ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 0-03 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035457
σ-άλγεβρα - Μέτρο εσµευµένη µέση τιµή Στοχαστικές διαδικασίες - Martingales
σ-άλγεβρα και Μέτρο σ-άλγεβρα Έστω Ω ένα µη κενό σύνολο. Μία κλάση υ οσυνόλων Y του Ω καλείται σ-άλγεβρααν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) Ω Y. (ii) Αν Α Yτότε και Α c Y. (iii) Αν Α,Α, Y (αριθµήσιµη οικογένεια υ οσυνόλων του Ω) τότε και Το ζεύγος (Ω, Y ) καλείται µετρήσιµος χώρος. Α οδεικνύεται ότι αν Y είναι σ- άλγεβρατότε Y καια,α, Y A Y Μέτρο (i) Έστω ένα µη κενό σύνολο Ω και Y µία σ-άλγεβρά του. Μία συνολοσυνάρτηση µ α ό το Y στο [0, ] καλείται µέτρο αν ( ) 0 µ ( ) µu A µ ( (ii ) για κάθε ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων Α,Α, Y i i A i i Ητριάδα(Ω, Y? µ) καλείται χώροςµέτρου ) I i i U A i i Y
Εισαγωγή Η κατοχή ληροφορίας η ο οία είναι λήρης και ακριβής είναι βασική ροϋ όθεση ε ιτυχίας για κά οιον ου ασχολείται µε χρηµατοοικονοµικά ροβλήµατα και εµ όριο κάθε είδους Κά οτε α οτελούσε ανάκριβο ροϊόν η αγορά ληροφορίας α ό τους χρηµατοοικονοµικούς οργανισµούς ενώ σήµερα µε το Internet ένα µεγάλο µέρος της αναγκαίας ληροφορίας είναι διαθέσιµο Είναι λοι όν λογικό να υ οθέσουµε ότι η ληροφορία φθάνει σε όλους µε την ίδια ιθανότητα και ότι οι διαφορές εντο ίζονται ερισσότερο στον τρό ο χρήσης της
Εισαγωγή Στην ραγµατικότητα βέβαια τα ράγµατα είναι αρκετά ιο ερί λοκα Η ικανότητα α οθήκευσης της ληροφορίας, η οργάνωση της και η γρήγορη ρόσβαση σε σε αυτήν είναι ένας α ό τους βασικούς αράγοντες σωστής αξιο οίησής της Με το έρασµα του χρόνου συνεχώς νέα ληροφορία καταφθάνει σε όλους τους οικονοµικούς αράγοντες, οι ο οίοι συνεχώς ε ανα ροσαρµόζουν τις στρατηγικές και τις α οφάσεις τους
Εισαγωγή Οι χώροι ιθανοτήτων και οι µαθηµατικοί µηχανισµοί ου µας αρέχει η δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή είναι ισχυρά ό λα για την διαχείριση στατικών καταστάσεων, στις ο οίες συνυ άρχει σε µεγάλο βαθµό η τυχαιότητα Ισοδύναµα ισχυρή σε αυτές τις ερι τώσεις είναι και η ιδέα του filtration Για την διαχείριση δυναµικών καταστάσεων ου εριέχουν σε µεγάλο βαθµό τυχαιότητα η ο οία αναδεικνύεται µέσα στον χρόνο, χρειαζόµαστε την θεωρία των Martingales Θα ξεκινήσουµε µε κά οια χρήσιµα α οτελέσµατα άνω στην δηµευµένη µέση τιµή και στην συνέχεια θα ανα τύξουµε την θεωρία των Martingales
ιακριτή Περί τωση ΈστωΧµιατ.µ.τηςο οίαςηµέσητιµήείναι ε ερασµένη.είναιγνωστόότι [ X] x Pr( X x) x Είναι ε ίσης γνωστό ότι η δεσµευµένη ιθανότητα δύο ενδεχοµένων Α και Β δίνεται α ό την σχέση Pr ( A B) Pr Pr ( AI B) ( B) Σε άρα ολλές ερι τώσεις όταν έχουµε µια τ.µ. Χ συµβαίνει να έχουµε µια µερική ληροφόρηση για αυτήν, η ο οία έχει την µορφή µια άλλης τ.µ. Υ, η ο οία µεταφέρει κά οια ληροφορία για την Χ
ιακριτή Περί τωση Στην ερί τωση αυτή ορίζουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη κατανοµή της Χ, δεδοµένου της Υ Pr( X x, Y y) f X Y ( x y) Pr( Y y) Ανάλογα ορίζεται και η δεσµευµένη συνάρτηση κατανοµής της Χ δεδοµένου της Υ F ( X x Y y) ( X x, Y y) ( ) Pr Y y X Y ( x y) Pr f X Y k x Pr ( k y) Έτσι είµαστε σε θέση να ορίσουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή της Χ δεδοµένης της Υ [ X Y y] k Pr( X k Y y) k f ( k y) X Y k k
ιακριτή Περί τωση Τιγίνεταιόµωςανθεωρήσουµε την [ X Y] Σε αυτήν την ερί τωση η δεσµευµένη µέση τιµή αίρνει ένα σύνολο τιµών ανάλογων τωντιµών ουµ ορείνα άρειητ.µ.υ,είναιδηλαδήµιατ.µ. Η ιθανότητα Pr ( X x, Y y) λέγεται α ό κοινού κατανοµήτωντ.µ.χκαιυ και συµβολίζεται µε ( X x Y y) f ( x, y) Pr, Μ ορούµε να δείξουµε ότι y f ( x) f ( x, y) x f ( y) f ( x, y)
ιακριτή Περί τωση Α ό τις ροηγούµενες σχέσεις ροκύ τει ότι x X Y y x f y x f y f y x f y x f ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( και Το ρόβληµα στις αρα άνω σχέσεις είναι ότι οι α ό κοινού κατανοµές στην ράξη είναι δύσκολο να είναι γνωστές και µερικές φορές η ύ αρξη τους είναι ρόβληµα [ ] k k k Y X y k f y k f k y k f k y Y X ) ( ) ( ) (
ιακριτή Περί τωση Πρόταση : ΑνΧκαιΥείναιανεξάρτητεςτ.µτότε [ X Y] [ X] Παράδειγµα : Εάν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τ.µ. µε Poisson κατανοµή µε αραµέτρους λ και λ αντίστοιχα, τότε να βρεθεί η δεσµευµένη µέση τιµή [ X X + Y k] Θεώρηµα : ΑνΧκαιΥείναιδιακριτέςτ.µτότε [ X] [ [ X Y ]
Συνεχής Περί τωση Έστω Χ και Υ δύο συνεχείς τ.µ. και έστω f(x,y) είναι η α ό κοινού υκνότητα ιθανότητας. Έστω ε ίσης f y (y) η υκνότητα ιθανότητας της Υ. Κατά αναλογία µε την διακριτή ερί τωση ορίζεται η δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη υκνότητα ιθανότητας της ΧδεδοµένηςτηςΥyωςεξής f x y ( x y) f ( x, y) f ( y) y µε + f y ( y) f ( x, y) dx
Συνεχής Περί τωση Αναλόγως άλι µε την διακριτή ερί τωση, µ ορούµε να ορίσουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµή τηςχδεδοµένης τηςυωςεξής: [ X Y y] + x x y ) f ( x, y dx Θεώρηµα : ΑνΧκαιΥείναισυνεχείς τ.µτότε [ X] [ [ X Y ]
Εφαρµογές Θεώρηµα 3: Έστω Χ, Χ, Χ Ν ισόνοµες τ.µ. των ο οίων το λήθος Ν είναι ε ίσης µια τ.µ. ανεξάρτητηα ότιςχ,χ, Χ Ν,τότε *Παράδειγµα : N i X i [ N] [ X] Μια χρηµατιστηριακή εταιρία έχει έναν αριθµό α ό Ν options τα ο οία λήγουν σε µια ηµέρα. Ο αριθµός των options ου λήγουν είναι µια τ.µ. µε µέση τιµή 00. Ένα option έχει ιθανότητα 0.6 να έχει κέρδος 0 για την χρηµατιστηριακή εταιρία και ιθανότητα 0.4 να έχει µια ζηµία 5. Να βρεθεί οιο είναι το αναµενόµενο κέρδος της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό τα options σε µια ηµέρα.
Εφαρµογές Λύση: Έστω X i µια τ.µ. ου εκφράζει το κέρδος της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό το i option. Τότε έχουµε: [ X ] 0 0.6 5 0.4 6 X i ΑφούΝείναιοαριθµόςτωνoptionsέχουµεότιτοσυνολικό κέρδοςθαείναι: X + X + K+ Το Ν όµως είναι µια τ.µ. και κατά συνέ εια έχει νόηµα να υ ολογίσοµε µόνο το αναµενόµενο κέρδος α ό το θεώρηµα 3: [ X X + K+ X ] X [ N] [ X] 00 6 600 X N N + N i i
Εφαρµογές Θεώρηµα 4: Έστω Ν το λήθος ανεξάρτητων δοκιµών Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p. Έστω ε ι λέονότιτονείναιµιατ.µ.εάνχείναιοαριθµόςτωνε ιτυχιών τότε: Παράδειγµα 3: [ X ] [ N ] p Σε µια χρηµατιστηριακή εταιρία οι ελάτες οι ο οίοι ζητούν ληροφορίες για αράγωγα φθάνουν σύµφωνα µε την κατανοµή Poisson µε αράµετρο ανά ώρα. Η χρηµατιστηριακή εταιρία αραµένει ανοικτή ώρες ακριβώς. Η ιθανότητα ένας ελάτης ου ζητά ληροφορίες για αράγωγα να αγοράσει ένα α ό αυτά είναι 0.333. Να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός αραγώγων ου ουλά η εταιρία ηµερησίως.
Εφαρµογές Λύση: Ανµιατ.µ.ΧέχεικατανοµήPoissonµε αράµετρολτότε [ X] λ Άρα ο αναµενόµενος αριθµός ελατών σε µια ηµέρα ου ζητά ληροφορίες για αράγωγα θα είναι ä44 ελάτες Σύµφωνα µε το θεώρηµα 4, ο αναµενόµενος αριθµός αραγώγων ου θα ουλήσει σε µια ηµέρα η χρηµατιστηριακή εταιρία θα είναι [ X] [ N] p 44 0.333 48
Εφαρµογές Θεώρηµα 5: Έστω Ν το λήθος ανεξάρτητων δοκιµών Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p. Έστω ε ι λέον ότι η ιθανότητα ε ιτυχία p είναι µια τ.µ. Εάν Χ είναι ο αριθµός των ε ιτυχιών τότε: [ X] N [ p]
Εφαρµογές Θεώρηµα 7: Θεωρούµε ότι εκτελούνται ανεξάρτητες δοκιµές Bernouli µε ιθανότητα ε ιτυχίας p µέχρι να εµφανιστούν k το λήθος συνεχόµενες ε ιτυχίες. Έστω N k η τυχαία µεταβλητή ου εκφράζει τον αριθµό των δοκιµών Bernouli µέχρι την εµφάνιση k συνεχόµενων ε ιτυχιών. Τότε: Παράδειγµα 4: p p p [ N k] + + K+ k Θεωρούµε το διωνυµικό µοντέλο τιµολόγησης µιας µετοχής. ηλαδή έστω S 0 η τιµή της στο χρόνο 0. Στο χρόνο, η τιµή της είτε θα ανέβει (ε ιτυχία), είτε θα έσει (α οτυχία). ΈστωΧ ητ.µ. ουεκφράζειτοδιωνυµικό είραµα X άνοδο 0 πτώση
Εφαρµογές Υ οθέτουµε ότι στο αρα άνω διωνυµικό είραµα η ιθανότητα ε ιτυχίας είναι p και ίση µε 0.666. Να βρεθεί ο αναµενόµενος αριθµός των ηµερών ου χρειάζονται έτσι ώστε η µετοχή να εµφανίσει άνοδο για 5 συνεχόµενες ηµέρες. Λύση: ΈστωΝ 5 ητ.µ. ουεκφράζειτονζητούµενοαριθµόηµερών.α ότοθεώρηµα7 [ N ] 5 p + p + p 3 + p 4 + p 5 0.666 + 0.444 + 0.95 + 0.97 + 0.3 9.85
Εφαρµογές Γενικά η µέση τιµή µιας οσότητας α οκτά ληρέστερο νόηµα όταν συνοδεύεται και α ό την διακύµανσή της Θεώρηµα 8: Έστω Χ, Χ, Χ Ν ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. των ο οίων το λήθος Ν είναι ε ίσης µιατ.µ.ανεξάρτητηα ότιςχ,χ, Χ Ν,τότε N Var i Παράδειγµα 5: X i [ N] Var[ X] + ( [ X] ) Var[ N] Στο αράδειγµα, να βρεθεί η διακύµανση του κέρδους της χρηµατιστηριακής εταιρίας α ό τα options σε µια ηµέρα. Είναι δεδοµένο ότι η διακύµανση των options ου λήγουνσεµιαηµέραείναιµιατ.µ.µεδιακύµανση6.5.
Εφαρµογές Λύση: Έχουµε ότι ( ) 0 0.6+ 5 0.4 40+ 90 330 X i άρα Var [ ] ( X X ) [ X ] i i i ( ) 330 6 330 36 94 Σύµφωναµετοθεώρηµα8έχουµεότι N Var i X i [ N] Var[ X] + ( [ X] ) Var[ N] 600 94+ 330 6.5 76400+ 06.5 7846.5
Εφαρµογές Μια ακόµα ολύ σηµαντική χρήση της δεσµευµένης µέσης τιµής και ιθανότητας, είναι στον υ ολογισµό της ιθανότητας ενός ενδεχοµένου. Ας υ οθέσουµε ότι θέλουµε να υ ολογίσουµε την ιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α. Ορίζουµε την τ.µ. Χ η ο οία αίρνει την τιµή αν ραγµατο οιείται το ενδεχόµενο Α και την τιµή 0 αν όχι. Α ό τον ορισµό της µέσης τιµής µιας τ.µ. έχουµε ότι [ X] Pr( A) + 0 Pr( A) Pr( A) Ε ίσης για ο οιαδή οτε τ.µ. Υ έχουµε ότι Είναι ε ίσης γνωστό ότι [ X Y] Pr( A Y) + 0 Pr( A Y) Pr( A Y) [ X Y] Pr( Y y) y [ X] [ [ X Y ] + [ X Y] Pr( Y y) dy
Εφαρµογές Α ό ό ου ροκύ τει Pr ( A) Προκύ τουν λοι όν δύο ακόµα χρήσιµα θεωρήµατα: Θεώρηµα 9: y + Pr Pr ( A Y y) Pr( Y y) ( A Y y) Pr( Y y) ΈστωΧκαιΥανεξάρτητεςτ.µ. Οιο οίεςείναι συνεχείςµε υκνότητες ιθανότηταςf X (x) dy καιf Y (y).τότε: Pr ( X Y) + < F ( y) f ( y dy X Y ) Θεώρηµα 0: ΈστωΧκαιΥανεξάρτητεςτ.µ. Οιο οίεςείναι συνεχείςµε υκνότητες ιθανότηταςf X (x) καιf Y (y).τότεανζχ+υ: F + Z ( z) FX ( z y) fy ( y) dy
Ιδιότητες. ΑνΧκαιΥείναιδύοτ.µ.καιg (X)καιg (X)είναιδύοσυναρτήσεις τηςχτέτοιεςώστε τότεγιακάθεα,α IRέχουµε: [ g X )] < και [ g ( )] < ( X [ a g X ) + a g ( X ) Y] a [ g ( X ) Y] + a [ g ( X ) Y] (. ΑνΧκαιΥείναιδύοανεξάρτητεςτ.µ.τότε [ X Y] [ X] 3. ΑνΥείναιτ.µ.τότε (i) (ii) [α Y] α γιακάθεα IR [f(y) Y] f(y)
Ιδιότητες 4. ΑνΧκαιΥείναιδύοτ.µ. [ XY Y] Y[ X Y] 5. Αν Χ, Χ και Υ είναι τρεις τ.µ. και g(x ) και g(x ) είναι δύο συναρτήσεις των Χ, Χ τέτοιες ώστε τότεγιακάθεα,α IRέχουµε: 6. Ανg:IR IR καιχείναιτ.µ.τ.ω. τότε ενώ αν [ g( X ) ] < και [ g ( X ) ] < ( X [ a g X ) + a g( X ) Y] a [ g( X ) Y] + a [ g( X ) Y] ( [ g( X )] g( [ X] ) < [ ] 0 [ g( X) ] < και g ( X) < 0 ( ) g( X) < και g ( X) > τότε [ g( X )] > g [ X]
Ορισµός : εσµευµένη Μέση Τιµή Ιδιότητες Μιατ.µ.Υθαλέµεότι καθορίζεται α όµιαάλλητ.µ.χανείναιµιασυνάρτηση τηςχ. Αν η τ.µ. Υκαθορίζεται α ό την Χ, τότε αν Ζείναι µια τ.µ. (i) [YZ X]Y[Z X] (ii) Ε[Υ Χ]Υ Ορισµός : ΈστωΧ,Υ τ.µ.θαλέµεότιηχείναι υ ό συνθήκη ανεξάρτητη της Υανισχύει ησχέση: [ X Y] [ X] Ο όρος υ ό συνθήκη ανεξαρτησία χρησιµο οιείται γιατί είναι κάτι το ενδιάµεσο α ό το αν οι τ.µ. ήταν ανεξάρτητες και ασυσχέτιστες ( Cov(X,Y) 0). Υ ό συνθήκη ανεξαρτησία: Cov(X,g(Y)) 0
Ορισµός 3: εσµευµένη Μέση Τιµή Περισσότερες µεταβλητές Έστω Χ, Χ, Χ n διακριτές τ.µ., τότε ορίζουµε την δεσµευµένη ή υ ό συνθήκη µέση τιµήτηςτ.µ.χδεδοµένωντωνχ,χ, Χ n ως: [ X x, X x, K, X x ] k Pr( X k X x, X x, K, X x ) X Και άλιη Ορισµός 4: είναιµιατ.µ. ΈστωΧ,Χ, Χ n συνεχείςτ.µ.,τότεορίζουµε την δεσµευµένηήυ ό συνθήκη µέση τιµή τηςτ.µ.χδεδοµένωντωνχ,χ, Χ n ως: n n [ X X, X, ], K X n k k k f ( k x, x, x ) X X, X, K, X K n, [ X X x, X x, K, X x ] x f ( x x, x, x ) n, n n X X, X,, X IR K K n n n dx n
Περισσότερες µεταβλητές Θεώρηµα : ΈστωΧ,Χ,Υ τρειςτ.µ.,τότε: α) [ [ Y X, X ] X ] [ Y X ] β) [ [ Y X ] X, X ] [ Y X ]
Περισσότερες µεταβλητές Παρατήρηση: Στοθεώρηµα,γιατοα)µέρος,ανσυµβολίσουµεµεΙ τοσύνολοτης ληροφορίας ου εριέχεται στην τ.µ. Χ και Ι το σύνολο της ληροφορίας ου εριέχεται στις τ.µ. Χ, Χ τότε ροφανώς Ι ÕΙ. ηλαδή οι σχέσεις α) και β) του θεωρήµατος µ ορούν να γενικευτούν: [ [ Y I ] I] [ Y I], αν I I [ [ Y I] I ] [ Y I], αν I I
Περισσότερες µεταβλητές Πρόταση : ΑνΧτ.µ.µεΧ>0καιΥµιαάλλητ.µ.τότε: [ Y] > 0 X Θεώρηµα : ΈστωΧ,Χ,, Χ n µια ακολουθίατ.µ. οι ο οίες είναι µη αρνητικές. Ε ι λέον έστω ότιη ακολουθία αυτή συγκλίνει σ.β. στην τ.µ. Χ, δηλαδή: ΤότεανΥείναιµιατ.µ.ισχύει ότιηακολουθίατωντ.µ. συγκλίνει σ.β. στην τ.µ. [ X Y] δηλαδή: Pr( lim X ) X n n [ X Y] n [ X Y] [ X Y] ) Pr( lim n n