Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Συναρτήσεις Bessel ρώτου και δευτέρου είδους Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άλλου τύου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανειστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράμματος «Εκαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ένωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και αό εθνικούς όρους.
Ενότητα 5 Συναρτήσεις Bessel ρώτου και δευτέρου είδους Οι συναρτήσεις Bessel J ν (z) ρώτου είδους και τάξης ν, ορίζονται υό µορφήν συγκλίνουσας δυναµοσειράς, για z C και ν R: J ν (z) ) κ+ν. (5.1) Πρόταση 5.1: Για ν η συνάρτηση J ν (z) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης Bessel z y (z) + zy (z) + (z ν )y(z). (5.) Αόδειξη. Για να δείξουµε ότι η J ν (z) είναι λύση της δ.ε. (5.), ρέει να δείξουµε ότι ισχύει η (5.) για y(z) J ν (z). Οότε, αραγωγίζουµε ως ρος z την (5.1) δύο ϕορές και αίρνουµε την J ν(z) και J ν (z): J ν(z) ( 1) κ (κ + ν) z κ+ν 1 Γ(ν + κ + 1)κ! κ+ν (5.3) J ν (z) ( 1) κ (κ + ν)(κ + ν 1) z κ+ν Γ(ν + κ + 1)κ! κ+ν (5.4) Αντικαθιστούµε τις (5.1), (5.3) και (5.4) στο αριστερό µέλος της (5.), οότε ρικύτει : z y (z) + zy (z) + (z ν )y(z) ( 1) κ (κ + ν)(κ + ν 1) ( z κ+ν ( 1) + Γ(ν + κ + 1)κ! ) κ (κ + ν) z ) κ+ν+ ( 1) κ (z ν ) z ) κ+ν + ) κ+ν[(κ + ν)(κ + ν 1) + (κ + ν) ν ]+ ) κ+νz + ) κ+ν[(κ + ν) ν ] + z ) κ+ν ) κ+ν(κ + ν + ν)(κ) + z ) κ+ν 16
z κ1 ( 1) κ (κ + ν)κ ( z ) κ+ν + z Γ(ν + κ + 1)κ! }{{} (ν+κ)γ(ν+κ)κ(κ 1)! ) (κ 1)+ν + z Γ(ν + κ)(κ 1)!( κ κ+1 z ( 1) κ+1 z ) κ+ν + z z ( 1) κ + z ) κ+ν + z ) κ+ν ) κ+ν ) κ+ν ) κ+ν. Πρόταση 5.: Η συνάρτηση J ν (z) ) κ ν (5.5) Γ( ν + κ + 1)κ!( είναι λύση της δ.ε. (5.) και είναι γραµµικώς ανεξάρτητη της J ν (z) για ν / Z, και µάλιστα η ορίζουσα Wronski αυτών είναι W [J ν (z), J ν (z)] sin(ν). (5.6) z Αόδειξη. Η συνάρτηση J ν (z) όως δίνεται αό την (5.5) είναι λύση της (5.). Η αόδειξη είναι ακριβώς ίδια µε την αόδειξη της Πρότασης 5.1. Για την αόδειξη της γραµµικής ανεξαρτησίας των συναρτήσεων J ν (z) και J ν (z) ϑα χρησιµοοιήσουµε το ϑεώρηµα των Abel-Liouville αό τη ϑεωρία των διαφορικών εξισώσεων : Θεώρηµα : Η ορίζουσα Wronski δύο γραµµικών λύσεων της δ.ε. y (z) + p(z)y (z) + q(z)y(z), µε p(z), q(z) συνεχείς συναρτήσεις σε κάοιο διάστηµα I R, ικανοοιεί τη δ.ε. W (z) + p(z)w (z). Στην ερίτωσή µας η δ.ε. Bessel γράφεται : y (z) + 1 z y (z) + z ν z y(z), οότε p(z) 1 z. Άρα : W [J ν (z), J ν (z)] ce 1 z dz ce lnz c z. (5.7) Αρκεί να υολογίσουµε τη σταθερά c. Α την (5.7) η c ροσδιορίζεται ως το όριο : lim z zw [J ν (z), J ν (z)] c. Οµως, zw [J ν (z), J ν (z)] zj ν (z)j ν(z) zj ν(z)j ν (z), οότε χρησιµοοιώντας τις J ν (z) και J ν (z) όως δίνονται α τις (5.1) και (5.5) και τις αραγώγους αυτών, έχουµε : ν+κ zw [J ν (z), J ν (z)] z Γ(ν + κ + 1)κ! ( 1) m ( ν + m) z ν+m 1 ν+κ Γ( ν + m + 1)m! ν+m m ( 1) κ (ν + κ) z ν+κ 1 ( 1) m z ν+m z Γ(ν + κ + 1)κ! ν+κ Γ( ν + m + 1)m! ν+m 17 m
( 1) κ+m ( ν + m) z κ+m Γ(ν + κ + 1)Γ( ν + m + 1)κ!m! κ+m m ( 1) κ+m (ν + κ) z κ+m Γ(ν + κ + 1)Γ( ν + m + 1)κ!m! κ+m m m Παίρνοντας το όριο του z, καταλήγουµε : ( 1) κ+m (ν + κ m) z κ+m Γ(ν + κ + 1)Γ( ν + m + 1)κ!m!. κ+m ν limzw [J ν (z), J ν (z)] z Γ(ν + 1)Γ( ν + 1) ν νγ(ν)γ( ν + 1) αφού αό την Πρόταση., ισχύει Γ(ν)Γ(1 ν) sin(ν). sin(ν), Τελικά, αό την (5.7) ροκύτει ότι : W [J ν (z), J ν (z)] sinν, z και εοµένως οι συναρτήσεις J ν (z) και J ν (z), z για ν / Z, είναι γραµµικώς ανεξάρτητες. Πρόταση 5.3: Αν ν n Z, τότε J n (z) ( 1) n J n (z). Αόδειξη. Θέτουµε στην (5.1) όου ν το n, µε n Z, οότε : ) κ n J n (z) Γ( n + κ + 1)κ!( 1 Εειδή για κ, 1,..., n 1, η ανωτέρω σειρά γράφεται : Γ( n + κ + 1) ) κ n ( 1) J n (z) Γ( n + κ + 1)κ!( κ+n z ) (κ+n) n Γ( n + κ + n + 1)(κ + n)!( κn ( 1) n ) κ+n Γ(κ + 1)Γ(n + κ + 1)( ( 1) n ) κ+n κ!γ(n + κ + 1)( ( 1) n J n (z). Πρόταση 5.4: Αν ν n Z, τότε η συνάρτηση Y n (z) lim ν n Y ν (z) µε Y ν (z) cos(ν)j ν(z) J ν (z) sin(ν) είναι λύση της (5.), γραµµικώς ανεξάρτητη της (5.1) και µάλιστα (5.8) W [J ν (z), Y ν (z)] z. (5.9) 18
Αόδειξη. Ορίζουµε την Y ν (z) cos(ν)j ν(z) J ν (z), η οοία λέγεται συνάρτηση sin(ν) Bessel δευτέρου είδους, τάξης ν. Τότε, Y n (z) lim ν n Y ν (z) lim ν n cos(ν)j ν (z) J ν (z) sin(ν) L Hopital sin(ν)j ν (z) + lim J ν ν(z) cos(ν) J ν ν(z) ν n cos(ν) 1 [ lim ν n ν J ν(z) ( 1) ν ] ν J ν(z). (5.1) Θα δείξουµε ότι η Y n (z) όως δίνεται α την (5.1) ικανοοιεί την δ.ε. Bessel. Προφανώς, οι συναρτήσεις J ν (z) και J ν (z) ικανοοιούν τη δ.ε. (5.). Άρα, ισχύουν : z J ν (z) + zj ν(z) + (z ν )J ν (z) και z J ν(z) + zj ν(z) + (z ν )J ν (z), αντίστοιχα. Παραγωγίζουµε ως ρος ν τις δύο αυτές δ.ε. και ροκύτει : z d dz z d dz ν J ν(z) + z d dz ν J ν(z) + (z ν ) ν J ν(z) νj ν (z) και ν J ν(z) + z d dz ν J ν(z) + (z ν ) ν J ν(z) νj ν (z), αντίστοιχα. Πολλαλασιάζουµε τη δεύτερη µε ( 1) ν και αφαιρούµε αό την ρώτη, οότε : [ z d dz ν J ν(z) ( 1) ν ] ν J ν(z) + z d [ dz ν J ν(z) ( 1) ν ] ν J ν(z) [ + (z ν ) ν J ν(z) ( 1) ν ] [ ν J ν(z) ν ν J ν(z) ( 1) ν ] ν J ν(z). (5.11) Παίρνουµε το όριο του ν n στην (5.11) και λόγω της (5.1) και της Πρότασης 1.3, έχουµε : z d dz Y n(z) + z d dz Y n(z) + (z n )Y n (z), ου σηµαίνει ότι η Y n (z) είναι λύση της (5.). Εειδή η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων J ν (z) και Y ν (z) είναι : W [J ν (z), Y ν (z)] J ν(z)[j ν(z) cos(ν) J ν(z)] J n u (z)[j ν (z) cos(ν) J ν (z)] sin(ν) J ν(z)j ν (z) + J ν(z)j ν (z), sin(ν) η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων J n (z) και Y n ((z) ϑα είναι : ) W [J ν (z), J ν (z)] W [J n (z), Y n (z)] lim lim sin(ν) ν n sin(ν) ν n z sin(ν) z. Σηµείωση 5.1: Η Y n (z), n Z δίνεται υό µορφή σειράς : Y n (z) J n(z) ln z 1 1 n 1 (n κ 1)! ( z κ n κ! ) ) κ+n[ψ(κ) + ψ(κ + n)]. κ!(n + κ)!( 19
Παρατηρούµε δε, ότι αειρίζεται για z. Σηµείωση 5.: Η γενική λύση της δ.ε. Bessel (5.) δίνεται αό τη συνάρτηση : y(z) AJ ν (z) + BJ ν (z), αν ν / Z και µε Α, Β σταθερές. y(z) AJ n (z) + BY n (z), αν ν n Z, Πρόταση 5.5: Αν n Z, να δείξετε ότι η συνάρτηση Bessel J n (z), όως δίνεται υό µορφήν ολοκληρώµατος : J n (z) 1 ικανοοιεί τη δ.ε. Bessel (5.). Αόδειξη. Παραγωγίζουµε την (5.1) ως ρος z, οότε : J n(z) 1 sin φ sin(z sin φ nφ)dφ 1 { cos φ sin(z sin φ nφ) φ 1 cos(z sin φ nφ)dφ, (5.1) κατά αράγοντες ολοκλήρωση } cos φ cos(z sin φ nφ)(z cos φ n)dφ cos φ cos(z sin φ nφ)(z cos φ n)dφ. (5.13) Παραγωγίζουµε ως ρος z την (5.13), οότε : J n(z) 1 + 1 cos φ cos(z sin φ nφ)dφ+ cos φ (z cos φ n) sin(z sin φ nφ) sin φdφ }{{ ) } φ ( cos(z sin φ nφ) 1 cos φ cos(z sin φ nφ)dφ+ + 1 { cos φ sin φ ( cos(z sin φ nφ) ) 1 φ + κατά αράγοντες ολοκλήρωση } cos(z sin φ nφ)(cos φ sin φ)dφ sin φ cos(z sin φ nφ)dφ. (5.14) Αντικαθιστούµε τις (5.1), (5.13), (5.14) στο αριστερό µέλος της δ.ε. έχουµε : z J n(z) + zj n(z) + (z n )J n (z) z + zn sin φ cos(z sin φ nφ)dφ z cos φ cos(z sin φ nφ)dφ + z cos φ cos(z sin φ nφ)dφ cos(z sin φ nφ)dφ n (5.), οότε cos(z sin φ nφ)dφ
z n cos(z sin φ nφ)dφ + zn cos(z sin φ nφ)dφ n cos(z sin φ nφ)(z cos φ n)dφ n n ( ) sin(z sin φ nφ). φ cos φ cos(z sin φ nφ)dφ + z ( ) sin(z sin φ nφ) dφ φ cos(z sin φ nφ)dφ Βιβλιογραφία Μασσαλάς Χ. (1) Ειδικές Συναρτήσεις, Cutenberg. Σιαφαρίκας Π. (9) Ειδικές Συναρτήσεις, Εκδόσεις Πανειστηµίου Πατρών. Hochstadt H. (1986) The function of Mathematical Physics, Dover Publications, Inc. N.Y.. Lebedev N.N. (197) Special functions and their Applications, Dover Publications. Luke Y. L. (1969) The special functions and their Approximations-Volume I, Academic Press. Watson G. N. (1966) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press. 1