ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 2/4/2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 12/4/2016 Οι ασκήσεις µε [ ] (6 το πλήθος, άριστα το 60) είναι υποχρεωτικές. Οι υπόλοιπες είναι bonus, +10 µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι 90/60 σε αυτή τη σειρά.) [ ] Ασκηση 1 - Αρχή της Απροσδιοριστίας Στο µάθηµα ( ιάλ. 13, δ. 8), όταν µιλούσαµε για την ιδιότητα της κλιµάκωσης x(at) 1 ( f ) a X a (1) δείξαµε µέσω παραδείγµατος τη σχέση µεταξύ της διάρκειας ενός σήµατος στο χώρο του χρόνου και στο χώρο της συχνότητας : η συµπίεση ενός σήµατος στο χρόνο οδηγεί σε επέκταση του σήµατος στη συχνότητα (και αντιστρόφως). Εδώ ϑα ορίσουµε πιο λεπτοµερώς τη σχέση αυτή. Το εύρος Ϲώνης - bandwidth ενός σήµατος είναι το διάστηµα όπου το σήµα έχει σηµαντικό συχνοτικό περιεχόµενο. Στο γνωστό µας παράδειγµα ( t ) Arect AT sinc(ft ) (2) T ορίσαµε το εύρος Ϲώνης ως το διάστηµα συχνοτήτων ανάµεσα στους δυο πρώτους µηδενισµούς του ϕάσµατος εκατέρωθεν του µηδενός (±1/T ). Γενικά, είναι δύσκολο να ορίσει κανείς το εύρος Ϲώνης, ειδικά σε σήµατα που ο µετασχ. Fourier τους έχει άπειρη διάρκεια, όπως στο παραπάνω παράδειγµα, κι αυτό γιατί ο όρος σηµαντικό συχνοτικό περιεχόµενο δεν είναι µαθηµατικά ακριβής. Το ίδιο δύσκολο είναι να ορίσει κανείς πρακτικά τη διάρκεια ενός σήµατος στο χρόνο. Οµως υπάρχουν διάφοροι ορισµοί για τη διάρκεια και το εύρος Ϲώνης, οι οποίοι χρησιµοποιούνται αρκετά. Σε αυτην την άσκηση, ϑα δούµε έναν πιο τυποποιηµένο ορισµό της σχέσης της διάρκειας ενός σήµατος στους δυο χώρους. Μπορούµε να ορίσουµε τη χαρακτηριστική διάρκεια ενός σήµατος ως t 2 x(t) 2 dt T d = (3) x(t) 2 dt και το εύρος Ϲώνης του ως B w = f 2 X(f) 2 df X(f) 2 df (4) Μπορεί να δειχθεί ότι για κάθε σήµα x(t) και το µετασχ. Fourier του X(f), ισχύει T d B w 1 4π (5)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 2 Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι δεν µπορούµε να µειώσουµε ταυτόχρονα τη διάρκεια του σήµατος στο χρόνο ΚΑΙ το εύρος Ϲώνης του 1, δηλ. το γινόµενό τους έχει πάντα ένα κάτω ϕράγµα. Η παραπάνω σχέση ονοµάζεται επίσης και αρχή της απροσδιοριστίας, αφού µοιάζει πολύ µε τη γνωστή αρχή της Κβαντοµηχανικής 2. Θεωρήστε το σήµα ( t ) x(t) = rect (6) T Χρησιµοποιήστε την αρχή της απροσδιοριστίας για να ϐρείτε ένα κάτω ϕράγµα για το εύρος Ϲώνης B w του x(t). 3 Απ.: B w 2πT Ασκηση 2 - Γκαουσιανός παλµός Στην Άσκηση 1, είδαµε ότι το εύρος Ϲώνης B w και η χρονική διάρκεια T d ενός σήµατος δηµιουργούν τη σχέση T d B w 1 (7) 4π Η ισότητα στην παραπάνω σχέση ικανοποιείται µόνο από ένα σήµα, τον Γκαουσιανό παλµό x(t) = e πt2 (8) είξτε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier του Γκαουσιανού παλµού είναι ο ίδιος ο Γκαουσιανός παλµός (!!), δηλ. δείξτε ότι e πt2 e πf 2 (9) Υπόδειξη: Μια προσέγγιση είναι να ξεκινήστε παραγωγίζοντας το ολοκλήρωµα του µετασχ. Fourier και στα δυο µέλη, και να εφαρµόσετε αλλαγή µεταβλητής και ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Θα σας χρειαστεί ότι e πt2 dt = 1. [ ] Ασκηση 3 - Συστήµατα Ι Βρείτε την απόκριση σε συχνότητα, H(f), και την κρουστική απόκριση, h(t), των παρακάτω συστη- µάτων, τα οποία συνιστούν διαφορικές εξισώσεις. Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης. (αʹ) (ϐʹ) d y(t) + 3y(t) = x(t) dt d 2 dt 2 y(t) + 5 d dt y(t) + 6y(t) = d dt x(t) Απ.: (α ) h(t) = e 3t ɛ(t) (ϐ ) h(t) = ( 3e 3t + 2e 2t )ɛ(t) 1 Γι αυτό και για ένα γρήγορο δίκτυο, που τα σήµατα στο χρόνο στέλνονται γρήγορα - δηλ. έχουν µικρή διάρκεια - πληρώνουµε µεγάλο εύρος Ϲώνης. 2 Η ακριβής ϑέση και ορµή ενός ηλεκτρονίου δεν µπορεί να προσδιοριστεί ταυτόχρονα µε ακρίβεια.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 3 [ ] Ασκηση 4 - Συστήµατα ΙΙ Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h(t) ενός ΓΧΑ συστήµατος, αν για είσοδο x(t) = (e t + e 3t )ɛ(t) (10) η έξοδος έχει τη µορφή y(t) = 2(e t e 4t )ɛ(t) (11) Απ.: h(t) = 3 ( e 4t + e 2t) ɛ(t) 2 [ ] Ασκηση 5 - Μετασχηµατισµός Fourier και Ιδιότητες Εστω X(f) ο µετασχ. Fourier του Σχήµατος 1. Υπολογίστε τις παρακάτω ποσότητες χωρίς να 2 1 X(f) -5/2π -3/2π -1/2π 0 1/2π 3/2π f Σχήµα 1: Σχήµα Άσκησης 5. υπολογίσετε ϱητά το x(t). (αʹ) (ϐʹ) (γʹ) x(t)dt x(t) 2 dt x(t)e j3t dt (δʹ) θ x (t) = x(t), παρατηρώντας ότι το ϕάσµα που σας δίνεται στο σχήµα γίνεται άρτιο και πραγ- µατικό αν µετατοπιστεί κατά 1/2π Hz δεξιά. Άρα το σήµα στο χρόνο αυτού του µετατοπισµένου ϕάσµατος είναι πραγµατικό και άρτιο = δεν έχει ϕάση. Ποιά η ϕάση x(t) του σήµατος στο χρόνο για το ϕάσµα που σας δίνεται ; (εʹ) x(0) [ ] Ασκηση 6 - ιάταξη Συστηµάτων Για τη διάταξη συστηµάτων του Σχήµατος 2, δίνονται οι κρουστικές αποκρίσεις ως : h 1 (t) = δ(t 1) h 2 (t) = e 2t ɛ(t) h 3 (t) = δ(t 1)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 4 Σχήµα 2: Σχήµα Άσκησης 6. h 4 (t) = e 3(t+2) ɛ(t + 2) Βρείτε τη συνολική κρουστική απόκριση του συστήµατος, h(t). ( Απ.: h(t) = e 3t ɛ(t) + e 2(t+1) e 3(t+1)) ɛ(t + 1) + e 2t ɛ(t) Ασκηση 7 - RC κυκλώµατα Μια άµεση εφαρµογή των σηµάτων και των συστηµάτων ϐρίσκεται στην ανάλυση κυκλωµάτων. Εστω το απλό RC κύκλωµα του Σχήµατος 3(a). Ο πυκνωτής χωρητικότητας C ϑεωρείται αρχικά αφόρτιστος. Τη χρονική στιγµή t = 0, ο διακόπτης κλείνει, το κύκλωµα διαρρέεται από ϱεύµα, και ο πυκνωτής αρχίζει να ϕορτίζεται (Σχήµα 3(b) ). Η τάση της πηγής είναι V 0. Άρα αν ϑεωρήσουµε Σχήµα 3: Κύκλωµα Άσκησης 7. την τάση της πηγής ως είσοδο στο σύστηµα RC, αυτή ϑα γράφεται ως x(t) = V 0 ɛ(t) (12) Αν ϑελήσουµε να ϐρούµε τη διαφορά δυναµικού (τάση) v(t) στα άκρα του πυκνωτή για t > 0, γνωρίζουµε από τον ηλεκτρισµό ότι το ϕορτίο που συσσωρεύεται στον πυκνωτή µετά το κλείσιµο του διακόπτη είναι q(t) = CV 0 (1 e t/rc )ɛ(t) (13) µε V 0 την τάση της πηγής, R την αντίσταση του αντιστάτη, και C τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Γνωρίζουµε επίσης ότι q(t) = Cv(t) v(t) = q(t) C = V 0(1 e t/rc )ɛ(t) (14) Θεωρήστε την τάση στα άκρα του πυκνωτή, v(t), ως έξοδο του κυκλώµατος RC. (αʹ) Βρείτε το µετασχ. Fourier, V (f), του v(t).
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 5 Απ.: V (f) = V 0 2 δ(f) + V 0 j2πf V 0 1 RC + j2πf (ϐʹ) Η έξοδος ενός συστήµατος για είσοδο x(t) = ɛ(t) ονοµάζεται ϐηµατική απόκριση (σε αντιστοιχία µε την κρουστική απόκριση h(t), όταν η είσοδος είναι x(t) = δ(t)), και συµβολίζεται µε s(t) = h(t) ɛ(t) (15) Άρα λοιπόν το v(t) παραπάνω είναι η ϐηµατική απόκριση του κυκλώµατος (επί µια σταθερά V 0 ). Πολλές ϕορές, η ϐηµατική απόκριση s(t) µας διευκολύνει στο να ϐρούµε την κρουστική απόκριση h(t). είξτε ότι ισχύει γενικά η σχέση d dt s(t) = d (h(t) ɛ(t)) = h(t) (16) dt Υπόδειξη: Αντικαταστήστε τη συνέλιξη µε τον ορισµό της (ολοκλήρωµα). (γʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση h(t) για το RC κύκλωµα µε χρήση της παραπάνω σχέσης. Απ.: h(t) = V 0 RC e t/rc ɛ(t) (δʹ) Βρείτε την απόκριση σε συχνότητα H(f), καθώς και το ϕάσµα πλάτους, H(f), και ϕάσµα ϕάσης, H(f). Ασκηση 8 - Εύρεση ϑέσης σε εφαρµογές radar - MATLAB Τα συστήµατα ανίχνευσης ϑέσης (radar) λειτουργούν εκπέµποντας έναν παλµό διάρκειας T 0 ανά τακτά χρονικά διαστήµατα, ο οποίος ανακλάται στο στόχο (π.χ. αυτοκίνητο, αεροσκάφος, κλπ) και επιστρέφει στον ποµπό. Συγκεκριµένα, ο παλµός είναι ηµιτονοειδούς µορφής και συχνότητας f c (της τάξης των MHz ή και GHz). Εστω ότι ο στόχος ϐρίσκεται σε απόσταση d µέτρα από το radar. Ο χρόνος τ που απαιτείται για τον παλµό του radar να ταξιδέψει ως το στόχο και να επιστρέψει πίσω ονοµάζεται round-trip time και ισούται µε τ = 2d (17) c µε c την ταχύτητα του ϕωτός (διάδοσης του παλµού). Γνωρίζοντας το χρόνο τ, µπορούµε να ϐρούµε τη ϑέση d του στόχου. (αʹ) Εστω ότι ο εκπεµπόµενος παλµός είναι της µορφής x(t) = { sin(2πfc t), 0 t T 0 0, αλλού (18) Εκπέµπουµε αρχικά µια συνάρτηση έλτα από το radar για να µετρήσουµε τα χαρακτηριστικά του καναλιού µετάδοσης (π.χ. αέρας), δηλ. να ϐρούµε την κρουστική απόκριση h(t) του καναλιού. Παρατηρούµε ότι το σήµα που επιστρέφει στο radar είναι της µορφής h(t) = aδ(t β) (19) µε a έναν παράγοντα εξασθένισης και β τη χρονική σταθερά τ που µας ενδιαφέρει, δηλ. το χρόνο που έκανε ο παλµός για να ταξιδέψει ως το στόχο, και πάλι πίσω στο radar. Θεωρώντας το κανάλι µετάδοσης ως ΓΧΑ σύστηµα, δείξτε ότι αν εκπέµψουµε τον παλµό x(t), ϑα λάβουµε µια εξασθενηµένη κατά a και καθυστερηµένη κατά β έκδοσή του, r(t) = ax(t β). Ενας τρόπος εκτίµησης του τ = β, και άρα της απόστασης d του στόχου από το radar, είναι µέσω της εκτίµησης της καθυστέρησης β του σήµατος που επιστρέφει στον ποµπό.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 6 (ϐʹ) ηµιουργήστε και τυπώστε στο MATLAB τα παραπάνω σήµατα x(t), r(t) όπως παρακάτω : % Diarkeia shmatos T0 = 10ˆ(-5); % Bhma analyshs sto xrono Dt = 10ˆ(-8); % A3onas xronou t = 0:Dt:7*T0; % Sta8era b b = 5*10ˆ(-5); % Syxnothta fc fc = 10ˆ6; % Platos ka8ysterhshs a a = 0.3; % A3ones tsin = 0:Dt:T0; tzero = T0+Dt:Dt:7*T0; % Shma x - ekpomph x = [sin(2*pi*fc*tsin) zeros(1,length(tzero))]; % Shma r - lhpsh r = [zeros(1, length([0:dt:b-dt])) a*sin(2*pi*fc*tsin)... zeros(1,length([b+t0+dt:dt:7*t0]))]; % Grafikh parastash figure; plot(t,x); hold on; plot(t, r); grid; title( Transmitted and Received Pulse ); legend( Transmitted, Received ); Μπορείτε να δείτε ότι η σταθερά β µπορεί να ϐρεθεί ως το σηµείο όπου ξεκινά το ηµίτονο που λαµβάνεται. (γʹ) Στην πράξη όµως, το σήµα που επιστρέφει στο radar είναι µολυσµένο µε ϑόρυβο από παρεµ- ϐολές, ϑόρυβο περιβάλλοντος, κλπ. και η εκτίµηση της σταθεράς β είναι δύσκολη. Προσθέστε ϑόρυβο στο r(t) ο οποίος να προέρχεται από κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 0 και τυπική απόκλιση σ = 0.5. Η συνάρτηση randn ϑα σας ϕανεί χρήσιµη 3. Αφού παράξετε το ϑόρυβο (έστω ότι τον αποθηκεύσατε στο διάνυσµα n), προσθέστε τον στο σήµα r(t) και τυπώστε το άθροισµα ως % Grafikh parastash figure; plot(t, r+n); title( Received Pulse + Noise ); grid; 3 είτε τη σελίδα Random Numbers from Normal Distribution with Specific Mean and Variance στο documentation του MATLAB.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 7 Μπορείτε πλέον να ϐρείτε τη σταθερά β; (δʹ) Ενας εναλλακτικός τρόπος να εκτιµήσουµε τη σταθερά β είναι µε το να περάσουµε το ληφθέν σήµα r(t) από ένα ΓΧΑ σύστηµα που λέγεται matched filter. Η σηµαντικότερη ιδιότητα αυτού του συστήµατος είναι ότι είναι ϐέλτιστο στη διάκριση του σήµατος και µερικών ειδών ϑορύβου. Μπορεί να δειχθεί ότι το matched filter δίνεται από τη σχέση { sin(2πfc t), T h m (t) = x( t) = 0 t 0 0, αλλού (20) Για να ϐρούµε τη σταθερά β, κάνουµε την πράξη της συνέλιξης µεταξύ του r(t) και του h m (t). Θεωρώντας ότι f c > 10 6 Hz, δείξτε ότι η έξοδος του matched filter για είσοδο r(t) = ax(t β) δίνεται ως (a/2)[t β + T 0 ] cos(2πf c (t β)), β T 0 < t β y(t) = (a/2)[β t + T 0 ] cos(2πf c (t β)), β < t β + T 0 (21) 0, αλλού (εʹ) Η σταθερά β µπορεί να ϐρεθεί ως η ϑέση του µεγίστου της παραπάνω εξόδου y(t). Η παραπάνω ανάλυση όµως ήταν για ένα λαµβανόµενο σήµα χωρίς ϑόρυβο. Για να δείτε πόσο αξιόπιστο είναι το matched filter παρουσία ϑορύβου, µπορείτε να κάνετε τη συνέλιξη στο MATLAB. Η όλη διαδικασία στο MATLAB γίνεται µε τη συνάρτηση conv ως : % Lambanomeno shma + 8orybos received = r+n; % Apeikoniksh plot(t, received); grid; title( Wow, it is hard to find any sine in here... ); % Matched filter matched = % INSERT CODE HERE % Grafikh parastash figure; plot(t, matched); grid; title( Matched filter ); % Syneli3h y = Dt*conv(received, matched); % A3onas xronou syneli3hs tc = % INSERT CODE HERE % Apotelesma figure; plot(tc, y); grid; title( Output of matched filter ); Συµπληρώστε τις γραµµές που λείπουν. Η πρώτη απαιτεί χρήση της συνάρτησης fliplr, ενώ η δεύτερη υλοποιεί τον άξονα του χρόνου για το αποτέλεσµα της συνέλιξης. Σχολιάστε το αποτέλεσµα.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 8 Παραδώστε συµπληρωµένο τον κώδικα MATLAB που σας δίνεται σε όλα τα υποερωτήµατα, όποια plots σας Ϲητούνται, καθώς και τις απαντήσεις στις ϑεωρητικές ερωτήσεις σε ξεχωριστό χαρτί. [ ] Ασκηση 9 - Ανάλυση Ηχούς - MATLAB Το πρόβληµα της πολλαπλής διαδροµής δεν υφίσταται µόνο κατά τη µετάδοση ενός τηλεπικοινωνιακού σήµατος όπως στην Άσκηση 8, αλλά και κατά την παραγωγή και καταγραφή ήχου σε ένα χώρο όπου υπάρχουν πολλές ανακλάσεις, εµπόδια, κλπ., µε αποτέλεσµα πολλές διαφορετικές εκδόσεις του σήµατος να επιστρέφουν µαζί στο µικρόφωνο, ως ηχώ, κατά την καταγραφή. Μπορούµε να µοντελοποιήσουµε την ηχώ ως ένα σύστηµα, το οποίο περιγράφεται από τη σχέση y(t) = x(t) + ax(t t d ) (22) µε a το πλάτος της ηχούς και t d τη ϑέση της στο χρόνο, δηλ. τη χρονική στιγµή που εµφανίζεται στο σήµα. (αʹ) Εφαρµόστε µετασχ. Fourier και στα δυο µέλη της εξίσωσης, χρησιµοποιώντας και την ιδιότητα της χρονικής καθυστέρησης, και ϐρείτε την απόκριση σε συχνότητα, H(f), του συστήµατος. Απ.: H(f) = 1 + ae j2πft d (ϐʹ) Χρησιµοποιήστε τις συναρτήσεις plot, abs για να ϐρείτε το ϕάσµα πλάτους της απόκρισης σε συχνότητα, H(f), για a = 0.6, t d = 0.3 s, και εύρος συχνοτήτων το [ 20, 20] Hz, µε ανάλυση Df = 0.01 Hz. (γʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση, h(t), του συστήµατος. Απ.: h(t) = δ(t) + aδ(t t d ) (δʹ) Θα µπορούσαµε να προσθέσουµε κι άλλα αντίγραφα της ηχούς, σε διαφορετικές χρονικές στιγ- µές και µε διαφορετικούς συντελεστές. Οπως µπορείτε εύκολα να καταλάβετε, ένα τέτοιο σύστηµα ϑα είναι της µορφής N y(t) = x(t) + a i x(t t i ) (23) Βρείτε την απόκριση σε συχνότητα του παραπάνω συστήµατος, H(f), καθώς και την κρουστική απόκρισή h(t) του. (εʹ) Θα υλοποιήσουµε το παραπάνω σύστηµα παραγωγής ηχούς επάνω σε ένα οποιοδήποτε ηχητικό σήµα εισόδου Θα υλοποιήσετε µια συνάρτηση στο MATLAB η οποία ϑα έχει την παρακάτω σύνταξη : i=1 [y_echo, h] = echo_filter_tostudents(signal, times, attenuations, fs) Τα ορίσµατα εξηγούνται στα σχόλια στο echo_filter_tostudents.m αρχείο που ϑα ϐρείτε στο site µαζί µε αυτήν την εκφώνηση. (ϛʹ) Μια µικρή επεξήγηση για τη γραµµή 22. Επειδή όλα τα σήµατα που επεξεργαζόµαστε στον υπολογιστή είναι διακριτά, δηλ. ορισµένα για συγκεκριµένες χρονικές τιµές (και όχι για κάθε t), εσείς πρέπει αρχικά να ορίσετε τις τιµές του διανύσµατος times που ϑέλετε να ακούγεται η ηχώ (σε δευτερόλεπτα), και να µετατρέψετε στη γραµµή 22 κάθε τιµή του διανύσµατος αυτού σε δείγµατα. Η συχνότητα δειγµατοληψίας fs σας λέει ότι σε ένα δευτερόλεπτο έχουν παρθεί fs δείγµατα του σήµατος. Άρα, για παράδειγµα, η χρονική στιγµή t 0 = 0.5 s αντιστοιχεί στο δείγµα διακριτού χρόνου fs/2. Σε ποιά δείγµατα αντιστοιχούν οι δικές σας χρονικές στιγµές της ηχούς που ορίσατε στο διάνυσµα times; Αυτή τη µετατροπή πρέπει να γράψετε στη γραµµή 22.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 2015-16/Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 9 (Ϲʹ) Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε ένα οποιοδήποτε σήµα ϕωνής/µουσικής σε µορφή.wav για να ελέγξετε τη λειτουργία του συστήµατός σας. Απλά ϕροντίστε να µην είναι πολύ µεγάλης διάρκειας για να µην κρασάρετε το MATLAB. Οι εντολές για να ϕορτώσετε ένα.wav σήµα στο MATLAB είναι : [signal, fs] = wavread( onoma-arxeiou.wav ); Παραδώστε συµπληρωµένο τον κώδικα MATLAB που σας δίνεται, όποια plots σας Ϲητούνται στα υποερωτήµατα, καθώς και τις απαντήσεις στις ϑεωρητικές ερωτήσεις σε ξεχωριστό χαρτί.