n+1 k=1 όπου για να πάρουμε την τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα που αποδείξαμε προηγούμενα.

Transcript

1 1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 9 Για την δεύτερη ταυτότητα θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή στο n. Ξεκινώντας για n = 2 διαπιστώνουμε ότι έχουμε την γνωστή ταυτότητα (a+b) 2 = a 2 +b 2 +2ab Υποθέτουμεότιισχύειγιακάποιο nκαιθααποδείξουμεότιισχύεικαιγια n + 1. Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, έχουμε = = n+1 ( n + 1 k k=0 n+1 ( n + 1 k n+1 ( n k ) a n+1 k b k ) a n+1 k b k + = a(a+b) n +b(a+b) n = (a+b) n+1 ) a n+1 k b k +a n+1 n+1 ( n k 1 ) a n+1 k b k +a n+1 όπου για να πάρουμε την τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα που αποδείξαμε προηγούμενα. Προταση35(Ανισοτητα Bernoulli)Γιακάθε n Nκαιγιακάθε x > 1ισχύει ότι (1+x) n 1+nx Αποδειξη. Η απόδειξη γίνεται εύκολα με επαγωγή. Για n = 1 είναι προφανές. Υποθέτουμεότιισχύειγια n = kδηλαδή (1+x) k 1+kx Θααποδείξουμεότιισχύειγια n = k +1 (1+x) k+1 = (1+x) k (1+x) (1+kx)(1+x) = 1+(k +1)x+kx 2 1+(k +1)x όπου για να πάρουμε την τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το δεύτερο μέρος της επαγωγής.

2 10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Προταση36(Ανισοτητα Cauchy-Schwarz) Αντα a k και b k είναιπραγματικοίαριθμοί, τότε ( n ) 2 ( n a k b k Αποδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι n (a k +tb k ) 2 = a 2 k )( n n n n a 2 k +2t a k b k +t 2 b 2 k 0 γιακάθε t R Ετσιλοιπόνηεξίσωσηδευτέρουβαθμούωςπρος t b 2 k ) n n n a 2 k +2t a k b k +t 2 b 2 k = 0 θα έχει είτε μια πραγματική ρίζα είτε δυο συζυγείς μιγαδικές αλλιώς θα άλλαζε πρόσημο για κατάλληλες επιλογές του t. Αυτό σημαίνει ότι η διακρίνουσα είναι πάντοτε αρνητική ή μηδέν, δηλαδή ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. ΤοσύνολοτωνρητώναριθμώνQαποτελείταιαπότουςαριθμούς m n 0. μεm,n Z,n Προταση37Υπάρχειέναςμοναδικόςθετικόςπραγματικόςαριθμός xτ.ω. x n = aόταν a 0με n Nοοποίοςσυμβολίζεταιως n xήx 1 n. Ειδικότερα,υπάρχειμοναδικός θετικόςαριθμός xτ.ω. x 2 = 2οοποίοςδενείναιρητόςαριθμός. Αποδειξη. Θα χρειαστούμε την ανισότητα (1+ε) n < 1+3 n ε (1.1) όπου ε (0,1)τηνοποίαθααποδείξουμεαμέσωςτώρα. Θαχρησιμοποιήσουμεεπαγωγή.Για n = 1προφανώςισχύει 1+ε < 1+3ε.Υποθέτουμεότιισχύειγιακάποιο nκαιθααποδείξουμεότιισχύεικαιγια n+1.οπότε (1+ε) n+1 = (1+ε) n (1+ε) < (1+3 n ε)(1+ε) = 1+(3 n ε+3 n +1)ε < 1+3 n+1 ε

3 1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 11 Στηνσυνέχειαθααποδείξουμετηνύπαρξημοναδικούαριθμού xτ.ω. x n = a. Η μοναδικότηταέπεταιαπότογεγονόςότι x n < y n όταν x < y. Αν a = 0τότε x = 0. Υποθέτουμεότι a > 0καιορίζουμετοσύνολο E = {t R : t > 0, t n < a} Το Eείναιμηκενόαφούτο t 0 = a 1+a Eτοοποίοαποδεικνύεταιπολύεύκολαμε επαγωγήστο n.επίσηςτο Eείναιάνωφραγμένοαπότο 1+aδιότιγια t 1έχουμε ότι t < 1 + aενώγια t > 1έχουμεότι t t n < a < 1 + a. Απότοαξίωμα28 προκύπτειότιτο Eέχει supremum,έστω xτοοποίοανήκειστο R.Προφανώς t 0 x καιθααποδείξουμεότιστηνπραγματικότητα x n = a. Εστωότι x n < a.διαλέγουμε ε (0,1)τ.ω. ε < a xn (3x) n.χρησιμοποιώνταςτηνανισότητα1.1 x n (1+ε) n < x n (1+3 n ε) = x n +(3x) n ε < x n +(a x n ) = a Αυτόσημαίνειότι x(1+ε) E. Ομως x = supeκαιαυτόείναιάτοποάρα x n a. Εστωότι x n > a. Διαλέγουμε ε (0,1)τ.ω. ε < xn a 3 n a. Οπότε a(1+3n ε) < x n και επομένως χρησιμοποιώντας πάλι την ανισότητα 1.1 προκύπτει ότι ( ) a < xn x n 1+3 n ε < 1+ε Επειδή x 1+ε < xμπορούμεναβρούμεκάποιο t Eέτσιώστε ( ) x n < t n < a 1+ε τοοποίοείναιάτοποεπομένωςαναγκαστικά x n = a. Υπάρχειλοιπόνμοναδικόςθετικόςαριθμός xτ.ω. x 2 = 2. Αν xείναιρητόςτότε υπάρχουν n,m Nέτσιώστε x = m n καιοnναμηνδιαιρείτον m.τότεκαιοn2 δεν διαιρείτον m 2 επομένωςανυποθέσουμεότι x 2 = m2 = 2θαοδηγηθούμεσεάτοπο. n 2 Άρα 2 / Q. Επομένωςισχύειότι Q Rκαιτοσύνολο R Qαποτελείταιαπόπραγματικούς αριθμούς που δεν είναι ρητοί οι οποίοι ονομάζονται άρρητοι. Εστω a R.Με a θαεννοούμετοναριθμό aαν a > 0και aαν a < 0.Ονομάζεται απόλυτη τιμή του a και όπως βλέπουμε είναι πάντοτε θετικός αριθμός. Ισχύει η επόμενη ανισότητα για την απόλυτη τιμή, η οποία ονομάζεται τριγωνική ανισότητα, a b a+b a + b. (1.2)

4 12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση. Με[a] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού a, δηλαδή είναι ο προηγούμενος ακέραιοςαριθμόςπριναπότοναριθμό aκαιισχύειότι [a] a [a]+1 Προταση38(Ανισοτητα αριθμητικου-γεωμετρικου μεσου) Εστωότιοι a 1,, a n είναιμηαρνητικοίαριθμοί.τότε a 1 + +a n n n a 1 a 2 a n. Αποδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση b 1 +b 2 + +b n > n (1.3) όταν n Nκαι b 1,,b n θετικοίπραγματικοίαριθμοίόχιόλοιίσοιμεταξύτουςκαι τέτοιοιώστε b 1 b 2 b n = 1.Ηαπόδειξητηςσχέσηςαυτήςείναιεπαγωγική.Για n = 2 έχουμε ότι 0 < ( b1 b 2 ) 2 = b1 +b 2 2 όπουχρησιμοποιήσαμετογεγονόςότι b 1 b 2.Επομένωςγια n = 2ισχύει. Εστωότιισχύειγιακάποιο k N. Θααποδείξουμεότιισχύεικαιγια k + 1. Μπορούμεναυποθέσουμε,χωρίςβλάβητηςγενικότητας,ότι b 1 b j b k+1 όπου j = 1,2,,k + 1και b 1 < b k+1. Τότεαναγκαστικά b 1 < 1 < b k+1 διότιαλλιώς b 1 b 2 b n 1.Άρα,έχουμεότι b 2 + +b k +b 1 b k k από την υπόθεση της επαγωγής. Επομένως, ισχύει ότι b 1 + +b k+1 = (b 1 b k+1 +b 2 + +b k )+1 +(b k+1 1)(1 b 1 ) k +1+(b k+1 1)(1 b 1 ) > k +1 Άρα, ισχύει και για k + 1 επομένως, επαγωγικά, ισχύει το ζητούμενο. Στην συνέχεια θα αποδείξουμε την ανισότητα του αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου. Ηανισότηταείναιπροφανήςγια n = 1ήόταν a j = 0γιακάποιο jήόταν a 1 = = a n. Επομένως,υποθέτουμεότι n > 1, a j > 0γιακάθε jκαι a 1 < a n. Θέτουμε

5 1.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΙΑΡΙΘΜΟ Ι 13 G = n a 1 a 2 a n > 0καισυμβολίζουμεμε b j = a j G.Τότε b 1b 2 b n = 1, b j > 0και b 1 < b n.επομένως,ισχύειότι b 1 +b 2 + +b n > n καιαντικαθιστώνταςταb j προκύπτειηανισότητατουαριθμητικού-γεωμετρικούμέσου. Προταση 39 Αν a, b είναι πραγματικοί αριθμοί και a < b τότε υπάρχει ένας ρητός αριθμός cκαιέναςάρρητος dστοδιάστημα (a,b). Αποδειξη. Χρησιμοποιώντας την Αρχιμήδεια ιδιότητα των φυσικών αριθμών διαλέγουμεκάποιο s Nτέτοιοώστε 1 b a < sοπότε 1 s < b a. Εστω z = [sa]+1 Zοπότε z 1 sa < zκαιεπομένως a < z s a+ 1 s < b. Ορητόςαριθμός c = z s βρίσκεται στο διάστημα (a, b). Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει άρρητος αριθμός στο διάστημα (a, ( b). Οπως προηγούμενα, μπορούμε να βρούμε έναν ρητό αριθμό u στο διάστημα a, b 2 2 ). Θέτουμε d = u 2καιπροκύπτειότι d (a,b). Είναιόμωςεύκολοναδούμεότιοdείναι άρρητος Τοπολογική δομή του R Σε αυτή την ενότητα θα αναφέρουμε μερικούς βασικούς ορισμούς και θα διατυπώσουμε (χωρίς απόδειξη) μερικά αποτελέσματα που αφορούν την τοπολογική δομή του R, δεν θα χρησιμοποιήσουμε όμως κανένα από τα αποτελέσματα αυτά στην συνέχεια. Θαονομάζουμε ε περιοχήτουσημείου a Rτοανοιχτόδιάστημα (a ε,a + ε) (όπου ε > 0)καισυμβολίζεταιμε ρ(a,ε) = {x R : x a < ε}. Τοσημείο a A ονομάζεταιεσωτερικόσημείοτου Aαννυπάρχει ε-περιοχήτου aπουναανήκειστο A. Θαονομάζουμεμεμονωμένοτοσημείοa Aότανυπάρχειε > 0τ.ω. ρ(a,ε) A = {a}. Σημείοσυσσώρευσηςτου Aονομάζεταιτοσημείο a Rτ.ω. γιακάθε ε > 0ισχύει ρ(a,ε) A. Ενασύνολο A Rονομάζεταιανοιχτόόταναποτελείταιμόνοαπό εσωτερικά σημεία. Κλειστό ονομάζεται όταν το συμπλήρωμα του στο R είναι ανοιχτό. Προταση 40 Τα σύνολα R, είναι ανοιχτά και κλειστά σύνολα. Η τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό ενώ η ένωση οσωνδήποτε ανοιχτών είναι ανοιχτό σύνολο. Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών είναι κλειστό σύνολο. Η τομή οσωνδήποτε κλειστών είναι κλειστό. Προταση41 Αν a Rείναισημείοσυσσώρευσηςτου A Rτότεσεκάθεπεριοχή του a υπάρχουν άπειρα στοιχεία του A.

6 14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Προταση42 Εναυποσύνολο Aτου Rείναικλειστόαννπεριέχειόλατασημείασυσσώρευσής του. Θεωρημα 43(Bolzano-Weierstrass) Κάθε άπειρο και φραγμένο υποσύνολο του R έχει ένα τουλάχιστο σημείο συσσώρευσης. Για μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος χρησιμοποιώντας ακολουθίες αριθμών δείτετα122και128. Αποδείξεις και βαθύτερη ανάλυση στα παραπάνω θέματα μπορεί να βρει κανείς στα βιβλία[6],[8],[9],[17],[32]. 1.2 Συναρτήσεις Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με τις συναρτήσεις, όρια και συνέχεια συναρτήσεων, παραγώγους και εφαρμογές τους. Εστω I R. Συνάρτησηείναιμιααπεικόνισητου Rστο R. Οπωςσυχνάλέμε, είναι μια μηχανή που την τροφοδοτείς με πραγματικούς αριθμούς και σου επιστρέφει πραγματικούς αριθμούς. Το σύνολο από το οποίο διαλέγεις αριθμούς για την συνάρτηση λέγεται πεδίο ορισμού ενώ το σύνολο που σου επιστρέφει η συνάρτηση λέγεται πεδίοτιμών. Συνήθωςσυμβολίζουμετηνσυνάρτησηωςεξής, f(x) : I R. Με f συμβολίζουμετηνσυνάρτηση,με xτοόρισματηςκαιμεταυπόλοιπαεννοούμεότιη fπαίρνειτιμέςαπότοσύνολο Iκαιδίνειτιμέςστο R.Γιαπαράδειγμαμιασυνάρτηση είναιηf(x) = x 2,δίνονταςτηςένανοποιονδήποτεπραγματικόαριθμό,αυτήσουεπιστρέφει το τετράγωνό του. Σημειώστε ότι, μια συνάρτηση σε κάθε έναν πραγματικό αριθμό πρέπει να αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό αλλιώς την ονομάζουμε απεικόνιση.τοσύνολο Iμπορείναείναιόλοτο Rήοποιοδήποτευποσύνολοτου,αρκείβέβαια ναορίζεταιησυνάρτηση. Αναναλογιστούμετηνσυνάρτηση f(x) = 1 x τότετοπεδίο ορισμούδενμπορείναπεριέχειτο 0. Μια χρήσιμη έννοια, όπως θα δούμε παρακάτω, είναι η έννοια του ορίου. Ορισμος44(Οριο Συναρτησης) Εστωμιασυνάρτηση f : I R Rκαικάποιο ξ I. Θαλέμεότιηfπροσεγγίζειτο A Rκαθώςτο x Iπροσεγγίζειτο ξόταν γιακάθε ε > 0μπορούμεναβρούμε δ > 0τ.ω. f(x) A εόταν x ξ δ. Συμβολίζεται με lim f(x) = A

7 1.2. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 15 Θαλέμεότιηfαποκλίνειστο + (αντίστοιχαστο )καθώς x ξότανγια κάθε M > 0υπάρχει δ > 0έτσιώστε f(x) > M(αντίστοιχα f(x) < M)όταν x ξ < δ.συμβολίζεταιμε lim f(x) = ± Θαλέμεότιηf προσεγγίζειτο A Rκαθώς x + (αντίστοιχακαθώς x )ότανγιακάθε ε > 0μπορούμεναβρούμεαρκετάμεγάλο M > 0έτσι ώστε f(x) A < εόταν x > M(αντίστοιχαόταν x < M).Συμβολίζεταιμε lim f(x) = A x ± Θαλέμεότιηfαποκλίνειστο + (αντίστοιχαστο )καθώςτο x + ότανγιακάθε M > 0υπάρχειαρκετάμεγάλο N > 0έτσιώστε f(x) > M (αντίστοιχα f(x) < M)όταν x > N.Συμβολίζεταιμε Παρόμοια ο ορισμός του ορίου lim f(x) = ± x + lim f(x) = ± x Θαλέμεότιηfσυγκλίνειστο A Rκαθώς x ξ + (ήαλλιώςκαθώςτο xτείνει στο ξαπόδεξιά)ότανγιακάθε ε > 0υπάρχει δ > 0έτσιώστε f(x) A < ε όταν ξ < x < ξ +δ.συμβολίζεταιμε lim +f(x) = A Παρόμοια,οιορισμοίγια x ξ καιγια A = ±. Θεωρημα 45 Ισχύει η συνεπαγωγή lim f(x) = A lim = Aκαι lim +f(x) f(x) = A Αποδειξη. Οταν ισχύει το ευθύ, δηλαδή τότε είναι προφανές ότι ισχύουν και τα lim f(x) = A lim = Aκαι lim +f(x) f(x) = A

8 16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Αντίστροφα, αν ισχύει ότι θα αποδείξουμε ότι και lim = Aκαι lim +f(x) f(x) = A lim f(x) = A Ωςδεδομένοέχουμελοιπόνότιγιακάθε ε > 0μπορούμεναβρούμε δ 1,δ 2 > 0έτσι ώστε f(x) A < εόταν ξ < x < ξ + δ 1 ήόταν ξ δ 2 < x < ξ. Διαλέγουμε δ = min{δ 1,δ 2 }καιεπομένωςισχύειότι f(x) A < εόταν x (ξ δ,ξ + δ)ή αλλιώς x ξ < δ.άραισχύεικαιτοευθύ. Ο αυστηρά μαθηματικός ορισμός των τριγωνομετρικών, λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων θα γίνει παρακάτω. Σε επόμενα παραδείγματα και ασκήσεις όμως θα χρησιμοποιηθούν οι συναρτήσεις αυτές και οι ιδιότητες τους θεωρώντας γνωστά τα βασικά χαρακτηριστικά τους. Παραδείγματα Ησυνάρτηση f(x) = xέχειόριοτο ξόταν x ξ.πράγματι,γιακάθε ε > 0υπάρχει δ > 0τοοποίομπορούμεναεπιλέξουμεναείναιίσομετο εέτσιώστε x ξ < εόταν x ξ < δ Ως δεύτερο παράδειγμα μπορούμε να δούμε την συνάρτηση f(x) = sin 1 x καινααποδείξουμεότι δενέχειόριοστο0.ανείχεκάποιοόριο,έστω A, τότεγιακάθε ε > 0πρέπειναυπάρχει δ > 0έτσι ώστεγιακάθε x ( δ,δ)ναισχύειότι sin 1 x A < ε. Στοδιάστημαόμως ( δ,δ)ανήκουνοι 1 αριθμοί 2πn, 1 2nπ+ π για αρκετά μεγάλο n. Ομως 2 ητιμήτης sin 1 xστασημείααυτάείναιίσημε 0,1 αντίστοιχα. Ησυνάρτηση f(x) = 1 1 xαποκλίνειστο + καθώς x 1 καιστο καθώς x 1 +. Πράγματι,αν x 1 θααποδείξουμεότι f(x) Σχήμα1.1: f(x) = sin 1 x +. Γιακάθε M > 0θαπρέπειναβρούμεκατάλληλο δ > 0έτσιώστεγια 1 δ < x < δναισχύει f(x) > M.Διαλέγοντας δ = 1 M 1 προκύπτειότι 1 x > Mόταν x (1 δ,1).

9 1.2. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 17 Ησυνάρτηση f(x) = xαποκλίνειστο + καθώς x + καιστο καθώς x. Ησυνάρτηση { x 2, όταν x 1 2 f(x) = x, όταν x > 1 2 δενέχειόριοστοσημείο x = 1 2 αλλάτααριστεράκαιδεξιάόριαυπάρχουνκαιείναι διαφορετικά. Θεωρημα46Αν f(x) A, g(x) B καθώς x ξ,τότε f(x) + g(x) A + f(x) B, f(x)g(x) AB, g(x) A B αν B R = R {0}και A R. Αποδειξη. Θα αποδείξουμε πρώτα την ιδιότητα του αθροίσματος. Σαν δεδομένο έχουμε ότι ε, δ 1 > 0,τ.ω.αν x ξ < δ 1 f(x) A < ε 2 ε, δ 2 > 0,τ.ω.αν x ξ < δ 2 g(x) B < ε 2. Διαλέγουμε δ = min{δ 1,δ 2 }.Τότεισχύουνκαιοιδύοπαραπάνωπροτάσειςμετοίδιο δ. Μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη τις ανισότητες, και άρα έχουμε ότι ε, δ(= min{δ 1,δ 2 })τ.ω.αν x ξ < δ f(x)+g(x) (A+B) < ε. Αυτό βέβαια σημαίνει ακριβώς αυτό που θέλαμε. Για το γινόμενο, δουλεύουμε παρομοίως, δηλαδή ε 1, δ 1 > 0,τ.ω.αν x ξ < δ 1 f(x) A < ε 1 ε 2, δ 2 > 0,τ.ω.αν x ξ < δ 2 g(x) B < ε 2. Υποθέτουμεότι B 0.Εφόσον f(x) Aτότεγιαόλατα xτ.ω. x ξ δ 1 έχουμε ότι f(x) < Mγιαμιασταθερά M > 0.Διαλέγουμε ε 1 = ε/2 B και ε 2 = ε/2 M γιακάποιο δοσμένο ε > 0και δ = min{δ 1,δ 2 }.Προκύπτειότι f(x)g(x) AB = f(x)g(x) f(x)b +f(x)b AB f(x) g(x) B + B f(x) A ε Στηνπερίπτωσηπου A = B = 0τότεηαπόδειξηείναιαπλούστερη,αφού f(x)g(x) = f(x) g(x) ε 1 ε 2

10 18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ1. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟ ΥΛΟΓΙΣΜΟ Υ Διαλέγοντας ε = ε 1 ε 2 παίρνουμετοαποτέλεσμα. Τοπηλίκοείναιεντελώςπαρόμοιο,αρκείναυποθέσουμεότιB 0αφούμπορείκάποιος νατοδειωςτογινόμενοτωνσυναρτήσεων f(x) 1 g(x). Οπως είπαμε πριν, η έννοια του ορίου είναι χρήσιμη στον ορισμό της συνέχειας. Ορισμος47Μιασυνάρτησηλέγεταισυνεχήςστοσημείο ξ Rαν η f(x)είναιορισμένησεμια ε-περιοχήτου ξ, έχουμεότι f(x) Aκαθώς x ξκαι A = f(ξ). Επίσης, μια συνάρτηση λέγεται δεξιά συνεχής(αντίστοιχα αριστερά συνεχής) στο ξ Rαν η f(x)είναιορισμένησεμιαπεριοχήτου ξτηςμορφής [ξ,ξ + ε)(αντίστοιχα (ξ ε,ξ])όπου ε > 0 έχουμεότι f(x) Aκαθώς x ξ + (αντίστοιχακαθώς x ξ ), A = f(ξ). Προταση48Μιασυνάρτηση fείναισυνεχήςστο ξ Rαννείναιδεξιάκαιαριστερά συνεχής στο σημείο αυτό. Αποδειξη. Η απόδειξη είναι προφανής χρησιμοποιώντας το θεώρημα 45. Παραδείγματα Ησυνάρτηση f(x) = xείναισυνεχήςσεκάθεσημείο ξ Rαφούόπωςείδαμεσε προηγούμενο παράδειγμα lim f(x) = ξ = f(ξ) Ησυνάρτηση f(x) = { x 2, όταν x 1 2 x, όταν x > 1 2 είναιαριστεράσυνεχήςστο 1 2 αλλάόχιδεξιάσυνεπώςδενείναισυνεχήςστο x = 1 2.

11 1.2. ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ 19 Ησυνάρτηση D(x) = { 1, όταν x Q 0, αλλιώς δενείναισυνεχήςσεκανένασημείοτου Rδιότιθαέπρεπεγιακάθε ε > 0ναυπάρχει δ > 0έτσιώστεγιακάθε x (ξ δ,ξ +δ)ναισχύειότι D(x) D(ξ) < ε. Ομως σε κάθε διάστημα υπάρχουν και ρητοί και άρρητοι αριθμοί και άρα μια τέτοια ανισότητα δενείναιεφικτήείτετο ξ Qείτεόχι. Ησυνάρτηση f(x) = xsin 1 x είναισυνεχήςπαντούεκτόςαπότομηδένστοοποίοδεν ορίζεται και επομένως δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο. Ομως το όριο υπάρχει καθώς x 0 καιείναιίσομετομηδέν,διότιγιακάθε ε > 0υπάρχει δ(μπορούμεναδιαλέξουμε οποιοδήποτε δ < ε)έτσιώστε xsin 1 x < ε όταν x < δ x Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμεμιανέασυνάρτηση ˆf(x)ηοποίανα συμπίπτει με την προηγούμενη σε όλα τα σημεία εκτός του μηδενός και στο μηδέν ναείναιίσημεμηδέν,δηλαδή { xsin 1 x ˆf(x) =, όταν x 0 0, όταν x = 0 Σχήμα1.2: f(x) = xsin 1 x Η ˆf(x)είναισυνεχήςπαντού(καιστομηδέν)καιονομάζεταιησυνεχής επέκταση της f(x).γενικάαυτόείναιεφικτόότανμιασυνάρτησηδενορίζεταισεένασημείο x 0 αλλάέχειόριοκαθώς x x 0,έστω A. Οπότεσεαυτήτηνπερίπτωσηορίζουμενέα συνάρτηση ˆf(x) = { f(x), όταν x x0 A, όταν x = x 0 Ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα. Θεωρημα49Ανηf(x)είναισυνεχήςστο ξκαι f(ξ) 0τότεηf(x)διατηρείτοίδιο πρόσημομετην f(ξ)σεμιαπεριοχήτου ξ.