Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις

ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 1 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις q Στην περίπτωση αυτή µελετάµε την δεδοµένη οδηγό δύναµη: F d (t) = F cos! d t η οποία δρα επιπλέον των άλλων δυνάµεων:!kx! b x Ø H συχνότητα µπορεί να ναι οτιδήποτε. Ø Εν γένει είναι χρήσιµο να κοιτάξουµε τέτοιες δυνάµεις γιατί κάθε γενική συνάρτηση του t µπορεί να γραφεί συναρτήσει ηµιτόνων και συνηµίτονων µέσω Fourier ανάλυση. q Επικεντρωνόµαστε στην F d (t) = F cos! d t γιατί µπορούµε να την λύσουµε F = ma! "Kx " b!x + F d cos# d t = m!!x!!!x + 2$!x + # 0 2 x = f cos# d t όπου! " b 2m και! 2 0 " # m και f = F d m Ως συνήθως µαντεύουµε την λύση της µορφής x( t) = Acos! d t + Bsin! d t Θα µπορούσαµε να πάρουµε οποιαδήποτε άλλη συχνότητα πέρα από την συχνότητα της οδηγού δύναµης. Αν δούµε ότι δεν έχουµε λύση για ω d τότε δοκιµάζουµε άλλη συχνότητα. Αλλά θα δούµε ότι πάντα υπάρχει λύσει για ω d

ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 2 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις Ø Η λύση αυτή είναι διαφορετική από τι έχουµε κάνει µέχρι τώρα. Ø Εδώ µαντεύουµε την συχνότητα και λύνουµε ως προς τις σταθερές Α και Β ενώ πριν λύναµε για τη συχνότητα και βρίσκαµε Α και Β από αρχικές συνθήκες. Αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση (F=mα) έχουµε:!" 2 d Acos" d t! " 2 2 d Bsin" d t + 2# (!" d Asin" d t + " d Bcos" d t) + " 0 ( Acos" d t + Bsin" d t) = f cos" d t Aν η σχέση ισχύει για κάθε t τότε οι συντελεστές των cosω d t και sinω d t πρέπει να συµφωνούν και από τις 2 πλευρές της εξίσωσης: sin! d t "! d 2 B # 2$! d A +! 0 2 B = 0 cos! d t " #! d 2 A + 2$! d B +! 0 2 A = f Σύστηµα 2 εξισώσεων µε 2 αγνώστους το οποίο δίνει για Α και Β A =! 2 2 "! d )! 2 2 "! d ) 2 + 2#! d Ορίζουµε =! 2 2 "! d ) 2 + 2#! d ( 2!" B = d ) f ( ) 2 " 2 2 # " d ) 2 + ( 2!" d ) 2 ( ) 2 ( ) 2 οπότε A =! 2 2 0 "! d ( ) f B = 2!" 2 2

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 3 Γράφουμε την x(t) μετά την εύρεση των Α και Β: Ορίζουμε τις ποσότητες: & 2"# tan! = d # 2 2 $ # d ) % ( ' ( ( ) x( t) = f cos! ( ) 2 + 2$" d * ( ) &! " 0 2 # " d 2 cos! = # 2 2 0 $ # d sin! = 2"# d ( ( + % ' ( ( (, )( ( ) 2 και θ A = f cos! - = f sin! cos" dt + f sin! sin" dt # x( t) = f cos ( " dt $!) θ! 2 2 0 "! d ( ) 2!" d Όλα σ αυτή την λύση είναι προσδιορισµένα!! Δεν υπάρχουν ελεύθερες παράµετροι. Δεν έχει να κάνει µε τις αρχικές συνθήκες του x και υ. Η πιο γενική λύση της εξίσωσης είναι αυτή που έχει την παραπάνω λύση και την λύση της οµογενούς που βρήκαµε στις (σελίδες 4, 5 και 6). x( t) = f cos (! t " # d ) + Λύση ομογενούς De!" t cos (#t + $ ) Αν υπάρχει απόσβεση τότε ο όρος e -γt της οµογενούς κάνει τον όρο να µηδενίζεται και αποµένει µια λύση που ταλαντώνει µε συχνότητα ω d και η οποία είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες.

Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις - Συντονισµός Το πλάτος της συγκεκριμένης ταλάντωσης είναι ανάλογο του 1! 1 " 2 2 0 # " d ( ) 2 + 2$" d ( ) 2! 2 2 "! d ) 2 + 2#! d ( ) 2 x =! d =! 0 2 " 2# 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 4 Ø Για συγκεκριμένα γ και ω d, γίνεται μέγιστο όταν ο πρώτος όρος στην ρίζα είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει όταν ω 0 =ω d. Ø Aν το γ είναι μικρό (μικρή απόσβεση) και ω 0 (ιδιοσυχνότητα) είναι κοντά στην ω d (οδηγούσα συχνότητα) το πλάτος είναι πολύ μεγάλο. Ø Όταν ω 0 =ω d λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό Ø Για συγκεκριμένα γ και ω 0, χρειάζεται κάποια δουλειά για να βρούμε την συχνότητα ω d στην οποία το πλάτος μεγιστοποιείται. Αυτό που χρειάζεται να κάνουμε είναι να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση Θέτοντας την παράγωγο ίση με 0 έχουμε Για μικρά γ (που είναι η συνηθισμένη περίπτωση) έχουμε και πάλι ω 0 =ω d

ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 5 Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις - Συντονισµός Για συγκεκριμένες τιμές των γ και ω 0, η τιμή του 1/ συναρτήσει του ω d μπορεί να μοιάζει με το παρακάτω σχήμα: 1/ ω 0 ω d H φάση θ: Για συγκεκριµένο ω 0, η φάση θ στην εξίσωση x t µπορεί να υπολογισθεί για ορισµένες περιπτώσεις ω d ~0 è θ~0 (σε φάση με τη δύναμη) ( ) = f cos (! dt " #) ω d ~ ω 0 è θ~π/2 (δύναμη μέγιστη στο x=0). Εφαρμόζουμε τη δύναμη όταν το σώμα κινείται ταχύτατα (x = 0) è P = Fυ. Μέγιστη μεταφορά ισχύος è Μέγιστη Ε è Μέγιστο πλάτος ω d è θ~π χρησιµοποιώντας tan! = 2"# d # 0 2 $ # d 2 ( ) (Η κίνηση δεν είναι σε φάση με την δύναμη). Η μάζα δεν κινείται ιδιαίτερα και το ελατήριο δίνει μικρή δύναμη

ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 6 Συντονισμός και η γέφυρα Tacoma Narrows

Σπάζοντας ένα ποτήρι ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 7

ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 8 Παραδείγµατα Μια µάζα 3kg τοποθετείται σε ένα ελατήριο σταθεράς k=24n/m. Επιµηκύνεται κατά 5cm και αφήνεται να ταλαντωθεί. (α) Ποια εξίσωση περιγράφει τη θέση του συναρτήσει του χρόνου (β) Ποια η ενέργεια του συστήµατος (γ) Ποια η µέγιστη ταχύτητα του συστήµατος (δ) Μετά από πόσο χρόνο έχει και πάλι αποµάκρυνση +5cm (α) Ξέρουµε ότι για t = 0, x=5cm ενώ υ=0m/s. Εποµένως: x( t) = 5cos (!t) (β) Η µηχανική ενέργεια διατηρείται. Εποµένως τη χρονική στιγµή t = 0 ( 24 ( ( 5 ( 10)2 ) 2 = 0.3J E µ!" = E #$%. + E &'. = 0 + 1 2 kx2 = 1 2 (γ) Το σώµα έχει µέγιστη ταχύτητα όταν η Ε δυν =0, ενώ Ε µηχ =σταθ. E µ!" = E #$%. + E &'. = 0 + 1 2 m( 2 = 0.3J! " = 2 # 0.3 3 (δ) Η γωνιακή συχνότητα του συστήµατος είναι:! = k m = 2" T! T = 2" m k = 2" 3 24! T = 2.2s! " = 0.14m / s