Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του b. c. d. Ορθή απάντηση: a Προσέξτε ότι το µήκος κύµατος της κυµατοσυνάρτησης εξαρτάται από την διαφορά της ενέργειας από το δυναµικό Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Τέσσερα όµοια σωµάτια µε διαφορετικές ενέργειες προσπίπτουν στο παρακάτω φράγµα δυναµικού Ποια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις (πραγµατικά µέρη) αντιστοιχεί στον µεγαλύτερο συντελεστή αννάκλασης; b.

c. d. Ορθή απάντηση: d Το πλάτος της διερχόµενης κυµατοσυνάρτησης είναι σηµαντικά µικρότερο στην περίπτωση d. Εποµένως ο συντελεστής διέλευσης είναι µικρότερος και µεγιστοποιείται ο συντελεστής ανάκλασης. Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min 3. Σε ποιο από τα παρακάτω συστήµατα αντιστοιχεί η κυµατοσυνάρτηση (φανταστικό µέρος) που έχει τον µικρότερο συντελεστή διάδοσης (η µπλέ γραµµή συµβολίζει την ενέργεια του προσπίπτωντος από αριστερά σωµατίου και το µόνο που αλλάζει σε κάθε σύστηµα είναι η ενέργεια του σωµατίου) b. c. d. Ορθή απάντηση: b

Το σωµάτιο µε την µικρότερη ενέργεια έχει το µικρότερο πλάτος διαδιδόµενης κυµατοσυνάρτησης. Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Αρµονικός ταλαντωτής Χρόνος: min 4. Μια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις εξελίσσεται µη τετριµµένα όταν τοποθετηθεί ως αρχική συνθήκη σε δυναµικό αρµονικού ταλαντωτή. Ποια είναι αυτή; b. c. d. Ορθή απάντηση: c

εδοµένου ότι το δυναµικό του αρµονικού ταλαντωτή είναι άρτια συνάρτηση προκύπτει ότι οι ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού ταλαντωτή είναι είτε περιττές είτε άρτιες. Η µόνη κυµατοσυνάρτηση που δεν έχει αυτή την ιδιότητα είναι η c. Εποµένως αυτή δεν είναι ιδιοκατάσταση και εξελίσσεται µη τετριµµένα µε τον χρόνο. Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση- ισδιάστατος ταλαντωτής Χρόνος: min 5. Ποια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση n =, n = του δισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή; x y b. c.

d. Ορθή απάντηση: a Ο αριθµός τον δεσµών (θέσεις όπου µηδενίζεται η πιθανότητα) αυξάνεται κατά µια µονάδα σε κάθε διεύθυνση κάθε φορά που αυξάνεται ο κβαντικός αριθµός στην αντίστοιχη διεύθυνση. Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση- ισδιάστατο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: min 6. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η κυµατοσυνάρτηση µιας από τις ιδιοκαταστάσεις ενός δισδιάστατου πηγαδιού δυναµικού Η ιδιοκατάσταση αυτή έχει κβαντικούς αριθµούς n x = 3, n y = 7 b. n x =, n y = 6 c. n x = 3, n y = 6 d. n x =, n y = 7 Ορθή απάντηση: a

Ο αριθµός τον δεσµών (θέσεις όπου µηδενίζεται η πιθανότητα) αυξάνεται κατά µια µονάδα σε κάθε διεύθυνση κάθε φορά που αυξάνεται ο κβαντικός αριθµός στην αντίστοιχη διεύθυνση. Η θεµελιώδης κατάσταση αντιστοιχεί σε n x =, n y = Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Άτοµο υδρογόνου Χρόνος: min 7. Ποια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις (χρώµα αντιστοιχεί σε φάση, ένταση χρώµατος σε πλάτος) αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση n, l, m =,,0 του ατόµου του υδρογόνου; ( ) ( ) b. c. d.

Ορθή απάντηση: a Για m=0 η φάση παραµένει σταθερή στην αζιµουθιακή διεύθυνση. Αυτό συµβαίνει µόνο για την κυµατοσυνάρτηση του d. Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Άτοµο υδρογόνου Χρόνος: min 8. Ποια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις (χρώµα αντιστοιχεί σε φάση, ένταση χρώµατος σε πλάτος) αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση n, l, m = 4,0,0 του ατόµου του υδρογόνου; ( ) ( ) b. c.

d. Ορθή απάντηση: a Απαιτούµε σφαιρική συµµετρία αφού ( l, m ) = ( 0,0). Άρα µας µένουν τα b και c. Από αυτά το b είναι σωστό γιατί έχει τον σωστό αριθµό δεσµών (ακτίνες όπου µηδενίζεται η κυµατοσυνάρτηση: 3 n, l, m = 4,,0 και έχει µόνο n = ). Η a αντιστοιχεί σε ( ) ( ) κυλινδρική συµµετριά (προσέξτε ότι το χρώµα (φάση) δεν αλλάζει στην διεύθυνση φ). Για m=0 η φάση παραµένει σταθερή στην αζιµουθιακή διεύθυνση. Η d n, l, m = 3,,. Προσέξτε την εξάρτηση της φάσης από την γωνία αντιστοιχεί σε ( ) ( ) στην περίπτωση αυτή. Τίτλος: Σφαιρικές αρµονικές - Στροφορµή Χρόνος: min m Y θ, φ 9. Ποια από τις παρακάτω απεικονίσεις σφαιρικών αρµονικών ( ) αντιστοιχεί στην µεγαλύτερη τιµή της στροφορµής; (αλλαγή χρώµατος αντιστοιχεί σε µεταβολή φάσης ή και αλλαγή προσήµου, µαύρο αντιστοιχει σε µηδενισµο κατά την αλλαγή προσήµου) l

b. c. d. Ορθή απάντηση: a Ο αριθµός των κόµβων (µηδενισµών πλάτους) στην διεύθυνση θ είναι ανάλογη του l. l, m = 6,0 και στην µέγιστη στροφορµή. Η Εποµένως η d αντιστοιχεί στο µέγιστο ( ) ( ) b αντιστοιχεί σε ( l, m ) = ( 9,), η c αντιστοιχεί σε ( l, m ) = ( 6,3) (προσέξτε την αζιµουθιακή εξάρτηση της φάσης) και η d αντιστοιχεί σε ( l, m ) = (,0) (προσέξτε την αζιµουθιακή συµµετρία)

Τίτλος: Εξέλιξη φάσης κυµατοσυνάρτησης Χρόνος: min 0. Στα παρακάτω σχήµατα φαίνονται στιγµιότυπα της χρονικής εξέλιξης της θεµελιώδους ιδιοκατάστασης πηγαδιού απείρου βάθους. Με πορτοκαλί γραµµή συµβολίζουµε την γραφική παράσταση του φανταστικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης και µε πράσινο την γραφική παράσταση του πραγµατικού µέρους. Σε ποιο στιγµιότυπο είναι η φάση της κυµατοσυνάρτησης περίπου ίση µε π ; b. c. d. Ορθή απάντηση: c Όταν το φανταστικό µέρος είναι ίσο µε το πραγµατικό έχουµε iϕ π e = cosϕ+ i sinϕ = ( + i) ϕ( t) =. Οι αντίστοιχες τιµές της φάσης στα 4 π άλλα στιγµιότυπα είναι a: ϕ =, b: ϕ = π, d: ϕ = 0. Τίτλος: Ανάκλαση κυµατοπακέτου σε φρα γµα δυναµικού Χρόνος: min. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το αρχικό στιγµιότυπο (πραγµατικό µέρος κυµατοσυνάρτησης στο µεσαίο πλαίσιο και πυκνότητα πιθανότητας στο κάτω πλαίσιο) ενός κυµατοπακέτου που προσπίπτει σε φράγµα δυναµικού από αριστερά. Ποιο από τα παρακάτω τελικά στιγµιότυπα της σκέδασης αντιστοιχεί στο ψηλότερο φράγµα δυναµικού;

b. c. d. Ορθή απάντηση: d Η πυκνότητα πιθανότητας του ανακλώµενου κυµατοπακέτου είναι µεγαλύτερη στην περίπτωση d. Αρα τότε µεγιστοποιείται και ο συντελεστής ανάκλασης και κατ επέκταση και το ύψος του φράγµατος δυναµικού. Τίτλος: ιατήρηση πιθανότητας-μιγαδικό δυναµικό Χρόνος: 0min. Αν το δυναµικό στην εξίσωση Scrodinger έχει µιγαδικό µέρος δηλ. * V = V + ivτότε η πιθανότητα P=Ψ Ψ ιατηρείται πάντα b. ιατηρείται µόνον όταν V = 0 Ορθή απάντηση: b Εξ. Scroedinger: c. ιατηρείται µόνον όταν V = 0 και V = 0 d. ιατηρείται όταν V = 0 ή V = 0

Από αυτές προκύπτει: Άρα για την διατήρηση αρκεί V = 0 Τίτλος: Ορµή ως Μεταθέτης 3. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό im P= [ H, r] im b. P= [ H, r] im c. P= [ H, r] im d. P= [ H, r] 4 Χρόνος: 6min Ορθή απάντηση: a Τίτλος: Μέση τιµή ορµής Χρόνος: 6min 4. Η µέση τιµή της ορµής σε µια διακριτή στάσιµη κατάσταση είναι: P im < >= < H >< r > im b. < P>= < H >< r > im c. < P>= < H >< r >

d. 0 Ορθή απάντηση: d Τίτλος: Μέση τιµή της θέσης 5. Για την κυµατοσυνάρτηση x είναι: a Ψ= π < x>= x0 και < x >= x 0 x0 b. < x>= και < x >= x 0 c. < x>= x0 και < x >= x0 + a d. < x>= x0+ και < x >= x 0 a Ορθή απάντηση: c Χρόνος: 5min / 4 e a ( ) x x x0 + ip0 οι µέσες τιµές των x και Τίτλος: Μέση τιµή ορµής Χρόνος: 5min

a 6. Για την κυµατοσυνάρτηση Ψ= π p είναι: < p>= p0+ a και b. < p>= p0 και c. < p>= p0+ a και d. < p>= p0 και / 4 e < p >= p + 0 < p >= p + 0 < p >= p 0 < p >= p 0 a a ( ) x x x0 + ip0 a οι µέσες τιµές των p και Ορθή απάντηση: b

Τίτλος: Εύρεση µεταθέτη 7. Με δεδοµένη την σχέση µετάθεσης [ ] ισούται µε s A, B e sa [ ] b. s[ A, B] e sa c. [ A, B] e sa d. [ A, B] e sa Ορθή απάντηση: a Χρόνος: 0min sa A, B, A = 0, ο µεταθέτης e, B Τίτλος: Σχέση τελεστών 8. Με δεδοµένη την σχέση µετάθεσης [ ] ισούται µε s A, B + A [ ] b. s[ A, B] + c. s[ A, B] B + B d. s[ A, B] + A Χρόνος: 0min A, B, A = 0, η παράσταση e sa Be sa Ορθή απάντηση: c αφού

και Τίτλος: Σχέσεις µετάθεσης στροφορµής Χρόνος: 3min 9. Έστω οι τρεις συνιστώσες της στροφορµής l x, l y, l z. Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις ισχύει για τον τελεστή l l + + x ily [ lz, l ] b. [ lz, l ] c. [ z, ] d. [, ] Ορθή απάντηση: a = l + + + = l l l = l + z z + + l l = l + + Τίτλος: Εκθετικό ερµητιανού πινακα Χρόνος: 3min 0. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει για ερµητιανό πίνακα Σ µε Σ =Ι όπου Ι είναι ο πίνακας µονάδα. ia e Σ =Σ cos a+ ii sin a ia b. e Σ = I cos a+ ii sin a ia c. e Σ =Σ cos a+ iσ sin a ia d. e Σ = I cos a+ iσ sin a Ορθή απάντηση: d

Τίτλος: Σταθερά κανονικοποίησης κυµατοσυνάρτησης Χρόνος: 6min. Η σταθερά κανονικοποίησης N για την κυµατοσυνάρτηση ψ ( x) = N + ix είναι N = π b. N = π c. N = π d. N = π Ορθή απάντηση: d Θέτουµε Εποµένως για την κανονικοποιηµένη ψ έχουµε:

, Τίτλος: Πιθανότητα από κυµατοσυνάρτηση. Αν η κυµατοσυνάρτηση σωµατίου είναι ψ ( x) = P( x > ) να δώσει µια µέτρηση x> είναι P x> = 4 P x> = P x> = 3 P x> = 5 ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) Χρόνος: 5min, τότε η πιθανότητα π + ix Ορθή απάντηση: a Με την αντικατάσταση. Τίτλος: Ενέργειες σε πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 5min 3. Σωµάτιο βρίσκεται σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους V = 0 0 x L, V =, x> L όπου οι κανονικοποιηµένες ( ) κυµατοσυναρτήσεις είναι. Οι αντίστοιχες ενέργειες είναι n π En = ml

b. c. d. E E E n n n = = = n π ml n π ml n π ml Ορθή απάντηση: b Αντικαθιστούµε τις ιδιοκαταστάσεις στην εξίσωση Scrodinger και έχουµε: Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 5min 4. Σωµάτιο βρίσκεται σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους V = 0 0 x L, V =, x> L όπου οι κανονικοποιηµένες ( ) κυµατοσυναρτήσεις είναι. Την t= 0 το σωµάτιο βρίσκεται στην κατάσταση. Την τυχούσα χρονική στιγµή t> 0 η το σωµάτιο Έχει µεταπέσει στην κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας και έχει κατανοµή πιθανότητας P( x, t) = φ b. Έχει κατανοµή πιθανότητας P( x, t) = ψ c. Έχει κατανοµή πιθανότητας P( x, t) = φ + φ d. Έχει κατανοµή πιθανότητας που ταλαντώνεται µεταξύ των (, ) = φ και P( x, t) P x t = φ Ορθή απάντηση: d και εποµένως

Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 5min 5. Σωµάτιο βρίσκεται σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους V = 0 0 x L, V =, x> L όπου οι κανονικοποιηµένες ( ) κυµατοσυναρτήσεις είναι µε αντίστοιχες ενέργειες. Κάποια χρονική στιγµή το σωµάτιο βρίσκεται στην κατάσταση όπου. Τα πιθανά αποτελέσµατα µια µέτρησης της ενέργειας µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή είναι 3 4 P( E) =, P( E) =, P( E) = 9 9 9 4 4 b. P( E) =, P( E) =, P( E) = 9 9 9 3 3 c. P( E) =, P( E) =, P( E) = 8 8 8 4 d. P( E) =, P( E) =, P( E) = 8 8 8 Ορθή απάντηση: b Εύκολα φαίνεται ότι. Εποµένως Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 5min 6. Σωµάτιο βρίσκεται σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους V = 0 0 x L, V =, x> L όπου οι κανονικοποιηµένες ( ) κυµατοσυναρτήσεις είναι µε αντίστοιχες ενέργειες. Κάποια χρονική στιγµή το σωµάτιο βρίσκεται στην κατάσταση όπου. Η µέση τιµή της ενέργειας του σωµατίου < Ĥ >είναι ˆ 7 π < H >= ml

b. c. d. ˆ 9 π < H >= ml ˆ 9 π < H >= ml ˆ 7 π < H >= ml Ορθή απάντηση: c Εύκολα φαίνεται ότι. Εποµένως και Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 5min 7. Σωµάτιο σε άπειρο πηγάδι δυναµικού περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση Η σταθερά κανονικοποίησης A ίση µόνο µε A= 3L i b. µόνο µε A= 3L c. µε d. µε + i A= 3L A= ή µε 3L i A= 3L Ορθή απάντηση: d Αλλά η φάση είναι αυθαίρετη. Οπότε ισχύει το d που επιτρέπει και το και το b. Τίτλος: Μεταθέτης σε αρµονικό ταλαντωτή Χρόνος: 6min

8. Ο µεταθέτης της Χαµιλτονιανής του αρµονικού ταλαντωτή pˆ, Hˆ = ikx b. pˆ, Hˆ = ikx c. pˆ, Hˆ = ikx d. pˆ, Hˆ = ikx µε τον τελεστή της ορµής είναι: Ορθή απάντηση: d Για τυχαία συνάρτηση f(x) έχουµε: Τίτλος: Ιδιοκαταστάσεις σε πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 8min 9. Σωµάτιο µάζας m κινείται σε µονοδιάστατο πηγάδι δυναµικού όπου υπάρχουν δέσµιες ιδιοκαταστάσεις µε ενέργειες που µπορούν να γραφούν σαν. Αν ορίσουµε την q από την σχέση τότε η σταθερά κ για περιττές ιδιοκαταστάσεις ικανοποιεί την σχέση qa cot qa= κa b. qa tan qa= κa c. qa cot qa= κa d. qa tan qa= κa Ορθή απάντηση: a

Οι γενικές περιττές δέσµιες λύσεις της εξίσωσης Scrodinger είναι όπου και Από τις συνθήκες συνέχειας Τίτλος: Ρεύµα πιθανότητας Χρόνος: 7min 30. Το ρεύµα πιθανότητας που αντιστοιχεί στην κυµατοσυνάρτηση είναι j( x) = a ( x) θ ( x) m b. j( x) = a ( x) θ ( x) m c. j( x) = a ( x) θ ( x) m d. j( x) = a ( x) θ ( x) 4m Ορθή απάντηση: c Αλλά συζυγές όπου. Εποµένως και για το µιγαδικό Τίτλος: Πηγάδι δυναµικού-συντελεστής διέλευσης Χρόνος: 3min 3. Ελεύθερο σωµάτιο κινείται στην περιοχή πεπερασµένου πηγαδιού δυναµικού µήκους L σύµφωνα µε την κυµατοσυνάρτηση:

O συντελεστής διέλευσης T (η πιθανότητα να περάσει το σωµάτιο στο + ) είναι b. c. d. T = T = T = T = Ορθή απάντηση: b F B F A C A F B Η απάντηση προκύπτει µε τετραγωνισµό των πλατών των αντίστοιχων ikx ikx κυµατοσυναρτήσεων: Προσπίπτουσα: Ae, ιερχόµενη: Fe Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-τελεστές δηµιουργίας-καταστροφής Χρόνος: 3min 3. Έστω ο τελεστής και ο συζυγής του b. c. d. p + mω x m 4 p + mω x m p + mω x m p + mω x m 4. Η Χαµιλτονιανή ισούται µε Ορθή απάντηση: b

Αλλά Έτσι Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-τελεστές δηµιουργίας-καταστροφής Χρόνος: 3min 33. Έστω ο τελεστής και ο συζυγής του θεµελιώδη κατάσταση µηδενίζει. a b. a c. a a d. a a. Ποιος από τους παρακάτω τελεστές όταν δράσει του αρµονικού ταλαντωτή την Ορθή απάντηση: a Προφανώς ο µηδενισµός δεν ισχύει για τους άλλους τελεστές. Τίτλος: υναµικό από κυµατοσυνάρτηση 34. Ποιο δυναµικό έχει ως λύση την κυµατοσυνάρτηση 6 V ( x) = ( 8ax 6ax ) + C m b. 6 V ( x) = ( 8a x 6ax ) + Cx m c. 6 V ( x) = ( 8a x 6ax ) + C m d. 6 V ( x) = ( 8ax 6ax ) + Cx m Χρόνος: 6min Ορθή απάντηση: c

Αντικαθιστώντας την έκφραση έχουµε µε Τίτλος: υναµικό από κυµατοσυνάρτηση 35. Ποιο δυναµικό έχει ως λύση την κυµατοσυνάρτηση V ( x) = ( f ( x) f ( x) ) + C m b. V ( x) ( f ( x) f ( x) ) Cx m c. V ( x) = ( f ( x) f ( x) ) + Cx m d. V ( x) ( f ( x) f ( x) ) C m Χρόνος: 6min Ορθή απάντηση: d Αντικαθιστώντας την έκφραση έχουµε µε Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-τελεστές δηµιουργίας-καταστροφής Χρόνος: 8min 36. Έστω οι τελεστές και ο συζυγής του. Ποια τιµή πρέπει να έχει η σταθερά α ώστε να ισχύει mω α = b. c. α = α = mω mω

d. α = mω 3 Ορθή απάντηση: c mω Θέτοντας α = έχουµε: Τίτλος: Μέση τιµή στροφορµής Χρόνος: 5min 37. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει βρίσκεται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση τιµή της 3 ης συνιστώσας < L3 > ; < L3 >= 0 b. < L3 >= c. < L3 >= d. < L3 >= όπου. Σωµάτιο. Ποια είναι η µέση Ορθή απάντηση: a όπου κάναµε χρήση της ορθογωνιότητας Τίτλος: Προβολή ιδιοκαταστάσεων στροφορµής Χρόνος: 6min 38. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει βρίσκεται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση πιθανότητα ( ) 3 0. Σωµάτιο όπου. Ποια είναι η P L = να δώσει ένα πείραµα µέτρηση L 3 = 0; P( L 3 = 0) = 0 b. P( L = ) = c 3 0 P L = = c c. ( ) 3 0

d. P( L ) Ορθή απάντηση: d Οι πιθανότητες είναι 3 = 0 = z Και λόγω κανονικοποίησης ισχύει c + z = Τίτλος: Μέση τιµή στροφορµής Χρόνος: 7min 39. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει. Ορίζουµε τους τελεστές και για τους οποίους ισχύει και βρίσκεται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση τιµή της x-συνιστώσας < L > ; Ορθή απάντηση: c < L >= 3 6 bc b. < L >= 3 6 ac c. < L >= 6 ac d. < L >= 6 bc όπου όπου. Σωµάτιο. Ποια είναι η µέση και εποµένως Ακόµα ορθογωνιότητα έχουµε και χρησιµοποιώντας την Τίτλος: Στοιχείο πίνακα τελεστή µετατόπισης Χρόνος: 5min

40. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει. Ορίζουµε τους τελεστές και για τους οποίους ισχύει και όπου. Ποιο είναι το στοιχείο πίνακα ; <, L, 0>= Ορθή απάντηση: a b. <,,0 >= 0 + L + c. <, L,0 >= + d. <, L, 0>= +. Εποµένως Τίτλος: Προβολή στροφορµής σε τυχαία διεύθυνση Χρόνος: 6min 4. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει. Ορίζουµε τους τελεστές και για τους οποίους ισχύει και όπου. Ο τελεστής L θ της προβολής της στροφορµής σε διεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x γράφεται σαν Lθ = L cosθ+ L sinθ. Ο τελεστής L θ µπορεί να γραφεί συναρτήσει των L ± σαν Ορθή απάντηση: a iθ iθ Lθ = L+ e + L e Lθ = L+ cosθ+ L sinθ i L L cos i sin e θ θ = + θ θ iθ iθ Lθ = ( L+ e + L e ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

Τίτλος: Σταθερά κανονικοποίησης Χρόνος: 3min 4. Έστω οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής για τις οποίες ισχύει. Σωµάτιο βρίσκεται στην κατάσταση κανονικοποιηµένη κατάσταση b. c. d. A= A= A= A= Ορθή απάντηση: d 3 3 3 3. Η σταθερά A ισούται µε Το µέτρο της κατάστασης είναι παίρνουµε 3 A=. 3. Εξισώνοντας µε την µονάδα Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-3 διαστάσεις Χρόνος: 7min 43. Η Χαµιλτονιανή του αρµονικού ταλαντωτή σε τρεις διαστάσεις είναι της µορφής και η θεµελιώδης κατάσταση γράφεται σαν. Ποιες είναι οι τιµές της σταθερής β και την ενέργειας βασικής κατάστασης E 0 του συστήµατος; (σε σφαιρικές συν/νες έχουµε mω 3 β = E0 = ω mω b. β = E0 = ω mω 3 c. β = E0 = ω.

mω d. β = E0 = ω Ορθή απάντηση: a Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Scrodinger έχουµε: Αφου η εξίσωση ισχύει για κάθε r εξισώνουµε συντελεστές και παίρνουµε: και Τίτλος: Κανονικοποίηση κβαντικού συστήµατος Χρόνος: 5min 44. Ένα κβαντικό σύστηµα βρίσκεται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση n= b. + i n= 4 c. i n= d. i i 3 n= e π. Ποιο από τα παρακάτω είναι λάθος; Ορθή απάντηση: b. Άρα

µέτρο /8). και εποµένως. Από τις απαντήσεις που δίνονται µόνο το + i n= δεν έχει µέτρο ½ (έχει 4 Τίτλος: Αναµενόµενη τιµή κβαντικού µεγέθους Χρόνος: 5min 45. Ένα κβαντικό σύστηµα βρίσκεται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση µε n=. Το παρατηρήσιµο µέγεθος Q περιγράφεται από τον πίνακα κατάσταση ψ > ; b. - c. 0 d.. Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή του Q στην Ορθή απάντηση: c Τίτλος: Μέτρηση ενέργειας αρµονικού ταλαντωτή Χρόνος: 4min 46. Η κατάσταση αρµονικού ταλαντωτή την χρονική στιγµή t= 0 είναι της µορφής όπου οι είναι οι ιδιοκαταστάσεις µε ενέργειες. Ποια πιθανότητα έχει η ενέργεια του ταλαντωθεί να µετρηθεί σε τιµές µεγαλύτερες της για τυχαίο χρόνο t> 0 ; b. c. d. 0 c c c 0 c c c 0 c

Ορθή απάντηση: b Η πιθανότητα να µετρηθεί αποτέλεσµα µεγαλύτερο από είναι που λόγω της κανονικοποίησης γράφεται: Τίτλος: Γενική κατάσταση αρµονικού ταλαντωτή Χρόνος: 5min 47. Η κατάσταση αρµονικού ταλαντωτή την χρονική στιγµή t= 0 είναι της µορφής όπου οι είναι οι ιδιοκαταστάσεις µε ενέργειες. Έστω ότι οι µόνοι µη µηδενικοί συντελεστές είναι οι c 0 και c. Ποιες είναι οι τιµές των c 0 και c αν η µέση τιµή της ενέργειας είναι < H >= ω. c0 =, c = b. c0 =, c = 3 3 3 c. c0 =, c = 4 4 3 d. c0 =, c = 4 4 Ορθή απάντηση: a Λόγω κανονικοποίησης έχουµε Ακόµα η µέση τιµή γράφεται Εποµένως έχουµε δύο εξισώσεις µε δύο αγνώστους και παίρνουµε Τίτλος: Μέτρηση συνιστώσας spin Χρόνος: 6min 48. Σύστηµα αποτελείται από σωµάτιο µε σπιν ½ και ο χώρος των καταστάσεων καλύπτεται από της δύο ιδιοκαταστασεις του S ˆz +> και > µε ιδιοτιµές Την t= 0 το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση

είναι η πιθανότητα να µετρηθεί η τιµή 0 b. 0.5 c. d. 4 Ορθή απάντηση: b. Αν η συνιστώσα του σπίν S ˆx µετρηθεί την t> 0 ποια ω + ; Τα ιδιοδιανύσµατα του S ˆx στην βάση του S ˆz γράφονται και εποµένως Τίτλος: Χρονική εξέλιξη spin σε µαγνητικό πεδίο Χρόνος: 0min 49. Σύστηµα αποτελείται από σωµάτιο µε σπιν ½ µαγνητικής ροπής M = γ S και ο χώρος των καταστάσεων καλύπτεται από της δύο ιδιοκαταστασεις του S ˆz +> και > µε ιδιοτιµές ±. Την t= 0το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση. Το σύστηµα εξελίσσεται µε την παρουσία µαγνητικού πεδίου B = B y και Χαµιλτονιανή 0 ˆ την t> 0, ποια είναι η πιθανότητα να µετρηθεί η τιµή ω0 cos t ω0 b. sin t cos ω t c. ( 0 ) d. sin( ω t) Ορθή απάντηση: a 0. Αν η συνιστώσα του σπίν S ˆz µετρηθεί ω + ;

Για να αναλύσουµε την αρχική κατάσταση σε ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτονιανής χρησιµοποιούµε την βάση. Έχουµε και εποµένως όπου είναι οι ιδιοτιµές της ενέργειας και. Έχουµε όµως και εποµένως Τίτλος: Αρχικές συνθήκες για εξίσωση Scrodinger Χρόνος: 3min 50. Για τον πλήρη καθορισµό της λύσης της χρονοεξαρτόµενης εξίσωσης Scrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιµών για Την κυµατοσυνάρτηση b. Την χρονική της παράγωγο c. Και τα δύο d. Τίποτε από τα παραπάνω Ορθή απάντηση: a Η εξίσωση Scrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση µόνο της κυµατοσυνάρτησης Τίτλος: Άτοµο Υδρογόνου Χρόνος: 5min 5. Η θεµελιώδης κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου είναι 3/ Zr a0 Ζ φ0 = e µε Z = και a0 =. Η θεµελιώδης κατάσταση του π a0 µe Τριτίου είναι Ακριβώς η ίδια µε του Υδρογόνου b. ιαφορετική ως προς το a 0 c. ιαφορετική ως προς το Z d. ιαφορετική ως προς το Zκαι το a 0 Ορθή απάντηση: b

To Τρίτιο έχει δύο νετρόνια και ένα πρωτόνιο. Εποµένως έχει το ίδιο φορτίο Ζ αλλά διαφορετική ανηγµένη µάζα µ σε σχέση µε το Υδρογόνο: Τίτλος: Υπολογισµός σταθεράς Rydberg Χρόνος: 6min 5. Στον διαστρικό χώρο τα ηλεκτρόνια επανασυνδέονται µε πρωτόνια και σχηµατίζουν άτοµα υδρογόνου µε πολύ µεγάλους κύριους κβαντικούς αριθµούς. Μεταβάσεις µεταξύ υψηλών τιµών του n δηµιουργούν φασµατικές γραµµές επανασύνδεσης. Η φασµατική γραµµή µετάβασης 0 5.45978 0 Hz αντιστοιχεί στην µετάβαση από n= 50 σε n= 49. Εποµένως η σταθερά του Rydberg είναι 0 R =. 0 m b. c. d. H RH RH RH Ορθή απάντηση: c = 3. 0 =. 0 = 3. 0 4 m 7 m 9 m εποµένως Τίτλος: Σύστηµα δύο πυρήνων Χρόνος: 5min 53. Σωµάτιο φορτίου e και µάζας m βρίσκεται υπό την επιρροή δύο πυρήνων µε φορτία Ze στις θέσεις z=± a. Η Χαµιλτοιανή που περιγράφει το σύστηµα είναι L H = r+ + V ( r) µε Ze Ze V( r) = m r r mr Ορθή απάντηση: d b. L H = r+ + V( r) µε V( r) m r r mr c. L H = r+ + V( r) µε V( r) m r r mr m r r mr d. L H = r+ + V( r) µε V( r) r + a ra cosθ r + a + ra cosθ Ze Ze = + + cos + + r a ra θ r a ra Ze Ze = + + cos + + r a ra θ r a ra Ze = Ze r + a ra cosθ r + a + ra cosθ cosθ cosθ Το δυναµικό είναι από το οποίο προκύπτει άµεσα η µορφή στο d. Το υπόλοιπο τµήµα της Χαµιλτονιανής είναι το ίδιο µε το άτοµο του υδρογόνου.

Τίτλος: Μέτρηση spin Χρόνος: 5min 54. Ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε κατάσταση µε καθορισµένη την z-συνιστώσα του σπιν στην τιµή. Ένα πείραµα µετρά την συνιστώσα του σπίν στην διεύθυνση ˆn. Ποια η πιθανότητα θ P + = sin θ b. P + = cos c. P + = cos ( θ) d. P + = sin ( θ) P + να δώσει η µέτρηση την τιµή ; Ορθή απάντηση: b Έστω nˆ = nˆ ( θ, φ). Ο τελεστής S n ορίζεται ως S nˆ = S sinθ cosφ+ S sinθ sinφ+ S cosθ και µε µορφή πινακα στην βάση των x y z ιδιοδιανυσµατων του S z γράφεται ως S = S sinθ cosφ+ S sinθ sinφ+ S cosθ = n x y z iφ cosθ sinθe iφ sinθe cosθ φ φ θ i θ i µε ιδιοδιανύσµατα +> n= cos e +> z + sin e > z και φ φ θ i θ i > n= sin e +> z + cos e > z. Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι θ P= n<+ +> z = cos Τίτλος: Ενέργεια και µήκος κύµατος de Broglie Χρόνος: 5min 8 55. Ένα ηλεκτρόνιο έχει µήκος κύµατος de Broglie 0 cm. Η ενέργειά του σε ev είναι: 50eV b. ev 4 c. 0 ev d. 0 ev Ορθή απάντηση: a

8 Η ορµή που αντιστοιχεί στο µήκος κύµατος de Broglie 0 cm είναι που αντιστοιχεί σε κινητική ενέργεια Τίτλος: Μήκος κύµατος de Broglie Χρόνος: 5min 8 56. Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο έχει µήκος κύµατος de Broglie 0 cm και κινείται στην θετική διεύθυνση του άξονα x. Η κυµατοσυνάρτησή του είναι: ψ ~ e ikx µε k = 3.744 0 m b. ψ ~ e ikx µε c. ψ ~ e ikx µε d. ψ ~ e ikx µε Ορθή απάντηση: c k = 3.53 0 k = 6.83 0 k = 4.87 0. 7 m 0 m 5 m. Εποµένως Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 3min 57. Έστω η Ν ενεργειακή κατάσταση E N σε άπειρο πηγάδι δυναµικού µε πλάτος L. Αν το πλάτος του πηγαδιού διπλασιαστεί τότε ο κβαντικός αριθµός N που αντιστοιχεί στην ίδια ενέργεια είναι N = N b. N = N c. N = 4N N d. N = Ορθή απάντηση: a Η ενέργεια της κατάστασης N είναι και εποµένως. Αν διπλασιαστεί το πλάτος L τότε. Τίτλος: Αρχή Pauli Χρόνος: 7min 58. Θεωρείστε ηλεκτρόνιο σε µη διεγερµένο άτοµο Νέου (Z=0). Πόσες είναι οι πιθανές n, l, ml, m s > καταστάσεις του ηλεκτρονίου; 8 b. 0 c.

d. 4 Ορθή απάντηση: b Αφου το άτοµο έχει 0 ηλεκτρόνια θα πρέπει να υπάρχουν και 0 διαφορετικές καταστάσεις λόγω της αρχής του Pauli: Τίτλος: Συντελεστής ανάκλασης Χρόνος: 6min 59. έσµη ηλεκτρονίων µε ενέργεια Ε κινείται σε περιοχή µε δυναµικό V = 0 και εισέρχεται σε περιοχή όπου το δυναµικό αλλάζει απότοµα σε V = V0. O λόγος του ανακλόµενου προς το προσπίπτον ρεύµα είναι: b. c. d. J ref k + k = J k k inc J ref k + k = J k + k inc inc J ref k k = J k + k inc Ορθή απάντηση: c J ref k k = J k + k me όπου k = και me όπου k = και me όπου k = και me όπου k = και Η γενική λύση της εξίσωσης Scrodinger είναι k k k k = = = = ( + V ) m E 0 ( V ) m E 0 ( V ) m E 0 ( + V ) m E 0 όπου και Ο συντελεστής ανάκλασης είναι και ισχύει Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 4min 60. Ένα µονοδιάστατο άπειρο πηγάδι δυναµικού περιέχει ένα ηλεκτρόνιο και αφού δεχτεί µια µικρή διαταραχή εκπέµπει ένα φωτόνιο. Αν E είναι η

ενέργεια της βασικής κατάστασης του σωµατίου ποια από τις παρακάτω δεν µπορεί να είναι η ενέργεια του εκπεµπόµενου φωτονίου 3E b. 4E c. 5E d. 8E Ορθή απάντηση: b Η εκπεµπόµενη ενέργεια θα πρέπει να είναι της µορφής ( n m ) E θετικοί ακέραιοι µε n> m. Μόνο η 4E δεν είναι της µορφής ( ) όπου n, m είναι n m E. Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού Χρόνος: 4min 6. Την στιγµή t= 0από τα 000 νετρόνια σε άπειρο πηγάδι δυναµικού τα 00 έχουν ενέργεια 4E και τα 900 έχουν ενέργεια 5E. Αν ψ n είναι οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος, ποιά είναι η κανονικοιηµένη κατάσταση του συστήµατος; ψ >= ψ 3 + ψ5 0 0 b. ψ >= ψ 4 + ψ5 7 7 c. ψ >= ψ 3 + ψ 0 0 d. ψ >= ψ 4 + ψ 7 7 Ορθή απάντηση: a Σωµάτια µε ενέργεια 4E = E είναι στην κατάσταση ψ ενώ σωµάτια µε ενέργεια 5E = 5 E = E5 είναι στην κατάσταση ψ 5. Σωµάτιο που επιλέγεται τυχαία έχει πιθανότητα να βρίσκεται στην κατάσταση ψ 0 και πιθανότητα 9 να βρίσκεται 0 στην κατάσταση ψ 5. Όµως η πιθανότητα είναι το τετράγωνο του πλάτους και έτσι η κατάσταση του συστήµατος είναι ψ >= ψ 3 + ψ 5. 0 0 Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού- 3 διαστάσεις Χρόνος: 4min 6. Ο λόγος των ενεργειών της θεµελιώδους προς την πρώτη διεγερµένη κατάσταση ενός τρισδιάστατου άπειρου πηγαδιού δυναµικού µε διαστάσεις a a aείναι 4/3 b. 3 c. 4

d. Ορθή απάντηση: d Οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας σε τρισδιάστατο κουτί είναι Η θεµελιώδης κατάσταση έχει και ενέργεια ενώ η 6 πρώτη διεγερµένη έχει ενέργεια E = n x = ny =, n z = 8ma Τίτλος: Άπειρο πηγάδι δυναµικού- 3 διαστάσεις Χρόνος: 7min 63. Ο εκφυλισµός της δεύτερης διεγερµένης κατάστασης ενός τρισδιάστατου άπειρου πηγαδιού δυναµικού µε διαστάσεις a a aείναι b. c. 3 d. 6 Ορθή απάντηση: c Οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας σε τρισδιάστατο κουτί είναι Η θεµελιώδης κατάσταση έχει και ενέργεια. Ο εκφυλισµός κάθε κατάστασης φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-μέσες τιµές ορµής Χρόνος: 5min 64. Πόση είναι η µέση τιµή της ορµής για σωµάτιο στην θεµελιώδη κατάσταση b. < p>= a < p>= a αρµονικού ταλαντωτή;

c. < p>= a d. < p>= 0 Ορθή απάντηση: d Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής - 3 διαστάσεις Χρόνος: 4min 65. Ποιος είναι ο εκφυλισµός στην δεύτερη διεγερµένη κατάσταση τρισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή; b. 3 c. 6 d. 0 Ορθή απάντηση: c Η ολική ενέργεια του τρισδιάστατου συστήµατος είναι και ο εκφυλισµός των χαµηλότερων ενεργειών φαίνεται στον παρακάτω πίνακα

Προφανώς ο εκφυλισµός της δεύτερης διεγερµένης κατάστασης είναι 6. Τίτλος: Πολωµένο φωτόνιο Χρόνος: 4min 66. Η κατάσταση πόλωσης ενός φωτονίου είναι της µορφής στην διεύθυνση y; 4 5 b. 6 5 c. 3 5 d. 9 5. Ποιο κλάσµα φωτονίων διέρχεται από ένα πολωτή Ορθή απάντηση: b Τα κβαντικά πλάτη για κάθε κατάσταση πόλωσης είναι πολωτή είναι. Εποµένως η πιθανότητα να περάσει το φωτόνιο από τον y

Τίτλος: Πολωµένο φωτόνιο Χρόνος: 7min 67. Η κατάσταση πόλωσης ενός φωτονίου είναι της µορφής. Ποιο κλάσµα φωτονίων διέρχεται από ένα πολωτή στην διεύθυνση x που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x; 9 ( sin P= θ) 5 6 b. sin P= θ 5 c. ( 9 7sin P= + θ) 5 6 d. ( sin P= θ) 5 Ορθή απάντηση: c Οι προβολές σε κάθε κατάσταση είναι και Εποµένως Τίτλος: Άτοµο Ηλίου Χρόνος: 6min 68. Θεωρείστε ένα προσεγγιστικό µοντέλο για το άτοµο του Ηλίου (Z=) στο οποίο τα ηλεκτρόνια δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Έστω οι µονοσωµατιδιακές ιδιοκαταστάσεις ενέργειας του ατόµου και οι ιδιοκαταστάσεις σπιν για το i ηλεκτρόνιο. Ποια από τις παρακάτω κυµατοσυναρτήσεις έχει την κατάλληλη συµµετρία ώστε να µπορούσε να είναι κυµατοσυνάτηση των ηλεκτρονίων στο άτοµο του Ηλίου. b. c. d. Ορθή απάντηση: c

Πρέπει η συνολική κυµατοσυνάρτηση να είναι αντισυµµετρική αφού τα ηλεκτρόνια είναι φερµιόνια. Στην απάντηση το χωρικό κοµµάτι δεν έχει συγκεκριµένη συµµετρία ενώ το σπίν κοµµάτι είναι συµµετρικό. Στην b. απάντηση το χωρικό κοµµάτι είναι συµµετρικό ενώ το σπίν κοµµάτι δεν έχει συγκεκριµένη συµµετρία. Στην c. απάντηση το χωρικό κοµµάτι είναι συµµετρικό ενώ το σπίν κοµµάτι είναι αντισυµµετρικό. Έτσι η συνολική κυµατοσυνάρτηση είναι αντισυµµετρική όπως θα έπρεπε. Στην d. απάντηση το χωρικό κοµµάτι είναι αντισυµµετρικό και το σπίν κοµµάτι είναι αντισυµµετρικό. Έτσι η συνολική κυµατοσυνάρτηση είναι συµµετρική. Τίτλος: Κβαντικό σύστηµα σωµατίων Χρόνος: 4min 69. Ένα σύστηµα περιέχει δύο σωµάτια, ένα µε σπιν και το άλλο µε σπιν. Το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση όπου και. Αν µετρηθεί το στην κατάσταση χ, ποια είναι τα πιθανά αποτελέσµατα της µέτρησης και µε ποιες πιθανότητες; µε 00% b. µε 50%, 6 µε 50% c. µε 50%, µε 50% d. 6 µε 00% Ορθή απάντηση: a Η χ είναι ιδιοκατάσταση των S, S, S και S και εποµένως η µέτρηση του θα z δώσει µε πιθανότητα 00%. Τίτλος: Κβαντικό σύστηµα σωµατίων Χρόνος: 4min 70. Ένα σύστηµα περιέχει δύο σωµάτια, ένα µε σπιν και το άλλο µε σπιν. Το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση όπου και. Αν µετρηθεί το στην κατάσταση χ, ποια είναι τα πιθανά αποτελέσµατα της µέτρησης και µε ποιες πιθανότητες; µε 00% b. µε 50%, µε 50% c. µε 50%, 4 µε 50% d. µε 00% Ορθή απάντηση: a Η χ είναι ιδιοκατάσταση των S, S, S και S και εποµένως η µέτρηση του z θα δώσει µε πιθανότητα 00%.

Τίτλος: Στροφορµή σε άτοµο υδρογόνου Χρόνος: 3min 7. Ηλεκτρόνιο στο άτοµο του υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση µετρηθεί η L ποιες είναι οι πιθανές τιµές και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες. µε 5% και 6 µε 75% b. µε 75% και µε 5% c. µε 75% και 6 µε 5% d. µε 75% και µε 5%. Αν Ορθή απάντηση: a Οι η ( ) είναι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής L µε ιδιοτιµές. Εποµένως l= θα µετρηθεί µε πιθανότητα 3/4 και η l= θα µετρηθεί µε 6 ( ) πιθανότητα /4. Τίτλος: Ολική στροφορµή σε άτοµο υδρογόνου Χρόνος: 5min 7. Ηλεκτρόνιο στο άτοµο του υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση µετρηθεί η J όπου J = L + S ποιες είναι οι πιθανές τιµές; 7 9, 3 5, 3 3 5 b., 3 5 7 c., 3 5, 3 5 7 d., 3 5. Αν Ορθή απάντηση: c Η πρώτη συνιστώσα της έχει L=, είναι 3 J = και τιµές του J είναι 3 J = και J =. Η δεύτερη συνιστώσα έχει L=, 5 J = και J =. Οι αντίστοιχες τιµές του S =, άρα οι δυνατές τιµές του J S =, άρα οι δυνατές 3 J =. Εποµένως το J µπορεί να πάρει τις τιµές 5 7 3 5 3 J είναι, 5 J =,,.

Τίτλος: Αναµενόµενη τιµή συσνιστώσας spin Χρόνος: 5min 73. Σωµάτιο βρίσκεται στην κατάσταση σπίν. Ποια είναι η αναµενόµενη τιµή της x συνιστώσας του σπίν < S > ; x ίνονται * * < Sx >= ( a b+ b a) i * * < Sx >= a b b a c. < Sx >= ( a b ) * * d. < Sx >= ( a b+ b a) Ορθή απάντηση: d b. ( ) Τίτλος: Αναπαράσταση τελεστή S z Χρόνος: 8min 74. ίνονται τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή S z για ένα σωµάτιο µε σπίν Ποια είναι η αναπαράσταση του τελεστή S z στην παραπάνω βάση; b. c. 0 i 0 i 0 i 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

d. 0 0 0 0 0 0 Ορθή απάντηση: b Ισχύει ότι. Έστω. Τότε έχουµε Εποµένως Τίτλος: Αναπαράσταση τελεστή S z Χρόνος: min 75. ίνονται τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή S z για ένα σωµάτιο µε σπίν Ποια είναι η αναπαράσταση του τελεστή S x στην παραπάνω βάση; Χρησιµοποιήστε τις γνωστές σχέσεις b. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c. d. 0 i 0 i 0 i 0 i 0 0 0 0 0 0 0 Ορθή απάντηση: c Έχουµε Έστω. Τότε Εποµένως Ακόµα έστω Τότε.

Εποµένως Τελικά Τίτλος: Μέτρηση συνιστωσών spin Χρόνος: 5min 76. Έστω ότι για ένα σωµάτιο µε σπίν ½ µετράµε το άθροισµα των συνιστωσών του σπιν S στις διευθύνσεις x και z. Ποια είναι τα πιθανά αποτελέσµατα της µέτρησης; ± b. ± c. ± d. ± Ορθή απάντηση: d Οι πίνακες Pauli είναι αντιστοχεί στον πίνακα:. Εποµένως ο τελεστής οι ιδιοτιµές του οποίου είναι δυνατές τιµές του είναι.. Εποµένως οι Τίτλος: Στοιχείο πίνακα θέσης αρµονικού ταλαντωτή Χρόνος: 5min 77. Το στοιχείο πίνακα στη βάση ιδιοκαταστάσεων αρµονικού ταλαντωτή είναι µη µηδενικό µόνο για n= b. n= και n= c. n= 0 και n= d. n= 0 Ορθή απάντηση: c

και τα µόνα µη µηδενικά στοιχεία είναι τα Ο παράγοντας εµφανίζεται διότι µέσα από τα δύο A. Τίτλος: Ιδιοτιµές ερµιτιανού πίνακα 78. Οι ιδιοτιµές του ερµιτιανού πίνακα λόγω της µετάθεσης του Α Χρόνος: 6min είναι λ=± b. λ=± c. λ=± d. λ=± i Ορθή απάντηση: a Τίτλος: Ιδιοδιανύσµατα ερµιτιανού πίνακα Χρόνος: 6min 79. Ένα από τα ιδιοδιανύσµατα του ερµιτιανού πίνακα b. c. d. + i i i + i είναι Ορθή απάντηση: b

ιαλέγοντας παίρνουµε Τίτλος: Μεταθέτης τελεστών 80. Ορίζουµε τον τελεστή S ˆq από την σχέση: Χρόνος: 6min. Ο µεταθέτης ισούται µε ˆ, ˆ ˆ Sq p = iqsq b. ˆ, ˆ ˆ Sq p = qsq c. ˆ, ˆ ˆ Sq p = iqsq d. ˆ, ˆ ˆ Sq p = qsq Ορθή απάντηση: d Για αυθαίρετη συνάρτηση f ( ) του S ˆq µε τον τελεστή της ορµής ˆp ( ) x έχουµε Εποµένως Τίτλος: Μορφή Ιδιοσυνάρτησης Χρόνος: 5min 8. Γενικά µια ιδιοσυνάρτηση ενός σωµατίου σε άπειρο πηγάδι δυναµικού πρέπει να είναι: Πραγµατική συνάρτηση b. Καθαρά φανταστική συνάρτηση c. Μιγαδική συνάρτηση µε µη µηδενικό φανταστικό και πραγµατικό µέρος d. Όλα τα παραπάνω Ορθή απάντηση: d Κάθε κυµατοσυνάρτηση µπορεί να πολλαπλασιαστει µε µια αυθαίρετη φάση Τίτλος: Μέτρηση ενέργειας σωµατίου Χρόνος: 7min 8. Σωµάτιο µάζας m τοποθετείται σε άπειρο πηγάδι δυναµικού για και και για. Την t= 0 το σωµάτιο τοποθετείται στην κανονικοποιηµένη κατάσταση για i e θ

και για οπου. Αν µετρηθεί η ενέργεια του σωµατίου ποια είναι η πιθανότητα να µετρηθεί η τιµή ενέργειας της θεµελιώδους του κατάστασης E ; 3 π 5 b. π 3 c. π 5 d. π Ορθή απάντηση: a Η κατάσταση του σωµατίου µπορεί να γραφεί σαν υπέρθεση ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας: και κατάσταση n ισούται µε Έχουµε c n όπου. Η πιθανότητα να βρεθε το σωµάτιο στην. Στην περίπτωσή µας ενδιαφερόµαστε για την c. Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής-μέσες τιµές ενέργειας Χρόνος: 8min 83. H κυµατοσυνάρτηση αρµονικού ταλαντωτή στη θεµελιώδη κατάσταση είναι της µορφής. Η σχέση µεταξυ της µέσης p κινητικής ενέργειας < T >=< > και της µέσης δυναµικής ενέργειας m < U >=< kx > είναι < U > < T >= 4 < U > b. < T >= c. < T >= < U > d. < T >=< U > Ορθή απάντηση: d

Για την κινητική ενέργεια έχουµε και εποµένως Ενώ για την δυναµική ενέργεια Εποµένως Τίτλος: Αρχή αβεβαιότητας-ενέργεια αρµονικού ταλαντωτή Χρόνος: 6min 84. Η ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι. Με βάση την αρχή της αβεβαιότητας η ενέργεια αυτή πρέπει να είναι µεγαλύτερη από E = kx 6π x m + b. E = kx 3π x m + x c. E = kx 3π m + x d. E = kx 6π m + Ορθή απάντηση: b Αφού και για την ελάχιστη ενέργεια χρησιµοποιούµε και και παίρνουµε. Από την αρχή της αβεβαιότητας η ελάχιστη ενέργεια γράφεται ή

Τίτλος: Αρχή αβεβαιότητας -Ενέργεια αρµονικού ταλαντωτή Χρόνος: 6min 85. Η ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι. Με βάση την αρχή της αβεβαιότητας η αβεβαιότητα της θέσης ( x) στην θεµειώδη κατάσταση είναι = ( x) 4 b. ( x) = c. ( x) d. ( ) Ορθή απάντηση: a π km π km = 4π km x = π km Αφού και για την ελάχιστη ενέργεια χρησιµοποιούµε και και παίρνουµε. Από την αρχή της αβεβαιότητας η ελάχιστη ενέργεια γράφεται ή. Ελαχιστοποιώντας ως προς ( x) παίρνουµε που οδηγεί σε. Αντικαθιστώντας στην ενέργεια παίρνουµε το γνωστό αποτέλεσµα Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση σε φράγµα δυναµικού Χρόνος: 6min 86. Σωµάτιο κινείται από δεξίά (περιοχή Ι) προς τα αριστερά σε ορθογώνιο φράγµα δυναµικού µε E< V0 Ποια είναι η µορφή της κυµατοσυνάρτησης του σωµατίου στην περιοχή ΙΙΙ

ψ ikx ( x) Ce ψ x kx b. ( ) c. ( ) kx = όπου k = = Ce όπου k = ψ x = Ce όπου k = d. Τίποτε από τα παραπάνω me ( ) m E V 0 me Ορθή απάντηση: d Οι λύσεις της εξίσωσης Scrodinger είναι της µορφής µε µε µε Αλλά D= 0 αφού το κύµα κινείται προς τα δεξιά. Άρα η µορφή της ikx κυµατοσυνάρτησης στην περιοχή ΙΙΙ είναι ψ ( x) = Ce. Τίτλος: Αρµονικός ταλαντωτής και ηλεκτρικό πεδίο Χρόνος: 8min 87. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό αρµονικού ταλαντωτή στο οποίο προσθέτουµε ένα ηλεκτρικό πεδίο E 0. Η Χαµιλτονιανή του συστήµατος είναι p = + +. Οι ιδιοτιµές της Χαµιλτονιανής είναι m e E0 En = ω n+ mω e E0 b. En = ω n+ + mω e E0 c. En = ω n+ mω d. En = ω n+ H kx ee0x Ορθή απάντηση: d k Έχουµε H ψ >= E ψ >, + mω x + ee 0x φ( x) = Eφ( x), ω= m x m

ee0 Θέτουµε x = x+. Τότε η εξίσωση Scrodinger παιρνει την µορφή mω e E 0 + mω x φ( x ) = E+ φ ( x ) = E φ( x ) m x mω που έχει την µορφή αρµονικού ταλαντωτή. Εποµένως E n = n+ ω. Άρα για την e E0 E n ισχύει En = n+ ω. mω