Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΜΑΘΗΜΑ 2ο Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση. Τα βιβλία που έχουν γραφτεί από τους φιλόσοφους για αυτήν δεν είναι ούτε λίγα ούτε µικρά. Όµως, κάνοντας πειράµατα, ανακάλυψα ιδιότητες που έως τώρα δεν είχαν παρατηρηθεί, ούτε αποδειχτεί και αξίζει να κοινοποιηθούν. Galileo Galilei ος (16 αιώνας) Ο Γαλιλαίος µμε µμια σειρά ενδελεχών πειραµμάτων διείσδυσε στο βαθύτερο νόηµμα των φυσικών αρχών που διέπουν την κίνηση των σωµμάτων στο χώρο. Το βιβλίο του, Διάλογος µμεταξύ των δυο µμεγάλων συστηµμάτων του κόσµμου 1, σηµματοδό- τησε την απαρχή µμιας νέας αντίληψης για την κατανόηση της φυσικής πραγµμα- τικότητας. Πέρα από τις επικρατούσες έως τότε λανθασµμένες απόψεις για τους νόµμους της κίνησης, τα µμαθηµματικά που είχε στη διάθεσή του βασίζονταν απο- κλειστικά στη Γεωµμετρία του Ευκλείδη και του Αρχιµμήδη. Ανέπτυξε µμια συλλογιστική απεριόριστων διαδοχικών διαµμερίσεων της χρονι- κής µμονάδας προκειµμένου να γίνει αντιληπτό αυτό που συµμβαίνει κάθε στιγµμή της κίνησης. Στις σελίδες των βιβλίων του ξεδιπλώνονται εκπληκτικές σκέψεις και συλλογιστικές που αναµμφίβολα οδηγούν στην ανάγκη ορισµμού της έννοιας του απειροστού για την κατανόηση και ερµμηνεία της κίνησης. Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας, στα δικά του κείµμενα, διατύπωσε τους νόµμους της κίνησης θέτοντας τα θεµμέλια της Κλασικής Μηχανικής και έδωσε το έναυσµμα για τη δηµμιουργία του Απειροστικού και Διαφορικού Λογισµμού προκειµμένου να ερµμηνευτούν ορθολογικά τα φαινόµμενα της φυσικής πραγµματικότητας. 1 Galileo Galilei : Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 1632.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.1. Η μαθηματική αναπαράσταση της κίνησης στον ευκλείδειο χώρο. Η µμαθηµματική αναπαράσταση της κίνησης στο χώρο απαιτεί τη θεώρηση ενός ιδεατού σηµμειακού προτύπου που θα καλούµμε υλικό σηµμείο. Ο χρόνος υπεισέρ- χεται πλέον ως παράµμετρος στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων που είναι εφοδιασµμένος µμε την ευκλείδεια δοµμή του. Η κίνηση ενός υλικού σηµμείου ορίζε- ται µμαθηµματικά ως συνεχής απεικόνιση του χρονικού άξονα ή ενός χρονικού δι- αστήµματος στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο: x : Ι 3. Κάθε χρονική στιγµμή η θέση του υλικού σηµμείου εντοπίζεται µμε τις καρτεσιανές συντεταγµμένες του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς: x (t) = ( x1 (t), x2 (t), x3 (t) ). Η προσανατολισµμένη καµμπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικό- νισης αποτελεί τον φορέα της κίνησης στον ευκλείδειο χώρο και το γράφηµμά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στο χώρο- χρόνο: {(t, x) 3 } / x = x(t). Στιγµμιότυπα της χωροχρονικής εξέλιξης µμιας ελικοειδούς κίνησης. Ο ορισµμός της κίνησης στον ευκλείδειο χώρο καθιστά εφικτή την εισαγωγή της έννοιας της ταχύτητας και της επιτάχυνσης µμε την προϋπόθεση ότι οι συνιστώ- σες της απεικόνισης που ορίζει την κίνηση να είναι τουλάχιστο δυο φορές πα- ραγωγίσιµμες ως προς το χρόνο µμε συνεχείς παραγώγους: xi : Ι, i = 1,2,3. Η ταχύτητα µμε την οποία το υλικό σηµμείο διανύει την τροχιά του στο χώρο ορί- ζεται, τη χρονική στιγµμή t, ως το εφαπτόµμενο διάνυσµμα στο σηµμείο x(t) : x (t) = ( x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) )x(t ) και την ίδια στιγµμή η επιτάχυνση ορίζεται ως το διάνυσµμα στο σηµμείο x(t) : x (t) = ( x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) )x(t ). ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 71 Το διάνυσµμα της επιτάχυνσης αποσυντίθεται κάθε χρονική στιγµμή στην επι- τρόχια και την κεντροµμόλο συνιστώσα του: x(t) = γ ε (t) + γ κ (t) όπου γ ε (t) x(t) και γ κ (t) x(t). Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντροµμόλο συνιστώσα της. Αν η κεντροµμόλος επιτάχυνση είναι µμηδενική τότε η τροχιά είναι ευθύγραµμµμη και αν επιπλέον η επιτρόχια επιτάχυνση είναι επίσης µμηδενική, οπότε η επιτά- χυνση είναι µμηδενική, τότε η κίνηση είναι ευθύγραµμµμη οµμαλή: x(t) = x o + v o t = (x o1 + v o1 t, x o2 + v o2 t, x o3 + v o3 t), x o,v o 3. Αν κατά τη διάρκεια της κίνησης το µμέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό τότε η επιτάχυνση είναι αποκλειστικά κεντροµμόλος και αυτό σηµμαίνει ότι το διάνυσµμα της επιτάχυνσης είναι κάθετο στο διάνυσµμα της ταχύτητας: 1 x(t) σταθερό x(t) x(t). Η τροχιά της κίνησης ενός υλικού σηµμείου στο χώρο χαρακτηρίζεται από τη γε- ωµμετρία της και από την ταχύτητα µμε την οποία την διατρέχει το υλικό σηµμείο. Η γεωµμετρία της εκφράζεται µμε την καµμπυλότητα και τη στρέψη της στο χώρο. Η καµμπυλότητα υποδεικνύει την εκτροπή της τροχιάς από την ευθύγραµμµμη πο- ρεία και η στρέψη την εκτροπή της από την επίπεδη πορεία. Το ερώτηµμα που τίθεται αφορά στην αναζήτηση του αιτίου που προκαλεί την καµμπύλωση και τη στρέψη µμιας τροχιάς στο χώρο και τον τρόπο υπολογισµμού τους. Στον ευκλείδειο χώρο, έχοντας την παραµμετρική έκφραση µμιας τροχιάς ως προς το χρόνο, η καµμπυλότητα και η στρέψη υπολογίζονται αντίστοιχα ως εξής: κ(t) = x(t) x(t) x(t) 3 και τ(t) = < x(t) x(t), x(t) > x(t) x(t) 2. 1 Η ορθογωνιότητα ταχύτητας και επιτάχυνσης ισχύει µμόνο όταν η ταχύτητα έχει σταθερό µμέτρο: x(t) = υ o < x(t), x(t) > = υ o d dt < x(t), x(t) > = 0 < x(t), x(t) > = 0 x(t) x(t).

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.2. Η καμπυλότητα και η στρέψη των τροχιών στον ευκλείδειο χώρο. Ο Νεύτωνας, από τη νεαρή του ηλικία, επεδίωξε να ορίσει και να υπολογίσει την κύρτωση, όπως έλεγε, µμιας τροχιάς σε κάθε σηµμείο της. Το σκεπτικό του, καθα- ρά γεωµμετρικό, βασίστηκε στην υπόθεση ότι η τροχιά, σε κάθε σηµμείο της, θα ήταν εφικτό να υποκατασταθεί τοπικά µμε το τόξο ενός εγγύτατου κύκλου η ακτίνα του οποίου θα έδινε νόηµμα στην καµμπυλότητα της τροχιάς στο δεδοµμένο σηµμείο. Έτσι, θα µμπορούσαµμε να ισχυριστούµμε ότι, σε κάθε σηµμείο της τροχιάς, η καµμπυλότητά της υποδεικνύεται από την αντίστροφη τιµμή του µμήκους της ακτίνας του αντίστοιχου εγγύτατου κύκλου. Η καµμπυλότητα ως γεωµμετρικό χαρακτηριστικό µμιας τροχιάς. Σύµμφωνα µμε αυτό το σκεπτικό, κάθε στιγµμή στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς, ο φορέας της κεντροµμόλου επιτάχυνσης διέρχεται από το κέντρο του εγγύτα- του κύκλου και το µμέτρο της εξαρτάται αφενός από την καµμπυλότητα της τρο- χιάς σε αυτό το σηµμείο και αφετέρου από το µμέτρο της ταχύτητας τη συγκεκρι- µμένη στιγµμή. Αν κατά τη διάρκεια της κίνησης το µμέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό τότε η επιτάχυνση είναι εξολοκλήρου κεντροµμόλος και κάθετη στην ταχύτητα και αν η ταχύτητα έχει µμοναδιαίο µμέτρο τότε το µμέτρο της κεντρο- µμόλου επιτάχυνσης θα είναι ίσο µμε το αντίστροφο του µμήκους της ακτίνας του εγγύτατου κύκλου στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς. Έτσι, όταν πρόκειται για κινήσεις µμε ταχύτητα σταθερού µμοναδιαίου µμέτρου, η τιµμή της καµμπυλότητας θα υπολογιστεί κάθε στιγµμή στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς ως εξής: κ : I +, κ(t) = x(t). Οι κινήσεις µμε ταχύτητα σταθερού µμοναδιαίου µμέτρου αποτελούν τη συλλογι- στική βάση για τον υπολογισµμό της καµμπυλότητας και της στρέψης κάθε τρο- χιάς. Για το σκοπό αυτό θεωρούµμε ένα σύστηµμα αναφοράς του οποίου η ορθο- κανονική του βάση ορίζεται κάθε χρονική στιγµμή από τα διανύσµματα: T(t) = x(t), N(t) = x(t) / x(t), B(t) = T(t) N(t).

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 73 Τα µμοναδιαία αυτά διανύσµματα συγκροτούν µμια θετικά προσανατολισµμένη ορ- θοκανονική βάση και σε κάθε σηµμείο της τροχιάς υποδεικνύουν αντίστοιχα την κατεύθυνσή της, την κατεύθυνση εκτροπής της από την ευθύγραµμµμη πορεία, την κατεύθυνση εκτροπής της από την επίπεδη πορεία. Αυτό το σύστηµμα ανα- φοράς, που µμε την πάροδο του χρόνου παρακολουθεί την τροχιά της κίνησης, παρέχει πληροφορίες που δεν είναι αντιληπτές στο ευκλείδειο σύστηµμα ανα- φοράς. Πρόκειται για το σύστηµμα αναφοράς ή τρίεδρο Frenet 1 της τροχιάς. Σε κάθε σηµμείο της τροχιάς προσαρτάται το σύστηµμα αναφοράς Frenet. Στις κινήσεις µμε ταχύτητα µμοναδιαίου µμέτρου οι τιµμές της καµμπυλότητας και της στρέψης, κάθε στιγµμή στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς, ορίζονται ως εξής: κ : I +, κ(t) = T(t) / N(t) και τ : I, τ(t) = B(t) / N(t). Ο ορισµμός αυτός είναι συνεπής γιατί η σταθερότητα του µμέτρου της ταχύτητας µμε την οποία διανύεται η τροχιά επιβάλλει την ορθογωνιότητα µμεταξύ ταχύτη- τας και επιτάχυνσης και συνακόλουθα τις συγγραµμµμικότητες: 2 T(t) N(t) : T(t) = κ(t) N(t), Β(t) N(t) : Β(t) = τ(t) N(t). Αν η στρέψη είναι µμηδενική τότε η τροχιά είναι επίπεδη και αν η καµμπυλότητα είναι µμηδενική τότε η τροχιά είναι ευθύγραµμµμη. Όσο µμεγαλύτερη είναι η τιµμή της καµμπυλότητας τόσο εντονότερη είναι η καµμπύλωση της τροχιάς και όσο µμεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιµμή της στρέψης τόσο εντονότερη είναι η εκτρο- πή της τροχιάς από την επίπεδη πορεία. 1 O Jean Frédéric Frenet (1816-1900) εισήγαγε αυτό το τρίεδρο στη διδακτορική του διατριβή που παρουσίασε στο Πανεπιστήµμιο της Τουλούζης το 1847. 2 Η πρώτη παραλληλία είναι προφανής και η δεύτερη προκύπτει από τις σχέσεις καθετότητας: B(t) B(t) και B(t) T(t). Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: B(t) = 1 < B(t), B(t) > = 1 d dt < B(t), B(t) > = 0 < B(t), B(t) > = 0 B(t) B(t), B(t) T(t) < B(t), T(t) > = 0 d dt < B(t), T(t) > = 0 < B(t), T(t) > + < B(t), T(t) > = 0 < B(t), T(t) > = < B(t), T(t) > = < B(t),κ(t) N(t) > = 0 B(t) T(t).

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.3. Ο υπολογισμός της καμπυλότητας και της στρέψης των τροχιών. Θα εκθέσουµμε τη συλλογιστική που οδηγεί στους υπολογιστικούς τύπους της καµμπυλότητας και της στρέψης οποιασδήποτε τροχιάς στον ευκλείδειο χώρο. Για το σκοπό αυτό θεωρούµμε µμια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο: x :Ι 3, x(t) = ( x 1 (t),x 2 (t),x 3 (t)), και επιχειρούµμε την αναπαραµμέτρηση της τροχιάς της µμε αναδιαβάθµμιση του χρονικού άξονα λαµμβάνοντας υπόψη το µμήκος του διανυόµμενης διαδροµμής από µμια αρχική χρονική στιγµμή t o έως µμια στιγµμή t : t s(t) = x(u) du. t o Έτσι προκύπτει η αµμφιµμονοσήµμαντη απεικόνιση χρονικής αναδιαβάθµμισης: s : I I, t = s(t), η οποία, µμε την προϋπόθεση µμη µμηδενισµμού της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της κίνησης, είναι αµμφιπαραγωγίσιµμη και ορίζεται η µμεταχρονισµμένη κίνηση: ( ). x : I 3, x ( = x 1 (, x 2 (, x 3 ( Το σηµμαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι ο µμεταχρονισµμός αυτός δεν αλλοιώνει τα γεωµμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και σε κάθε σηµμείο της ισχύει: x(t) = x (, t I. Μεταχρονισµμός µμιας κίνησης και αναπαραµμέτρηση της τροχιάς της. Η αναδιαβάθµμιση του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει τη διεύθυνση της ταχύτη- τας αλλά αλλοιώνει την αριθµμητική της τιµμή ως εξής: dx i dt x i = d d t ds dt x i d d t = dx i dt dt ds, i = 1,2,3 και έτσι η ταχύτητα της µμεταχρονισµμένης κίνησης έχει µμοναδιαίο µμέτρο: ds dt = d dt t x(u) du = x(t) x ( = x(t) dt / ds =1. t o

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 75 Η επιτάχυνση της µμεταχρονισµμένης κίνησης είναι συνακόλουθα εξολοκλήρου κεντροµμόλος άρα κάθετη στην ταχύτητα: x ( x (, t I. Σε κάθε σηµμείο της τροχιάς θεωρούµμε τα διανύσµματα της βάσης Frenet : T ( = x (, N ( = x ( / x (, B ( = T ( N (, t I, και έτσι ορίζεται η καµμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς: 1 κ : I +, κ(t) := κ (s(t)) := T (s(t)) / N (s(t)), τ : I, τ(t) := τ (s(t)) := B (s(t)) / N (s(t)). Επανερχόµμενοι στη φυσική διαβάθµμιση του χρονικού άξονα έχουµμε: T(t) = T (s(t)), N(t) = N (s(t)), B(t) = B (s(t)), t I, και εισάγοντας ως διορθωτικό παράγοντα το µμέτρο της ταχύτητας: υ(t) = x(t), t I, προκύπτει η έκφραση της καµμπυλότητα και της στρέψης της τροχιάς: κ(t) = 1 T(t) / N(t) και τ(t) = 1 B(t) / N(t). υ(t) υ(t) Με µμια απλή υπολογιστική διαδικασία 2 προκύπτουν οι κλασικοί τύποι Frenet- Serret 3 που δίνουν τον ρυθµμό της χρονικής µμεταβολής των διανυσµμάτων της βάσης Frenet της τροχιάς κατά τη διάρκεια της κίνησης: T(t) N(t) B(t) 0 κ(t) 0 = υ(t) κ(t) 0 τ(t) 0 τ(t) 0 T(t) N(t) B(t) 1 Ο ορισµμός αυτός είναι συνεπής γιατί, ενώ οι συναρτήσεις κ και κ', όπως και οι συναρτήσεις τ και τ, δεν ορίζονται απαραίτητα στο ίδιο διάστηµμα του χρονικού άξονα, εντούτοις στις αντίστοιχες χρονικές στιγµμές αποδίδουν ίδιο σηµμείο της τροχιάς: x(t) = x (s(t)) = x(, t I. 2 Στην υπολογιστική αυτή διαδικασία χρησιµμοποιούµμε την ορθοκανονική ανάπτυξη : ξ = < ξ, T > T + < ξ, N > N + < ξ, B > B, ξ 3, 3 O Joseph- Alfred Serret (1819-1885) έδωσε αυτούς τους τύπους που έχουν σπουδαία συνεισφορά στον υπολογισµμό της καµμπυλότητας και της στρέψης των τροχιών στο χώρο.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.4. Τα χαρακτηριστικά της κίνησης στο σύστημα αναφοράς Frenet. Στο σύστηµμα αναφοράς Frenet που είναι προσαρµμοσµμένο στην κίνηση του υλι- κού σηµμείου, η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν την ακόλουθη έκφραση: x(t) = υ(t) T(t) x(t) = υ(t) T(t) + κ(t)υ 2 (t) N(t). Η επιτρόχια και η κεντροµμόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης στο τρίεδρο Frenet. Η έκφραση της ταχύτητας είναι αναµμενόµμενη, όµμως στην έκφραση της επιτά- χυνσης εµμφανίζεται ένας όρος που υποδεικνύει το ρυθµμό µμεταβολής του µμέτρου της ταχύτητας και ένας όρος που επηρεάζεται από την καµμπυλότητα της τρο- χιάς και υποδεικνύει το ρυθµμό εκτροπής της διεύθυνσής της από την ευθύγραµμ- µμη πορεία. Προφανώς, όταν το µμέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό προκύπτει: x(t) = υ o x(t) = κ(t)υ o 2 N(t). Αν η ταχύτητα και η επιτάχυνση της κίνησης δεν µμηδενίζονται και δεν γίνονται κάποια στιγµμή συγγραµμµμικές τότε στο καρτεσιανό σύστηµμα συντεταγµμένων του ευκλείδειου χώρου προκύπτει η υπολογιστική έκφραση της βάσης Frenet κατά µμήκος της τροχιάς και οι κλασικοί τύποι που δίνουν κάθε στιγµμή στο αντί- στοιχο σηµμείο της τροχιάς τις τιµμές της καµμπυλότητας και της στρέψης: 1 x(t) T(t) =, x(t) N(t) = B(t) T(t), B(t)= x(t) x(t) x(t), x(t) κ(t) = x(t) x(t) τ(t) = < x(t) x(t), x (t) > x(t) 3 x(t) x(t). 2 1 Η απόδειξη προκύπτει µμε απλούς υπολογισµμούς και εκτέλεση διανυσµματικών πράξεων : x(t) x(t) = κ(t)υ 3 (t) B(t) και < x(t) x(t), x (t) > = κ 2 (t)υ 6 (t)τ(t) x(t) x(t) = κ(t)υ 3 (t) και x(t) x(t) 2 = κ 2 (t)υ 6 (t).

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 77 2.5. Τροχιές στο χώρο με σταθερό λόγο καμπυλότητας προς στρέψη. Αν ο λόγος της καµμπυλότητας προς τη στρέψη µμιας τροχιάς είναι σταθερός τότε η κίνηση χαρακτηρίζεται από το ότι ο φορέας της ταχύτητάς της διατηρεί στα- θερή κλίση ως προς κάποιον άξονα στο χώρο. Ας δώσουµμε την απόδειξη: Θεωρούµμε µμια κίνηση στο χώρο υποθέτοντας ότι ο φορέας της ταχύτητάς της διατηρεί σταθερή γωνία φ ως προς ένα δεδοµμένο σταθερό άξονα. Θα δώσουµμε τον αποδεικτικό συλλογισµμό αρκούµμενοι σε κινήσεις µμε ταχύτητα µμοναδιαίου µμέτρου και εισάγοντας τη βάση Frenet της τροχιάς T(t), N(t), B(t). Θεωρώντας το µμοναδιαίο διάνυσµμα του δεδοµμένου άξονα, η υπόθεση σηµμαίνει: < T(t), ξ > = cosφ, t I. Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο προκύπτει: d dt < T(t), ξ > = 0 < T(t), ξ > = < κ(t) N(t), ξ > = 0 N(t) ξ, t I. Το επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγµμή από τα διανύσµματα T(t) και B(t) περιέχει λοιπόν τον σταθερό άξονα και από την ορθοκανονική ανάπτυξη προκύπτει: ξ = < ξ, T(t) > T(t) + < ξ, N(t) > N(t) + < ξ, B(t) > B(t) = cosφ T(t) + sinφ B(t). Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο προκύπτει: cosφ T(t) + sinφ B(t) = 0 τ(t)sinφ= κ(t)cosφ κ(t) /τ(t) = tgφ. Αντίστροφα, ας υποθέσουµμε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης ο λόγος της καµμπυλότητας προς τη στρέψη µμιας τροχιάς διατηρείται σταθερός: κ(t) /τ(t) = tg φ, τ(t) 0. Θεωρώντας το διάνυσµμα που στη βάση Frenet ορίζεται ως εξής: ξ(t) = cosφ T(t) + sinφ B(t) υπολογίζουµμε την παράγωγό του ως προς το χρόνο και διαπιστώνουµμε ότι: ξ(t) = (κ(t)cosφ τ(t)sinφ) N(t) = 0 ξ(t) = ξ, t I. Το διάνυσµμα αυτό ορίζει λοιπόν ένα σταθερό άξονα στο χώρο και ο φορέας της ταχύτητας της κίνησης διατηρεί σταθερή κλίση ως προς αυτό τον άξονα: < T(t), ξ > = cosφ.

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 2.6. Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 2 ου μαθήματος. Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τα γεωµμετρικά χαρακτηριστικά των τροχιών στο χώρο και ειδικότερα µμε τη στρέψη και την καµμπυλότητά τους. Η γεωµμετρική κατασκευή των τροχιών απαιτεί τη χρήση τεχνικών κατασκευής παραµμετρικών καµμπυλών και η µμελέτη τους οδηγεί συχνά στη χρήση καµμπυλόγραµμµμων συντεταγµμένων. 1 Ø Παράδειγμα 1. Κυκλικές κινήσεις στο χώρο. Αν ένα υλικό σηµμείο διαγράφει στο χώρο κυκλική τροχιά, εφοδιάζοντας το επί- πεδο όπου εξελίσσεται η τροχιά µμε ένα σύστηµμα καρτεσιανών συντεταγµμένων τοποθετηµμένο στο κέντρο της, η κίνηση εκφράζεται παραµμετρικά ως εξής: x(t) = Rcosθ(t), y(t) = Rsinθ(t). Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σηµμείου αποσυντίθενται στην ορθο- κανονική βάση αυτού του συστήµματος συντεταγµμένων αντίστοιχα ως εξής: υ(t) = x(t) e x + y(t) e y όπου a(t) = x(t) e x + y(t) e y όπου x(t) = R θ(t)sinθ(t) y(t) = R θ(t)cosθ(t) x(t) = Rθ(t)sinθ(t) R θ 2 (t)cosθ(t) y(t) = Rθ(t)cosθ(t) Rθ 2 (t)sinθ(t) Όταν το επίπεδο όπου εξελίσσεται η τροχιά εφοδιαστεί µμε πολικές συντεταγ- µμένες, η θέση του υλικού σηµμείου δηλώνεται κάθε στιγµμή ως εξής: r = R, θ = θ(t). Στην τοπική βάση του συστήµματος των πολικών συντεταγµμένων, το διάνυσµμα που υποδεικνύει κάθε στιγµμή τη θέση του υλικού σηµμείου εκφράζεται ως εξής: ΟΜ (t) := r (t) = Rer (t) Η τοπική βάση των πολικών συντεταγµμένων ακολουθεί την κίνηση του υλικού σηµμείου. 1 Βλ. Παράρτηµμα 3: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 79 Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σηµμείου εκφράζονται στην τοπική βάση του συστήµματος των πολικών συντεταγµμένων αντίστοιχα ως εξής: 1 υ(t) = R θ(t) e θ (t), a(t) = R θ 2 (t) e r (t) + R θ(t) e θ (t). Εισάγοντας το διάνυσµμα της γωνιακής ταχύτητας, το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο της κίνησης: ω(t) = ω(t) e z όπου ω(t) = θ(t), έχουµμε αντίστοιχα τις εκφράσεις: υ(t) = Rω(t) e θ (t), a(t) = Rω 2 (t) e r (t) + R ω(t) e θ (t), και, θεωρώντας το διάνυσµμα που υποδεικνύει κάθε στιγµμή τη θέση του υλικού σηµμείου, προκύπτουν αντίστοιχα οι εκφράσεις: υ(t) = ω(t) r (t), a(t) = ω(t) ( ω(t) r (t)) + ω(t) r (t). Το διάνυσµμα της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής κίνησης. Η κυκλική κίνηση καλείται οµμαλή όταν η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή: ω(t) = ω o θ(t) = ω o t +θ o. Στην περίπτωση αυτή, στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του επιπέδου κίνησης προκύπτουν οι εξής εκφράσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης: υ(t) = (Rω o sinω o t) e x + (Rω o cosω o t) e y a(t) = (Rω o 2 cosω o t) e x (Rω o 2 sinω o t) e y και στην τοπική βάση των πολικών συντεταγµμένων εκφράζονται ως εξής: 2 υ(t) = Rω eθ o (t), a(t) = Rω er o (t). 1 Ο παρατηρητής, στο επίπεδο της κίνησης εφοδιασµμένο µμε το καρτεσιανό σύστηµμα αναφοράς, βλέπει την τοπική βάση των πολικών συντεταγµμένων να περιφέρεται ακολουθώντας την κίνηση του υλικού σηµμείου στην κυκλική του τροχιά και κάνει τον απλό υπολογισµμό: e x = cosθ e r sinθ e θ e y = sinθ e r + cosθ e θ e r = cosθ e x + sinθ e y e r = θ sinθ e x + θ cosθ e y e r = θ e θ e θ = sinθ e x + cosθ e y e θ = θ cosθ e x θ sinθ e y e θ = θ e r

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ø Παράδειγμα 2. Ομαλές ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις στο χώρο. Οι ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις προκύπτουν από τη σύνθεση µμιας κυκλικής και µμιας ευθύγραµμµμης κίνησης στο χώρο και οι τροχιές τους περιελίσσονται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου κυκλικής βάσης. Μια ελικοειδής κυκλική κίνηση χα- ρακτηρίζεται ως οµμαλή, όταν η κυκλική και η ευθύγραµμµμη κίνηση που τη συνθέ- τουν είναι οµμαλές και στην περίπτωση αυτή, στις καρτεσιανές συντεταγµμένες του ευκλείδειου χώρου, εκφράζονται ως εξής:1 ℜ(x, y, z) : x (t) = R cos ω t, y (t) = R sin ω t, z (t) = ct, R > 0, ω 0, c 0. Τροχιές οµμαλών ελικοειδών κυκλικών κινήσεων. Το χαρακτηριστικό αυτών των κινήσεων είναι ότι η καµμπυλότητα και η στρέψη των τροχιών τους διατηρούν σταθερή τιµμή και ο φορέας της ταχύτητάς τους διατηρεί σταθερή κλίση ως προς τον άξονα του κυλίνδρου περιέλιξης. Επίσης, η οµμαλότητα των συνιστωσών κινήσεων, της κυκλικής στη βάση του κυλίνδρου και της ευθύγραµμµμης στον άξονα του κυλίνδρου, έχουν ως συνέπεια τη σταθε- ρότητα του βήµματος ανόδου ή καθόδου της τροχιάς στην επιφάνεια περιέλιξης. τ(t ) > 0 τ(t ) < 0 Τροχιές οµμαλών ελικοειδών κυκλικών κινήσεων. 1 Η ακτίνα της βάσης της κυλινδρικής επιφάνειας περιέλιξης είναι R και το πρόσηµμο της σταθεράς c υποδεικνύει αν η πορεία της τροχιάς είναι ανοδική ή καθοδική σε αυτή την επιφάνεια. Κάθε φορά που η κυκλική κίνηση ολοκληρώνει µμια περιφορά στη βάση του κυλίνδρου, ορίζεται το αντίστοιχο βήµμα ανόδου ή καθόδου της τροχιάς στην κυλινδρική επιφάνεια. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 81 Γενικότερα, οι ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις ορίζονται ως εξής: R(x, y,z) : x(t) = Rcosθ(t), y(t) = Rsinθ(t), z(t) = ct, R > 0, ω 0, c 0. Στις οµμαλές ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις η γωνιακή ταχύτητα της συνιστώσας κυκλικής κίνησης είναι σταθερή: ω(t) := θ(t) = ω θ(t) = ω t +θ o. Στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου προκύπτουν οι ακόλουθες εκφρά- σεις της θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης: 1 R(x, y,z) : ΟΜ (t) = (Rcosω t) ex + (Rsinω t) e y + ct e z v(t) = (Rω sinω t) e x + (Rω cosω t) e y + ce z a(t) = (Rω 2 cosωt) e x (Rω 2 sinωt) e y Η επιτάχυνση αυτών των κινήσεων είναι αποκλειστικά κεντροµμόλος, αφού το µμέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό: v(t) = R 2 ω 2 + c 2 = υ o. Ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή κλίση ως προς τον άξονα του κυλίν- δρου περιέλιξης, όπως υποδεικνύει ο υπολογισµμός του εσωτερικού γινοµμένου. Η σταθερότητα της γωνιακής ταχύτητας της κυκλικής κίνησης και του µμέτρου της ταχύτητας της ευθύγραµμµμης κίνησης που συνθέτουν την ελικοειδή κίνηση, επιβάλουν τη σταθερότητα της καµμπυλότητας και της στρέψης: 2 κ(t) = v(t) a(t) v(t) 3 = Rω 2 R 2 ω 2 + c, τ(t) = < v(t) a(t), a(t) > 2 v(t) a(t) = 2 cω R 2 ω 2 + c 2. Τα διανύσµματα που συγκροτούν τη βάση Frenet υπολογίζονται ως εξής: v(t) T(t) = v(t) = 1 ( Rsint, Rcost, c) υ o v(t) a(t) B(t)= v(t) a(t) = 1 csint, ccost, R υ o ( ) N(t) = B(t) T(t) = Rcost, Rsint, 0 ( ) 1 Για την απλούστευση των εκφράσεων επιλέγουµμε το σύστηµμα αναφοράς έτσι ώστε θο=0. 2 Το σταθερό µμέτρο της γωνιακής ταχύτητας δεν θα υπεισέλθει στην τιµμή της καµμπυλότητας και της στρέψης της τροχιάς στην περίπτωση όπου c=ω.

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η αναµμενόµμενη συµμπεριφορά του ρυθµμού µμεταβολής των διανυσµμάτων της βά- σης Frenet κατά µμήκος της τροχιάς της οµμαλής ελικοειδούς κυκλικής κίνησης, όπως υποδεικνύουν οι τύποι Serret- Frenet, είναι εύκολα επαληθεύσιµμη: T(t) = υ o κ(t) N(t), Β(t) = υ o τ(t) N(t), N(t) = υ o ( τ(t) Β(t) κ(t) T(t) ). o Στο συµμπέρασµμα αυτό θα µμπορούσαµμε να φτάσουµμε µμε µμεταχρονισµμό και αναπαραµμέτρηση της τροχιάς ως προς το µμήκος του διανυθέντος τµμήµματός της στο χρονικό διάστηµμα από µμια στιγµμή t o=0 έως µμια στιγµμή t : t = s(t) = t υ o du = υ o t. 0 Η αναπαραµμέτρηση αυτή, χωρίς να αλλοιώσει τα γεωµμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς, δίνει στη µμεταχρονισµμένη κίνηση ταχύτητα µμοναδιαίου µμέτρου: x ( = Rcos((ω /υ o ), y ( = Rsin((ω /υ o ), z ( = c t /υ o, v ( = R(ω /υo )sin((ω /υ o ), R(ω /υ o )cos((ω /υ o ), c/υ o ( ) ( ) a ( = R(ω /υo ) 2 cos((ω /υ o ), R(ω /υ o ) 2 sin((ω /υ o ), 0 Εξ ορισµμού, το µμέτρο της επιτάχυνσης αυτής της µμεταχρονισµμένης κίνησης δίνει κάθε στιγµμή, στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς, την τιµμή της καµμπυλότητας: κ(t) := κ ( = a ( t ) = Rω 2 R 2 ω 2 + c 2. Θυµμίζουµμε ότι τα διανύσµματα της βάσης Frenet ορίζονται ως εξής: T(t) := T (, N(t) := N (, B(t) := B (, και κάθε στιγµμή, στο αντίστοιχο σηµμείο της τροχιάς, ορίζονται οι τιµμές: κ(t) := κ ( := T ( / N ( και τ(t) := τ ( := B ( / N (. Ξαναβρίσκουµμε έτσι τις τιµμές της καµμπυλότητας και της στρέψης ως εξής: T ( = v ( = ( R(ω /υ o )sin((ω /υ o ), R(ω /υ o )cos((ω /υ o ), c /υ o ) N ( = a ( / a ( = ( cos((ω /υo ), sin((ω /υ o ), 0) B ( = T ( N ( = (c/υo )sin((ω /υ o ), (c/υ o )cos((ω /υ o ), Rω /υ o ) ( ) και παραγωγίζοντας: T ( = R(ω /υ o ) 2 cos((ω /υ o ), sin((ω /υ o ), 0 B ( = (cω /υ 2 o ) cos((ω /υ o ), sin((ω /υ o ),0 ( ) ( )

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 83 προκύπτουν οι αναµμενόµμενες τιµμές: κ(t) := κ ( : τ(t) := τ ( : Rω 2 T ( = κ ( N ( άρα κ(t) = R 2 ω 2 + c, 2 cω Β ( = τ ( N (, άρα τ(t) = R 2 ω 2 + c. 2 o Στις ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις, αφού η τροχιά τους περιελίσσεται σε µμια κυλινδρική επιφάνεια, θα ήταν πρακτική η χρήση κυλινδρικών συντεταγµμένων: R(r,θ,z) : r(t) = R, θ(t) = ω t, z(t) = ct, R > 0, ω 0, c 0. Στο σύστηµμα αναφοράς αυτών των συντεταγµμένων, η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση της οµμαλής ελικοειδούς κίνησης εκφράζονται ως εξής: ΟΜ (t) = Rer (t) + ct e z υ(t) = Rω e θ (t) + ce z a(t) = Rω 2 er (t). Το σύστηµμα αναφοράς, των κυλινδρικών συντεταγµμένων και εκείνο του Frenet, χωρίς να συµμπίπτουν οι βάσεις τους, ακολουθούν την τροχιά και ισχύει: e r (t) = N(t). Η καµμπυλότητα της ελικοειδούς τροχιάς µμπορεί έτσι να αναγνωστεί απευθείας στην έκφραση της επιτάχυνσης της κίνησης στο σύστηµμα αναφοράς Frenet : v(t) = υ ot(t) a(t) = υo T(t) a(t) = 2 υo κ(t) Ν(t) a(t) = υ 2 o κ(t) e r (t) κ(t) = Rω 2 R 2 ω 2 + c 2. Ø Παράδειγμα 3. Ελικοειδείς σπειροειδείς κινήσεις στο χώρο. Οι ελικοειδείς σπειροειδείς κινήσεις προκύπτουν από τη σύνθεση µμιας επίπεδης σπειροειδούς κίνησης και µμιας ευθύγραµμµμης κίνησης και οι τροχιές τους περι- ελίσσονται στην κωνική επιφάνεια που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο ως εξής: x 2 + y 2 = z 2. Τροχιά ελικοειδούς σπειροειδούς κίνησης.

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ας εξετάσουµμε την τροχιά της ελικοειδούς σπειροειδούς κίνησης: x(t) = e ω t cosω t, y(t) = e ω t sinω t, z(t) = e ω t, ω 0. Η ταχύτητα και η επιτάχυνσή αυτής της κίνησης εκφράζονται ως εξής: v(t) = ω e ω t (cosω t + sinω t) e x + ω e ω t (cosω t sinω t) e y ω e ω t ez a(t) = (2ω 2 e ω t sinω t) e x (2ω 2 e ω t cosω t) e y + (ω 2 e ω t ) e z. Κατά τη διάρκεια της κίνησης, ούτε η καµμπυλότητα, ούτε η στρέψη αυτής της τροχιάς διατηρούν σταθερές τιµμές, αλλά ο λόγος τους είναι σταθερός: κ(t) = v(t) a(t) v(t) 3 = 2 3 eω t και τ(t) = < v(t) a(t), a(t) > v(t) a(t) 2 = 1 3 eωt. Τα διανύσµματα που συγκροτούν τη βάση Frenet υπολογίζονται ως εξής: v(t) T(t) = v(t) = 3 ( cosω t + sinω t, sinω t cosω t,1) 3 B(t)= v(t) a(t) v(t) a(t) = 6 6 N(t) = B(t) T(t) = 2 2 ( cosω t + sinω t, sinω t cosω t, 2) ( cosω t sinω t, sinω t cosω t, 0) Ο υπολογισµμός θα ήταν περίπλοκος αν επιχειρούσαµμε να κάνουµμε µμεταχρονισµμό γιατί η ταχύτητα και η επιτάχυνση αυτής της κίνησης δεν έχουν σταθερό µμέτρο: υ(t) := v(t) = 3 ω e ωt a(t) := a(t) = 5ω 2 e ω t. Η σταθερότητα του λόγου της καµμπυλότητας προς τη στρέψη υποδεικνύει ότι ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή κλίση ως προς ένα σταθερό άξονα, ο οποίος εδώ είναι ο άξονας της κωνικής επιφάνειας, δηλαδή ο τρίτος άξονας του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς, 1 που στη βάση Frenet ορίζεται ως εξής: 2 ξ = (τ(t) / κ(t)) T(t) + B(t) = 2 T(t) + B(t) = 6 (0,0,1) 2 2 1 Η επαλήθευση γίνεται µμε έναν απλό υπολογισµμό του εσωτερικού γινοµμένου: < v(t), e z > = ω e ω t cosφ = ω e ω t / υ(t) cosφ = 3 / 3. 2 Η σταθερότητα αυτού του διανύσµματος στο χώρο είναι προβλέψιµμη από τον υπολογισµμό: ξ(t) = 2 T(t) + 2 B(t) = κ(t)υ(t) Ν(t) τ(t)υ(t) Ν(t) = 0 2 2

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 85 Επιβεβαιώνεται η αναµμενόµμενη συµμπεριφορά της βάσης Frenet, δηλαδή ότι το διάνυσµμα N(t) παραµμένει διαρκώς κάθετο στο σταθερό άξονα και αυτός περι- έχεται στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγµμή από τα διανύσµματα T(t) και B(t). Οι αριθµμητικές τιµμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης αρκούν πλέον για τον υπολογισµμό της καµμπυλότητας, γνωρίζοντας ότι στη βάση Frenet ισχύει: v(t) = υ(t) T(t) a(t) = υ(t) T(t) + κ(t)υ 2 (t) N(t). Ø Παράδειγμα 4. Ελικοειδείς υπερβολικές κινήσεις στο χώρο. Οι ελικοειδείς υπερβολικές κινήσεις προκύπτουν από τη σύνθεση µμιας επίπεδης κίνησης που έχει ως φορέα µμια υπερβολή και µμιας ευθύγραµμµμης κίνησης. Ας εξε- τάσουµμε την τροχιά µμιας τέτοιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο: x(t) = e t, y(t) = e t, z(t) = t 2. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση αυτής της κίνησης εκφράζονται ως εξής: v(t) = e t ex e t ey + 2 e z και a(t) = e t ex + e t ey. Η καµμπυλότητα και η στρέψη αυτής της τροχιάς δεν είναι σταθερές, αλλά κατά τη διάρκεια της κίνησης ο λόγος των τιµμών τους διατηρείται σταθερός: κ(t) = v(t) a(t) v(t) 2 = 3 (e t + e t ) = 1 2 2 2 cosh 2 t τ(t) = < v(t) a(t), a(t) > v(t) a(t) 2 = 2 (e t + e t ) = 1 2 2 2 cosh 2 t Η σταθερότητα του λόγου της καµμπυλότητας προς τη στρέψη της τροχιάς υπο- δεικνύει ότι ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή κλίση ως προς ένα στα- θερό άξονα, ο οποίος εδώ ορίζεται στη βάση Frenet από το διάνυσµμα: ξ = (τ(t) / κ(t)) T(t) + B(t) = T(t) + B(t) = 1,1, 0 ( ). Στον υπολογισµμό αυτό υπεισέρχονται τα διανύσµματα της βάσης Frenet : v(t) T(t) = v(t) = 1 ( e t, e t, 2) v(t) a(t) B(t)= 2cosh t v(t) a(t) = 1 e t, e t, 2 2cosh t ( ) Στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγµμή από τα δυο αυτά διανύσµματα περιέχεται ο σταθερός αυτός άξονας, στον οποίο είναι διαρκώς κάθετος το διάνυσµμα: N(t) = B(t) T(t) = 1 ( 4cosh 2 2 (e t + e t ), 2 (e t + e t ), e 2t e ) 2t. t

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η σταθερή κλίση του διανύσµματος της ταχύτητας ως προς αυτό τον άξονα προ- κύπτει µμε έναν απλό υπολογισµμό του εσωτερικού γινοµμένου: < v(t), ξ > = e t e t = 2cosht cosφ = 2cosht 2 2cosht 2 / 2 φ = 3π / 4. Οι αριθµμητικές τιµμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης αρκούν πλέον για τον υπολογισµμό της καµμπυλότητας, γνωρίζοντας ότι στη βάση Frenet ισχύει: όπου v(t) = υ(t) T(t) a(t) = υ(t) T(t) + κ(t)υ 2 (t) N(t) υ(t) := v(t) = e 2t + e 2t + 2 = 2cosh 2t+ 2 = 2cosht a(t) := a(t) = e 2t + e 2t = 2cosh2t. Ø Παράδειγμα 5. Μηδενισμός της στρέψης μιας τροχιάς στο χώρο. Στον ευκλείδειο χώρο, Θεωρούµμε τις κινήσεις που εκφράζονται ως εξής: x(t) = e t, y(t) = e t, z(t) = h(t), όπου στην τρίτη συνιστώσα υπεισέρχεται µμια συνάρτηση του χρόνου. Πρόκει- ται για κινήσεις που προκύπτουν από τη σύνθεση µμιας επίπεδης οριζόντιας κί- νησης που έχει ως φορέα µμια υπερβολή και µμιας ευθύγραµμµμης κατακόρυφης κίνησης που καθορίζεται από την επιλογή της συνάρτησης h(t). Ζητούµμενο είναι ο προσδιορισµμός της κλάσης των συναρτήσεων που ορίζουν την τρίτη συνιστώσα έτσι ώστε οι τροχιές να είναι επίπεδες και να εξελίσσονται σε ένα προκαθορισµμένο επίπεδο στο χώρο. Για το σκοπό αυτό, αρκεί ο υπολογισµμός της στρέψης και τότε θα διαπιστωθεί ότι οι αποδεκτές συναρτήσεις είναι λύσεις µμιας διαφορικής εξίσωσης: τ(t) = 0 < v(t) a(t), a(t) > = 0 h(t) h(t) = 0 από όπου προκύπτει: h(t) = c 1 e t + c 2 e t + c 3, c 1,c 2,c 3. Ο προκαθορισµμός του επιπέδου στο χώρο, στο οποίο θέλουµμε να εξελιχθεί η τροχιά αυτής της κίνησης, καθορίζει τις τιµμές των σταθερών της ολοκλήρωσης: ax + by + cz = d ae t + be t + ch(t) = d h(t) = (a/c)e t (b/c)e t + d /c. 1 1 Με την ίδια συλλογιστική αντιµμετωπίζεται το ίδιο ερώτηµμα και για άλλες κινήσεις, όπως π.χ. : x(t) = cost, y(t) = sint, z(t) = h(t)..

ΜΑΘΗΜΑ 2 ο : Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 87 2.7. Ερωτήματα, προβληματισμοί και ασκήσεις του 2 ου μαθήματος. Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα. Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή κατανόηση βασικών εννοιών και ευ- χέρεια στη χρήση τεχνικών από τη Διαφορική και Αναλυτική Γεωµμετρία. 1. H έννοια του ορίου, που οδηγεί στον ορισµμό της στιγµμιαίας ταχύτητας και επιτάχυνσης µμιας κίνησης, είναι από τις βαθύτερες µμαθηµματικές έννοιες και µμό- νο η ορθολογική ανάλυση του νοήµματος του απειροστού θα οδηγήσει στην αντίληψή της. Το ακόλουθο θέµμα µμελέτης θα σας κατευθύνει σε ενδιαφέροντα ερωτήµματα και προβληµματισµμούς: Ένα τρένο κινείται σε ευθύγραµμµμη σιδηροδροµμική γραµμµμή οδεύοντας µμε ταχύ- τητα ρυθµμισµμένη έτσι ώστε κάθε στιγµμή να ισούται αριθµμητικά µμε την υπολει- πόµμενη απόσταση έως το τέρµμα της διαδροµμής. Π.χ., στα 10 km πριν τον τέρµμα έχει ταχύτητα 10 km/h, στο 1 km θα έχει ταχύτητα 1 km/h, στα 500 m θα έχει ταχύτητα 0,5 km/h, κ.ο.κ. Σε πόσο χρόνο το τρένο θα διανύσει το τελευταίο χιλιόµμετρο της διαδροµμής ώστε να φτάσει στον προορισµμό του; 2. Στις ακόλουθες εικόνες έχουν σχεδιαστεί τα διανύσµματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στις τροχιές κάποιων επίπεδων κινήσεων. Μπορείτε να πείτε ποια από αυτά τα σχήµματα είναι λανθασµμένα; 3. Εξετάστε αν είναι εφικτή η επιλογή των σταθερών που υπεισέρχονται στην έκφραση της ακόλουθης κίνησης ώστε η τροχιά της να είναι κυκλική: x(t) = acost, y(t) = 1 sint, z(t) = bcost, a,b. 4. Εξετάστε αν κατά τη διάρκεια των ακόλουθων κινήσεων το διάνυσµμα της ταχύτητάς τους διατηρεί σταθερή κλίση ως προς κάποιον άξονα στο χώρο, και προσδιορίστε αντίστοιχα αυτόν τον άξονα και τη σταθερή γωνία κλίσης: (i) x(t) = cosht, y(t) = sinht, z(t) = t (ii) x(t) = 3t t 3, y(t) = 3t 2, z(t) = 3t + t 3, (iii) x(t) = 2t, y(t) = t 2, z(t) = t 3 /3 (iv) x(t) = t + t 2, y(t) = t t 2, z(t) = 1+ 2t 3.

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5. Προσδιορίστε τις σταθερές που υπεισέρχονται στην έκφραση της ακόλουθης επίπεδης κίνησης ώστε να προκύπτουν αντίστοιχα οι τροχιές του σχήµματος: x(t) = at bsint, y(t) = a bcost, z (t) = 0, a,b. (b = a / 2) (b = a) (b = 3a) 6. Διαπιστώστε ότι η τροχιά της ακόλουθης κίνησης εξελίσσεται στην τοµμή µμιας σφαιρικής και µμιας κυλινδρικής επιφάνειας και υπολογίστε την καµμπυλό- τητα και τη στρέψη της:1 x(t) = cos2 t, y(t) = cost sint, z (t) = sint. 7. Στις ακόλουθες εικόνες δίνεται σχηµματικά το γράφηµμα µμιας ευθύγραµμµμης παλινδροµμικής κίνησης και το γράφηµμα µμιας κυκλικής κίνησης. Από την παρα- τήρησή τους θα µμπορούσατε να βγάλετε κάποιο ποιοτικό συµμπέρασµμα για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτών των κινήσεων; 1 Η τροχιά αυτή εξελίσσεται στην καµμπύλη του Vincenzo Viviani (1622-1703), µμαθητή του Γαλι- λαίου, ο οποίος µμελέτησε τις καµμπύλες που ορίζονται από την τοµμή σφαιρικών επιφανειών ακτίνας ρ και κυλινδρικών επιφανειών διαµμέτρου ρ µμε γενέτειρά διερχόµμενη από το κέντρο της σφαίρας. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ