Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: ψ=χ-1 (13 μονάδες) ΘΕΜΑ 3 ο : Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,1) και δυο ύψη του έχουν εξισώσεις 3χ+ψ-11=0 και χ-ψ+3=0.να βρείτε α) Το ορθόκεντρο Η του τριγώνου (5 μονάδες) β) Τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και τις κορυφές Β,Γ (1 μονάδες) γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (8 μονάδες) ΘΕΜΑ 4 ο : Δίνονται τα διανύσματα α,β για τα οποία ισχύει α = β = 1 γ = και α = 3β+ γ α) Να βρείτε την γωνία ( ) α,β (9 μονάδες)

16 β) Να δείξετε ότι β+ γ = 0 (8 μονάδες) γ) Αν δ = pα+ β,p να βρείτε την τιμή του p για την οποία το ελάχιστο δ γίνεται (8 μονάδες)

17 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. ίνονται τα διανύσματα a,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα ψ ψ και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α β λ1 λ = 1 (Μονάδες 10) Β. Έστω δυο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε στο συγκεκριμένο επίπεδο; (Μονάδες 5) Γ. Γράψτε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα τη λέξη «Σωστό» αν η πρόταση είναι σωστή ή «Λάθος» αν η πρόταση είναι λάθος. α. Αν Α 0 ή Β 0 η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 παριστάνει ευθεία. β. Ο κύκλος C:x + (ψ 1) = 9 έχει το κέντρο του στον άξονα χ χ. γ. ίνονται οι ακέραιοι αριθμοί α,β,γ,κ,λ με α 0. Αν α/β και α/γ τότε α/(κβ+λγ). δ. Η εκκεντρότητα ε της υπερβολής είναι μεγαλύτερη της μονάδας. ε. Η ευθεία ψ=5χ- σχηματίζει με τον άξονα χ χ αμβλεία γωνία. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Ο Έστω δυο διανύσματα a π,β του επιπέδου με a =, β = 1 και ( α,β ) =. 3 Ονομάζουμε θ τη γωνία των διανυσμάτων α+ β και α β. Α. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β. Β. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α+ β Γ. Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α+ β και α β. (Μονάδες 3) και α β. (Μονάδες 4) (Μονάδες 8)

18 1. Να δείξετε ότι συνθ =. 7 (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται ο κύκλος (c): χ +ψ -χ-4ψ+1= Α. Να γράψετε τον κύκλο στη μορφή ( ) ( ) χ χ + ψ ψ = ρ και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (Μονάδες 7) Β. Να δείξετε ότι ο κύκλος εφάπτεται του άξονα χ χ. (Μονάδες 5) Γ. Να βρείτε το συμμετρικό του κέντρου του κύκλου ως προς την ευθεία ψ=χ. (Μονάδες 13) Ο ΘΕΜΑ 4 ίνεται η έλλειψη C: 3χ + 4ψ = 1 και η εξίσωση C:χ + ψ χ + ψ = α Α. Για ποιες τιμές του α η C 1 παριστάνει κύκλο; (Μονάδες 5) Β. Για ποια τιμή του α ο κύκλος C 1 περνάει από την εστία Ε (-γ,0) της έλλειψης C; (Μονάδες 10) Γ. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της έλλειψης C στο Μ(1, 3 ) να εφάπτεται του κύκλου C 1. (Μονάδες 10) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

19 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ _ ΘΕΜΑ 1 Α) Έστω α,β δυο διανύσματα του επιπέδου με α = (χ1,ψ 1 ) και β = (χ,ψ ) με α,β όχι παράλληλα στον ψ'ψ. Δείξτε ότι ι) α //β λ 1 =λ Μονάδες 8 ιι) α β λ1 λ = 1 Μονάδες 8 Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Η ισότητα -5=4(-6)-1 εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης του -5 με το 4 Μονάδες 3 β. Για την ευθεία ψ=3 δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Μονάδες 3 γ. Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος Μονάδες 3 ΘΕΜΑ uuu uuu Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με uuu ΑΒ = α+ βκαιαγ= α+ β α) Να γραφεί το διάνυσμα ΒΓ σαν γραμμικός συνδυασμός των α,β Μονάδες 13 β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ να γραφεί το διάνυσμα ΑΜ uuuu σαν γραμμικός συνδυασμός των α,β Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 3 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : χ-ψ+1=0 καιε : χ-ψ+5=0 Δείξτε ότι: α) ε 1 //ε Μονάδες 9 β) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας Μονάδες 16

20 ΘΕΜΑ 4 Έστω Οχψ ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και το σημείο Κ(1,6) στο οποίο είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας. Η λήψη ενός κινητού στη περιοχή θεωρείται ΠΟΛΥ ΚΑΛΗ αν το κινητό βρίσκεται μέσα στον κυκλικό δίσκο που έχει κέντρο Κ και ακτίνα 3 και απλά ΚΑΛΗ αν βρίσκεται μέσα στην κυκλική περιοχή που έχει κέντρο Κ και ακτίνα 6. Δυο φίλοι που πήγαν βόλτα στην περιοχή βρέθηκαν κάποια χρονική στιγμή ο ένας στη θέση Α(10,4) και ο άλλος στη θέση Β(9,) α) Να εξετάσετε αν εκείνη τη χρονική στιγμή έχουν ΚΑΛΗ ή ΠΟΛΥ ΚΑΛΗ λήψη στο κινητό τους. Μονάδε ς 13 β) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει την κορυφή της στο Ο, άξονα συμμετρίας τον χ'χ και διέρχεται από το Κ Μονάδες 1

21

22

23 ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ(x,y) ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) δίνονται από x1 x y1 y τους τύπους x, y (μονάδες 7) Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε περίπτωση: α) Το διάνυσμα a =(Α,Β) είναι παράλληλο στην ευθεία ε:αx+βy+γ=0 (μονάδες 3) β) η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y =px, στο σημείο της Α(x 1,y 1), δίνεται από τον τύπο yy 1 =p(x+x 1 ) (μονάδες 3) γ) a// det(, ) 0 (μονάδες 3) δ) η εξίσωση Αx+By+Γ=0 παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματικό αριθμό Α,Β,Γ (μονάδες 3) Γ) Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες α) Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(x o,y o ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση (μονάδες 3) y x β) Η υπερβολή a 1 έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις και (μονάδες 3)

24 ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα a,, 1 (a, ), και 3 το διάνυσμα 3. Να δείξετε ότι: α). =1 (μονάδες 7) β) 7 (μονάδες 10) γ) Να υπολογίσετε το. (μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση (λ-)x+(λ+1)y+λ-1=0, λ R (1).Να δείξετε ότι: a) για κάθε πραγματική τιμή του λ, η (1) παριστάνει ευθεία (μονάδες 5) β) για κάθε πραγματική τιμή του λ, οι ευθείες (1) διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο να προσδιορίσετε. (μονάδες 1) γ) να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία, που ορίζεται από την (1) να είναι κάθετη στην ευθεία y=x. (μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η εξίσωση C: x +y -x+6y+9=0 a) δείξτε ότι παριστάνει κύκλο (μονάδες 6) β) βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του (μονάδες 8) γ) δείξτε ότι η ευθεία ε: y=x-1 δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο C. (μονάδες 11) Απαντήστε σε όλες τα θέματα. Καλή επιτυχία!

25 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α Πότε η εξίσωση χ +ψ +αχ+βψ+γ=0 παριστάνει κύκλο ;Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του ( Μονάδες 10 ) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. αν u v τότε uv = u v και αντίστροφα. ίνεται u,v 0 u u u u u u β. αν z,w διανύσματα με z 0 τότε z w= w προβ w z γ. αν A + B = 0 η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 παριστάνει ευθεία δ. στη παραβολή ψ =ρχ η εστία είναι ρ E,0 και η διευθετούσα χ= ρ 4 4 ( Μονάδες 15 ) Θέμα ίνεται η εξίσωση χ +ψ +(λ-1)χ+(1-λ)ψ- 0, λ = α) να εξετάσετε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει κύκλο ( Μονάδες 10 ) β) να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων ( Μονάδες 10 ) γ) για ποια τιμή του λ η οικογένεια των παραπάνω κύκλων διέρχεται από Ο(0,0) ( Μονάδες 5 ) Θέμα 3 ( ) ο α) Αν α,β δυο διανύσματα με βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α,u λ α =, β = 1+ 3, α,β = 60 και u= α + β.να Μονάδες 15 ) β) ίνεται η εξίσωση χ ψ +6χ+9=0.Να δείξετε ότι αυτή παριστάνει δυο κάθετες ευθείες ( Μονάδες 10 ) Θέμα 4 (

26 Α. ίνεται ο ακέραιος α = 004κ+005, όπου κ Z α. Να δείξετε ότι : 1) ο α είναι περιττός αριθμός ) το α +3 είναι πολ/σιο του 8 β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 4 ( Μονάδες 10 ) Β. ίνονται οι κωνικές τομές ψ =χ και 9χ +4ψ =1 α) να βρείτε τις εστίες τους β) να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης γ) αν Μ,Ν είναι τα κοινά σημεία των δυο παραπάνω κωνικών τομών,να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΟΜΝ όπου Ο η αρχή του συστήματος συντεταγμένων ( Μονάδες 15 )

27 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ου Α) Έστω α= ( χ 1, ψ1) και β = ( χ, ψ) δυο διανύσματα 1. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ακαιβ ως συνάρτηση των συντεταγμένων τους (μονάδες 5). Αν τα α,β δεν είναι παράλληλα στον ψ ψ και λ1,λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των α,β αντίστοιχα να δείξετε ότι ισχύει: α β λ λ = 1 (μονάδες 10) Β) Να εξετάσετε αν είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) οι παρακάτω προτάσεις 1. Ένα διάνυσμα και μια ευθεία,αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα. Αν det (α,β) είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α,β τότε ισχύει η ισοδυναμία α //β det ( α,β) = 1 3. ισχύει ότι α β α β = 0 4. η απόσταση των σημείων Α(χ 1, ψ 1 ) και Β(χ, ψ ) είναι ίση με ( AB) = ( χ + χ ) + ( ψ + ψ ) ισχύει ότι α β α β= α β ΘΕΜΑ ο 1 (μονάδες χ5=10) Δίνεται οι ακέραιοι αριθμοί α,β,κ και ισχύει ότι: α=κ+3 και β=4κ+5. α) να δείξετε ότι α+β είναι άρτιος (μονάδες 13) β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α+β με το 8 (μονάδες 1) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η ευθεία (ε) : 3χ-4ψ-=0 και το σημείο Α(1,) α) δείξετε ότι το σημείο Α δεν ανήκει στην ευθεία (ε) (μονάδες 5) β) να βρείτε εξίσωση ευθείας (η) που διέρχεται από Α και είναι κάθετη πάνω στην (ε) (μονάδες10) γ) να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από την (ε) (μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση (c) : χ +ψ χ-1=0 α) δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα (μονάδες 8) β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α(,1) (μονάδες 9) γ) να βρείτε το λ αν η ευθεία (ε) χ+ψ+λ=0 εφάπτεται στον κύκλο αυτό (μονάδες 8)

28 Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα

29 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 1. i. Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου να αποδείξετε ότι οι x1 + x y1 + y συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι x = και y = ( Μονάδες 5 ) ii. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν α // β λ1 = λ. Αν α β λ 1.λ = 1 3. Το εσωτερικό γινόμενο ισούται με α.β = α. β.ημφ, όπου φ η γωνία των δύο διανυσμάτων. 4. Αν α = (x,y ) και β = (x,y ) 1 1 α.β = xx yy τότε 1 1 Γ 5. Στο διπλανό σχήμα ισχύει η ισότητα ΑΒ.ΑΓ = ΑΒ.Α Α Β 6. Η ευθεία με εξίσωση Αx+By+Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, Α) 7. Ο κύκλος με εξίσωση (x+x o ) +(y+y o ) = ρ έχει κέντρο το σημείο Κ(x o,y o ) 8. Η εφαπτομένη της παραβολής x = py στο σημείο Μ(x 1,y 1 ) είναι yy 1 = p(x+x 1 ) 9. Η εκκεντρότητα της έλλειψης 10. Η εκκεντρότητα της υπερβολής x a y + = 1 είναι β x a y = 1 είναι β γ ε = > 1 α γ ε = > 1 α ( Μονάδες 0 ) Θέμα ίνεται η παραβολή y = 4x α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. ( Μονάδες 10 )

30 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x-1 ( Μονάδες 15 ) Θέμα 3 ίνεται κύκλος C με εξίσωση (x-3) +(y-) = 9 και κέντρο Κ. α) Να βρείτε το Κ και την ρ ( Μονάδες 8 ) β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 3x+4y- = 0 εφάπτεται του κύκλου C ( Μονάδες 8 ) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο του Μ(3,5) ( Μονάδες 9 ) Θέμα 4 ίνονται οι αριθμοί α = κ+ και β = 6κ+7, όπου κ ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι : α) Οι αριθμοί 3α και β έχουν κοινό θετικό διαιρέτη μόνο τον δ = 1. ( Μονάδες 9 ) β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού (β-α) με το 10 είναι το ( Μονάδες 8 ) γ) Αν ο αριθμός κ είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε και ο αριθμός (α+β-) είναι πολλαπλάσιο του 7 ( Μονάδες 8 )

31 Σχολικό έτος ΤΑΞΗ Β Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου ΜAΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 005 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1ο Α. Αν α,v δύο διανύσματα του επιπέδου με α.v = a.προβ v α α 0 τότε να δειχθεί ότι ( Μονάδες 1 ) Β. ίνονται δύο σημεία του επιπέδου Ε και Ε. Τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε; ( Μονάδες 7 ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) α. Αν α β det(a,β) = 1 Σ Λ β. Τα διανύσματα α = i + j, β = i + j είναι κάθετα Σ Λ γ. Αν β /α τότε και β/α, β 0 Λ Θέμα ο Για τα διανύσματα α, β ο ισχύουν α = β = 1, (α,β) = 10. Να βρεθούν : α. Τα μέτρα των διανυσμάτων w = a + 4β και u = a β β. Η γωνία των διανυσμάτων w και Σ ( Μονάδες 6 ) ( Μονάδες 15 ) u ( Μονάδες 10 ) Θέμα 3ο ίνεται η έλλειψη C : x +4y 3 = 4 και το σημείο της Κ 1,. α. Να βρεθούν οι εστίες της έλλειψης και η εκκεντρότητά της. ( Μονάδες 7 ) β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Κ. ( Μονάδες 5 ) γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης η οποία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ˆφ = 135 ο.

32 ( Μονάδες 13 ) Θέμα 4ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1,-1), Β(4,5) η κορυφή Γ(x o,y o ) ανήκει στην ευθεία y = 5(x-3). Αν (ΑΒΓ) = 9,5 τ.μ. τότε : α. Να βρεθούν οι συντεταγμένες τού Γ. ( Μονάδες 15 ) β. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το Γ και ακτίνα την απόσταση του Γ από την ευθεία ΑΒ. ( Μονάδες 10 )

33

34

35

36 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 005 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ΟΝ Α) Θεωρούμε τα διανύσματα α = ( x 1, y ) και β = ( x, ) 1 y λ να αποδειχθεί η ισοδυναμία a // β λ1 = λ με συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και Β)Να χαρακτηρισθούν οι παρακάτω προτάσεις σαν σωστό η λάθος 1) Η εφαπτομένη της παραβολής C : y px yy = p x + ( x 1 1 = είναι ) x y ) Η έλλειψη C : + = 1 έχει εκκεντρότητα ε = α β α x y α 3) Οι ασύμπτωτες της υπερβολής C : = 1 είναι y x α β β γ α = και y = x β ΘΕΜΑ ΟΝ Α)Δίνονται τα διανύσματα α = (λ,1) ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα. και = ( λ 3, ) β να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ Β) Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να αποδείξετε ότι α = 4λ + 1, λ Ζ ΘΕΜΑ 3 ΟΝ Α)Δίνεται η εξίσωση x + y x + 4y + 4 = 0 1) Να αποδειχθεί ότι παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του Α(1,-1) Β) Αν ισχύει ότι 8ΡΑ+ 13ΡΒ 1ΡΓ = 0 να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ΘΕΜΑ 4 ΟΝ Δίνεται η εξίσωση της ευθείας ε: αx-(α+1)y-3α+1=0. 1) Να αποδειχθεί ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Α(,1) ) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της παραβολής C : y = 8x που διέρχονται από το παραπάνω σημείο 3) Να αποδείξετε ότι για α=-1 η ευθεία που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση είναι διευθετούσα της παραβολής y = 8x 4) Να βρείτε την απόσταση από την αρχή των αξόνων της ευθείας που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση για α=1.

37 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α Τ Α ΘΕΜΑ 1 ο. Α. Αν a,v είναι δύο διανύσματα του επιπέδου με a 0 και η προβολή του v στο a συμβολίζεται με προβ a v, τότε να αποδείξετε ότι: a v = a προβ a v. Μονάδες 15 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Αν α = - β, τότε ( α, β ) + ( β, α ) = π. Σ Λ Το ( α. β ). γ παριστάνει διάνυσμα. Σ Λ Οι κύκλοι x + y + x + 3y - 1 = 0 και x + y + x + 3y + = 0 είναι ομόκεντροι. Η εφαπτομένη ευθεία του κύκλου x + y = 1 στο σημείο με x + y = 1. τετμημένη 1 έχει εξίσωση Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία 3x + 3 y + 1 = 0 με τον άξονα x x είναι 10. Σ Λ Σ Σ Λ Λ Μονάδες 5*=10. ΘΕΜΑ ο. x y Δίνεται η έλλειψη + = 1. 6 α) Να βρεθούν οι εστίες και η εκκεντρότητα της έλλειψης. Μονάδες 10. β) Να βρεθούν τα σημεία Μ (0, y 0 ) ώστε (Ε Μ) + (ΕΜ) = 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης). Μονάδες 7.

38 γ) Να βρεθούν τα σημεία Ν (χ 0, 0) ώστε (Ε Ν) + (ΕΝ) = 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης Μονάδες 8. ΘΕΜΑ 3 ο. Δίνεται ο ακέραιος αριθμός ρ=1λ-7, όπου λ Ζ. Α. Να αποδείξετε ότι ο ρ είναι περιττός αριθμός. Μονάδες 7. Β. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ρ διά του 4. Μονάδες 8. Γ. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Κ= ρ -1 διαιρείται με το 4 Μονάδες 10. ΘΕΜΑ 4 ο. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε 1 : 3χ-4ψ-3=0 και ε : 3χ-4ψ+17=0. Α. Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε. Μονάδες 7. Β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε. Μονάδες 8. Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες. Μονάδες 10.

39 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 1 0 ΘΕΜΑ α) Τι ονομάζουμε ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ δύο διανυσμάτων α και β με α, β 0. β) Να συμπληρωθούν οι ισοδυναμίες: Αν α β Αν α β Αν α β γ) Αν α, β, γ ακέραιοι, δείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Αν α β και β α, τότε: α = β η α = - β Αν α β και α γ, τότε: α ( β + γ ). δ) Δίνεται η εξίσωση: χ + ψ + Αχ + Βψ + Γ = 0 (I) Να γραφούν οι συνθήκες ώστε η (I) να είναι: Εξίσωση κύκλου, του οποίου να ορισθεί το κέντρο και η ακτίνα. Σημείο, το οποίο και να ορισθεί. 0 ΘΕΜΑ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,-1) και Είναι παράλληλη στην ευθεία ε: χ + 3ψ + 1 = 0. Σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = π / ΘΕΜΑ

40 Αν α =, β = 3 και ( α,β )= 3 π, να υπολογίσετε τον κ R, ώστε τα διανύσματα u = 3α -β και ν = κα + β να είναι κάθετα. Αν α = (κ,1) και β = (4,3), να βρείτε τον κ R ώστε να ισχύει: α) α.β =0 β) α //β. 4 0 ΘΕΜΑ Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από το Α(-1,0), Β(3,4) και τέμνει από την ευθεία ε 1 : χ + ψ + 1 = 0 χορδή μήκους 8. (**ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟΤΙΜΑ) Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

41 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. Πότε η εξίσωση χ +ψ +Αχ+Βψ+Γ=0 παριστάνει κύκλο;ποιό είναι το κέντρο του και ποιά η ακτίνα του; ( Μ.5) Β. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β. ( Μ.5) Γ. Αν α,β,γ ακέραιοι ν.δ.ο αν α/ β και α/γ τότε α/(β+γ). ( Μ.7) Δ. Να γράψετε στην κόλλα σας το γράμμα της στήλης (Α) και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της στήλης (Β) που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση εφαπτομένης. α. χ +ψ =ρ Στήλη (Α) Στήλη (Β) β. χ + ψ. χχ 1+ ψψ 1= ρ α β = 1 γ. βχ -αψ =α β 3. χχ 1 + ψψ 1 α β = ρ δ. ψ =ρχ 1. χχ 1+ ψψ 1=1 4. χχ 1+ ψψ 1= ρ( χ+χ 1) 5. β χχ 1+ α ψψ 1= α β 6. χχ 1 - ψψ 1 α β = 1 ( Μ.8) ΘΕΜΑ Ο : Δίνονται τα διανύσματα α=(3,4) β=(1,3) γ=(-4,7) α) Να γραφεί το γ σαν γραμμικός συνδυασμός των α και β. ( Μ.10) β) Να βρεθεί η προβ α β ( Μ.15) ΘΕΜΑ 3 Ο : α) Ν.δ.ο η εξίσωση χ 4χ-ψ+χψ+3=0 παριστάνει δυο ευθειες ε1 και ε ( Μ.15) β) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ε1 και ε ( Μ.10) ΘΕΜΑ 4 Ο : Δίνεται η εξίσωση χ + ψ -(λ-1)χ+(λ+1)ψ+λ-1=0 (1) λ R

42 α) Ν.δ.ο η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C λ για κάθε λ R ( Μ.15) β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλω C λ ( Μ.10)

43 Σχολικό έτος ΤΑΞΗ Β Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου ΜAΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 005 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1ο Α. ίνεται το διάνυσμα α = (x,y). Να αποδείξετε ότι α = x + y. Β. Αν α, β δύο μη μηδενικά διανύσματα δώστε τον ορισμό τού εσωτερικού γινομένου. Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) α β τότε α.β = α. β β) α.β = 0 α = 0 ήβ= 0 γ) α β τότε α.β = 1 ( Μονάδες ) Θέμα ο ίνεται η εξίσωση x +y -4xημθ-6yσυνθ+4ημ π π θ = 0 με θ,. Να αποδειχθεί ότι : α) Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο (C) του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. β) Ότι ο κύκλος (C) εφάπτεται στην ευθεία y = 0 γ) Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε μία έλλειψη, της οποίας να βρεθούν τα μήκη των αξόνων, οι εστίες και η εκκεντρότητα. ( Μονάδες ) Θέμα 3ο ίνεται ακέραιος α για τον οποίο ισχύει 3 (α-7) και 3 (α-5) με α 0. Να αποδείξετε ότι : α) 3 (α-) β) το τετράγωνο του α είναι της μορφής 3λ+1 με λ Z ( Μονάδες 13+1 )

44 Θέμα 4ο Έστω οι ευθείες (ε 1 ) : y = x και (ε ) : y = x με y > 0 και η (ε) (ε ) που τέμνει την (ε 1 ) στο Β και την (ε ) στο Α έτσι ώστε (ΑΒ) =. Να βρεθεί : 1) η εξίσωση της ευθείας (ε) ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ 3) η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Ο, Α, Β. y (ε 1 ) : y = x (ε ) : y = x B A (ε) Ο x ( Μονάδες )

45 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 α) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων α,β β) ίνονται τα σημεία Α(χ 1,ψ 1 ),Β(χ,ψ ) και Μ(χ,ψ) το μέσο του ΑΒ. χ + χ + Να δειχθεί ότι = 1 ψ ψ χ, ψ = 1 Θέμα Ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών του Α(,-4),Β(6,-1),Γ(3,3) α) να δειχθεί ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Β και ισοσκελές. β) αν Μ(χ,ψ) σημείο ώστε να ισχύει ΜΑ +ΜΒ =ΜΓ να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείτε στην ευθεία -4χ+ψ+1=0 Θέμα 3 ίνεται ο κύκλος C 1 : χ +ψ -6χ+1=0 και η παραβολή C : ψ =4χ. α) να βρεθεί το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου C 1 β) να βρεθούν τα κοινά σημεία Α,Β του κύκλου και της παραβολής γ) να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε 1,ε της παραβολής στα σημεία της Α,Β δ) να δείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε εφάπτονται στον κύκλο. Θέμα 4 Οι ακέραιοι αριθμοί α,β διαιρούμενοι με το 3 αφήνουν υπόλοιπο 1. α) να δείξετε ότι ο αριθμός α +β -006 παίρνει τη μορφή 3ρ όπου ρ Z β) να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 7α+6β όταν διαιρείτε με το 3.

46 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Αν (x 1,y 1 ) και (x,y ) οι συντεταγμένες των άκρων Α, Β ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και (x,y) οι συντεταγμένες του μέσου Μ, δείξτε ότι : x 1 + x x = και y 1 + y y =. Β) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων α και β. Γ) Αντιγράψτε στο γραπτό σας και συμπληρώστε τις παρακάτω σχέσεις: α) α β... β) α β... γ) α β... ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε δύο διανύσματα á, â τέτοια ώστε á =, â =3 και ð ( áâ, ) = 3. Αν ä = 3á+ â, υπολογίστε: α) Τα εσωτερικά γινόμενα α β και β δ. β) Το μέτρο του διανύσματος δ. γ) Τη γωνία ΘΕΜΑ 3 ο ΘΕΜΑ 4 ο ( äâ),. (μονάδες 1+4+9) (μονάδες 8+8+9) Δείξτε ότι οι ευθείες (ε) με εξίσωση: (3λ+1)x+(λ-)y+7λ+5=0, λ R, διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο. α) Βρείτε την ευθεία (ε 1 ) που περνάει και από το σημείο Β(3,-). β) Βρείτε την ευθεία (ε ) που έχει συντελεστή διεύθυνσης α=-. γ) Βρείτε την ευθεία (ε 3 ) που είναι κάθετη στην ευθεία (δ) με εξίσωση: x-y+5=0. (μονάδες ) Δίνεται ο κύκλος C : χ +ψ -6χ+4ψ -1=0 και η ευθεία (ε) : ψ=χ. α) Βρείτε το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου C. β) Βρείτε τα κοινά σημεία Α,Β του κύκλου και της ευθείας. γ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (δ) του κύκλου στο σημείο του Γ(-,-). (μονάδες ) Καλή Επιτυχία

47 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α. Αν α,β,γ, ακέραιοι με α 0 να δείξετε ότι : αν α/β και α/γ τότε ο α/(β+γ) ( Μονάδες 10 ) Β. Έστω δυο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου.τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε ( Μονάδες 5 ) Γ. να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Αν α,β δυο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τότε ισχύει: α προββ = β προβα α β β. Η εκκεντρότητα ισοσκέλους υπερβολής είναι ε = χ ψ γ. Αν C: + = 1 έλλειψη τότεισχύει β χ β α β δ. Η ευθεία με εξίσωση ε : χ+3ψ=1 είναι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ +ψ =1 που διέρχεται από το σημείο Α(,3) ε. Το υπόλοιπο της αλγοριθμικής διαίρεσης του 005 με το -3 είναι το 4 ( Μονάδες 10 ) Θέμα ίνονται τα διανύσματα α = ( 1,) και β = ( 3,1) α. να βρείτε την γωνία θ των διανυσμάτων α,β ( Μονάδες 8 ) β. να βρείτε το λ ώστε το διάνυσμα γ = ( λ λ, 1) Μονάδες 7 ) γ. αν δ = α β ναβρείτε την προβ δ α Μονάδες 10 ) να είναι κάθετο στο α ( Θέμα 3 Έστω η εξίσωση ε: (λ+1)χ-(+λ)ψ+1-λ=0 με λ α. να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε λ ( Μονάδες 10 ) (

48 β. να βρείτε την τιμή του λ ώστε η απόσταση του σημείου Β(,1) από την ευθεία ε να είναι 1. ( Μονάδες 15 ) Θέμα 4 ίνεται η έλλειψη C : χ α ψ + = 1 με εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) β α. Αν α,γ περιττοί φυσικοί να δείξετε ότι ο 8/β (β =πολ8) ( Μονάδες 10 ) χ ψ β. Για α=5 και β=4 η έλλειψη γίνεται + = Αν Μ σημείο της έλλειψης να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΜΕΕ ( Μονάδες 7 ). Να προσδιορίσετε το σημείο Ν της έλλειψης ώστε (ΝΕΕ )=1 ( Μονάδες 8 )

49 ΤΑΞΗ: B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α1. Αν α = ( x, y ) και β = ( x, ) ΘΕΜΑΤΑ 1 1 y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου, να γράψετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α + β και λα + μ β, με λ, μ πραγματικούς αριθμούς. ( Μονάδες 6 ) Α.Αν Α(x1, y1 ) και Β(x, y ) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και ( x, y) οι συντεταγμένες x1 + x y1 y του μέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι: x = και y = +. ( Μονάδες 9 ) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β > 0 τότε η γωνία των διανυσμάτων α, β είναι οξεία. β. Για τα διανύσματα α, β ισχύει α β = α προβ β α γ. Αν α, β, γ διανύσματα ισχύει ( α β) γ = α( β γ) δ. Αν α β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 ε. Αν α = ( x, y 1 1 ) και β = ( x, y ) δύο διανύσματα ισχύει α β = x1 x + y1 y ( Μονάδες 10 ) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η ευθεία ε: x+y= και το σημείο Α(-3,1). Να βρείτε: i. την εξίσωση της ευθείας (ζ) η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία (ε), ii. το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (ζ), iii. το συμμετρικό Β του σημείου Α ως προς την ευθεία (ε). ( Μονάδες ) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η παραβολή C: y =4x και η ευθεία ε: y=x+007. Να βρείτε : i. την εστία Ε και την διευθετούσα δ της παραβολής, ii. την εξίσωση εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε), iii. την εξίσωση της έλλειψης της οποίας η μία εστία συμπίπτει με την εστία της παραβολής και 1 έχει εκκεντρότητα ε =, iv. την εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής της οποίας η μία εστία συμπίπτει με την εστία της παραβολής. ( Μονάδες )

50 ΘΕΜΑ 4 ο + (1), όπου λ R. Δίνεται η εξίσωση x y + ( λ ) x y + λ = 0 Α. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η (1) παριστάνει εξίσωση κύκλου και στη συνέχεια να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. ( Μονάδες 8 ) Β. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών; ( Μονάδες 5 ) Γ. Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό (ανεξάρτητο του λ) σημείο, το οποίο και να βρεθεί. ( Μονάδες 6 ) Δ. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε ο κύκλος (1) να εφάπτεται στην ευθεία ε: 4x+3y=. ( Μονάδες 6 ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

51 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1o Α. Δίνονται τα διανύσματα a =(x 1,y 1 ) και β =(x,y ) με συντελεστές διεύθυνσης λ 1,λ. Να δειχθεί a β λ 1 =λ Μονάδες 10 Β. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μή μηδενικών Μονάδες 7 Γ. Χαρακτηρίστε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις 1) a β a β = a β ) Αν α,β,κ ακέραιοι με α 0 και α β τότε α κβ 3) Αν Α +Β -4Γ 0 τότε η εξίσωση x+y+αx+by+γ=0 παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ>0 x y + α β 4) Η Εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης = 1 xx στο σημείο της Μ(x 1,y 1 ) είναι 1 1 yy 1 = α β Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο A) Άν ο ακέραιος α είναι α=4λ-7 με λ ακέραιο τότε να δείξετε ότι: i) α περιττός Μονάδες 7 ii) Μονάδες 8 a 1 8 ακέραιος

52 Β) Άν α κ+5 και α λ-1 τότε α κ+5λ Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(,4), Β(-1,-1) και Γ(4,0). α) Να βρεθεί το μέσο Ε της ΑΓ Μονάδες 5 β) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΕ Μονάδες 5 γ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους ΑΔ Μονάδες 5 δ) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΓ Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η εξίσωση x +y -4x+6y+9=0 α)να δείξετε οτι παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του Μονάδες 1 β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου ώστε να είναι παράλληλη στην ευθεία δ με εξίσωση x+y-3=0 Μονάδες 13

53 Θέμα 1 ον ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΗΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ α). Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ ( χ 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Μονάδες 4 β). Πότε η εξίσωση χ + y + Αχ + Βy + Γ = 0 παριστάνει κύκλο ; Μονάδες 3 γ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ( ε ) του κύκλου C : χ + y = ρ, σε ένα σημείο Α ( χ 1, y 1 ), έχει εξίσωση χχ 1 + yy 1 = ρ. Μονάδες 10 δ). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη, Σωστό ή Λάθος. α) η ευθεία που περνά από τα σημεία : Α ( χ 1, y 1 ) και Β ( χ, y ), έχει εξίσωση : y y 1 = y 1 y x 1 x ( x x ) x 1 x β) Η εξίσωση : 3 χ y = 3 παριστάνει έλλειψη u uu u γ) Αν a β = a γττεεναιβ ό ί = γ δ) Η εξίσωση χ + y + α = 0 με α > 0 παριστάνει κύκλο. Μονάδες 8 Θέμα ον u uu uu u Για τα διανύσματα a, β δίνεται a = 1, β = καί ( a, β ) = u u Έστω τα διανύσματα u = a+ 3 β καί v = a- β.να υπολογίσετε : α) Το εσωτερικό γινόμενο α β β) Τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u, v γ) Το εσωτερικό γινόμενο u v δ) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u, v π 3. Μονάδες 5 Μονάδες 8 Μονάδες 7 Μονάδες 5

54 Θέμα 3 ον Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία τομής των ευθειών ε 1 : 3χ +4y = 11 και ε : χ 3y = - 1 και α) και είναι παράλληλη με την ευθεία : χ + y = 0 Μονάδες 6 β) είναι κάθετη στην ευθεία : 3χ - y + 5 = 0 Μονάδες 6 0 γ) σχηματίζει με τον χ χ γωνία 45 Μονάδες 6 δ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ( ε 1 ), με τους άξονες χ χ και y y Μονάδες 7 Θέμα 4 ον Δίνεται η εξίσωση χ + y + 6μχ +8λy = 0, όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι : α) για κάθε τιμή των λ, μ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο. Μονάδες 8 β) ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο ( 0, 0 ) Μονάδες 8 γ ) όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση : χ + y + 6μχ +8λy = 0 με 3μ + λ = 0 έχουν τα κέντρα τους στην ευθεία y = - χ Μονάδες 5 Τα θέματα είναι όλα ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ. ( Να δικαιολογήσετε oλες τις απαντήσεις σας ) Όλες οι απαντήσεις πρέπει να γραφούν στην ΚΟΛΛΑ σας, και όχι στην φωτοτυπία. Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

55 Θέμα 1 ο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α. Αν λ 1, λ είναι αντίστοιχα οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων = (χ 1, y 1 ) και = (χ, y ) Να αποδέιξετε ότι // λ 1 = λ (Μ. 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν det(, ) = 0 τότε. Η εκκεντρότητα της έλλειψης έχει τιμή μεγαλύτερη του Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B). 4. Η εφαπτομένη της παραβολής x = py στο σημείο της (χ 1, y 1 ) έχει εξίσωση yy 1 = p(x + x 1 ) 5. Για τα μοναδιαία διανύσματα, ισχύει : = -1 (Μ. x 5 = 10) Θέμα ο Δίνονται τα διανύσματα, με =1, = και 3 + = a. Να δείξετε ότι =-1 (M.9) 5ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά Θ.-Τ. Κατεύθυνσης Εισηγητές: Κατωτριώτης Κ. - Σίμου Νικ. Τρίτη 4 ΜΑΪΟΥ 011 β. Να υπολογίσετε την γωνία θ =(, ) (M.3) γ. Αν είναι γνωστό ότι ( + ) // και ( + ) να αποδείξετε ότι = - -3 (M.7) δ. Να βρείτε το. (M.6) Θέμα 3 ο Δίνεται η εξίσωση C λ : x +y λ x -4λy +4 λ -1 = 0 α. Να αποδείξετε ότι η C λ παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. (M.10) β. Να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται τα κέντρα των παραπάνω κύκλων κινούνται στην παραβολή y =8x. (M.8) γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία x-y = - εφάπτεται στην παραπάνω παραβολή. (M.7)

56 Θέμα 4 ο Έστω μ θετικός ακέραιος. α. Να δείξετε ότι η γραμμή του επιπέδου που ανήκουν τα σημεία Μ(x,y) με την ιδιότητα: το άθροισμα των αποστάσεων τους από τα σημεία Κ(-μ, 0), Λ(μ, 0) να είναι ίσο με 4, έχει εξίσωση : (c) : + =. (M.6) β. Να βρείτε κάθε σημείο Ρ της παραπάνω γραμμής (c) ώστε το εμβαδό του τριγώνου ΡΚΛ με Κ(-1, 0), Λ(1, 0) να είναι ίσο με. (M.10) γ. Έστω Μ(x 1, y 1 ) σημείο της (c). Να δείξετε ότι τα διανύσματα = + και = +, είναι το μεν πρώτο παράλληλο το δε δεύτερο κάθετο στην εφαπτομένη στο σημείο Μ της (c). (M.9) Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Κατωτριώτης Κ. ΚΑΤΑΤΡΙΩΤΗΣ Γ. Σίμου Νικ.

57 Σχ.έτος Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαϊου-Ιουνίου 005 ΤΑΞΗ:Β ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑΤΑ u Α Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δυο διανυσμάτων αβ, (μονάδες 10) Β.Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων ως συνάρτηση των συντεταγμένων τους. (μονάδες 5) Γ. Να αποδείξετε ότι : α u β λ λ = 1, ό που, λ = λ καιλ = λ εφ ό σον α u, β u // ψ ψ (μονάδες 10) ΘΕΜΑ : 1 1 α Αν α,δ ακέραιοι με δ/(α+5) και δ/(α+1), δ>1 να βρείτε τον δ (μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 : Δίνεται η ευθεία ε : χ-ψ+1=0 και το σημείο Α(,4) α) Να δείξετε ότι το Α δεν είναι σημείο της ευθείας (μονάδες 10) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ε (μονάδες 15) ΘΕΜΑ 4 : Θεωρούμε τον κύκλο C: χ + ψ =4 και το σημείο Ρ(0,4) Α) Δείξτε ότι το σημείο Ρ είναι εσωτερικό του κύκλου C: (μονάδες 5) Β) Από το Ρ φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου C και ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής.να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων και την οξεία γωνία τους (μονάδες 10) Γ) Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΡΑΒ. (μονάδες 10) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ β

58 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 Α1. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (χ,ψ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(χ 1,ψ 1 ) και Β(χ,ψ ) δίνονται από τις σχέσεις χ=χ -χ 1 και ψ=ψ -ψ 1 (μονάδες 15) Α. ίνονται τα σημεία Α(1,),Β(3,0), Γ(4,-1) και (-5,7).Σε καθένα από τα διανύσματα της στήλης Α να αντιστοιχίσετε τις συντεταγμένες του στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β uuu 1. ΑΒ α. (1,-1) uu. ΒΓ β. (-1,6) uuu Γ γ. ( -6,5) Α uuu δ, (,-) ε. (9,-8) (μονάδες 10) Θέμα ίνονται οι ευθείες ε 1 :4χ-3ψ-9=0 και ε : 4χ-3ψ-4=0 α) να δείξετε ότι ε 1 //ε (μονάδες 10) β) να βρείτε ένα σημείο της ε 1 και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ε 1 και ε (μονάδες 15) Θέμα 3 Α. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(1, 3 ) (μονάδες 5) Β. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον χ χ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. όταν έχει εστία το σημείο Ε(-1,0) (μονάδες 5). όταν διέρχεται από το σημείο Α(1,) (μονάδες 5)

59 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (-4,0) και Ε(4,0) και μεγάλο άξονα 10 (μονάδες 5). όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 0,-5) και Ε(0,5) και μεγάλο άξονα 6 (μονάδες 5) Θέμα 4 Αν α,β είναι δυο περιττοί ακέραιοι να αποδείξετε ότι : α β α) Z 8 (μονάδες 10) 4 4 α + β β) Z 16 (μονάδες 15)

60 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα 1 i Έστω δυο διανύσματα α,β.τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ακ αιβ ( Μονάδες 7 ) ii. Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τομών και στη Στήλη Β ονομασίες γραμμών του επιπέδου.να γράψετε το γράμμα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. β. χ α. α χ α Στήλη Α Στήλη Β ψ + = 1,α > β > 0 1. Κύκλος β ψ = 1,α > 0,β > 0. Ευθεία β γ. ψ =ρχ,ρ>0 3. Υπερβολή δ. χ +ψ =ρ,ρ>0 4. Παραβολή 5. Έλλειψη ( Μονάδες 10 ) iii) Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των κωνικών τομών β) και γ) της Στήλης Α του προηγουμένου πίνακα από ένα σημείο τους Μ(χ 1,ψ 1 ) ( Μονάδες 8 ) Θέμα Αν α = ( 1,1 ),β = (,3) καιγ = ( κ, λ) : α β 3α α) να υπολογιστεί το ( ) Μονάδες 10 ) β) να υπολογισθεί το γανα γ και γ = ( Μονάδες 15 ) Θέμα 3 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,) Β(3,-) και Γ(1,4) και Μ το μέσο της ΑΒ. (

61 Να βρεθούν: α) η εξίσωση της πλευράς ΒΓ ( Μονάδες 7 ) β) η εξίσωση του ύψους του από την κορυφή Α ( Μονάδες 9 ) γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΒΜΓ ( Μονάδες 9 ) Θέμα 4 ίνονται ο κύκλος χ -4χ+ψ -8ψ+16=0 α) να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου ( Μονάδες 10 ) β) να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ( Μονάδες 15 )

62 Θέματα Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων Περιόδου Μαΐου Ιουνίου 007 Στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Θέμα 1. Α. Θεωρούμε τα διανύσματα α, βγ, ενός επιπέδου. να αποδείξετε ότι α.( β+ γ) = α. β+ α. γ Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με σωστό ή λάθος: 1. Η παραβολή χ =ρψ έχει εστία Ε(0,ρ/) και διευθετούσα (δ):ψ=-ρ/..αν π ( ) 5 π < α β < τότε α. β = α. β Σε κάθε ισοσκελή υπερβολή οι ασύμπτωτες είναι κάθετες. 4.Αν το σημείο Α(χ 1,ψ 1 ) ανήκει στον κύκλο με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ τότε η εφαπτομένη του στο Α έχει εξίσωση :χχ 1 +ψψ 1 =ρ Θέμα. Αν για δυο συνεπίπεδα διανύσματα α και β ισχύουν π α+ β = 15, β = 1,( α β) = να υπολογίσετε το α. 1. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Θέμα 4. Οι συντεταγμένες ενός σημείου Ν του επιπέδου επαληθεύουν την εξίσωση χ +6ψ=ψ +9. Αν θεωρήσουμε και ένα δεύτερο μεταβλητό σημείο Μ ( ημθ,1+ συνθ ) του επιπέδου να βρείτε : 1.Τους γεωμετρικούς τόπους των σημείων Ν και Μ.Τη σχετική μεταξύ τους θέση.

63 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β! ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 13-ΙΟΥΝΙΟΥ-005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Θέμα 1 ο. Α. Έστω α = (χ,ψ ) 1 1 και β = (χ,ψ ) δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου Οχψ, και θ η γωνία τους. χ χ + ψ ψ 1 1 Να αποδείξετε ότι : συνθ = χ + ψ χ + ψ Μονάδες 10 Β. Έστω δύο σημεία Ε και Ε ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες Ε και Ε στο επίπεδο αυτό. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Η ευθεία Αχ+Βψ+Γ=0 είναι κάθετη στο διάνυσμα η = (Α,-Β) Μονάδες β) Για τα διανύσματα α, β ισχύει η ισοδυναμία α // β det(α,β) = 0 Μονάδες γ) Η παραβολή C: χ =5ψ έχει άξονα συμμετρίας τον ψ ψ. Μονάδες δ) Οι ελλείψεις με τις ίδιες εστίες λέγονται όμοιες. Μονάδες 1 1

64 ε) Έστω α,β θετικοί ακέραιοι, αν α β=περιττός τότε α+β = άρτιος Μονάδες Θέμα ο. Δίνεται η γραμμή με εξίσωση: (λ-4)χ-(λ+)ψ+5λ+=0 (1) Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση (1) είναι εξίσωση ευθείας. Μονάδες 1 Β. ι) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η ευθεία με εξίσωση την (1) διέρχεται από σταθερό σημείο. ιι) Να βρείτε την απόσταση του σταθερού σημείου του ερωτήματος (ι) από την ευθεία με εξίσωση 4χ+3ψ=4 Μονάδες 13 Θέμα 3 ο. Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση C: 3χ +4ψ =1 και η εξίσωση C 1 : χ +ψ -χ+ψ=α- 005 Α. Για ποιες τιμές του α η C 1 παριστάνει κύκλο. Μονάδες 7 Β. Για ποια τιμή του α ο κύκλος C 1 διέρχεται από την εστία της έλλειψης με αρνητική τετμημένη. Μονάδες 8

65 Γ. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της 3 έλλειψης με εξίσωση C στο σημείο (1, ) να εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση C 1. Θέμα 4ο του ερωτήματος Α. Μονάδες 10 Α. Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής με κάθετες ασύμτωτες, εστίες στον άξονα ψψ και της οποίας η εφαπτομένη σ' ένα σημείο με τεταγμένη 3 είναι παράλληλη στην ευθεία 6ψ + χ = 7 που όταν διαιρείται με το 4 δίνει πηλίκο ίσο με το υπόλοιπο, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από το σημείο Α(α,α ) και τις εστίες της υπερβολής Μονάδες 1 B. Aν α,α με α < α είναι οι μικρότερες τιμέςτου ακεραίου α Μονάδες 13

66 ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Α. Αποδείξτε ότι οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A(x 1,y 1) και B(x,y ) δίνονται από τις σχέσεις: x= x x 1 και y = y y 1 Μονάδες 10 Β. Να γράψετε τον ορισμό της παραβολής. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο γραπτό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα κάθε πρότασης. Μονάδες 10 x y β α. Αν ε η εκκεντρότητα της έλλειψης + = 1 τότε: ε = α β α β. Η εφαπτομένη του κύκλου (x x 0) + (y y 0) =ρ στο σημείο του (x 1,y 1) δίνεται από τον τύπο: xx1 + yy1 =ρ γ. Αν για δύο διανύσματα α και β ισχύει ότι: α =κβ με κ R τότε είναι παράλληλα μεταξύ τους. δ. Αν α, β ακέραιοι με β 0 τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ, υ τέτοιοι ώστε: α=κβ+υ, 0 υ<β ε. Για κάθε ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία: Α(1,3) και Β(-1,5). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ είναι : y = x+ 4 Μονάδες 10 γ) Έστω Γ(-κ,κ),με κ πραγματικό αριθμό, σημείο της παραπάνω μεσοκαθέτου. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 8

67 ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα διανύσματα: α= (, 1) και β = (3, 6). Να βρείτε: α) Το μέτρο του διανύσματος γ= 3α β. Μονάδες 10 β) Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα γ με τον άξονα xx. Μονάδες 5 γ) Το κ R ώστε το διάνυσμα u = ( κκ, + 1) να είναι συγγραμμικό προς το διάνυσμα β Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4 Δίνεται μία γραμμή με εξίσωση: x κ x+ y + λ y = 0 όπου κ, λ θετικοί αριθμοί. α) Αποδείξτε ότι η γραμμή είναι εξίσωση κύκλου και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Μονάδες 9 β) Δείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση ε : κ x+ κλ = λ y δεν τέμνει τον παραπάνω κύκλο. Μονάδες 9 γ) Αν το τρίγωνο που σχηματίζει με τους άξονες η ευθεία ε είναι ισοσκελές δείξτε ότι το κέντρο του κύκλου είναι σημείο της διχοτόμου της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων. Μονάδες 7

68 ΤΑΞΗ Β ( ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ κατεύθυνση) Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαϊου-Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οχψ με μοναδιαία διανύσματα i και u j δείξτε ότι ένα τυχαίο διάνυσμα a u γράφεται στην μορφή a = κ i + λ j με κ και λ μοναδικούς πραγματικούς αριθμούς. (Μ15) Β) Να σημειώσετε για κάθε ερώτηση που ακολουθεί αν είναι ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ ότι: u u 1. Αν a β τότε det( a, β ) = 0 uuu uuu uuu. AB= OB+ OA u u 3. Αν aβ. = 1τότε a β 4. Ο τύπος Ε ΑΒΓ = 1 uuuuuuu det( AB, AΓ) για τυχαία σημεία Α,Β,Ο του επιπέδου. δίνει το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ. 5. Για μη μηδενικά διανύσματα a u και β u u ισχύει : aβ. = a. x όπου x του διανύσματος β στό a ΘΕΜΑ ο u u uu Δίνονται τα διανύσματα p= a+ β u u π ( αβ, ) =. 3 u u uu και q= a β (Μχ5=10) η προβολή με a =1 και β u = και Α) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων p u και q. (Μ10) u Β) Να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο p. q (Μ5) u ( Γ) Να υπολογίσετε το συν pq, ) (Μ5) Δ) Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του ερωτήματος Γ σε σχέση με τα διανύσματα a και β u. (Μ5) Α ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με συντεταγμένες Μ κορυφών Α(1,4), Β(-1,-) και Γ(3,-). Να βρεθούν: Σ Α)H εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μ5) Β) Η εξίσωση του ύψους ΑΗ. (Μ5) Β Η Γ) Η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ. (Μ5) Δ) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής Σ των δύο προηγούμενων ευθειών. (Μ5) Γ

69 Ε) Η απόσταση του σημείου Σ από την ευθεία ΑΓ. (Μ5) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση C: χ +ψ -κψ-3λ=0 με λ>0 Α) Δείξτε ότι η εξίσωση (C) παριστάνει κύκλο. (Μ5) Β) Αν κ=1 και λ=1 δείξτε ότι ο κύκλος που προκύπτει εφάπτεται στην ευθεία 3χ+4ψ+6=0 (Μ10) Γ) Ανκ=0 και λ=1 να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία του που έχουν τετμημένη χ 1 =1. (Μ10)

70 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: B ΛΥΚΕΙΟΥ - TEΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Θέματα γραπτής προαγωγικής εξέτασης, στο μάθημα: Μαθηματικά Τεχνολογικής κατεύθυνσης ΘΕΜΑ 1 A. Αν ( x 1, y 1) και ( x, y ) είναι δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου και ( x, y ) είναι οι x συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ να αποδειχθεί ότι 1 x x y 1 y y (μονάδες 10) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό αν τη θεωρείτε σωστή ή Λάθος αν τη θεωρείτε λανθασμένη, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ΘΕΜΑ α) Αν α // y y τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α είναι ίσος με 0 β) Η απόσταση του σημείου M x, ) από την ευθεία Ax By Γ 0 (το σημείο εκτός αυτής), είναι 0 ( 0 y0 Ax 0 By 0 Γ d(m 0, ε) A B γ) Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. δ) Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A(x 0, y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα x x, έχει εξίσωση x = x 0 1 ε) Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ είναι (ABΓ) det(ab, AΓ) (μονάδες 15) Δίνονται τα διανύσματα a =(1, ) και =(, 3) Α. Να βρείτε τα μέτρα τους. Β. Να εξετάσετε αν τα a, είναι συγγραμικά. Γ. Να βρείτε τον αριθμό k R, ώστε το διάνυσμα w (k 1, k) να είναι κάθετο στο a. Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 5a 3 με τον άξονα χ χ. (μονάδες 5)

71 ΘΕΜΑ 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: Α( 1, 1 ), Β( -1, 3 ), Γ(, -4 ) i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας της πλευράς ΒΓ. ii) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ της ΑΓ. iii) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας του ύψους ΑΔ του τριγώνου. iv) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Δ. (μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 Δίνεται ο κύκλος χ y 4χ y 1 0 α) Να βρεθεί το κέντρο Κ του κύκλου και η ακτίνα του ρ. β) Να δειχθεί ότι το σημείο Α(3, 0) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. γ) Να βρεθεί το συμμετρικό σημείο Α του σημείου Α, ως προς το κέντρο Κ του κύκλου. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από το σημείο Α και τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ, έτσι ώστε το Α να είναι μέσο της χορδής ΒΓ. (μονάδες 5) Ο Διευθυντής Ο Εισηγητής

72 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ:... ΟΝΟΜΑΤΕΠΏΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ / -ΤΡΙΑΣ:... ΗΜ/ΝΙΑ: 1/5/08 ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να αποδειχθεί ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: x y ρ σε ένα σημείο του Α(x 1, y 1 ) είναι η ευθεία ε: xx 1 yy 1 ρ. B) Έστω α, β, γ ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι αν α β και β α, τότε α β ή α β. ΘΕΜΑ ο Δίνεται το σημείο Α( 3, κ) με κ. Α) Να γράψετε τις συντεταγμένες του διανύσματος OA. Β) Να βρείτε το κ ώστε OA // u με u ( 15, 0). Γ) Για το κ αυτό να υπολογίσετε το OA. ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η ευθεία ε 1 : y 3x 1 και το σημείο Α(6, 9). Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ε 1 (ε ε 1 ). Β) Να βρεθεί το σημείο τομής των ε 1, ε. ΘΕΜΑ 4 ο Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη x y 1. Στη συνέχεια να γράψετε τις ασύμπτωτες της υπερβολής αυτής ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

73 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ, 1 ΜΑΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1. Να γράψετε τον ορισμό της έλλειψης. Μονάδες 3 Α.. Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων διακρίνοντας δύο περιπτώσεις ανάλογα με τον άξονα στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της. Μονάδες 4 Α. 3. Έστω xoy ένα σύστημα συντεταγμένων. Δίνεται ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Αν Α(x 1,y 1 ) σημείο του κύκλου να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α δίνεται από τον τύπο x x 1 +y y 1 =ρ. Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. x y β β 1. Η υπερβολή 1, όπου β γ α, έχει ασύμπτωτες τις y x και y x. α β α α δ Β, Α.. Η ευθεία Αx+Βy+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα 3. Αν α και β είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τότε ισχύει: α β 0 α β. 4. Η εξίσωση x +y +λ = 0, όπου λ πραγματικός αριθμός, είναι εξίσωση κύκλου. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(4,9) Β (1,3) και Γ(7,0). Να βρείτε: Α. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ. Β. Την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ. Γ. Την εξίσωση του ύψους ΑΔ. Δ. Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΜ. Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 Μονάδες 5 Σελίδα 1 από

74 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η παραβολή ψ =-x (C). Α. Να βρείτε: α. Την εστία και τη διευθετούσα της (C). Μονάδες 6 β. Τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της (C) που διέρχονται από το σημείο Α(0,1). Μονάδες 1 Β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της (C) με εξίσωση x=0, που βρήκατε παραπάνω εφάπτεται και στον κύκλο με εξίσωση (x-3) +ψ =9. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω Ο η αρχή ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων και τα σημεία Α(λ, λ ), Β(-λ, -λ) και Γ(λ, λ) με λ>0. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ>0 η γωνία ( ΟΑ, ΟΒ) είναι αμβλεία. Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι όταν το σημείο Γ βρίσκεται στην ισοσκελή υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε (- 6, 0) και Ε ( 6, 0) τότε τα σημεία Α και Β βρίσκονται στη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημόριου. Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιμή του θετικού αριθμού λ αν ισχύει προβ ΓB = ΑΒ. AB Μονάδες 10 Καλή επιτυχία! Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Στη φωτοτυπία να γράψετε μόνο το όνομα σας και όλες τις απαντήσεις να τις γράψετε στην κόλλα σας. ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΩΡΕΣ. Σελίδα από

75 Γραπτές εξετάσεις Ιουνίου 008 στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επώνυμο Όνομα.... Εισηγητής : 9/6/008 Θέμα 1 ο A. Να δείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ(χ 0,ψ 0 ) και ακτίνας ρ έχει εξίσωση (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Μονάδες 10 B. Έστω Ε και Ε δυο σημεία του επιπέδου.τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε. Μονάδες 5 C. Να χαρακτηρίσετε τις πιο κάτω προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που ακολουθεί σε κάθε πρόταση Μονάδες Αν τότε. =0. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 παριστά ευθεία για κάθε Α,Β R 3. Η εξίσωση χ +ψ +Αχ+Βψ+Γ=0 παριστά κύκλο όταν Α +Β -4Γ>0 4. Η παραβολή με εξίσωση ψ =ρχ έχει εστία Ε(,0) και διευθετούσα δ: χ= : 5. Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C 1 στο σημείο 1 1 της Μ(χ 1,ψ 1 ) είναι η 1 : 1

76 Θέμα Δίνονται τα διανύσματα (3,) (, x) 1.. // 3. + =5.να βρεθεί ο χ R ώστε Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9 Θέμα 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1,1), Β(3,4),Γ(4,6) Να βρείτε : 1. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 5. Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ Μονάδες 5 3. Την εξίσωση τους ύψους από την κορυφή Α Μονάδες 5 4. Το πλησιέστερο σημείο της ΒΓ στο Α Μονάδες 5 5. Το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου τέτοιο ώστε (ΜΑΒ)=(ΑΒΓ) Μονάδες 5

77 Θέμα 4. Δίνεται η εξίσωση : x +ψ -λχ-λψ+λ-=0 (1), λ R A. a. Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστά κύκλο για κάθε λ R Μονάδες 5 b. Να βρεθεί ο κύκλος που ορίζεται από την (1) και εφάπτεται της ευθείας ε: χ+ψ-=0. Μονάδες 5 c. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την εξίσωση (1) B. Για λ=0 να βρείτε Μονάδες 5 a. το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που προκύπτει από την (1) Μονάδες 5 b. τις εξισώσεις των εφαπτόμένων του κύκλου που άγονται από το σημείο Α(3,-1) Μονάδες 5 3