Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη δράσεων ενός συστήµατος. Θα θεωρήσουµε αυτό το πρόβληµα για την ειδική περίπτωση ΓΧΑΣ: διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδοµένες αρχική & τελική κατάσταση: Δείκτη Λειτουργικής Απόδωσης που αφορά ενέργεια: ΛΥΣΗ: Η Χαµιλτονιανή είναι Εξίσ. Βελτίστου Ελέγχου Εξισ. Συγκατάστασης: Εξισ. Κατάστασης: H u, p, x H u = H u = + xt! Axt But xt = x xt = x 0 0 f f t f 2 1 J = u( t) dt 2 t 0 = 1 2 u 2 + p T ( Ax + Bu) = 1 2 ut u + p T A x + p T B u ( x,u, p ) = 0 = u + B T p u ( t) = B T p ( t)!p = H x = AT p p ( t) = e AT ( t t 0 ) p ( 0) = e AT ( t 0 t) p ( 0) t f!x = Ax + Bu x ( t f ) = e A ( t f t 0 ) x0 + e A ( t f τ ) Bu ( τ ) dτ = t t 0 f t = e A ( t f t 0 ) x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) p ( 0) dτ = e A ( t f t 0 ) f x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) dτ p 0 t 0 t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 u ( t) = B T e AT ( t 0 t) p 0
Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» x( t f ) = e A t f t 0 t f x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) dτ t 0 p ( 0) = e A ( t f t 0 ) x 0 t f t 0 e A t 0 τ BB T e AT ( t 0 t) dτ p 0 Αν «θυµηθούµε» την Controlability Grammian x( t f ) = e A ( t f t 0 ) { x 0 W ( t 0,t f ) p 0 } η οποία, επειδή το σύστηµα είναι πλήρως ελέγξιµο, είναι αντιστρέψιµη γιά t f > t 0 τότε p* 0 που, µαζι µε την Παρατηρούµε ότι u ( t) = B T e AT t 0 t = p0 1 2 t f u T t u t dt = t 0 = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2
Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Αναζητώντας την λύση ελάχιστης ενέργειας, αρχικά θεωρούµε τον πίνακα µεταβατικής απόκρίσης: Η Controllability Grammian είναι Ο έλεγχος ελάχιστης ενέργειας είναι Δηλαδή = ( ) At ( τ ) ( τ) At t0 x t = e x + e Bu d 0 t t 0 τ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3
Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα = 4 6 u t t 2 x2 t = 3t + 4t 3 2 = + x t t t 1 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Μεχρι στιγμής έχουμε σταδιακά δει τα εξής προβλήματα βελτιστοποίησης... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Σε πολλές εφαρµογές επιθυµούµε η βελτιστοποίηση να περιλαµβάνει : Στο Δείκτη Λειτουργικής Απόδωσης (ΔΛΑ) την ενέργεια (όπως και προηγουµένως) και Μη- Περιορισμένο Άπειρες Διαστάσεις µία µορφή «επιβάρυνσης» µεγάλων καταστάσεων, επιζητώντας την «σταθεροποίηση» του συστήµατος. Ισοτικοί Περιορισμοί Μια µορφή επιβάρυνσης της τελική κατάστασης, που δεν απαιτείται να είναι δεδοµένη αλλά απλά επιβαρύνεται το «µέγεθός» της. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Έτσι οδηγούµαστε στο γνωστό πρόβληµα του Γραµµικού Τετραγωνικού Ρυθµιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) θεωρόντας τη περίπτωση : Γραμμικού (αλλα Χρονικά Μεταβαλόμενου) Συστήματος Με κριτήριο απόδωσης όπου H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 = A t Και x(t 0 ), t 0, t f : καθορισμένα. Μιά φυσική εξήγηση είναι ότι θέλουμε μέσα σε χρόνο t f -t 0 να οδηγήσουμε το σύστημα αρκετά κοντά στο 0, χωρίς σημαντική σπατάλη προσπάθειας ελέγχου.!x t x t + B t u t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Σχηματίζουμε την Χαμιλτονιανή Οι αναγκαίες συνθήκες είναι: Εξισώσεις κατάστασης Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equa]ons) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις x(t 0 )=x 0, (Πρόβλημα τύπου- 2: t f fixed x(t f ) free) ( ) = 1 2 xt t f h x t f = A t!x t H x t f x t + B t u t p ( t f ) = H x t f Two Point Boundary Value Problem (TPBVP) : Μητρωϊκή ΔΕ όπου: η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0, δηλ. x(t 0 )=x 0, ενώ η p(t) εχει οριακή συνθήκη στο t f, δηλ. p ( t f ) = H x t f
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Πως να λύσουµε αυτή την ΔΕ? Με δεδοµένο το x 0 επιλέγουµε (τυχαιο) λ 0 : όταν ολοκληρώσουµε προς τα εµπρός την µητρωϊκή ΔΕ, θα ικανοποιούν τα x, p σε χρόνο t f την p? = H x ( t f ) ( t f ) = H x t f Επιλέγουµε (τυχαιο) x f και δεδοµένου του p t f : όταν ολοκληρώσουµε προς τα πίσω την µητρωϊκή ΔΕ, σε χρόνο t 0 θα ισχύει x(t 0 ) = x 0? Λύση μέσω Πίνακα Μεταβατικής Κατάστασης (από αρχικό χρόνο t σε τελικό t f ) p ( t f ) = H x ( t f ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής p(tf)= Από προηγουμένως Πως υπολογίζουμε το Κ(t)?! K (t ) p! ( t ) = Q ( t ) x ( t ) + AT ( t ) p ( t ) p! ( t ) = K! ( t ) x ( t ) + K ( t ) x! ( t ) Q ( t ) x ( t ) + AT ( t ) K ( t ) x ( t ) = p! ( t ) = K! ( t ) x ( t ) + K ( t ) A ( t ) x ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B ( t ) K ( t ) x ( t ) Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. K! ( t ) = K ( t ) A ( t ) AT ( t ) K ( t ) Q ( t ) + K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) BT ( t ) K ( t ) K tf = H Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Κ=KT ℜn n. Επομένως υπάρχουν n(n+1)/2 άγνωστοι 9
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής ΔΛΑ: = 1 2 x T Ricatti J = 1 2 xt ( t f ) H x t f + 1 2 = 1 2 x T t f!k t ( t f ) H x( t f ) + 1 2 t f t f t 0 Q( t) x t x T + x T t ( t) Q( t) x( t) + u T t R u t u dt ( t) = R 1 t B( t) K ( t) x t K ( t) B T ( t) R 1 ( t) R( t) R 1 ( t) B( t) K ( t) x t x T t dt = t 0 H x t f = K ( t) A( t) A T t Q( t) =!K ( t) K t t f + 1 2 x T t t 0 K t A t Q( t) + K ( t) B T ( t) R 1 ( t) B K ( t) x t Q( t) + K ( t) B t A T ( t) K ( t) + K t dt R 1 ( t) B T ( t) K ( t) B( t) R 1 ( t) B T ( t) K t J = 1 2 x T J = 1 2 x T J = 1 2 x T ( t f ) H x t f t f 1 2 x T t ( t f ) H x ( t f ) 1 2 ( t f ) H x ( t f ) 1 2 t 0 t f t 0 t f x T + K ( t) A( t) B ( t ) R 1( t) B T ( t) K ( t ) + A( t) B ( t ) R 1( t) B T ( t) K ( t Τ { ) K ( t) } ( x t)!k t = A( t) B t!x t ( t)!k ( t) x ( t) + x Τ ( t) K ( t)!x ( t) +!x Τ ( t) K ( t) x ( t) d x T ( t) K ( t) x ( t) dt dt = 1 ( 2 x T t f ) H x t f t 0 1 2 x T t f =0 R 1 ( t) B Τ ( t) K ( t) x t dt K ( t f ) x t f + 1 2 x T t 0 K ( t f ) x t 0 J = 1 ( 2 xt t 0 ) K ( t 0 ) x t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10 dt K ( t f ) = H
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επανάληψη Γραµµικός Τετραγωνικός Ρυθµιστής (Linear Quadratic Regulator LQR): Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: Δείκτης Λειτουργικής Απόδωσης: x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) H = H T, Q = Q T, R = RT, H 0, Q 0, R > 0 Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν x(t0), t0, tf : καθορισμένα. Λύση: Επίλυση Riccati: K! (t ) = K (t ) A (t ) AT (t ) K (t ) Q (t ) + K (t ) B (t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) Εύρεση Συνάρτησης Κέρδους: F ( t ) = R 1 BT K ( t ) Εύρεση Βέλτιστης Συνάρτησης Εισόδου: Εύρεση ΔΕ & Βέλτιστης Συνάρτησης Κατάστασης: A ( t ) K tf = H x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) = A ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) = A ( t ) B ( t ) R 1 BT ( t ) K ( t ) x ( t ) 1 T J = x (t- 0 Σ).Α.Ε. P K(t (tι0ι 0)) x (t0 ) Εύρεση Βέλτιστης Τιµής ΔΛΑ: Kostas J. Kyriakopoulos 2 t A (τ ) d τ x ( t ) = et0 11
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής H > 0, Q = 0, R = 1 2 Τ = 15 = 2aK ( t) + 2K 2 ( t) K ( T ) = H!K t Αναλυτική ή Αριθμητική Επίλυση (από t f =15 προς t 0 =0)!K t K t f ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ με χρήση Μητρωϊκής Ricca9 Δ.Ε. = K ( t) A( t) A T ( t) K ( t) Q( t) + K ( t) B( t) R 1 ( t) B T ( t) K ( t) = H 12
Η α = - 0.2 u ( t) = 2 K ( t) x t Τ = 15 u ( t) = 2 K ( t) x t!x ( t) = a x ( t) + u ( t) α = 0.2!x ( t) = a x ( t) + u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Η x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) H=0, R = 1/2 if Τ = tf = 15. Κ=KT ℜ2 2. Επομένως υπάρχουν 2(2+1)/2=3 άγνωστοι Mε χρήση Μητρωϊκής Ricca9 Δ.Ε. Αριθμητική Επίλυση u ( t ) = R 1 ( t ) BT ( t ) K ( t ) x ( t ) u ( t ) = 2 k12 ( t ) k22 ( t ) x ( t ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Η u ( t) = 2 k 12 t k 22 ( t) ( x t)!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Αριθμητική Επίλυση (από t f =15 προς t 0 =0) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] H µητρωική ΔΕ Riccati εισάγει δυσκολία στην ολοκλήρωσή της λόγω του µη-γραµµικού όρου Θεώρηµα: Αν οι πίνακες Χ(t), Λ(t) R n n είναι η λύση της γραµµικής ΔΕ X ( t f ) I = Λ( t f ) H Πίνακας Hamilton τότε ο πίνακας K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) είναι η επίλυση της µητρωική ΔΕ Riccati Κάθε χρονική στιγµή t, o υπολογισµός της συνάρτησης εισόδου προαπαιτεί τον υπολογισµό του πίνακα κέρδους FK t t χρονική στιγµή t). ( () ) = = RR 1 B T PK ( tt ) (κάθε Αυτός µε την σειρά του προαπαιτεί µεν τον υπολογισµό των Χ(t) & Λ(t) οι οποίοι, όπως είδαµε, υπολογίζονται σε κλειστή µορφή µέσω της αλλά ο υπολογισµός του K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) απαιτεί τη αντιστροφή του Χ(t), κάθε στιγµή t... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Παράδειγμα- 1 Έχουµε το ΓΧΑΣ και Θέλουµε να βρούµε την είσοδο ελέγχου που ελαχιστοποιεί τον ΔΛΑ Πρόφανώς, πρόκειται για πρόβληµα LQR µε H Για τον πίνακα Hamilton Αυτό οδηγεί στην H 0 e H 0t = Απ όπου λαµβάνουµε K(t) Η ίδια λύση θα ληφθεί αν θεωρήσουµε και επιλύσουµε την Riccati!K ( t) +1 K 2 ( t) = 0 K ( 1) = σ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] - Παράδειγμα- 1 Εποµένως!x = u u = F x F = K!x = K x Και το σύστηµα προσοµοιώνεται γιά σ = 0,1,10. Η απόκριση φαίνεται στο σχήµα Θα επανέλθουµε σε αυτό το παράδειγµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Επειδή για τον ισχύει,τότε για τον Hamilton ισχύει Εποµένως: Επειδή οι Η και Η Τ έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές, και Οι Η και Η έχουν Επειδη η αναστροφή δεν επηρεάζει τις ιδιοτιµές. τις ίδιες ιδιοτιµές Αν Η R (2n) (2n), λ σ(η) λ σ(η) Αν λ C, λ σ(η) -λ σ(η) Αν Η R (2n) (2n), λ σ(η) λ,-λ,-λ σ(η) Αν δεν υπάρχουν ιδιοτιµές του Η που είναι αµιγώς φανταστικές τότε οι 2n ιδιοτιµές του µπορούν να «χωρισθούν» σε n ιδιοτιµές που έχουν αυστήρά αρνητικό πραγµατικό µέρος, και n ιδιοτιµές που έχουν αυστήρά θετικό πραγµατικό µέρος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Έτσι, µε κατάλληλο µετασχηµατισµό οµοιότητας Τ λαµβάνουµε την κανονική µορφή Jordan Αντιστοιχεί σε ιδιοτιµές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος Αντιστοιχεί σε ιδιοτιµές µε θετικό πραγµατικό µέρος Αν ο Τ γραφεί στα 4 block n n που τον συνιστούν τότε µέσω του µετασχηµατισµού στην µητρωική ΔΕ λαμβάνουμε και στην οριακή συνηθήκη Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20
Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Παράδειγμα- 2 Συνεχίζουµε στο προηγούµενο παράδειγµα. Θεωρόντας το µετασχηµατισµό οµοιότητας... λαµβάνουµε την κανονική µορφή Jordan = Που είναι ακριβώς ότι βρήκαµε και προηγουµένως και θα χρησιµοποιηθεί και παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21
LQR Μόνιμης Κατάστασης Αν στο ΔΛΑ του LQR Θέσουµε H τότε Δεδοµένου ότι t0 = 0, S = 0, tf 0 t f 0 t f xt = x 0 0 H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 Μπορεί να δειχθεί η επιζητούµενη λύση Κ LQR ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση Ricatti: που προκύπτει από τη µητρωική ΔΕ Riccati στη µόνιµη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22
LQR Μόνιμης Κατάστασης Από το Κ LQR προκύπτει το αντίστοιχο κέρδος F LQR = R 1 B K LQR και η εξίσωση βελτίστου ελέγχου u ( t) = F LQR x ( t), τα οποία είναι χρονικά αµετάβλητης φύσης. x t!x ( t) = A R 1 B K LQR Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι Κατά συνέπεια, το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι : x( 0) = x 0 R 1 B K LQR Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23
LQR Μόνιμης Κατάστασης Καταλήγουµε µε ένα βασικό θεώρηµα. Πριν το παρουσιάσουµε χρειάζεται να ορίσουµε και ξεκαθαρίσουµε κάποιες έννοιες: Σύστηµα! = + xt xt Axt But = x 0 0 ΔΛΑ: Το Q µπορεί να αναλυθεί ως Q = C T C όπου ο C R q n, όπου ο C είναι full-row rank. T T Q= Q 0, R= R > 0 q= rank Q n Θεώρηµα: Αν το σύστηµα και ο ΔΛΑ είναι τέτοια όπου το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο, τότε η αλγεβρική Riccati έχει µοναδική θετικά ορισµένη λύση Κ LQR και το σύστηµα κλειστού βρόχου!x t = A R 1 B K LQR είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. x t x( 0) = x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24
LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 1 Συνεχίζουµε µε το προηγουµένως χρησιµοποιηθέν ΓΧΑΣ αλλά τώρα ορίζοντας ΔΛΑ : Από προηγουµένως έχουµε βρει: Προφανώς 2 ( t t ) 2 0 1 f tf t + σ e = e KP( t ) KP LQR = = 1 tf tf 1+ σ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ µε χρήση του προηγούµενου θεωρήµατος: Α=0, Β=1 (Α,Β) : ελέγξιµο C = Q = 1 (Α,C) : παρατηρήσιµο Αλγεβρική Riccati: 1 K 2 LQR Επιλέγεται η θετική («ορισµένη») λύση K LQR = 1 F LQR ut = R= 1 Bxt K LQR = 1 u ( t) = F LQR x ( t) = x ( t) Καταλήγουµε στο ασυµπτωτικά ευσταθές σύστηµα κλειστού βρόχου: K ( t) = 0 K LQR = ±1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25
LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 Θέλουμε να λύσουμε και διερευνήσουμε το πρόβλημα βελτίστου ελέγχου!x ( t) = a x( t) + b u( t) x( 0) = x 0 J ( u) = 1 2 q x 2 ( τ ) + r u 2 ( τ ) dτ 0 ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με το συμβολισμό A = a, B = b, Q = q, R = r Οπότε u ( t) = ( R 1 B K LQR ) x ( t) = b με k LQR την θετικά r k LQR x ( t) ορισμένη λύση της αλγεβρικής Riccaq = k LQR a a k LQR q k LQR b2 r k LQR Και ο βέλτιστος έλεγχος γίνεται b2 a + a 2 + q r u ( t) = b Ενώ η πορεία (trajectory) του βέλτιστου συστήματος!x t = a x ( t) + b u ( t) = a x ( t) + b x ( t) a + ( a 2 + q ) r b2 b k LQR = a + a 2 + q r b 2 r x ( t)!x ( t) = a 2 + q r b2 b2 x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26
LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 Από την εξίσωση x! ( t ) = a + r b x ( t ) του (βελτίστου) συστήματος κλειστού βρόχου γίνεται φανερό ότι αυτό είναι παντοτε ευσταθές. Επίσης παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές του εξαρτώνται από το λόγο q/r. 2 q r r 2 Είναι φανερό λοιπόν ότι λόγος q/r καθορίζει τη «ταχύτητα απόκρισης» του συστήματος με τρόπο που φαίνεται παρακάτω r r) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Από το πρόβληµα του Γραµµικού Τετραγωνικού Ρυθµιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) οδηγούµαστε το πρόβληµα Παρακολούθησης Τροχιάς (Trajectory Tracking) θεωρόντας τη περίπτωση : Γραμμικού (αλλα Χρονικά Μεταβαλόμενου) Συστήματος Με κριτήριο απόδωσης!x ( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) + όπου H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 Και x(t 0 ), t 0, t f : καθορισμένα. Μιά φυσική εξήγηση είναι ότι θέλουμε μέσα σε χρόνο t f - t 0 να οδηγήσουμε το σύστημα αρκετά κοντά στο r(t), χωρίς σημαντική σπατάλη προσπάθειας ελέγχου Σχηματίζουμε την Χαμιλτονιανή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Βρήκαμε την Χαμιλτονιανή Οι αναγκαίες συνθήκες είναι: Εξισώσεις κατάστασης Εξ. «Συγκατάστασης» (Co- state Eq.) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις x(t 0 )=x 0, Two Point Boundary Value Problem (TPBVP) : Μητρωϊκή ΔΕ όπου: Μη-οµογενης η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0 ενώ Η p(t) εχει οριακή συνθήκη στο t f
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Λύση μέσω Πίνακα Μεταβατικής Κατάστασης Αν = ϕ t f,t ϕ 12 ( t f,t) ϕ 22 ( t f,t) ϕ 11 t f,t ϕ 21 t f,t t f 0 ϕ ( t f,t) dτ = Q( τ ) r( τ ) t f 1 f 2 ( t) ( t) +! K ( t)! s( t) 30
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς F( t) v( t) Πως υπολογίζουμε τα Κ(t), s(t)?!p ( t) = Q( t) x ( t) + A T ( t) p ( t) + Q( t) r( t)!p ( t) =!K ( t) x ( t) + K ( t)!x ( t) +!s ( t) Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. - Κ(t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. - s(t) 31
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Επανάληψη Παρακολούθησης Τροχιάς (Trajectory Tracking) : Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: Δείκτης Λειτουργικής Απόδωσης: x! (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) J H = H T, Q = Q T, R = RT, H 0, Q 0, R > 0 Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν x(t0), t0, tf : καθορισμένα. Λύση: Riccati: Εύρεση Βέλτιστης Συνάρτησης Εισόδου: F (t ) v(t ) Εύρεση ΔΕ & Βέλτιστης Συνάρτησης Κατάστασης: x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) + v ( t ) = A (τ ) d τ = A + B F ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) = A ( t ) B ( t ) R 1 BT ( t ) K ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) Φ ( t, τ )! e t τ t x ( t ) = Φ ( t, τ ) x ( t 0 ) + Φ ( t, τ ) B (τ ) u (τ ) dτ t0 A ( t ) 32
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1 Σύστημα: Κριτήριο απόδωσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=0, t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στο 0 χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: (15) (15) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2 Σύστημα: Κριτήριο απόδωσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=[-4 0] T, t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στη συνάρτηση- ράμπα 0.2 t χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35
Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36