ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 215-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 18/2/216 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/3/216 Ασκηση 1 - Αθροισµα ηµιτόνων ίδιας συχνότητας Ι Εστω το σήµα ( x(t) = 7 cos 2πf t + 3π ) + ( 2 cos 2πf t π ) 4 2 (1) (αʹ) Γράψτε το x(t) στη µορφή x(t) = A cos(2πf t + φ). (ϐʹ) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του σήµατος x(t). Απ.: A = 6.828, φ =.82π Ασκηση 2 - Αθροισµα ηµιτόνων ίδιας συχνότητας ΙΙ Εστω το σήµα ( x(t) = 7 cos 2πf t + π ) ( ) + 6 sin 2πf t 4 (2) είξτε ότι το z(t) για το οποίο ισχύει x(t) = R{z(t)} δίνεται από τη σχέση z(t) = 5.5e j(2πf t.29) (3) Ασκηση 3 - Σχέσεις Euler είξτε ότι π sin 3 (5t)dt = 4 15 µε χρήση των σχέσεων του Euler και της ταυτότητας (4) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (5) Ασκηση 4 - Χρόνος Συχνότητα Εστω το σήµα x(t) = 4 + cos(2π1t + π/3) cos(2π25t π/7) + 2 sin(2π3t π/4) (6) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του. Θυµηθείτε ότι το ϕάσµα πλάτους πρέπει να περιλαµβάνει µόνο ϑετικούς αριθµούς και να είναι άρτιας συµµετρίας, ενώ το ϕάσµα ϕάσης πρέπει να είναι περιττής συµµετρίας και οι τιµές του να ανήκουν στο [ π, π). Hint: 1 j = ±j = e±jπ/2, 1 = e ±jπ
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 2 Ασκηση 5 - Συχνότητα Χρόνος ίνονται τα ϕάσµατα πλάτους και ϕάσης του Σχήµατος 1, για ένα σήµα x(t). 6 3 5 2 4 1 π/3 3 2 1-1 -2 -π/3-3 -2-1 1 2 3-3 -3-2 -1 1 2 3 Σχήµα 1: Φάσµατα Άσκησης 5. (αʹ) Τα ϕάσµατα αυτά ανταποκρίνονται σε πραγµατικό, ϕανταστικό, ή µιγαδικό σήµα στο χρόνο; (ϐʹ) Από τα ϕάσµατα, γράψτε τη µιγαδική εκθετική αναπαράσταση του σήµατος x(t). (γʹ) Με τις σχέσεις του Euler, µετατρέψτε την παραπάνω µιγαδική εκθετική σε τριγωνοµετρική αναπαράσταση του σήµατος x(t). Ασκηση 6 - Ραδιοφωνική µετάδοση ΑΜ Εστω ένα σήµα πληροφορίας m(t) = 2 cos(2π5t + π/5) (7) που ϑέλουµε να σταλεί µέσω ϱαδιοκυµάτων. Κατασκευάζουµε το διαµορφωµένο κατά ΑΜ σήµα ( ) x(t) = 2 + m(t) c(t) (8) όπου το σήµα c(t) = cos(2π5t) (9) λέγεται ϕέρον σήµα. (αʹ) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του m(t). (ϐʹ) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του c(t). (γʹ) Γράψτε το x(t) ως µε f 1 < f 2 < f 3. x(t) = A 1 cos(2πf 1 t + φ 1 ) + A 2 cos(2πf 2 t + φ 2 ) + A 3 cos(2πf 3 t + φ 3 ) (1) Απ.: A 1 = 1, A 2 = 2, A 3 = 1 φ 1 = π/5, φ 2 =, φ 3 = π/5 f 1 = 45, f 2 = 5, f 3 = 55 (δʹ) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του διαµορφωµένου κατά ΑΜ σήµατος, x(t). Τι παρατηρείτε, σε σχέση µε τα ϕάσµατα των επιµέρους σηµάτων, m(t) και c(t);
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 3 (εʹ) Το σήµα x(t) µεταδίδεται και ϕτάνει στο δέκτη. Ο δέκτης πρέπει να ανακτήσει το σήµα πληροφο- ϱίας m(t) από το σήµα x(t) που έλαβε, πολλαπλασιάζοντας το x(t) µε το σήµα αποδιαµόρφωσης d(t) = 2 cos(2π5t) (11) δηλ. δηµιουργεί το σήµα r(t) = x(t)d(t) = ( ) 2 + m(t) c(t)d(t) (12) i. Απλοποιήστε τη σχέση r(t), αν γνωρίζετε ότι cos 2 (x) = 1 2 + 1 2 cos(2x). ii. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους της παραπάνω σχέσης που ϐρήκατε. Τι παρατηρήτε ότι συνέβη ; iii. Το αρχικό σήµα m(t) έχει ϕασµατική πληροφορία µόνο στις συχνότητες ±5 Hz. Συγκρίνοντας το ϕάσµα πλάτους του m(t) που σχεδιάσατε αρχικά µε το ϕάσµα πλάτους που ϐρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα, τι επιπλέον ϕασµατική πληροφορία υπάρχει στη Ϲώνη συχνοτήτων [ 5, 5] Hz; Ασκηση 7 - Σήµατα Chirp (αʹ) Τα chirp σήµατα, όπως είπαµε στο µάθηµα, είναι σήµατα στα οποία η συχνότητα αυξάνεται ή µειώνεται µε την πάροδο του χρόνου. Τέτοια σήµατα έχουν εφαρµογές σε συστήµατα radar και sonar, και σε τηλεπικοινωνιακά συστήµατα. Θέλουµε να δηµιουργήσουµε ένα chirp σήµα το οποίο ϑα έχει γραµµικά αυξανόµενη στιγµιαία συχνότητα f i (t), ξεκινώντας από τα f begin = 1 Hz και ϕτάνοντας στα f end = 2 Hz. Θέλουµε η αύξηση αυτή να γίνεται µέσα σε χρόνο t = 4 δευτερόλεπτα, ξεκινώντας από t =. Η στιγµιαία συχνότητα f i (t) ϑα είναι της µορφής f i (t) = f begin + f end f begin t t end t begin (13) = 2 1 1 + t 4 (14) = 1 + 19 4 t (15) = 1 + 475t (16) Η παραπάνω σχέση µπορεί να παρασταθεί γραφικά όπως στο Σχήµα 2. 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Σχήµα 2: ιάγραµµα συχνότητας - χρόνου ενός γραµµικού chirp σήµατος.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 4 είξαµε στο µάθηµα ότι το ηµίτονο που ϑα ϕέρει αυτή τη συχνότητα ϑα πρέπει να είναι της µορφής x(t) = cos(θ(t)), t 4 (17) µε τη ϕάση θ(t) να δίνεται ως θ(t) = 2π i. Υπολογίστε το θ(t) και γράψτε το x(t) στην πλήρη του µορφή. t f i (u)du (18) ii. Οι παρακάτω εντολες MATLAB πραγµατοποιούν ένα τέτοιο chirp σήµα. σχόλιο. Απ: x(t) = cos(475πt 2 + 2π1t) % Syxnothta deigmatolhpsias fs = 16; % A3onas xronoy ws 4 seconds t = :1/fs:4; % Shma x_linear = cos(pi*475*t.ˆ2 + 2*pi*1*t); % Akouste to - xamhla thn entash! :) soundsc(x_linear, fs); % Deite to fasmatografhma (apeikonish xronou-syxnothtas) Window =.3*fs; Step =.25*fs; spectrogram(x_linear, Window, Step, 124, fs, yaxis ); Τα % δηλώνουν Το διάγραµµα συχνότητας-χρόνου που προκύπτει από τις παραπάνω εντολές επαληθεύει την αρχική σχεδίαση για τη συχνότητά µας ; (ϐʹ) Εστω ότι τώρα ϑέλουµε να δηµιουργήσουµε ένα chirp σήµα που ϑα έχει πολυωνυµικά αυξανόµενη συχνότητα, και συγκεκριµένα µε παραβολική αύξηση, ξανά σε διάστηµα t = 4 δευτε- ϱολέπτων. Για την κατασκευή της συνάρτησης στιγµιαίας συχνότητας f i (t) ϑα χρειαστείτε τρια σηµεία : ας υποθέσουµε ότι αυτά είναι τα (t i, f i ) = [(, 2), (2, 1), (4, 4)] (19) µε την πρώτη τιµή κάθε Ϲεύγους να δηλώνει το χρόνο σε δευτερόλεπτα, και τη δεύτερη τιµή να δηλώνει την τιµή της στιγµιαίας συχνότητας σε Hz. Άρα από τα παραπάνω σηµεία συµπεραίνουµε ότι η στιγµιαία συχνότητα ξεκινά από τα 2 Hz για t =, ϕτάνει τα 1 Hz όταν t = 2, και καταλήγει στα 4 Hz για t = 4. Υπενθυµίζεται ότι µια παραβολή είναι της µορφής f i (t) = a + bt + ct 2 (2) i. Βρείτε τους αγνώστους a, b, c λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει από τη γνώση των σηµείων (t i, f i ), και γράψτε την εξίσωση της στιγµιαίας συχνότητας f i (t). ii. Υπολογίστε τη ϕάση θ(t) ολοκληρώνοντας την f i (t) όπως πριν. iii. Γράψτε το σήµα στο χρόνο x(t) που τελικά προκύπτει. Απ: x(t) = cos Απ: a = 2, b = 15, c = 275 ( )) 2π( 275 3 t3 75t 2 + 2t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 5 iv. Γράψτε και παραδώστε κώδικα MATLAB που υλοποιεί το παραβολικό chirp σήµα και απεικονίζει το ϕασµατογράφηµά του. Χρησιµοποιήστε το παραπάνω υπόδειγµα κώδικα χωρίς να αλλάξετε άλλες παραµέτρους πλην του σήµατος. Αν όλα πάνε καλά, πρέπει να δείτε κάτι σαν το Σχήµα 3. Σχήµα 3: ιάγραµµα συχνότητας - χρόνου ενός παραβολικού chirp σήµατος. (γʹ) Η συνάρτηση fliplr του MATLAB δέχεται ως όρισµα ένα διάνυσµα-σήµα και επιστρέφει το ίδιο διάνυσµα ανεστραµµένο στο χρόνο. Για παράδειγµα % Arxiko dianusma y y = [ 1 2 3 ]; % Anestrammeno dianusma z = fliplr(y) z = 3 2 1 Πώς ϑα µπορούσατε να παράξετε τα ϕασµατογραφήµατα του Σχήµατος 4, µε χρήση µόνο των σηµάτων που παράξατε παραπάνω και της συνάρτησης fliplr; Σχήµα 4: ιαγράµµα συχνότητας - χρόνου επαναλαµβανόµενων chirp σηµάτων.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Πρώτη Σειρά Ασκήσεων 6 Ως ϐοήθεια, σας δίνεται ότι αν έχετε τρια σήµατα στο MATLAB στις µεταβλητές x1, x2, x3 τότε µπορείτε να ϕτιάξετε ένα µεγαλύτερο σήµα που αποτελείται από τα τρια αυτά σήµατα, το ένα µετά το άλλο, ως % Concatenation x_big = [x1 x2 x3]; Παραδώστε κώδικα MATLAB που να παράγει τα παραπάνω ϕασµατογραφήµατα, µε τη ϐοήθεια του παρακάτω κώδικα, αντικαθιστώντας απλά τα ερωτηµατικά. % Syxnothta deigmatolhpsias fs = 16; % A3onas xronoy ws 4 seconds t = :1/fs:4; % Shma Grammikhs syxnothtas x_linear = cos(pi*475*t.ˆ2 + 2*pi*1*t); % Shma Parabolikhs syxnothtas (apo to parapanw erwthma (b) ) x_parab =???????????????? % Epanalambanomena shmata x_rep_linear = [ x_linear???????????? ]; x_rep_parab = [ x_parab???????????? ]; % Deite to fasmatografhma (apeikonish xronou-syxnothtas) Window =.3*fs; Step =.25*fs; subplot(121); spectrogram(x_rep_linear, Window, Step, 124, fs, yaxis ); subplot(122); spectrogram(x_rep_parab, Window, Step, 124, fs, yaxis );