Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται από: Ένα σύνολο κόμβων (nodes): Ο κόμβος αντιπροσωπεύει σημείο παραγωγής (supply) ή ζήτησης (demand) ή σημείο μεταφόρτωσης (transshipment point). Κάθε κόμβος έχει εισροή η εκροή ίση με b: b>0 (εισροή): Ο κόμβοςαντιπροσωπεύειπηγή(source). b<0 (εκροή): Ο κόμβος αντιπροσωπεύει δέκτη ή προορισμό (sink, destination). b=0: Ενδιάμεσος κόμβος (intermediate node) ή σημείο μεταφόρτωσης (transshipment point). Ένα σύνολο τόξων (arcs): Προϊόντα ρέουν κατά μήκος ενός τόξου το οποίο πηγαίνει από ένα κόμβο σε κάποιο άλλο. Κάθε τόξο μπορεί να έχει τις εξής ιδιότητες. Κόστος: Το κόστος ροής μίας μονάδας κατά μήκος του τόξου. Μέγιστη Δυνατότητα (apacity): Ο μέγιστος αριθμός μονάδων πού μπορούν να περάσουν από το τόξο. Ελάχιστη Δυνατότητα (Floor): Ο ελάχιστος αριθμός μονάδων πού μπορούν να περάσουν από το τόξο.
Προβλήματα Αποθήκευσης και Διανομής F W F W Παροχή Μεταφόρτωση Ζήτηση Διατύπωση Προβλήματος Minimize Subject to: Z = n n i= j= c ij x ij n x n ij j= j= x ji = b, i for each node i =,..., n
Ιδιότητες Εφικτή λύση: Η απαραίτητη συνθήκη για την ύπαρξη εφικτής λύσης στο πρόβλημα ελάχιστου κόστους ροής (minimum cost flow problem) είναι η συνολική εισροή σε όλου τους κόμβους εισροής πρέπει να ισούται με τη συνολική εκροή από όλους τους κόμβους εκροής. Ακέραια λύση: Για προβλήματα ελαχίστου κόστους ροής (minimum cost flow problems) όπου όλες οι παράμετροι b i και u ij έχουν ακέραιες τιμές, όλες οι βασικές μεταβλητές σε κάθε βασική εφικτή λύση περνούν επίσης ακέραιες τιμές. Northern Airplane (NA) o. ΗΝΑo. θέλει να βρει το πρόγραμμα παραγωγής και εγκατάστασης μηχανών έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Το μηνιαίο κόστος παραγωγής καθώς και η μέγιστη ζήτηση και παραγωγική δυνατότητα δίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Μήν. Μην. ζήτ. Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$,000,000 Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης x$,000,000 Αποθ. δυνατ. 0 0 0 0.08..0. 0.0 0.0 0.0 0 0 0
Northern Airplane o. Διατύπωση ΓΠ Μεταβλητές: x i : Αριθμός μηχανών που θα παραχθούν κατά τον μήνα i Αντικειμενική συνάρτηση: Περιορισμοί απαιτούμενης ζήτηση: Περιορισμοί μέγιστης παραγωγής: Northern Airplane o: Northern Airplane o. Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς S S S S...0...
Northern Airplane o. Διατύπωση Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Northern Airplane o. - Διατύπωση Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο [] S.08 [-0] [] S. [-] [-0] S.0 [-] [0] S. [-0]
Δέντρα Επικάλυψης (Spanning Trees) Δέντρο Επικάλυψης: Ένα συναπτό δέντρο χωρίς κύκλους Κατασκευή Δέντρου Επικάλυψης: Σε κάθε βήμα προσθέτουμε ένα τόξο μεταξύ ενός κόμβου είδη ενωμένου και ενός κόμβου μη συνδεδεμένου. Παράδειγμα: Α Β Α Β Ε Ε Γ Δ Γ Δ Δέντρα Επικάλυψης (Spanning Tree) Οι πιο κάτω ορισμοί δέντρων επικάλυψης είναι ισοδύναμοι Συναπτό γράφημα χωρίς κύκλους Συναπτό γράφημα που αποτελείται από n κόμβους και n- ακμές. Γράφημα στο οποίο κάθε ζεύγος κόμβων συνδέεται με ένα και μόνο μονοπάτι. Συναπτό γράφημα στο οποίο η απαλοιφή οποιασδήποτε ακμής το μετατρέπει σε μη συναπτό. 6
Απεικόνιση Γραφήματος με Πίνακα Πίνακας Γειτνίασης (Adjacency Matrix): Κάθε στοιχείο a ij = εάν υπάρχει ακμή που συνδέει τους κόμβους i και j κατά τη φορά i j και a ij =0 εάν δεν υπάρχει ακμή. Πίνακας Πρόσπτωσης (Incidence Matrix): Κάθε στοιχείο a ij = εάντοτόξοj έχει φορά μακριά από τον κόμβο i. a ij =- εάντοτόξοj έχει φορά προς τον κόμβο i, και a ij =0 εάν δεν υπάρχει σύνδεση μεταξύ κόμβου i και τόξου j. Παράδειγμα: 7 6 Απεικόνιση Γραφήματος με Πίνακα 7 6 Πίνακας Γειτνίασης: Πίνακας Πρόσπτωσης: 7
Δικτυακή Simplex Επαναληπτική μέθοδος κατά την οποία το σύνολο των ακμών με x ij >0 διαμορφώνουν ένα δέντρο επικάλυψης T με n κόμβους και n- ακμές. Βήμα : Για κάθε κόμβο j του δικτύου υπολογίζονται οι ποσότητες y i + c ij = y j για κάθε κλάδο (i, j) του T. Βήμα : Στο δέντρο προστίθεται μία νέα ακμή (i, j) για την οποία ισχύει: y i + c ij <y j. Βήμα : Καθορίζεται η μέγιστη ποσότητα x ij =t η οποία μπορεί να μεταφερθεί μέσω της ακμής (i, j) έτσι ώστε να ισχύουν οι εξισώσεις συνεχείας σε όλους τους κόμβους, χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί μη αρνητικότητας. Στη συνέχεια αναθεωρούνται όλες οι μεταβλητές του προβλήματος ως εξής: xij + t Εάν η φορά της (i, j) είναι ορθή ' xij = xij t Εάν η φορά της (i, j) είναι αντίστροφη xij Εάν η (i, j) δεν ανήκει στο T Δικτυακή Simplex Κατασκευή Αρχικού Δέντρου: Ξεκινώντας από ένα τυχαίο κόμβο w, κατασκευάζουμε ένα δέντρο επικάλυψης T w με n κόμβους και n- τόξα (υπαρκτά ή τεχνητά) και θέτουμε: xwj = bj x jw = b xij = 0 j Εάν b j 0 και j w Εάν b j <0 και j w Εάν η (i, j) δεν ανήκει στο T w Για κάθε τεχνητό τόξο, τίθεται ποινή π ij = και για κάθε πραγματικό τόξο π ij = και λύνουμε το βοηθητικό πρόβλημα min Z = π ij xij Εάν βρεθεί Z * =0 τότε το πρόβλημα έχει αρχική λύση. Εάν Z * >0 τότε το πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση. Μια λύση είναι βέλτιστη εάν δεν υπάρχει τόξο για το οποίο να ισχύει y i + c ij < y j 8
Παράδειγμα A [-0] F [-0] Παράδειγμα A [-0] F [-0] 9
ΕισερχόμενηΒασικήΜεταβλητή A 0 0 0 7 [-0] 0 60 0 F 0 7 [-0] Για κάθε κόμβο που δεν βρίσκεται στο δέντρο, υπολογίζουμε τις ποσότητες y i + c ij -y j. Εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή με την πιο αρνητική τιμή. Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή A 0 0 0 7-0 - 60 0 F 0 7 [-0] [-0] Εξερχόμενη Μεταβλητή: Αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο 0 και βρίσκεται στον κύκλο που έχει δημιουργήσει η εισερχόμενη μεταβλητή. 0
Νέα Λύση A [-0] F [-0] Βρήκαμε τη βέλτιστη λύση; Επόμενη Επανάληψη A [-0] F [-0] Η μέγιστη εφικτή μείωση είναι 0 στα τόξα και F.
Νέα Λύση A [-0] F [-0] Βρήκαμε τη βέλτιστη λύση; Υπάρχουν πολλαπλές βέλτιστές λύσεις; Δικτυακή Simplex με Άνω Φραγμένες Ακμές Κάθε ακμή στην οποία ρέει x ij =u ij θεωρείται μη βασική. Αυτό επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση x ij =u ij y ij έτσι ώστε όταν x ij =u ij η νέα μεταβλητή y ij =0 (είναι δηλαδή μη βασική). Πώς παρουσιάζεται η αντικατάσταση «γραφικά» πάνω στο δίκτυο; Εάν σε επόμενο βήμα y ij =u ij τότε συνεπάγεται ότι x ij =0 οπόταν η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται στην αντίστροφη κατεύθυνση.
Παράδειγμα με Άνω Φραγμούς A [-0] F [-0] Αρχική Λύση: Βρέστε ένα αρχικό δέντρο επικάλυψης ( άγνωστοι 6 εξισώσεις). ΕισερχόμενηΒασικήΜεταβλητή (0) A 0 0 0 7 0 60 0 F 0 7 [-0] [-0] Για κάθε κόμβο που δεν βρίσκεται στο δέντρο, υπολογίζουμε τις ποσότητες y i + c ij -y j. Εισερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή με την πιο αρνητική τιμή.
Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή A 0 (0) 7 [-0] F 0 7 [-0] Εξερχόμενη Μεταβλητή: Αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο 0 ή θα φτάσει πρώτη στον άνω φραγμό και βρίσκεται στον κύκλο που έχει δημιουργήσει η εισερχόμενη μεταβλητή. A Νέα Λύση Βρήκαμε τη βέλτιστη λύση; Η x έγινε μη βασική (0) [-0] αφού έφτασε στο φραγμό, οπόταν πρέπει να κάνουμε την αντικατάσταση x = u -y F [-0] A 0 0 0 0 0 F [-0]