HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier (Συνέχεια) Παραδείγματα

2 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Χρονική κλιμάκση j xt () X( j) xat ( ) X( ) a a xate ( ) τ=at jt dt x( t) X( j) Συμπίεση στο πεδίο του χρόνου Επέκταση στο πεδίο συχνότητας και αντίστροφα j τ a x( τ) e dτ, a> 0 a = j τ x( ) e a τ dτ, a < 0 a X(j/a) Αντιστροφή στο πεδίο του χρόνου Αντιστροφή στο πεδίο συχνότητας

3 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Παράδειγμα: Τετραγνικός παλμός στο πεδίο της συχνότητας W j t sin( Wt) xt () = e d = π πt W Αρχή της αβεβαιότητας δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα σήμα με τέλεια ακρίβεια ταυτόχρονα στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας

4 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Παράδειγμα: Τετραγνικός παλμός στο πεδίο του χρόνου T = x ( t ) sin c ( ) x( t) sin c( )

5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Δυϊσμός (Duality) x () t = X ( j ) e jt d π jt X ( j ) = xte ( ) dt t rect( ) Tsin c( T) T W sin c ( Wt ) rect ( ) π W Γενικά: xt () X( j) Xt () π x( )

6 Παράδειγμα t e +? π e + t Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier xt () X( j) X () t π x( ) Κάποιες συνέπειες του δυϊσμού: x t X j e x t X j j 0 t () ( ) () ( ( 0)) x() t X ( j) jtx() t Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας Μετατόπιση ηφάσης ηςγραμμική ς προς t στο πεδίο του χρόνου dx ( j) d Διαφοροποίηση στο πεδίο της συχνότητας Πολλαπλασιασμός με jt στο πεδίο του χρόνου

7 Θεώρημα Parseval xt () Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier xt () dt = X ( j ) d π X( j) ενέργεια ανά μονάδα χρόνου ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας Συνολική ενέργεια στο πεδίο του χρόνου= Συνολική ενέργεια στο πεδίο συχνότητας

8 Για περιοδικά σήματα είδαμε ότι: xt () = k Η ιδιότητα της συνέλιξης jk 0t 0 = ae h(t) yt () ah jk t ( k jk0) e k = όπου Η(j) η απόκριση συχνοτήτν του συστήματος: j t H ( j) h( te ) dt = = k = Άρα: Η απόκριση συχνοτήτν ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισής του ή, ισοδύναμα, η κρουστική απόκρισή του είναι ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier της απόκρισης συχνοτήτν. Γενικά, για οποιοδήποτε σήμα, η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος δίνεται από το συνελικτικό ολοκλήρμα. Όπς και στις σειρές Fourier, η συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό στο πεδίο της συχνότητας: x() t X( j) h(t) yt () = h ()* t x () t H( j) X( j)

9 Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόδειξη y( () t = x ( τ ) h ( t τ ) dτ xt () h(t) yt () = ht ()* xt () ( ) ( ) j t j t Y j y t e = dt x( τ) h( t τ) dτ = e dt = jt = x( τ) h( t τ) e dt dτ = Ιδιότητα χρονικής μετατόπισης ( ) j τ jτ = x τ e H( j) dτ = H( j) x( τ) e dτ = = H( j) X( j)

10 Η ιδιότητα της συνέλιξης Ερμηνεία Είδαμε ότι: xt () = X( j ) e d lim X( jk ) e π = π j t jk 0t k = Επίσης, είδαμε ότι τα μιγαδικά εκθετικά σήματα είναι ιδιοσυναρτήσεις ΓΧΑ συστημάτν, άρα: Άρα: jk 0t X( jk ) e jk h(t) X( jk ) H( jk ) e π k = yt () lim X( jk ) H( jk ) e 0 0 π jk 0t = = k = jt = H( j) X( j) e d ππ π k = ( ) ( ) jk t Όμς ισχύει: jt = άρα: π Y( j) = H( j) X( j) y() t Y( j ) e d

11 Η ιδιότητα της συνέλιξης Σειριακή σύνδεση ΓΧΑ συστημάτν x(t) H (j) H (j) y(t) x(t) H (j) H (j) y(t) x(t) H (j) H (j) y(t)

12 Απόκριση συχνοτήτν και ευστάθεια H απόκριση συχνοτήτν αποτελεί, όπς και η κρουστική απόκριση, πλήρη περιγραφή του συστήματος Πότε ορίζεται η απόκριση συχνοτήτν? Θα πρέπει να ορίζεται ο Μ.F. της κρουστικής απόκρισης, άρα αν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet, εκ τν οποίν η πρώτη είναι: ht ( ) dt < εξασφαλίζεται η ύπαρξη της απόκρισης συχνοτήτν. Με άλλα λόγια θα πρέπει το σύστημα να είναι ευσταθές. Ερώτηση: Τι γίνεται για ασταθή συστήματα? Μπορούμε να γενικεύσουμε και να αναλύσουμε τέτοια συστήματα με βάση το Μετασχηματισμό Laplace (επόμενο κεφάλαιο)

13 Παραδείγματα Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο (ideal lowpass filter), c H( j) =, c 0, > c Συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency) Ζώνη φραγής (stopband) Κρουστική απόκριση: h(t)=f - {H(j)} C jt jt h() t H( j) e d e d π π = = = sin( Ct) C = = sin c( Ct) πt π C Ζώνη διελεύσες (passband) Ζώνη φραγής (stopband) Tο ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο δεν είναι αιτιατό (γιατί;)

14 Παραδείγματα Ποια είναι η βηματική απόκριση σταθερής κατάστασης (δηλ. λ το s(t) για t άπειρο); t st () = htdt () lim st ( ) = htdt ( ) = H ( j 0) = t

15 x() t = e t u() t Παραδείγματα ΓΧΑ h(t) yt () = ht ()* xt () =? ht () = eu t ( t ) F at X( j) = e u() t ( a + j) + j F x( t) X( j) H( j) = j Y( j) = H( j) X( j) = + j j = + t e + + yt () = e t e t