Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών
Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα
Περιεχόµενα ενότητας Το θεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young 4. Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz............................... 4. Ανισότητα Hausdorff-Young................................... 8 Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3
Το θεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Το θεώρηµα παρεµβολής του Riesz Εστω (p 0, q 0 ) και (p, q ) δύο Ϲεύγη δεικτών µε p j, q j. Ας υποθέσουµε ότι T ( f ) q0 M 0 f p0 και T ( f ) q M f p, όπου T είναι ένας γραµµικός τελεστής. Το ερώτηµα είναι αν µπορούµε να πούµε ότι T ( f ) q M f p για άλλα Ϲεύγη (p, q). Οπως ϑα δούµε, αυτή η ανισότητα ισχύει αν οι τιµές των p και q ικανοποιούν κατάλληλη γραµµική σχέση στην οποία εµφανίζονται οι αντίστροφοι των δεικτών p 0, p, q 0 και q. Για την ακριβή διατύπωση του ϑεωρήµατος εισάγουµε πρώτα κάποιο συµβολισµό. Εστω (X, µ) και (Y, ν) δύο χώροι µέτρου. Θεωρούµε τον χώρο L p 0 + L p όλων των συναρτήσεων f στον (X, µ) που γράφονται στη µορφή f = f 0 + f για κάποιες f 0 L p 0(X, µ) και f L p (X, µ). Οµοίως ορίζουµε τον χώρο L q 0 + L q (που αποτελείται από συναρτήσεις στον (Y, ν)). Θεώρηµα.. (Riesz). Εστω T ένας γραµµικός τελεστής από τον L p 0 + L p στον L q 0 + L q. Υποθέτουµε ότι ο T είναι ϕραγµένος από τον L p 0 στον L q 0 και από τον L p στον L q. ηλαδή, υπάρχουν σταθερές M 0, M > 0 ώστε T ( f ) q0 M 0 f p0 για κάθε f L p 0 και Αν το Ϲεύγος (p, q) ικανοποιεί τις T ( f ) q M f p για κάθε f L p. p = t + t και p 0 p q = t q 0 + t q για κάποιον 0 t, τότε ο T είναι ϕραγµένος από τον L p στον L q, και για κάθε f L p. Επιπλέον, M M t 0 M t. T ( f ) q M f p Πρέπει να τονίσουµε ότι το ϑεώρηµα ισχύει για L p -χώρους συναρτήσεων µε µιγαδικές τιµές, διότι η απόδειξή του χρησιµοποιεί τεχνικές µιγαδικής ανάλυσης. Ξεκινώντας από τη λωρίδα 0 Re (z) στο µιγαδικό επίπεδο, ϑα ορίσουµε µια αναλυτική συνάρτηση Φ που σχετίζεται µε τον T, τέτοια ώστε οι υποθέσεις T ( f ) q0 M 0 f p0 και T ( f ) q M f p να µεταφράζονται σε κάποια ϕράγµατα για την Φ στις ευθείες Re (z) = 0 και Re (z) = αντίστοιχα. Κατόπιν, το συµπέρασµα ϑα προκύψει από το γεγονός ότι η Φ ϑα είναι ϕραγµένη στο σηµείο t του πραγµατικού άξονα. Η ανάλυσή µας για την Φ ϑα ϐασιστεί στο εξής λήµµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4
Λήµµα.. (το λήµµα των τριών ευθειών). Εστω Φ(z) µια ολόµορφη συνάρτηση στη λωρίδα S = {z C : 0 < Re (z) < }, η οποία είναι επίσης συνεχής και ϕραγµένη στην κλειστή ϑήκη της S. Αν τότε για κάθε 0 t. M 0 = sup y R Φ(iy) και M = sup Φ( + iy), y R sup Φ(t + iy) M0 t M t y R Απόδειξη. Κάνουµε αρχικά την επιπλέον υπόθεση ότι M 0 = M = και sup 0 x Φ(x + iy) 0 καθώς το y. Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουµε M = sup Φ(z) όπου το supremum παίρνεται πάνω από όλα τα z στην κλειστή ϑήκη της S. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι M > 0. Θεωρούµε µια ακολουθία {z n } σηµείων της S µε Φ(z n ) M καθώς το n. Λόγω της υπόθεσής µας για την Φ, η ακολουθία {z n } δεν µπορεί να τείνει στο απειρο, άρα υπάρχει υπακολουθία {z kn } της {z n } η οποία συγκλίνει σε κάποιο σηµείο z 0 στην κλειστή ϑήκη της S. Από την αρχή του µεγίστου, το z 0 δεν µπορεί να είναι εσωτερικό σηµείο της λωρίδας (αλλιώς, η Φ είναι σταθερή και το συµπέρασµα έπεται κατά προφανή τρόπο). Αρα, το z 0 ανήκει στο σύνορο της S, όπου έχουµε Φ. Αυτό αποδεικνύει ότι M και έχουµε το Ϲητούµενο γι αυτήν την ειδική περίπτωση. Αν απλώς υποθέσουµε ότι M 0 = M =, ορίζουµε Φ ϵ (z) = Φ(z)e ϵ (z ), ϵ > 0. Χρησιµοποιώντας την e ϵ[(x+iy) ] = e ϵ (x y +ixy), ϐλέπουµε ότι Φ ϵ (z) στις ευθείες Re (z) = 0 και Re (z) =. Επιπλέον, sup Φ ϵ (x + iy) 0 καθώς το y, 0 x αφού η Φ είναι ϕραγµένη. Συνεπώς, από την πρώτη περίπτωση, γνωρίζουµε ότι Φ ϵ (z) για κάθε z στην κλειστή ϑήκη της S. Αφήνοντας το ϵ 0, ϐλέπουµε ότι Φ όπως ϑέλαµε. Τέλος, αν δεν έχουµε κάποια πρόσθετη πληροφορία για τις τιµές των M 0 και M, ορίζουµε Φ(z) = M z M z 0 Φ(z), και παρατηρούµε ότι η Φ ικανοποιεί τις υποθέσεις της προηγούµενης περίπτωσης: η Φ είναι ϕραγµένη από το στις ευθείες Re (z) = 0 και Re (z) =. Αρα, Φ(z) για κάθε z S, και αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του λήµµατος. Απόδειξη του Θεωρήµατος... Αποδεικνύουµε πρώτα τον ισχυρισµό του ϑεωρήµατος στην περίπτωση που η f είναι απλή συνάρτηση. Μπορούµε επίσης να υποθέσουµε ότι f p =. Θεωρούµε τον συζυγή εκθέτη q του q και ϑα δείξουµε ότι (..0.) (T f ) g dν M f p g q για κάθε g L q (Y, ν). Αν αποδείξουµε την (..0.), από δυϊσµό έπεται ότι T ( f ) q M f p. (α) Υποθέτουµε πρώτα ότι p < και q >. Θεωρούµε απλή συνάρτηση f L p, και ορίζουµε ( f z = f γ(z) f z όπου γ(z) = p + z ) f p 0 p Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5
και g z = g δ(z) g g όπου δ(z) = q ( z q 0 + z ) q, µε τους q, q 0 και q να συµβολίζουν τους συζυγείς εκθέτες των q, q 0 και q αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι f t = f και f z p0 = αν Re (z) = 0 ενώ f z p = αν Re (z) =. Οµοια, g z q 0 = αν Re (z) = 0 και g z q = αν Re (z) =. Επίσης, g t = g. Το τέχνασµα είναι να ϑεωρήσουµε την Φ(z) = (T f z ) g z dν. Αφού η f είναι ένα πεπερασµένο άθροισµα της µορφής f = a k χ Ek µε τα σύνολα E k να είναι ξένα k και να έχουν πεπερασµένο µέτρο, ϐλέπουµε ότι η f z είναι επίσης απλή, και f z = k a k γ(z) a k a k χ Ek. Αφού η g = j b j χ Fj είναι επίσης απλή, έχουµε Συνεπώς, Φ(z) = j,k g z = a k γ(z) b j δ(z) a k a k j b j δ(z) b j b j χ F j. b j b j ( ) T ( χ Ek ) χ Fj dν, άρα η συνάρτηση Φ είναι ολόµορφη στη λωρίδα 0 < Re (z) <, και είναι ϕραγµένη και συνεχής στην κλειστή της ϑήκη. Εφαρµόζοντας την ανισότητα Hölder και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ο T είναι ϕραγµένος στον L p 0 µε νόρµα M 0, ϐλέπουµε ότι αν Re (z) = 0 τότε Φ(z) T ( f z ) q0 g z q 0 M 0 f z p0 = M 0. Οµοια ϐλέπουµε ότι Φ(z) M στην ευθεία Re (z) =. Από το λήµµα των τριών ευθειών συµπεραίνουµε ότι η Φ ϕράσσεται από M0 t M t στην ευθεία Re (z) = t. Αφού Φ(t) = (T f )g dν, έχουµε το Ϲητούµενο, τουλάχιστον στην περίπτωση που η f είναι απλή. Γενικά, αν f L p και p <, επιλέγουµε µια ακολουθία { f m } απλών συναρτήσεων στον L p έτσι ώστε f n f p 0. Αφού T ( f n ) q M f n p, ϐλέπουµε ότι η {T ( f n )} είναι ακολουθία Cauchy στον L q. Αν δείξουµε ότι lim n T ( f n ) = T ( f ) σχεδόν παντού, τότε ϑα έχουµε και T ( f ) q M f p. Για να το δούµε αυτό, γράφουµε f = f U + f L, όπου f U (x) = f (x) αν f (x) και f U (x) = 0 αλλιώς, ενώ f L (x) = f (x) αν f (x) < και f L (x) = 0 αλλιώς. Με τον ίδιο τρόπο γράφουµε κάθε f n σαν άθροισµα f n = fn U + fn L. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι p 0 p (η περίπτωση p 0 p εξετάζεται µε ανάλογο τρόπο). Τότε, p 0 p p, και αφού f L p έχουµε f U L p 0 και f L L p. Επιπλέον, αφού f n f p 0, µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι fn U f U p0 0 και fn L f L p 0. Από την υπόθεση, T ( fn U ) T ( f U ) στον L q 0 και T ( fn L ) T ( f L ) στον L q. Περνώντας σε κατάλληλες υπακολουθίες ϐλέπουµε ότι η T ( f n ) = T ( fn U ) + T ( fn L ) συγκλίνει στην T ( f ) σχεδόν παντού. Αυτό αποδεικνύει τον ισχυρισµό. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6
(ϐ) Μένει να εξετάσουµε τις περιπτώσεις q = και p =. Στην περίπτωση p = έχουµε αναγκαστικά p 0 = p =, οπότε οι υποθέσεις T ( f ) q0 M 0 f και T ( f ) q M f σε συνδυασµό µε την ανισότητα Hölder µας δίνουν T ( f ) q ( T ( f ) q0 ) t ( T ( f ) q ) t M t 0 M t f. Τέλος, αν p < και q =, τότε q 0 = q = και µπορούµε επιλέγοντας g z = g για κάθε z να ακολουθήσουµε την ίδια πορεία µε αυτήν της απόδειξης για την περίπτωση q >. Ετσι, ολοκληρώνεται η απόδειξη του ϑεωρήµατος. Παρατήρηση..3. Ενας λίγο διαφορετικός, αλλά χρήσιµος, τρόπος να δούµε το Θεώρηµα.. είναι ο εξής: υποθέτουµε ότι ο γραµµικός τελεστής T είναι αρχικά ορισµένος στις απλές συναρτήσεις του X, τις οποίες απεικονίζει σε συναρτήσεις του Y οι οποίες είναι ολοκληρώσιµες σε κάθε σύνολο πεπερασµένου µέτρου. Ρωτάµε για ποιά Ϲεύγη (p, q) ο T είναι ισχυρού τύπου (p, q), δηλαδή υπάρχει M = M p,q > 0 ώστε (..0.) T ( f ) q M f p για κάθε απλή συνάρτηση f. Η χρήσιµη ιδιότητα της κλάσης των απλών συναρτήσεων είναι ότι είναι η ίδια για όλους τους χώρους L p. Επιπλέον, αν η (..0.) ισχύει, τότε ο T επεκτείνεται µονοσήµαντα στον L p και αν p < τότε η (..0.) εξακολουθεί να ισχύει για κάθε f L p (µ), µε την ίδια σταθερά M p,q (το ίδιο ισχύει και για p = αν µ(x) < ). Ξεκινώντας από αυτήν την παρατήρηση, ορίζουµε το διάγραµµα Riesz του T να αποτελείται από όλα τα σηµεία (x, y) [0, ] [0, ] για τα οποία ο T είναι ισχυρού τύπου (/x, /y) και ϑέτουµε M x,y την µικρότερη ϑετική σταθερά για την οποία ισχύει (..0.3) T ( f ) /y M x,y f /x για κάθε απλή συνάρτηση f. Με αυτήν την ορολογία έχουµε το εξής: Θεώρηµα..4. Εστω T ένας γραµµικός τελεστής ορισµένος στις απλές συναρτήσεις του X, τις οποίες απεικονίζει σε συναρτήσεις του Y οι οποίες είναι ολοκληρώσιµες σε κάθε σύνολο πεπερασµένου µέτρου. (α) Το διάγραµµα Riesz του T είναι κυρτό υποσύνολο του [0, ] [0, ]. (ϐ) Η (x, y) logm x,y είναι κυρτή συνάρτηση σε αυτό το σύνολο. Απόδειξη. Ο πρώτος ισχυρισµός του Θεωρήµατος..4 µας λέει ότι αν (x 0, y 0 ) = (/p 0, /q 0 ) και (x, y ) = (/p, /q ) είναι δύο σηµεία στο διάγραµµα Riesz του T, τότε το ευθύγραµµο τµήµα που ορίζουν περιέχεται στο διάγραµµα Riesz του T. Αυτό προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα... Για τον δεύτερο ισχυρισµό παρατηρούµε ότι αρκεί να ελέγξουµε την κυρτότητα της logm x,y σε κάθε ευθύγραµµο τµήµα που περιέχεται στο διάγραµµα Riesz του T, κάτι που προκύπτει από την ανισότητα M M0 t M t του Θεωρήµατος... Λόγω της διατυπωσης του Θεωρήµατος..4, το Θεώρηµα.. συχνά αποκαλείται «ϑεώρηµα κυρτότητας του Riesz». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7
. Ανισότητα Hausdorff-Young Θα δώσουµε τέσσερις εφαρµογές του ϑεωρήµατος του Riesz. Η πρώτη είναι η ανισότητα Hausdorff-Young για τους συντελεστές Fourier µιας συνάρτησης f L p (T), p. Θεώρηµα.. (ανισότητα Hausdorff-Young). Εστω p. Αν f L p (T) και σειρά Fourier της f, τότε c k e ik x είναι η (..0.4) /q c k q π T f (x) p dx /p, όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι στην περίπτωση p = q = η (..0.4) ισχύει ως ισότητα, από την ταυτότητα του Parseval. Επίσης, έχουµε δεί ότι ισχύει στην περίπτωση p = και q = : αν f L (T) τότε για κάθε k Z, άρα sup{ c k : k Z} f. c k ( f ) f Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα.. για τους χώρους X = T µε το κανονικοποιηµένο µέτρο Lebesgue και Y = Z µε το µέτρο αρίθµησης, το οποίο δίνει µάζα σε κάθε µονοσύνολο. Θεωρούµε τον τελεστή T : L (T) + L (T) L (Z) + L (Z) ο οποίος απεικονίζει την f στην ακολουθία {c k ( f )} των συντελεστών Fourier της. Παρατηρήστε ότι L (T) L (T), άρα L (T) + L (T) = L (T). Επίσης, L (Z) L (Z), άρα L (Z) + L (Z) = L (Z). Εχουµε T ( f ) L (Z) = f L (T) για κάθε f L (T) και T ( f ) L (Z) f L (T) για κάθε f L (T). ηλαδή, ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήµατος.. για τα Ϲεύγη (, ) και (, ) µε M, = και M, =. Αν p (, ) και q είναι ο συζυγής εκθέτης του p, ϐλέπουµε ότι οι p, q ικανοποιούν τις p = t + t και q = t + t = t µε t = q (0, ). Από το Θεώρηµα.. παίρνουµε αµέσως την T ( f ) q M t, Mt, f p = f p για κάθε f L p (T). Η τελευταία ανισότητα είναι ακριβώς ισοδύναµη µε την (..0.4). Η δεύτερη εφαρµογή µας είναι η δυϊκή ανισότητα Hausdorff-Young: Θεώρηµα.. (δυϊκή ανισότητα Hausdorff-Young). Εστω q και έστω p ο συζυγής εκθέτης του q. Αν f L (T) και c k ( f ) p <, τότε f L q (T) και (..0.5) π T f (x) q dx /q /p c k p. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8
Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι στην περίπτωση p = q = η (..0.5) ισχύει ως ισότητα: η υπόθεση ότι {c k } L (Z) και το ϑεώρηµα Riesz-Fisher εξασφαλίζουν ότι f L (T) και ότι f L (T) = {c k } L (Z). Η περίπτωση p = και q = είναι απλή: αν c k < τότε η σειρά c k e ik x συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνάρτηση f για την οποία έχουµε c k ( f ) = c k για κάθε k Z και f (x) = για κάθε x T, άρα f L (T) {c k } L (Z). c k e ik x Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα.. για τους χώρους Q = Z µε το µέτρο αρίθµησης και U = T µε το κανονικοποιηµένο µέτρο Lebesgue. Θεωρούµε τον τελεστή T : L (Z) + L (Z) L (T) + L (T) ο οποίος απεικονίζει την {c k } στη συνάρτηση f (x) = L p (Z) L (Z), άρα, αν {c k } L p (T) έχουµε ότι η T ({c k })(x) = c k c k e ik x. Εστω < p <. Παρατηρήστε ότι c k e ik x L (T). Εχουµε T ({c k }) L (T) = {c k } L (Z) αν {c k } L (Z) και T ({c k }) L (T) {c k } L (Z) αν {c k } L (Z). ηλαδή, ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήµατος.. για τα Ϲεύγη (, ) και (, ) µε M, = και M, =. Αφού οι p, q ικανοποιούν τις p = t + t και q = t + t = t µε t = q (0, ), από το Θεώρηµα.. συµπεραίνουµε ότι αν f L (T) και {c k ( f )} Lp (Z) τότε f L q (T) και f q = T ({c k }) q M t, Mt, {c k} p. Η τελευταία ανισότητα είναι ακριβώς ισοδύναµη µε την (..0.5). Η επόµενη εφαρµογή είναι η ανισότητα Hausdorff-Young για το µετασχηµατισµό Fourier στον R n. Θεώρηµα..3 (ανισότητα Hausdorff-Young). Εστω p και έστω q ο συζυγής εκθέτης του p. Ο µετασχηµατισµός Fourier F επεκτείνεται µονοσήµαντα από την κλάση των απλών f L (R n ) στον L p (R n ) και για κάθε f L p (R n ) έχουµε F ( f ) L q (R n ) και (..0.6) F ( f ) q f p. Απόδειξη. Στο Κεφάλαιο 3 είδαµε ότι ο F = F : L (R n ) L (R n ) ικανοποιεί την F ( f ) f για κάθε f L (R n ), και ότι ο F = F : L (R n ) L (R n ) ικανοποιεί την F ( f ) = f για κάθε f L (R n ). Επίσης, οι F και F συµφωνούν στις απλές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Από την p έχουµε ότι L p (R n ) L (R n ) + L (R n ). Αρα, για κάθε f L p (R n ) µπορούµε να ορίσουµε την F ( f ) (εξηγήστε γιατί) και το Θεώρηµα.. µας δίνει την (..0.6). Η µοναδικότητα της επέκτασης προκύπτει από την πυκνότητα των απλών ολοκληρώσιµων συναρτήσεων στον L p (R n ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9
Παρατήρηση..4. Αξίζει τον κόπο να δούµε το διάγραµµα Riesz που αντιστοιχεί σε καθένα από τα παραπάνω τρία ϑεωρήµατα: ( (α) Θεώρηµα..: Το διάγραµµα Riesz είναι το κλειστό τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία (0, 0),, ) και (, 0). ( (ϐ) Θεώρηµα..: Το διάγραµµα Riesz είναι το κλειστό τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία (, ),, ) και (, 0). ( (γ) Θεώρηµα..3: Το διάγραµµα Riesz είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα σηµεία, ) και (, 0), δηλαδή το κοινό σύνορο των παραπάνω δύο τριγώνων. Αυτό ( που µας δίνουν τα παραπάνω τρία ϑεωρήµατα είναι ότι το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα ση- µεία, ) και (, 0) περιέχεται στο διάγραµµα Riesz και στις τρείς περιπτώσεις. Στο Θεώρηµα.. έχουµε και το σηµείο (0, 0) λόγω της τετριµµένης ανισότητας f f. Από την κυρτότητα του διαγράµµατος Riesz έπεται το (α). Στο Θεώρηµα.. έχουµε και το σηµείο (, ) λόγω της ανισότητας T ({c k } T ({c k } {c k }. Από την κυρτότητα του διαγράµµατος Riesz έπεται το (ϐ). Το γεγονός ότι το τρίτο διάγραµµα δεν µπορεί να επεκταθεί αφήνεται ως άσκηση. Η τελευταία µας εφαρµογή είναι η ανισότητα του Young για την συνέλιξη στον R n (την οποία έχουµε ήδη συζητήσει στις ασκήσεις της Ενότητας 4). Θεώρηµα..5 (ανισότητα Young). Εστω p, q, r που ικανοποιούν την q = p + r f L p (R n ) και g L q (R n ) τότε f g L r (R n ) και. Αν (..0.7) f g q f p g r. Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουµε την (..0.7) για απλές ολοκληρώσιµες f και g. Σταθεροποιούµε την g και ϑεωρούµε τον τελεστή f T ( f ) = f g. Μια ϐασική ανισότητα για συνελίξεις (απλή συνέπεια της ανισότητας Minkowski) που έχουµε ήδη χρησιµοποιήσει, µας εξασφαλίζει ότι T ( f ) r = f g r M g f για κάθε απλή ολοκληρώσιµη f, όπου M g = g r. Επίσης, από την ανισότητα Hölder έχουµε T ( f ) = f g g r f r = M g f r για κάθε απλή ολοκληρώσιµη f, όπου r είναι ο συζυγής εκθέτης του r. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα.. ως εξής: από την υπόθεση για τα p, q και r έχουµε t = r ( p) [0, ], και γι αυτήν την τιµή του t t ικανοποιούνται οι r + t = q και t + t r = p. Αρα, το Θεώρηµα.. µας δίνει T ( f ) q = f g q Mg t Mg t f p = g r f p για κάθε απλή ολοκληρώσιµη f. Αντίστοιχο αποτέλεσµα ισχύει για τους L p (T): αν οι p, q, r ικανοποιούν την q = p + r για κάθε f L p (T) και g L q (T) έχουµε f g L r (T) και, τότε (..0.8) f g q f p g r. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 0
Εδώ, το εύρος των (p, q, r) για τα οποία ισχύει η ανισότητα είναι αυτοµάτως µεγαλύτερο, αφού g r g r όταν r r. Το διάγραµµα Riesz της ( ανισότητας του Young στον R n (για σταθερή τιµή του r) είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα σηµεια r, 0) ( ) και, r. Το αντίστοιχο διάγραµµα Riesz της ανισότητας του Young στο T ( (για σταθερή τιµή του r) είναι το τραπέζιο µε κορυφές τα σηµεία (0, 0), (, ), r, 0) ( ) και, r. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα