b 2 k a 2 k a k b k +t 2 b 2 k 0 γιακάθε t R a k b k +t 2 b 2 k = 0

1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 11 Προταση36(Ανισοτητα Cauchy-Schwarz)Αντα a k και b k είναιπραγματικοί αριθμοί, τότε ( n ( n )( n ) a k b k ) 2 Αποδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι n (a k +tb k ) 2 = n a 2 k +2t a 2 k b 2 k n n a k b k +t 2 b 2 k 0 γιακάθε t R Ετσιλοιπόνηεξίσωσηδευτέρουβαθμούωςπρος t n a 2 k +2t n n a k b k +t 2 b 2 k = 0 θα έχει είτε μια πραγματική ρίζα είτε δυο συζυγείς μιγαδικές αλλιώς θα άλλαζε πρόσημο για κατάλληλες επιλογές του t. Αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα είναι πάντοτε αρνητική ή μηδέν, δηλαδή ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Τοσύνολοτωνρητώναριθμών Qαποτελείταιαπότουςαριθμούς m n Z,n 0. με m,n Προταση37Υπάρχειέναςμοναδικόςθετικόςπραγματικόςαριθμός xτ.ω. x n = aόταν a 0με n Nοοποίοςσυμβολίζεταιως n xήx 1 n.ειδικότερα,υπάρχει μοναδικόςθετικόςαριθμός xτ.ω. x 2 = 2οοποίοςδενείναιρητόςαριθμός. Αποδειξη. Θα χρειαστούμε την ανισότητα (1+ε) n < 1+3 n ε (1.1) όπου ε (0, 1) την οποία θα αποδείξουμε αμέσως τώρα. Θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Για n = 1προφανώςισχύει 1 + ε < 1 + 3ε. Υποθέτουμεότιισχύει γιακάποιο nκαιθααποδείξουμεότιισχύεικαιγια n+1.οπότε (1+ε) n+1 = (1+ε) n (1+ε) < (1+3 n ε)(1+ε) = 1+(3 n ε+3 n +1)ε < 1+3 n+1 ε

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Στηνσυνέχειαθααποδείξουμετηνύπαρξημοναδικούαριθμού xτ.ω. x n = a. Ημοναδικότηταέπεταιαπότογεγονόςότι x n < y n όταν x < y.αν a = 0τότε x = 0.Υποθέτουμεότι a > 0καιορίζουμετοσύνολο E = {t R : t > 0, t n < a} Το Eείναιμηκενόαφούτο t 0 = a Eτοοποίοαποδεικνύεταιπολύεύκολα 1+a μεεπαγωγήστο n. Επίσηςτο Eείναιάνωφραγμένοαπότο 1 + aδιότιγια t 1έχουμεότι t < 1 + aενώγια t > 1έχουμεότι t t n < a < 1 + a. Απότοαξίωμα28προκύπτειότιτο Eέχει supremum,έστω xτοοποίοανήκει στο R.Προφανώς t 0 xκαιθααποδείξουμεότιστηνπραγματικότητα x n = a. Εστωότι x n < a.διαλέγουμε ε (0,1)τ.ω. ε < a xn.χρησιμοποιώνταςτην (3x) n ανισότητα 1.1 x n (1+ε) n < x n (1+3 n ε) = x n +(3x) n ε < x n +(a x n ) = a Αυτόσημαίνειότι x(1 + ε) E. Ομως x = supeκαιαυτόείναιάτοποάρα x n a. Εστωότι x n > a.διαλέγουμε ε (0,1)τ.ω. ε < xn a.οπότε 3 n a a(1+3n ε) < x n καιεπομένωςχρησιμοποιώνταςπάλιτηνανισότητα1.1προκύπτειότι Επειδή x 1+ε a < xn 1+3 n ε < ( x 1+ε ) n < xμπορούμεναβρούμεκάποιο t Eέτσιώστε ( ) n x < t n < a 1+ε τοοποίοείναιάτοποεπομένωςαναγκαστικά x n = a. Υπάρχειλοιπόνμοναδικόςθετικόςαριθμός xτ.ω. x 2 = 2. Αν xείναιρητός τότευπάρχουν n,m Nέτσιώστε x = m καιοnναμηνδιαιρείτον m. Τότε n καιοn 2 δενδιαιρείτον m 2 επομένωςανυποθέσουμεότι x 2 = m2 = 2θα n 2 οδηγηθούμεσεάτοπο.άρα 2 / Q.

1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 13 ΕπομένωςισχύειότιQ RκαιτοσύνολοR Qαποτελείταιαπόπραγματικούς αριθμούς που δεν είναι ρητοί οι οποίοι ονομάζονται άρρητοι. Εστω a R. Με a θαεννοούμετοναριθμό aαν a > 0και aαν a < 0. Ονομάζεται απόλυτη τιμή του a και όπως βλέπουμε είναι πάντοτε θετικός αριθμός. Ισχύει η επόμενη ανισότητα για την απόλυτη τιμή, η οποία ονομάζεται τριγωνική ανισότητα, a b a+b a + b. (1.2) Η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση. Με [a]συμβολίζουμετοακέραιο μέροςτουαριθμού a,δηλαδήείναιοπροηγούμενος ακέραιος αριθμός πριν από τον αριθμό a και ισχύει ότι [a] a [a]+1 Προταση38(Ανισοτητα αριθμητικου-γεωμετρικου μεσου) Εστωότιοι a 1,, a n είναιμηαρνητικοίαριθμοί.τότε a 1 + +a n n n a 1 a 2 a n. Αποδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση b 1 +b 2 + +b n > n (1.3) όταν n Nκαι b 1,,b n θετικοίπραγματικοίαριθμοίόχιόλοιίσοιμεταξύτους καιτέτοιοιώστε b 1 b 2 b n = 1.Ηαπόδειξητηςσχέσηςαυτήςείναιεπαγωγική. Για n = 2έχουμεότι 0 < ( b1 b 2 ) 2 = b1 +b 2 2 όπουχρησιμοποιήσαμετογεγονόςότι b 1 b 2.Επομένωςγια n = 2ισχύει. Εστωότιισχύειγιακάποιο k N.Θααποδείξουμεότιισχύεικαιγια k +1. Μπορούμεναυποθέσουμε,χωρίςβλάβητηςγενικότητας,ότι b 1 b j b k+1 όπου j = 1,2,,k +1και b 1 < b k+1. Τότεαναγκαστικά b 1 < 1 < b k+1 διότι αλλιώς b 1 b 2 b n 1.Άρα,έχουμεότι b 2 + +b k +b 1 b k k

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ από την υπόθεση της επαγωγής. Επομένως, ισχύει ότι b 1 + +b k+1 = (b 1 b k+1 +b 2 + +b k )+1 +(b k+1 1)(1 b 1 ) k +1+(b k+1 1)(1 b 1 ) > k +1 Άρα, ισχύει και για k + 1 επομένως, επαγωγικά, ισχύει το ζητούμενο. Στην συνέχεια θα αποδείξουμε την ανισότητα του αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου. Ηανισότηταείναιπροφανήςγια n = 1ήόταν a j = 0γιακάποιο jή όταν a 1 = = a n. Επομένως,υποθέτουμεότι n > 1, a j > 0γιακάθε jκαι a 1 < a n. Θέτουμε G = n a 1 a 2 a n > 0καισυμβολίζουμεμε b j = a j. Τότε G b 1 b 2 b n = 1, b j > 0και b 1 < b n.επομένως,ισχύειότι b 1 +b 2 + +b n > n καιαντικαθιστώνταςτα b j προκύπτειηανισότητατουαριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Προταση39Αν a,bείναιπραγματικοίαριθμοίκαι a < bτότευπάρχειέναςρητός αριθμός cκαιέναςάρρητος dστοδιάστημα (a,b). Αποδειξη. Χρησιμοποιώντας την Αρχιμήδεια ιδιότητα των φυσικών αριθμών 1 διαλέγουμε κάποιο s N τέτοιο ώστε < sοπότε 1 < b a. Εστω b a s z = [sa] + 1 Zοπότε z 1 sa < zκαιεπομένως a < z a + 1 < b. s s Ορητόςαριθμός c = z βρίσκεταιστοδιάστημα (a,b). s Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει άρρητος αριθμός στο διάστημα (a, b). Οπως προη- ( γούμενα, μπορούμε να βρούμε έναν ρητό αριθμό u στο διάστημα a 2, b 2 ).Θέτουμε d = u 2καιπροκύπτειότι d (a,b).είναιόμωςεύκολοναδούμεότιο d είναι άρρητος. Στην συνέχεια θα παραθέσουμε ορισμένες ασκήσεις για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών. Ασκηση40 Εστω A R.Θέτουμε A = {x R : x A}.Αποδείξτεότι sup( A) = infa inf( A) = supa

1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 15 Αποδειξη. Θα αποδείξουμε την πρώτη ισότητα, η δεύτερη είναι παρόμοια. Αςυποθέσουμεότιτο Aείναιφραγμένοαπόκάτωκαιθέτουμε a = infa. Τότε x aγιακάθε x Aκαιγιακάθε ε > 0υπάρχει x Aτέτοιοώστε x < a+ε.πολλαπλασιάζονταςτιςανισότητεςμε 1προκύπτειότι x aγια κάθε x ( A)καιγιακάθε ε > 0υπάρχει x ( A)τέτοιοώστε x > a ε. Αυτό σημαίνει ότι a = sup( A). Εάντο Aδενείναιφραγμένοαπόκάτω,τότετο Aδενείναιάνωφραγμένο καιεπομένως sup( A) = infa = +. Ασκηση41 Εστω Aκαι Bυποσύνολατου R.Αποδείξτεότι sup(a B) = max{supa,supb} inf(a B) = min{infa,infb} Αποδειξη. Θα αποδείξουμε την πρώτη ισότητα, η δεύτερη είναι παρόμοια. Υποθέτουμεότιτα Aκαι Bείναιάνωφραγμένα.Θέτουμε a = supaκαι b = supbκαιυποθέτουμεχωρίςβλάβητηςγενικότηταςότι a b.θααποδείξουμε ότι sup(a B) = b. Γιακάθε x A Bέχουμεότι x b. Επίσης,για κάθε ε > 0υπάρχεικάποιο x B τέτοιοώστε x > b εκαιπροφανώς x A B. Επομένωςπροκύπτειηπρώτηισότητα. Στηνπερίπτωσηόπουτα σύνολα Aκαι Bδενείναιάνωφραγμένατότεκαιτο A Bδενείναιεπίσης. Επομένως sup(a B) = + καιέτσιπροκύπτειεπίσηςτοαποτέλεσμααφού max{+, c} = max{+, + }. 1.1.3 Τοπολογική δομή του R Σε αυτή την ενότητα θα αναφέρουμε μερικούς βασικούς ορισμούς και θα διατυπώσουμε(χωρίς απόδειξη) μερικά αποτελέσματα που αφορούν την τοπολογική δομή του R, δεν θα χρησιμοποιήσουμε όμως κανένα από τα αποτελέσματα αυτά στην συνέχεια. Θαονομάζουμεε περιοχήτουσημείουa Rτοανοιχτόδιάστημα(a ε,a+ε) (όπου ε > 0)καισυμβολίζεταιμε ρ(a,ε) = {x R : x a < ε}. Τοσημείο a Aονομάζεταιεσωτερικόσημείοτου Aαννυπάρχει ε-περιοχήτου aπουνα ανήκειστο A.Θαονομάζουμεμεμονωμένοτοσημείο a Aότανυπάρχει ε > 0 τ.ω. ρ(a,ε) A = {a}.σημείοσυσσώρευσηςτου Aονομάζεταιτοσημείο a R τ.ω. γιακάθε ε > 0ισχύει ρ(a,ε) A. Ενασύνολο A Rονομάζεται

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ ανοιχτό όταν αποτελείται μόνο από εσωτερικά σημεία. Κλειστό ονομάζεται όταν το συμπλήρωμα του στο R είναι ανοιχτό. Προταση42Τασύνολα R, είναιανοιχτάκαικλειστάσύνολα. Ητομήπεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό ενώ η ένωση οσωνδήποτε ανοιχτών είναι ανοιχτό σύνολο. Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών είναι κλειστό σύνολο. Η τομή οσωνδήποτε κλειστών είναι κλειστό. Προταση43Αν a Rείναισημείοσυσσώρευσηςτου A Rτότεσεκάθε περιοχή του a υπάρχουν άπειρα στοιχεία του A. Προταση44 Εναυποσύνολο Aτου Rείναικλειστόαννπεριέχειόλατασημεία συσσώρευσής του. Θεωρημα 45(Bolzano-Weierstrass) Κάθε άπειρο και φραγμένο υποσύνολο του R έχει ένα τουλάχιστο σημείο συσσώρευσης. Για μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος χρησιμοποιώντας ακολουθίες αριθμώνδείτετα132και139. Αποδείξεις και βαθύτερη ανάλυση στα παραπάνω θέματα μπορεί να βρει κανείς σταβιβλία[8],[10],[12],[30],[62]. 1.2 Μιγαδικοί Αριθμοί Από το θεώρημα 20 προκύπτει ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικός αριθμός. Για τον λόγο αυτόν θα επεκτείνουμε το σύστημα των αριθμών με τέτοιον τρόπο ώστε οι τετραγωνικές ρίζες να υπάρχουν πάντοτε.ορίζουμεέναννέοαριθμό,τον iκαιτουδίνουμετηνιδιότητα i 2 = 1. Ετσι, προκύπτουν οι λεγόμενοι μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι έχουν την μορφή a+ib όπου a,b R. Οαριθμός aονομάζεταιτοπραγματικόμέροςτουμιγαδικού αριθμούκαισυμβολίζεταιμε Re(x)όταν x = a+ibκαιοαριθμός bονομάζεται το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με Im(x). Θα λέμε ότι δυο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι όταν έχουν ίσα πραγματικά μέρη και ίσα φανταστικά μέρη. Μεβάσητηνιδιότητα i 2 = 1προκύπτουνδιάφορεςιδιότητεςτωνμιγαδικών αριθμών. Εστω z 1 = a 1 +ib 1 και z 2 = a 2 +ib 2.Τογινόμενότουςείναιωςεξής, z 1 z 2 = a 1 a 2 +ia 1 b 2 +ib 1 a 2 +i 2 b 1 b 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 +i(a 1 b 2 +b 1 a 2 )

1.2. ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 17 Η πρόσθεση δυο μιγαδικών αριθμών είναι ως εξής, Ηδιαίρεσημπορείναγίνειωςεξής, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 )+i(b 1 +b 2 ) z 1 z 2 = a 1 +ib 1 a 2 +ib 2 = (a 1 +ib 1 )(a 2 ib 2 ) (a 2 +ib 2 )(a 2 ib 2 ) = a 1a 2 +b 1 b 2 +i(b 1 a 2 a 1 b 2 ) a 2 2 +b 2 2 = a 1a 2 +b 1 b 2 a 2 2 +b 2 2 +i b 1a 2 a 1 b 2 a 2 2 +b 2 2 Αν z = a+ibτότεομιγαδικόςαριθμός z = a ibονομάζεταισυζυγήςτου z. Ανγιαδυομιγαδικούςαριθμούςz 1 καιz 2 ισχύειότιz 1 z 2 = 0τότεαναγκαστικά έναςαπότουςδυοείναιίσοςμετομηδέν.πράγματι, z 1 z 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 +i(a 1 b 2 +b 1 a 2 ) = 0+i0 Επομένως, προκύπτουν δυο εξισώσεις a 1 a 2 b 1 b 2 = 0 a 1 b 2 +b 1 a 2 = 0 Υψώνουμε στο τετράγωνο τις δυο αυτές ισότητες και έπειτα τις προσθέτουμε κατάμέληγιαναπάρουμε (a 2 1 +b 2 1)(a 2 2 +b 2 2) = 0 Άρα, τουλάχιστονμιαεκτωνδυοπαρενθέσεωνείναιίσημετομηδέν, έστω a 2 1 +b 2 1 = 0.Γιαναισχύειαυτόαναγκαστικάπρέπειναισχύει a 1 = b 1 = 0. Τοάθροισματων zκαι zείναιίσομε 2aόταν z = a+ibενώτογινόμενοτων συζυγώνείναιίσομε a 2 + b 2. Άρα,τοάθροισμακαιτογινόμενοδυοσυζυγών αριθμώνείναιπάντοτεπραγματικόςαριθμός.ηδιαφορά z z = 2ib,έχειδηλαδή πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν. Το πηλίκο δηλαδή είναι μιγαδικός αριθμός. z z = a2 b 2 +i2ab a 2 +b 2 = a2 b 2 a 2 +b 2 +i 2ab a 2 +b 2

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Θεωρημα 46 Ο συζυγής του αθροίσματος, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με το αντίστοιχο άθροισμα, διαφορά, γινόμενοκαιπηλίκοτωνσυζυγώντους.δηλαδή,ισχύει x±y = x±ȳ, xy = xȳ και x 1 y = x ȳ. Αποδειξη. Εστωδυομιγαδικοίαριθμοί x = a 1 + ib 1 και y = a 2 + ib 2. Το άθροισμάτουςείναι x+y = a 1 +a 2 +i(b 1 +b 2 )καιοσυζυγήςτουαθροίσματος είναι x+y = a 1 + a 2 i(b 1 + b 2 ). Τοάθροισματωνσυζυγώνείναι x + ȳ = a 1 +a 2 i(b 1 +b 2 ) = x+y. Για το γινόμενο έχουμε xy = a 1 a 2 b 1 b 2 i(a 1 b 2 +b 1 a 2 ) = xȳ Παρομοίως και τα υπόλοιπα. Εστω ένα πολυώνυμο P(z) = a 0 z n + +a n όπου zμιγαδικόςαριθμός,δηλαδή z = a + ibκαι a 0,,a n επίσηςμιγαδικοί αριθμοί. Τότε, σύμφωνα με τα προηγούμενα η τιμή P(z) είναι επίσης μιγαδικός αριθμόςενγένει.ανοισυντελεστές a k είναιπραγματικοίαριθμοίτότεπροφανώς ισχύειότι ā k = a k καιεπομένως P(z) = a 0 z n + +a n = P( z)σύμφωναμετο θεώρημα46. Εστω z 1 μιαρίζατουπολυωνύμουμεπραγματικούςσυντελεστές, δηλαδή P(z 1 ) = 0. Άρα P(z 1 ) = P( z 1 ) = 0οπότεπροκύπτειότικαιο z 1 είναι επίσης ρίζα του πολυωνύμου. Συνεπώς, σε κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστέςαν zείναιμιαρίζατουτότεθαείναικαιησυζυγήςεπίσηςρίζατου πολυωνύμου.

1.2. ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 19 1.2.1 Οι Μιγαδικοί Αριθμοί ως Διανύσματα (αʹ) Γεωμετρική Αναπαράσταση Μιγαδικών Αριθμών (βʹ) Πρόσθεση Διανυσμάτων Εφόσον κάθε μιγαδικός αριθμός z = x + iy αποτελείται από δυο πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή ένα ζευγάρι (x, y), τότε μπορεί να τον αναπαραστήσουμε γεωμετρικά(δεςσχήμα1.1αʹ)μεένασημείοτου R 2 ήαλλιώςμεέναδιάνυσμαμεαρχή τηναρχήτωναξόνωνκαιτέλοςτοσημείο (x,y). Ετσι,αν rείναιηευκλείδεια απόσταση του σημείου (x, y)(ή αλλιώς το μήκος του αντίστοιχου διανύσματος) και φηγωνίαπουσχηματίζειτοδιάνυσμαμετονάξονατων xτότεμπορούμενα γράψουμε z = x+iy = r(cosφ+isinφ).ημορφήαυτήείναισεπολική μορφή όπωςλέμε. Οαριθμός rονομάζεταιηαπόλυτη τιμήτουμιγαδικούαριθμού z καισυμβολίζεταιμε x+iy ενώηφονομάζεταιηγωνίατουμιγαδικούαριθμού x+iy.επομένως,ισχύειότι r = x 2 +y 2 και tanφ = y x. Οτανπροσθέτουμε δυομιγαδικούςαριθμούς x = a 1 +ib 1 και y = a 2 +ib 2 είναισανναπροσθέτουμε τα αντίστοιχα διανύσματα που παράγουν, δες σχήμα 1.1βʹ. Αν υπολογίσουμε το γινόμενο δυο μιγαδικών αριθμών στην πολική μορφή τους θα έχουμε x 1 x 2 = r 1 r 2 (cosθ 1 +isinθ 1 )(cosθ 2 +isinθ 2 ) = r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )) όπου χρησιμοποιήσαμε γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Από την σχέση αυτή προκύπτει η φόρμουλα του De Moivre για το γινόμενο n ίσων παραγόντων, x n = r n (cosnθ +isinnθ) (φόρμουλατου De Moivre)

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Εύκολα μπορούμε τώρα να δούμε ότι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός z = r(cosθ + isinθ)έχειακριβώς n-ρίζες n-οστήςτάξης. Αυτέςοιρίζεςείναιοι επόμενοι μιγαδικοί αριθμοί, ( x 1 = n r cos θ n +isin θ ) n. x n = n r ( cos θ +(n 1)2π +isin θ +(n 1)2π ) n n Μετάτονμιγαδικόαριθμόμεγωνία θ+(n 1)2π οι αριθμοί επαναλαμβάνονται. n Εύκολαβλέπουμεότιγιαένανμιγαδικόαριθμό zτογινόμενομετονσυζυγή τουμαςδίνειτηναπόλυτητιμήτου zστοτετράγωνο,δηλαδή z z = z 2 = r 2. Επίσης,ανz 1 = a 1 +ib 1 καιz 2 = a 2 +ib 2 δυομιγαδικοίαριθμοί,τότεz 1 z 2 + z 1 z 2 = 2(a 1 a 2 +b 1 b 2 ) = 2Re(z 1 z 2 )όπουμε Re(z)συμβολίζουμετοπραγματικόμέρος του μιγαδικού αριθμού z. Ισχύει και στους μιγαδικούς η τριγωνική ανισότητα, δηλαδή ισχύει ότι z 1 z 2 z 1 +z 2 z 1 + z 2 (τριγωνικήανισότητα) όπου z 1,z 2 μιγαδικοίαριθμοί. Γιανααποδείξουμετηνδεξιάανισότηταεργαζόμαστε ως εξής, Συνεπώς z 1 +z 2 2 = (z 1 +z 2 )(z 1 +z 2 ) = (z 1 +z 2 )( z 1 + z 2 ) = z 1 2 + z 2 2 +z 1 z 2 + z 1 z 2 z 1 +z 2 2 ( z 1 + z 2 ) 2 = 2(Re(z 1 z 2 ) z 1 z 2 ) Επειδή Re(z) = a z = a 2 +b 2 γιακάθεμιγαδικόαριθμό z = a + ibκαι επίσης z 1 z 2 = z 1 z 2 προκύπτειότι Re(z 1 z 2 ) z 1 z 2 0. Ηαριστερή ανισότητα της τριγωνικής ανισότητας αποδεικνύεται παρόμοια. Μελετώντας διεξοδικότερα τους μιγαδικούς αριθμούς και τις μιγαδικές συναρτήσεις μπορούμε να ορίσουμε την εκθετική συνάρτηση με μιγαδικό όρισμα ως την δυναμοσειρά e z = 1+z + z2 2! + + zn n! +

1.3. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 21 όπου z = a+ibμιγαδικόςαριθμός.παρόμοια,ορίζονταιοισυναρτήσεις sinκαι cos με μιγαδικό όρισμα μέσω των δυναμοσειρών sinz = z z3 3! + z5 5! cosz = 1 z2 2! + z4 4! Οι ιδιότητες που έχουμε αποδείξει για την εκθετική και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις παραμένουν σε ισχύ ακόμη και με μιγαδικό όρισμα. Αν αναπτύξουμε σεδυναμοσειράτην e iz μετάαπόκατάλληληαναδιάταξητωνόρωνμπορείνα αποδειχθεί ότι e iz = cosz +isinz (φόρμουλατου Euler) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των συναρτήσεων αυτών προκύπτει η εξής αναπαράσταση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sinz = eiz e iz 2i και cosz = eiz +e iz Τέλος, σε πολικές συντεταγμένες ισχύει ότι 2 (τύποι του Euler) (1.4) z = r(cosθ +isinθ) = re iθ Περισσότερα μπορεί να βρει κανείς στο βιβλίο[30]. 1.3 Συναρτήσεις Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με τις συναρτήσεις, όρια και συνέχεια συναρτήσεων, παραγώγους και εφαρμογές τους. Εστω I R. Συνάρτησηείναιμιααπεικόνισητου Rστο R. Οπωςσυχνά λέμε, είναι μια μηχανή που την τροφοδοτείς με πραγματικούς αριθμούς και σου επιστρέφει πραγματικούς αριθμούς. Το σύνολο από το οποίο διαλέγεις αριθμούς για την συνάρτηση λέγεται πεδίο ορισμού ενώ το σύνολο που σου επιστρέφει η συνάρτηση λέγεται πεδίο τιμών. Συνήθως συμβολίζουμε την συνάρτηση ως εξής, f(x) : I R. Με f συμβολίζουμετηνσυνάρτηση, με xτοόρισμα τηςκαιμεταυπόλοιπαεννοούμεότιηf παίρνειτιμέςαπότοσύνολο I και