Πανειστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙI: Η Εξίσωση Schöinge για σωμάτιο σε κεντρικό δυναμικό.. Ακτινική εξίσωση Η εξίσωση Schöinge για ένα σωμάτιο το οοίο κινείται κάτω αό τη είδραση κεντρικών δυνάμεων θα έχει, σε σφαιρικές συντεταγμένες, τη μορφή : L + + + V ( Ψ { α} (, θ, ϕ = EΨ{ α }(, θ, ϕ (. μ μ Στην εξίσωση αυτή γράψαμε μ τη μάζα του σωματιδίου (για να μην γίνει σύγχυση με τον κβαντικό αριθμό m, σημειώσαμε με το εριλητικό όνομα {} a το σύνολο των δεικτών ου είναι ααραίτητοι για τον λήρη καθορισμό της κατάστασης του σωματιδίου (ξέρουμε ότι μόνο η στροφορμή χρειάζεται δύο δείκτες, τους, m και γράψαμε: L = + cotθ + (. θ θ sin θ ϕ Αφού οι διαφορικοί τελεστές ου εμφανίζονται στην εξ. (. δεν μλέκουν την ακτινική με τις γωνιακές μεταβλητές μορούμε να ψάξουμε για λύσεις με τη μορφή Ψ, θ, ϕ = R ϒ θ, ϕ (.3 ( ( ( { a} { a} { a} Αντικατάσταση στην εξ. (. θα μας οδηγήσει στο συμέρασμα ότι οι συναρτήσεις ϒ{ a } ρέει να είναι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή (.. Αυτές τις έχουμε ήδη βρει ως τις σφαιρικές αρμονικές: L ϒ m( θ, ϕ = ( + ϒ m( θ, ϕ (.4 Με την εξ. (.4 είναι ολύ εύκολο να δούμε ότι η ακτινική εξάρτηση της (.3 θα ροσδιορίζεται αό την εξίσωση : μ ( + + + ( E V ( R E ( (.5 Στην εξίσωση αυτή σημειώσαμε ρητά τους δύο δείκτες αό τους οοίους θα καθορίζεται (ροφανώς λόγω της (.5 η ακτινική συνάρτηση R (: τον δείκτη E, ου αναφέρεται στην ενέργεια και τον δείκτη ου αναφέρεται στο μέτρο της τροχιακής στροφορμής. Να αρατηρήσουμε αμέσως ότι η κυματοσυνάρτηση του σωματίου εξαρτάται αό τον κβαντικό αριθμό m σε αντίθεση με ειτρεόμενες τιμές της ενέργειας (οι οοίες θα ροκύψουν αό την ανάλυση της εξ. (.5 ου είναι ανεξάρτητες αο το m. Αυτό σημαίνει ότι θα υάρχουν + διαφορετικές μεταξύ τους καταστάσεις οι οοίες θα έχουν την ίδια ενέργεια. Με άλλα λόγια θα έχουμε τον (ελάχιστο δυνατό εκφυλισμό τάξης + των ενεργειακών ειέδων. Να σημειώσουμε ακόμα ότι το ενεργό δυναμικό (δηλ. αυτό ου τελικά καθορίζει τις δυνάμεις είναι ( + V ( = V( + (.6 μ Ο δεύτερος όρος στην αραάνω σχέση είναι ένα αωστικό κεντροφυγικό δυναμικό το οοίο οφείλεται στην τροχιακή στροφορμή.
. Ελεύθερο σωμάτιο Η εξ. (.5 δεν είναι εύκολο να μελετηθεί στη γενική της μορφή. Για το λόγο αυτό θα ξεκινήσουμε αό την ερίτωση του ελευθέρου σωματίου : ( + + + R ( (.7 μ Εδώ για λόγους ευκολίας γράψαμε = E ( E > και αλλάξαμε αντίστοιχα και τον δείκτη της ακτινικής συνάρτησης αό E σε. Σημειώνεται ότι ο δείκτης είναι συνεχής. Για να συνεχίσουμε θα κάνουμε την αλλαγή R ( = χ ( (.8 και θα ξαναγράψουμε την εξ.(.7 : ( + + + χ ( (.9 Αν αραγωγίσουμε την εξίσωση αυτή ακόμη μια φορά θα άρουμε ( + ( + + ( χ = (. Η τελευταία εέμβαση ου θα κάνουμε είναι να γράψουμε ( f ( χ = οότε η (. θα γίνει: ( + + + f ( (. Αν τώρα συγκρίνουμε τις εξισώσεις (.9 και (. βλέουμε ότι f( = cχ, + ( χ, + ( = c χ ( (. Εφαρμόζοντας εανειλημμένα την τελευταία θα άρουμε Για να βρούμε την εξ. ( χ R λύνομε την (.7 για : ( = c χ ( R ( = c R ( (.3 + + R( = + [ R ( ] (.4 Η γενική λύση της τελευταίας εξίσωσης είναι : R ( = Asin ( + B cos( (.5 Είναι λογικό να ζητήσουμε η κυματοσυνάρτηση να είναι εερασμένη στο όριο και εομένως ειλέγουμε τη λύση sin ( R ( = A (.6 Η τελευταία σχέση αν συνδυαστεί με το αοτέλεσμα (.6 θα μας δώσει τη ζητούμενη ακτινική συνάρτηση :
sin ( R ( = Ac (.7 Τις σταθερές ου εμφανίστηκαν θα τις ροσδιορίσουμε αό τη συνθήκη ορθογωνιότητας των ακτινικών συναρτήσεων * R ( R ( δ ( = δ (εδώ λάβαμε υόψη το ότι ο δείκτης είναι συνεχής. Τον συντελεστή A μορούμε να τον υολογίσουμε αό την ερίτωση : * A (.8 ( ( = sin ( sin ( = sin ( sin ( R R A A A i( i( + = cos ( cos ( e e 4 + = 4 = (.9 A = δ ( A = 4 Για τη σταθερά c είναι αρκετό να θεωρήσουμε την ερίτωση =. Ο υολογισμός θα μας οδηγήσει στο αοτέλεσμα c =. Ως συνήθως η κανονικοοίηση δεν μορεί να ροσδιορίσει την φάση των σταθερών αυτών. Η σύμβαση ου ακολουθείται συνήθως είναι να διαλέξουμε A = και c = (. Μετά αό την ανάλυση αυτή έχουμε βρει για το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης: όου R ( = j ( (. sinρ j ( ρ = ( (. ρ ρ ρ είναι οι λεγόμενες σφαιρικές συναρτήσεις Bessel. Για ληρότητα να αναφέρουμε ότι αν δεν είχαμε θέσει την ααίτηση η λύση μας να είναι εερασμένη στην αρχή (αυτό θα μορούσε να συμβαίνει, για αράδειγμα, αν το σωμάτιο ήταν ελεύθερο αό μια αόσταση και μετά θα έρεε να κρατήσουμε και τους δύο όρους στη σχέση (.5 με τους συντελεστές να ροσδιορίζονται αό τις συνοριακές ααιτήσεις του συγκεκριμένου ροβλήματος ου θα αντιμετωίζαμε. Αν αντί για τον ρώτο είχαμε κρατήσει τον δεύτερο όρο το αοτέλεσμα στο οοίο θα καταλήγαμε θα ήταν όου είναι οι λεγόμενες σφαιρικές συναρτήσεις Neumann. R( = n ( (.3 cosρ n ( ρ = ( (.4 ρ ρ ρ 3 =
Μορεί κανείς να εισαγάγει και τις σφαιρικές συναρτήσεις Hanel ρώτου και δευτέρου είδους ± iρ ( ± e h ( ρ = n( ρ ± ij ( ρ = ( (.5 ρ ρ ρ Όλες οι αραάνω συναρτήσεις (εομένως και οι γραμμικοί συνδυασμοί τους είναι λύσεις της βασικής εξίσωσης (.7. Ποια αό όλες θα διαλέξουμε σε κάοιο συγκεκριμένο ρόβλημα εξαρτάται αό τις συνοριακές ααιτήσεις ου το συνοδεύουν. 3. Εναλλακτική λύση Το αοτέλεσμα (. μορεί να αραχθεί και με άλλους τρόους. Εδώ θα αναφέρουμε έναν ου αρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και βρίσκει εφαρμογές στη σκέδαση σωματιδίων. Θα ξεκινήσουμε αό την αλή σκέψη ότι ήδη ξέρουμε τη λύση της ελεύθερης εξίσωσης Schöinge σε καρτεσιανές συντεταγμένες : i Ψ ( = e (.6 ( 3/ (το άνυσμα έχει μέτρο μ = E =. Αφού οι συναρτήσεις ου εισάξαμε με τη σχέση (.3: Ψ m(, θ, ϕ = R( ϒm( θ, ϕ (.7 φτιάχνουν ένα λήρες σύνολο, είναι ροφανές ότι μορούμε να αναλύσουμε τη συνάρτηση (.6 στη βάση ου σχηματίζουν οι (.7, δηλ. μορούμε να γράψουμε: i e = a R ϒ θ, ϕ (.8, m ( ( m m Εειδή το σωμάτιο έχει καθορισμένη ενέργεια είναι φανερό ότι μόνο όροι με καθορισμένο εμφανίζονται στο αραάνω ανάτυγμα. Αό την εξίσωση αυτή (στην οοία ο αράγοντας κανονικοοίησης ( 3/ θα έχει ενσωματωθεί στις σταθερές a θα ροσαθήσουμε να ροσδιορίσουμε την ακτινική συνάρτηση. Μορούμε να αλοοιήσουμε λίγο τα ράγματα θεωρώντας ότι το άνυσμα είναι στην κατεύθυνση του άξονα z αφού αυτό δεν ρόκειται να εηρεάσει την ακτινική εξάρτηση. Εομένως ξαναγράφουμε την (.8 με τη μορφή: i cosθ + e = ar( ϒ ( θ = a R( P( cosθ (.9 4 για το τελευταίο βήμα χρησιμοοιήσαμε τη γνωστή μορφή των σφαιρικών αρμονικών και γράψαμε ( ( = ( u P u (.3! u Όως είδαμε και στο ροηγούμενο κεφάλαιο, τα ολυώνυμα Legene ικανοοιούν τη σχέση ορθογωνιότητας: θ sinθp ( cosθ P( cosθ = up ( u P( u = δ (.3 + Μορούμε να εκμεταλλευθούμε τη σχέση αυτή: ηγαίνοντας στην εξίσωση (.9 βλέουμε ότι ( ( iu + ue P u = a R up ( u P ( u = a R ( 4 (.3 ( + Έχουμε βρει λοιόν ότι : 4
iu R( = ( + u ( a e P u (.33 Για να συνδεθούμε με τα ροηγούμενα αοτελέσματα ας μελετήσουμε το ολοκλήρωμα ου εμφανίζεται στην τελευταία σχέση : ( iu iu = ( =! u I ue P u ue u Αμέσως μορούμε να διαιστώσουμε ότι iu sin ( I = ue = = j(, ( ( (.34 ( sin I uue ue i ij,, (.35 iu iu = = i = = ( sin I = i ( ( = i j ( ( και εομένως i R ( = 4 ( + j ( (.36 a τον δε συντελεστή κανονικοοιήσης θα τον ροσδιορίσουμε αό τη συνθήκη ορθογωνιότητας : * 4 ( + 4 ( + R ( R ( = δ ( = j ( j ( = δ ( (.37 a a Για το τελευταίο βήμα χρησιμοοιήσαμε τη σχέση (. η οοία οδηγεί στο συμέρασμα : j ( j ( = δ ( (.38 Εομένως (και διαλέγοντας τη φάση των + a = i Μετά αό αυτά έχουμε βρει ότι η ακτινική συνάρτηση είναι a ( έτσι ώστε η ακτινική συνάρτηση να είναι ραγματική (.39 R ( = j( ενώ το ανάτυγμα (.9 έχει άρει την τελική του μορφή: i cosθ e = i + j P cosθ (.4 4. Μελέτη των λύσεων ( ( ( Αν και δεν μορούμε να δώσουμε γενικούς κανόνες, είναι χρήσιμο να δούμε τη συμεριφορά της ακτινικής εξίσωσης για μια ευρεία γκάμα δυναμικών. Η αφετηρία μας θα είναι η εξίσωση μ + + ( E V( RE( (.4 όου ( + V ( = V( + (.4 μ 5
Όταν και αφού V είναι ροφανές ότι το ενεργό δυναμικό θα κυριαρχείται αό το ( κεντροφυγικό δυναμικό (υό την ροϋόθεση ότι και η λύση της εξ.(.4 είναι γνωστή: sin ( ( ( ( R = j = (.43 Η λύση αυτή αφορά στο ρόβλημά μας μόνο όταν και εομένως θα ρέει να βρούμε τη μορφή της στην εριοχή αυτή. Θα γράψουμε οότε η εξ.(.43 θα άρει τη μορφή sin ( = n= n ( ( ( n+ n +! n ( ( + ( ( n+ n = ( (.44 n= n! R Λίγη σκέψη μας είθει ότι στην αραάνω δυναμοσειρά ο ιο σημαντικός όρος θα είναι ο n = αφού οι αραγωγίσεις μηδενίζουν όλους τους ροηγούμενους και όλοι οι εόμενοι θα μηδενίζονται ταχύτερα αό αυτόν. Εομένως, όταν η λύση (.43 θα ροσεγγίζεται αό την: ( ( +! + R( (! R( (.45 +! +! ( Η αραάνω ανάλυση, ροφανώς, δεν ισχύει στην ερίτωση οότε ο κεντροφυγικός όρος λείει αό το ενεργό δυναμικό και εομένως το ρόβλημα ου ρέει να μελετήσουμε είναι μ + + ( E V ( R ( (.46 Θα κάνουμε την αλλαγή R = ( ξ οότε η ροηγούμενη εξίσωση θα άρει τη μορφή μ ξ + ( E V( ξ (.47 a Αν δοκιμάσουμε λύση της μορφής ξ θα άρουμε μ a( a + ( E V (.48 αφού V η τελευταία εξίσωση θα μας οδηγήσει στο συμέρασμα a a ( Η ειλογή ου κρατάει την ακτινική συνάρτηση εερασμένη για είναι η a = και εομένως στο όριο η συνάρτηση R συμεριφέρεται ως μία σταθερά όως ροβλέεται και αό το αοτέλεσμα (.45 αν θεωρούσαμε ότι αυτό μορεί να εεκταθεί και στην ερίτωση. Θα εράσουμε τώρα στο όριο. Αν συμβαίνει το δυναμικό να μηδενίζεται ολύ γρήγορα V και αν και άλι το κεντροφυγικό δυναμικό έχει τον ρώτο ρόλο και εομένως το ( ρόβλημά μας συνίσταται στο να βρούμε τη συμεριφορά της λύσης στην (.43 σε μεγάλες αοστάσεις. Αό τη μορφή της είναι φανερό ότι η κυρίαρχη συνεισφορά θα ροέρχεται αό τις αραγωγίσεις του ημιτόνου αφού οι αραγωγίσεις των όρων ου έχουν δυνάμεις της αόστασης στον αρανομαστή θα δίνουν ασθενέστερο αοτέλεσμα. Έτσι : sin ( R ( = ( ( sin ( (.49 και αφού 6
θα έχουμε ότι sin = cos = sin, ( sin ( = cos = sin (, ( sin( = sin ( ( ( R ( ( sin / (.5 Η αραάνω ανάλυση δεν ισχύει στην ερίτωση. Δεν ισχύει είσης εάν το δυναμικό μηδενίζεται μεν καθώς αλλά όχι τόσο γρήγορα όσο υοθέσαμε. Αν δηλαδή V ( καθώς με α < είναι ροφανές ότι αυτός είναι ο όρος ου χαρακτηρίζει το ενεργό δυναμικό και όχι ο κεντροφυγικός. Για να δούμε τι γίνεται στις εριτώσεις αυτές θα γυρίσουμε στην εξ. (.47. Θα κάνουμε την αλλαγή ± i ξ = e φ (.5 ( ( και θα την ξαναγράψουμε μ φ( ± i φ( V ( φ( (.5 Το δυναμικό βέβαια μηδενίζεται στο όριο αλλά αυτό δεν σημαίνει κατ ανάγκη, ότι μορούμε να αραλείψουμε τον τελευταίο όρο στην αραάνω εξίσωση. Αν μορούσαμε να το κάνουμε θα καταλήγαμε στο συμέρασμα ότι η συνάρτηση φ είναι μια σταθερά και εομένως ± i ± i e ξ ( e R( (.53 σε συμφωνία με το αοτέλεσμα (.5. Θα μορούσε όμως η συνάρτηση φ να μεταβάλλεται ολύ αργά έτσι ώστε μ ± i φ( V ( φ ( (.54 οότε η δεύτερη αράγωγος στην εξ. (.5 είναι αμελητέα. Η εξίσωση (.54 μορεί να λυθεί εύκολα και το αοτέλεσμα είναι iμ φ( φ( exp V ( (.55 Στην αραάνω σχέση είναι μια αυθαίρετη (αλλά μεγάλη αόσταση. Ας ούμε τώρα ότι V ( c. Το ολοκλήρωμα γίνεται αμέσως και θα άρουμε : + α iμ c φ( φ( exp φ( α α (.56 α Το αοτέλεσμα αυτό μας λέει ότι μορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση φ σαν μια σταθερά και, εομένως, ότι όταν το δυναμικό είναι τέτοιο ώστε V ( + α lim η ακτινική συνάρτηση συμεριφέρεται σε μεγάλες αοστάσεις όως δηλώνουν οι σχέσεις (.5 ή (.53: σαν ένα 7
ελεύθερο (σφαιρικό κύμα το οοίο σβήνει στο άειρο. Αν όμως V ( γίνει: ( φ( c η έκφραση (.55 θα iμ φ exp cln (.57 και εομένως μ R( exp ± i c ln (.58 Το αοτέλεσμα αυτό μας λέει κάτι αξιοσημείωτο : Όσο και αν αομακρυνθεί ένα σωμάτιο αό την αρχή δεν θα αελευθερωθεί αό την είδραση ενός δυναμικού Coulomb. 5. Φυσική σημασία της ακτινικής συνάρτησης Κλείνοντας, θα κοιτάξομε τη φυσική σημασία της ακτινικής συνάρτησης. Είναι κατ αρχή ροφανές ότι η οσότητα R ( nl θα ρέει να σχετίζεται με την υκνότητα ιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε αόσταση μεταξύ και + αό την αρχή (και με ενέργεια ου χαρακτηρίζεται αό τον αριθμό n και μέτρο της στροφορμής ου χαρακτηρίζεται αό τον αριθμό. Εν τούτοις δεν είναι ακριβώς η υκνότητα ιθανότητας. Αυτό μορούμε να το διαιστώσουμε αό τη συνθήκη κανονικοοίησης : * R ( R ( ( n n = δnnδ Rn = (.59 Η σχέση αυτή μας λέει ότι η οσότητα ου μορεί να ερμηνευθεί ως υκνότητα ιθανότητας είναι η ( R ( ρ = και η ιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο σε αόσταση μεταξύ n n (.6 ( = ρ ( = ( και + είναι Pn n Rn (.6 Αν το ενεργειακό φάσμα είναι συνεχές η σχέση κανονικοοίησης είναι Είναι ροφανές ότι εειδή η μεταβλητή * R R ( ( = δ ( δ (.6 είναι συνεχής η οσότητα R ( δεν είναι ολοκληρώσιμη και εομένως δεν είναι δυνατόν να ερμηνευθεί ως υκνότητα ιθανότητας. Στην ερίτωση αυτή μορούμε να εισαγάγουμε τη συνάρτηση / +Δ ( ( R = ef Δ R (.63 Δ/ τη μέση τιμή, δηλαδή, της συνάρτησης R σε μια ζώνη ενέργειας εύρους Δ. Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει ότι +Δ / +Δ/ R = δ ( Δ = (.64 και εομένως η οσότητα R ( Δ/ Δ/ μορεί να ερμηνευθεί ως η υκνότητα ιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε αόσταση μεταξύ και + και με ενέργεια σε μια ζώνη εύρους Δ. Σύμφωνα με τη λογική αυτή και σε ότι αφορά στο συγκεκριμένο ρόβλημα η ιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο ολύ κοντά στην αρχή και μέσα σε μια «στενή» ενεργειακή ζώνη είναι 8
! + P ( = ( (.65 ( +! και όως θα εριμέναμε είναι τόσο μικρότερη όσο μεγαλύτερη είναι η στροφορμή ενώ δεν υάρχει ερίτωση να βρεθεί το σωμάτιο στην αρχή. Αντίστοιχα η ιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο ολύ μακριά αό την αρχή είναι P ( = sin (.66 9