ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ατομική Φυσική. Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική Φυσική Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Αηομικά ζςζηήμαηα δςο ηλεκηπονίων Σην θεθάιαην ζα εμεηάζνπκε ηελ δνκή θαη ηηο ηδηόηεηεο ησλ ειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ ησλ αηνκηθώλ ζπζηεκάησλ κε δπν ειεθηξόληα. 6. Κςμαηοζςνάπηηζη δςο ηλεκηπονίων και ζςμβολιζμόρ καηαζηάζεων 6.. Χωπική κςμαηοζςνάπηηζη Θεσξνύκε έλα αηνκηθό ζύζηεκα δπν ειεθηξνλίσλ. Έζησ Ψ r, r 2 ε ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε πνπ απνηειεί ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο ηνπ ζπζηήκαηνο, όπνπ ηα δηαλύζκαηα r, r 2 αλαθέξνληαη ζηε ζέζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζρεηηθά κε ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Εμαηηίαο ηεο ζπκκεηξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο ε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ r 2, r πνπ πξνθύπηεη κε ελαιιαγή ησλ ζέζεσλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ είλαη επίζεο ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο. Επίζεο εμαηηίαο ηεο ζπκκεηξίαο ελαιιαγήο ζα είλαη Ψ r, r 2 2 = Ψ r 2, r 2, θη επνκέλσο ε Ψ r, r 2 ζα δηαθέξεη από ηελ Ψ r 2, r κόλν θαηά έλα πνιιαπιαζηαζηηθό παξάγνληα. Εηζάγνληαο ηνλ ηειεζηή ηεο ελαιιαγήο P 2 ηα παξαπάλσ γξάθνληαη P 2 Ψ r, r 2 = Ψ r 2, r = λψ r, r 2 (6.) όπνπ ι ν πνιιαπιαζηαζηηθόο παξάγνληαο πνπ ππνινγίδεηαη σο εμήο: P 2 2 Ψ r, r 2 = λp 2 Ψ r, r 2 = λ 2 Ψ r, r 2 (6.2) θη επνκέλσο λ 2 = λ = ±. Άξα έρνπκε Ψ r 2, r = ±Ψ r, r 2 (6.3) Κπκαηνζπλαξηήζεηο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ 6.3 νλνκάδνληαη: (α) τωρικά σσμμετρικές εάλ ε ελαιιαγή δελ αιιάδεη ην πξόζεκν ηεο θπκαηνζπλάξηεζε θαη ζπκβνιίδνληαη κε Ψ + r, r 2 θαη (β) τωρικά αντι-σσμμετρικές εάλ ε ελαιιαγή αιιάδεη ην πξόζεκν ηεο θπκαηνζπλάξηεζε θαη ζπκβνιίδνληαη κε Ψ r, r 2. Επί πιένλ νη ρσξηθά ζπκκεηξηθέο αλαθέξνληαη σο θαηαζηάζεηο παρα ελώ νη ρσξηθά αληηζπκκεηξηθέο σο θαηαζηάζεηο ορθο. Ωο παξάδεηγκα αλαθέξνπκε ηε βαζηθή θαηάζηαζε ηνπ αηόκνπ ηνπ ειίνπ πνπ νλνκάδεηαη νξζνήιην θαη ην παξαήιην. 6..2 Κςμαηοζςνάπηηζη ηος ζπιν Επεηδή νη ζπηλ θαηαζηάζεηο ησλ ειεθηξνλίσλ είλαη αλεμάξηεηεο από ηηο ρσξηθέο θαηαζηάζεηο ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο κπνξεί λα πεξηγξαθεί σο γηλόκελν ηεο ρσξηθήο θπκαηνζπλάξηεζεο Ψ r, r 2 θαη απηήο ηνπ ζπηλ ησλ δπν ειέθηξνλίσλ χ, 2, δει. Ψ q, q 2 = Ψ r, r 2 χ, 2 (6.4) Τηο θπκαηνζπλαξηήζεηο ηνπ ζπηλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ κπνξνύκε λα ηηο θαηαζθεπάζνπκε από ηηο γλσζηέο θαηαζηάζεηο ζπηλ ελόο ειεθηξνλίνπ χ /2,ms. Σπκβνιίδνληαο 85

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων α χ /2,/2 ή, β χ /2, /2 ή (6.5) όπνπ ε θαηάζηαζε κε ην βέινο ζπκβνιίδεη ηελ πξνβνιή ηνπ ζπηλ ζηνλ άμνλα z. Με βάζε ηηο 6.5 κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε ηέζζεξηο αλεμάξηεηεο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπηλ. Απηέο είλαη χ, 2 = α α 2 ή χ 2, 2 = α β 2 ή χ 3, 2 = β α 2 ή χ 4, 2 = β β 2 ή (6.6) Οη εμηζώζεηο ηδηνηηκώλ ηεο ζηξνθνξκήο (ζρέζεηο 4.2 θαη 4.3) ζηελ πεξίπησζή καο γξάθνληαη γηα ηελ θάζε κνλνειεθηξνληθή θαηάζηαζε S 2 α = 3 4 ħ2 α, S 2 β = 3 4 ħ2 β (6.7) S z α = ħ 2 α, S zβ = ħ 2 β (6.8) Εηζάγνπκε ην ηειεζηή νιηθνύ ζπηλ θαζώο θαη ηελ πξνβνιή ηνπ ζηνλ άμνλα z S = S + S 2 (6.9) S z = S z + S 2 z (6.) Απνδεηθλύεηαη όηη νη ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο 6.6 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ ηειεζηή S z. Γηα παξάδεηγκα S z χ, 2 = S z + S 2 z α α 2 = α 2 S z α + α S 2 z α 2 = = ħ 2 α α 2 + ħ 2 α α 2 = ħα α 2 (6.) Ωζηόζν γηα ηνλ ηειεζηή S 2 πνπ ηζρύεη S 2 = S 2 + S 2 2 + 2S S 2 = 3 2 ħ2 + 2S S 2 (6.2) απνδεηθλύεηαη όηη κόλν νη χ θαη χ 4 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ. Παξαηεξνύκε πσο νη χ θαη χ 4 είλαη ζπκκεηξηθέο ζηελ ελαιιαγή ησλ δεηθηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ ελώ νη χ 2 θαη χ 3 δελ είλαη. Όπσο όκσο ζα δνύκε ζηελ παξαθάησ αλάιπζε είλαη εμαηξεηηθά ζεκαληηθό λα πεξηγξάςνπκε ηηο θαηαζηάζεηο δπν ειεθηξνλίσλ κε ζπκκεηξηθέο ή αληηζπκκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο. Γηα ην ιόγν απηό κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε δπν λέεο ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο, κηα ζπκκεηξηθή θαη κηα αληηζπκκεηξηθή, σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ χ 2 θαη χ 3. Πξάγκαηη θαη χ +, 2 = 2 χ 2, 2 + χ 3, 2 (6.3) χ, 2 = 2 χ 2, 2 χ 3, 2 (6.4) 86

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Οη λέεο θαηαζηάζεηο καδί κε ηηο χ θαη χ 4 είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηόζν ηνπ ηειεζηή S z όζν θαη ηνπ S 2. Άξα γξάθνπκε S 2 χ = S S + ħ 2 (6.5) χ S z χ = Μ S ħ χ (6.6) Σηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλνληαη νη ηηκέο ησλ θβαληηθώλ αξηζκώλ S θαη S z θαη γηα ηηο ηέζζεξηο ζπηλ ηδηνθαηαζηάζεηο. Αληηζπκκεηξηθή Σπκκεηξηθή 2 2 Σπηλ θαηάζηαζε S Μ S α β 2 β α 2 α α 2 α β 2 + β α 2 β β 2 - Η αληηζπκκεηξηθή θαηάζηαζε επεηδή έρεη κηα κόλν ηηκή γηα ηνλ Μ S νλνκάδεηαη singlet (ζηλγθιέηα!) ελώ ε ζπκκεηξηθή γηα ηνλ ίδην ιόγν νλνκάδεηαη triplet (ηξηπιέηα!). 6..3 Ολική κςμαηοζςνάπηηζη δςο ηλεκηπονίων Όπσο είπακε ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε κπνξεί λα πεξηγξαθεί από ηελ 6.4. Επνκέλσο ζα κπνξνύζε θαλείο λα ππνζηεξίμεη όηη ζε θάζε ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε αληηζηνηρνύλ ηέζζεξηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπηλ. Ωζηόζν απηή ε πξνζέγγηζε είλαη ιαλζαζκέλε εμαηηίαο ηεο απαγνξεπηηθήο αξρήο ηνπ Pauli πνπ ιέεη πσο ε νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε ελόο ζπζηήκαηνο ειεθηξνλίσλ (θεξκηνλίσλ) είλαη αληηζπκκεηξηθή. Επνκέλσο γηα λα θαηαιήμνπκε ζε αληηζπκκεηξηθέο νιηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο πξέπεη λα πνιιαπιαζηάδνπκε ρσξηθέο ζπκκεηξηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο κε αληηζπκκεηξηθέο ζπηλ θπκαηνζπλαξηήζεηο θη αληίζηξνθα. Επνκέλσο πξνθύπηνπλ νη εμήο θαηαζηάζεηο Ψ q, q 2 = Ψ + r, r 2 2 α β 2 β α 2 (6.7) θαη Ψ q, q 2 = Ψ r, r 2 2 α α 2 α β 2 + β α 2 β β 2 (6.8) Επνκέλσο ε παξα θαηάζηαζε είλαη πάληα singlet ελώ ε νξζν πάληα triplet. Μπνξεί θαλείο λα εμάγεη ην ζπκπέξαζκα όηη ε απαγνξεπηηθή αξρή ηνπ Pauli εηζάγεη ελόο είδνπο ζύδεπμε κεηαμύ ησλ ρσξηθώλ θαη ησλ ζπηλ κεηαβιεηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ. 87

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων 6..4 Σςμβολιζμόρ καηαζηάζεων δςο ηλεκηπονίων Καη αληηζηνηρία ηνπ ζπκβνιηζκνύ ησλ κνλνειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ αθνινπζείηαη ε δνκή ηεο αλαγξαθήο ηνπ θύξηνπ θβαληηθνύ αξηζκνύ n θαη ηνπ ηξνρηαθνύ αξηζκνύ l γηα θάζε έλα από ηα δπν ειεθηξόληα. Επνκέλσο ζα έρνπκε θαηαζηάζεηο s 2, s2s, s2p, 2p 2, θηι. Ωζηόζν επεηδή απηέο νη θαηαζηάζεηο δελ απνηεινύλ ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο αλαδεηνύκε εθείλνπο ηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο πνπ ραξαθηεξίδνπλ κνλνζήκαληα ηηο θαηαζηάζεηο. Ωο ηέηνηνη είλαη, πέξα από ηνλ θύξην θβαληηθό αξηζκό n, ε νιηθή ρσξηθή ζηξνθνξκή θαη ην νιηθό ζπηλ. Με άιια ιόγηα, γηα αηνκηθά ζπζηήκαηα δπν ειεθηξνλίσλ πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο θαηαζηάζεηο 6.7 θαη 6.8 νη ηειεζηέο ηεο νιηθήο ζηξνθνξκήο L = L + L 2 πιεξνύλ ηηο αληίζηνηρεο εμηζώζεηο ηδηνηηκώλ ηνπ νιηθνύ ζπηλ S = S + S 2 (ζρέζεηο 6.5 θαη 6.6 ) θη επνκέλσο νη L θαη S είλαη θαινί θβαληηθνί αξηζκνί γηα ηελ πεξηγξαθή ησλ θαηαζηάζεσλ. Οη θαηαζηάζεηο ζπκβνιίδνληαη σο 2S+ L ή n 2S+ L (6.9) όπνπ n ν θύξηνο θβαληηθόο αξηζκόο θαη ην L ζπλδέεηαη κε ηελ νιηθή ηξνρηαθή ζηξνθνξκή σο l 2 3 4 5 γξάκκα S P D F G H θαη αληηζηνηρία ησλ κνλνειεθηξνληθώλ θαηαζηάζεσλ. Ο δείθηεο 2S + δείρλεη ηελ πνιιαπιόηεηα ηεο θαηάζηαζεο, θαη ε εηζαγσγή ηνπ ζπκβνιίδεη ησλ δηαρσξηζκό ησλ θαηαζηάζεσλ ζε singlet (S = ) θαη triplet (S = ). Επνκέλσο ζα έρνπκε θαηαζηάζεηο S, 2 3 P, 2 P, θηι. 6.2 Αηομικέρ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Θα γξάςνπκε ηελ Φακηιηνληαλή πνπ πεξηγξάθεη ην αηνκηθό ζύζηεκα δπν ειεθηξνλίσλ ζην ζύζηεκα θέληξνπ κάδαο θξαηώληαο κόλν ηνπο Κνπινκπηθνύο όξνπο. Όπσο ζα δείμνπκε ζην θεθάιαην 7 ν δηαρσξηζκόο ηνπ θέληξνπ κάδαο από ηελ ζρεηηθή θίλεζε ησλ ειεθηξνλίσλ θαηαιήγεη ζηελ παξαθάησ Φακηιηνληαλή Η = ħ2 2μ r 2 ħ2 2μ r 2 2 ħ2 M r r2 Ze2 (4πε )r Ze2 (4πε )r 2 + e 2 (4πε )r 2 (6.2) όπνπ r θαη r 2 νη ζπληεηαγκέλεο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ σο πξνο ην θέληξν κάδαο θαη r 2 = r r 2. Θεσξώληαο άπεηξε ηε κάδα ηνπ ππξήλα ε εμίζσζε Schrödinger γηα ηελ ρσξηθή θπκαηνζπλάξηεζε Ψ r, r 2 γξάθεηαη ζην αηνκηθό ζύζηεκα κνλάδσλ 2 r 2 2 r 2 2 Z r Z r 2 + r 2 Ψ r, r 2 = ΕΨ r, r 2 (6.2) 88

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Τελ Φακηιηνληαλή 6.2 κπνξνύκε λα ηελ γξάςνπκε σο ην άζξνηζκα ηεο αδηαηάξαθηεο Φακηιηνληαλήο θαη ηεο δηαηαξαθηηθήο Η = Η + Η 2 = 2 r 2 Z + r 2 r 2 2 Z (6.22) r 2 Η = r 2 (6.23) Γηα ηνπο δπν όξνπο ηεο αδηαηάξαθηεο Φακηιηνληαλήο ηζρύνπλ ηα γλσζηά γηα ηα πδξνγνληθά ζπζηήκαηα, δειαδή θαη Η i Ψ ni l i m i r i = Ε ni Ψ ni l i m i r i, i =,2 (6.24) Z 2 Ε ni = 2 2 (a. u. ) (6.25) n i Να ζεκεησζεί πσο ν όξνο 6.23 πνπ ζεσξείηαη σο δηαηαξαρή θαίλεηαη λα είλαη εμίζνπ ζεκαληηθόο κε ηνπο άιινπο δπν Κνπινκπηθνύο όξνπο ηδηαίηεξα γηα ηελ πεξίπησζε Ζ =. Η αληηκεηώπηζή ηνπ σο δηαηαξαρή είλαη πηζαλόλ λα νδεγήζεη ζε ιαλζαζκέλα απνηειέζκαηα, σζηόζν απηό ζα θξηζεί ζην ηέινο ηεο αλάιπζεο κε ηε ζύγθξηζε κε ηα αθξηβή (πεηξακαηηθά!) απνηειέζκαηα. Οη ιύζεηο Ψ r, r 2 κεδεληθήο ηάμεο ηεο εμίζσζεο Schrödinger γηα ηελ αδηαηάξαθηε Φακηιηνληαλή κπνξνύλ λα πξνθύςνπλ σο γηλόκελν πδξνγνληθώλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ κε βάζε ηηο 6.22 θαη 6.24. Επνκέλσο κπνξνύκε λα γξάςνπκε κε θαη Η Ψ r, r 2 = Ε Ψ r, r 2 (6.26) Ψ r, r 2 = Ψ n l m r Ψ n2 l 2 m 2 r 2 (6.27) Ε n n 2 = Ε n + Ε n2 = Z2 2 n 2 + n 2 2 (6.28) Έρνπκε δείμεη όκσο πσο νη θπκαηνζπλαξηήζεηο Ψ r, r 2 πξέπεη λα είλαη ρσξηθά ζπκκεηξηθέο ή αληηζπκκεηξηθέο, επνκέλσο ε ζσζηή γξαθή ηνπ ρσξηθνύ κέξνπο ησλ θπκαηνζπλαξηήζεσλ ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε είλαη ε Ψ ± r, r 2 = 2 Ψ n l m r Ψ n2 l 2 m 2 r 2 ± Ψ n2 l 2 m 2 r Ψ n l m r 2 (6.29) Μπνξνύκε λα πνύκε πσο ε θπκαηνζπλάξηεζε Ψ + είλαη ε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ηεο παξα θαηάζηαζεο ελώ ε Ψ ηεο νξζν. Καη νη δπν θαηαζηάζεηο αληηζηνηρνύλ ζηελ ίδηα ελέξγεηα Ε n n 2. Ο εθθπιηζκόο απηόο νλνκάδεηαη εκυσλισμός εναλλαγής. Εμαίξεζε απνηειεί ε βαζηθή θαηάζηαζε (n = n 2 =, l = l 2 = θαη m = m 2 = ) γηα ηελ νπνία ε νξζν 89

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων θαηάζηαζε κεδελίδεηαη. Επνκέλσο ε κεδεληθήο ηάμεο θαλνληθνπνηεκέλε βαζηθή θαηάζηαζε αηνκηθώλ ζπζηεκάησλ κε δπν ειεθηξόληα είλαη ε Ψ r, r 2 = Ψ r Ψ r 2 = Ψ s r Ψ s r 2 = Ζ3 π e Z r +r 2 θαη ε αληίζηνηρε ελέξγεηα (a. u. ) (6.3) Ε = Εn =,n 2 = = Z 2 (a. u. ) (6.3) Να ζπκίζνπκε πσο ε βαζηθή θαηάζηαζε παξα ζπλνδεύεηαη από ηελ αληηζπκκεηξηθή θαηάζηαζε singlet. Τν απνηέιεζκα απηό είλαη ζε ζπκθσλία κε ηνλ θαλόλα ηνπ Pauli πνπ (ζε ηζνδύλακε έθθξαζή ηνπ) δελ επηηξέπεη δπν ειεθηξόληα λα έρνπλ ηελ ίδηα θαηάζηαζε, άξα θαη ηνπο ίδηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο. H singlet θαηάζηαζε ζπλεπάγεηαη πσο ηα ζπηλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ είλαη αληηπαξάιιεια θη επνκέλσο δηαθέξνπλ θαηά ηνλ θβαληηθό αξηζκό m s. Τέινο ζπκθσλεί θαη κε ην γεγνλόο πσο ε βαζηθή θαηάζηαζε δελ κπνξεί λα είλαη εθθπιηζκέλε. 6.3 Η βαζική καηάζηαζη: Χπονοανεξάπηηηη θεωπία διαηαπασών Σηε ζπλέρεηα ζα ππνινγίζνπκε ηελ ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ηεο νιηθήο Φακηιηνληαλήο 6.2 κε βάζε ηε ζεσξία ρξνλναλεμάξηεησλ δηαηαξαρώλ. Δηαηαξαθηηθή Φακηιηνληαλή είλαη ε 6.23 ελώ κεδεληθήο ηάμεο θπκαηνζπλαξηήζεηο θη ελέξγεηεο νη 6.3 θαη 6.3, αληίζηνηρα. Η δηόξζσζε πξώηεο ηάμεο ζα δίλεηαη από ηελ (5. Π) Ε = Ψ r 2 Ψ = Ζ6 π 2 e 2Z r +r 2 r 2 dr dr 2 (6.32) Ο ππνινγηζκόο ηνπ νινθιεξώκαηνο γίλεηαη σο εμήο: Επεηδή ηζρύεη r 2 = r r = 2 r 2 + r 2 2 2r r 2 cosθ = r + r 2 r 2 2 r 2 r cosθ κπνξνύκε λα ηελ αληηζηνηρίζνπκε κε ηελ γελλήηξηα ζπλάξηεζε ησλ πνιπσλύκσλ Legendre T(ω, s) = (6.33) + s 2 2sω = P l ω s l, s < (6.34) l= Αληηζηνηρώληαο ω cosθ θαη r 2 r s ή r r 2 s πξνθύπηεη r 2 = r r 2 l= r = r 2 r l= r 2 l l P l cosθ P l cosθ H 6.34 γξάθεηαη ζηελ πην ζπκπαγή κνξθή, r > r 2, r 2 > r (6.35) 9

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων r 2 = l= r < l r > l+ P l cosθ (6.36) όπνπ ην r < είλαη ην κηθξόηεξν θαη ην r > ην κεγαιύηεξν από ηα r και r 2. Φξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα άζξνηζεο αξκνληθώλ ε 6.36 γξάθεηαη P l cosθ = 4π 2l + r 2 = +l l= m = l 4π 2l + +l m= l Αληηθαζηζηώληαο ηελ 6.38 ζηελ 6.32 έρνπκε Y lm θ, φ r < l r > l+ Y lm θ, φ Y lm θ 2, φ 2 Y lm θ 2, φ 2 (6.37) (6.38) Ε = Ζ 6 +l 4π 2 π 2 2l + l= m = l r 2 dr r 2 2 dr 2 e 2Z r +r 2 r < l r > l+ dω Y lm θ, φ Y dω 2 Y Y lm θ 2, φ 2 (6.39) όπνπ ρξεζηκνπνηήζακε ηελ ζθαηξηθή αξκνληθή Y = 4π /2. Η 6.39 έρεη κε κεδεληθή ηηκή κόλν γηα l = m = εμαηηίαο ηεο νξζνγσληόηεηαο ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ. Επνκέλσο γξάθεηαη Ε = 6Ζ 6 r 2 dr = 6Ζ 6 r 2 e 2Zr dr r 2 2 dr 2 e 2Z r +r 2 = r > r 2 r 2 e 2Zr 2dr 2 r + r 2 e 2Zr 2dr 2 r (6.4) Τα νινθιεξώκαηα ηώξα ππνινγίδνληαη εύθνια κε θαηά παξάγνληεο νινθιήξσζε νπόηε ην απνηέιεζκα είλαη Ε = 5 8 Ζ (6.4) Παξαηεξνύκε πσο ε ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ εμαξηάηαη γξακκηθά από ην Ζ. Απηό κπνξεί λα δηθαηνινγεζεί θιαζζηθά αλ ιάβνπκε ππόςε ηελ ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο δπν θνξηίσλ e πνπ βξίζθνληαη ζε κέζε απόζηαζε < r >= a /Z, όπνπ a ε αθηίλα Bohr. Πξάγκαηη ε ελέξγεηα αιιειεπίδξαζεο είλαη αλάινγε ηνπ e 2 /< r >= Ze 2 /a Εθαξκόδνληαο ην ίδην ζθεπηηθό θαηαιαβαίλνπκε ηελ εμάξηεζε ηεο αδηαηάξαθηεο ελέξγεηαο από ην Ζ 2. Αζξνίδνληαο ηελ αδηαηάξαθηε ελέξγεηα 6.3 κε ηελ δηαηαξαθηηθή 6.4 πξνθύπηεη ην ηειηθό απνηέιεζκα r > = max {r, r 2 }. Άρα όταν r 2 > r r > = r 2 και r 2 [r, ]. Ενώ όταν r 2 < r r > = r και r 2 [, r ]. 9

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Ε Ε + Ε = Z 2 + 5 8 Ζ (a. u. ) (6.42) Σύγθξηζε ησλ ηηκώλ ηεο 6.42 κε ηελ πεηξακαηηθή ηηκή δείρλεη απόθιηζε 5% γηα ην He πνπ κεηώλεηαη όκσο γηα ηόληα κε κεγαιύηεξν Ζ. Εμαίξεζε απνηειεί ην αξλεηηθό ηόλ ηνπ πδξνγόλνπ Η θαζώο γη απηό είλαη Ζ =. 6.4 Η βαζική καηάζηαζη: Μέθοδορ μεηαβολών Σηε ζπλέρεηα ζα ππνινγίζνπκε ηελ ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ηεο νιηθήο Φακηιηνληαλήο 6.2 κε ηε κέζνδν ησλ κεηαβνιώλ (variational method) ησλ Rayleigh-Ritz. Σηε κέζνδν απηή νξίδεηαη έλα ζπλαξηεζηνεηδέο Ε φ = φ Η φ (6.43) θαη ππνινγίδεηαη ε ηηκή ηνπ γηα δηάθνξεο «δνθηκαζηηθέο» θαηαζηάζεηο θ νη νπνίεο εμαξηώληαη από ζπγθεθξηκέλεο κεηαβιεηέο παξακέηξνπο. Σηε ζπλέρεηα ην ζπλαξηεζηνεηδέο ειαρηζηνπνηείηαη αλαθνξηθά κε ηηο κεηαβιεηέο παξακέηξνπο ηνπ θαηαιήγνληαο ζηε βέιηηζηε πξνζέγγηζε ηεο ηδηνηηκήο Ε ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο. Η πξνζέγγηζε απηή εμαξηάηαη από ηελ επηινγή ηεο δνθηκαζηηθήο ζπλάξηεζεο θαη απνηειεί έλα άλσ όξην ζηελ πξνζέγγηζε ηεο ηδηνηηκήο Ε, δειαδή είλαη πάληα Ε Ε φ. Εθαξκόδνπκε ηα παξαπάλσ γηα ηελ Φακηιηνληαλή 6.2 κε δνθηκαζηηθή ζπλάξηεζε ηελ κεδεληθήο ηάμεο 6.3. Ωο κεηαβιεηή παξάκεηξν επηιέγνπκε ην ππξεληθό θνξηίν Ζ. Πξνθαλώο είλαη ε κόλε παξάκεηξνο ηεο 6.3 πνπ κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε αιιά ν θπζηθόο ιόγνο έρεη πνιύ βαζύηεξν λόεκα. Τν θάζε ειεθηξόλην αιιειεπηδξά κε ην ειθηηθό πεδίν ηνπ ππξεληθνύ θνξηίνπ Ζ αιιά ηαπηόρξνλα θαη κε ην απσζηηθό πεδίν ηνπ θνξηίνπ ηνπ άιινπ ειεθηξνλίνπ. Έηζη ζα βιέπεη δηαθνξεηηθό Κνπινκπηθό πεδίν πνπ ζα είλαη ην άζξνηζκα ησλ δπν παξαπάλσ όξσλ θαη ζα έρεη άκεζε εμάξηεζε από ηελ ζέζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ζρεηηθά κε ηνλ ππξήλα θαη ηε ζέζε ηνπ άιινπ ειεθηξνλίνπ. Πνιύ θνληά ζηνλ ππξήλα ζα βιέπεη θνξηίν Ζ ελώ πνιύ καθξηά από ηνλ ππξήλα ζα βιέπεη έλα δξαζηηθό θνξηίν Ζ-, δειαδή ην ππξεληθό θνξηίν ζσξαθηζκέλν από ην θνξηίν ηνπ ειεθηξνλίνπ. Η αλαδήηεζε ινηπόλ ηεο θαηάιιειεο ηηκήο ηεο κεηαβιεηήο παξακέηξνπ Ζ αληαλαθιά ηνλ παξαπάλσ ζπιινγηζκό. Σπκβνιίδνληαο ηελ ινηπόλ κε Ζ eff έρνπκε κε βάζε ηα παξαπάλσ Ε φ = φ 2 r 2 2 r 2 2 Z Z + φ = φ Τ r r 2 r + Τ 2 Z Z + φ (6.44) 2 r r 2 r 2 όπνπ Τ = 2 2 r θαη Τ 2 = 2 2 r 2 νη ηειεζηέο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Από ην ζεώξεκα Virial πξνθύπηεη όηη 92

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων φ Τ φ = Ψ Ζ = Ζeff Τ Ψ Ζ = Ζeff = Ψ s Ζ = Ζ eff Τ Ψ s Ζ = Ζ eff = E n =, Ζ = Ζ eff = 2 Z 2 eff (a. u. ) (6.45) Επίζεο είλαη φ Τ φ = φ Τ 2 φ. Ο όξνο φ δίλνληαο r 2 φ έρεη ήδε ππνινγηζηεί ζηελ 6.4 φ r 2 φ = 5 8 Ζ eff (6.46) Τέινο γηα ηνπο όξνπο φ r φ = φ r 2 φ είλαη 2 φ r φ = Ψ s Ζ = Ζ eff r Ψ s Ζ = Ζ eff = Ζ eff (6.47) Από ηηο 6.44 6.47 πξνθύπηεη όηη 2 Ε φ = Z eff + 5 8 Ζ eff 2ΖΖ eff (6.48) Αλαδεηώληαο ην ειάρηζην ηεο 6.48 ζέηνπκε κεδέλ ηελ παξάγσγν ηεο σο πξνο Ζ eff θαη ηειηθά πξνθύπηεη όηη ε ειάρηζηε ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ζπκβαίλεη όηαλ Ζ eff = Ζ 5 6 (6.49) Η ηηκή 5/6 νλνκάδεηαη ζηαζεξά ζσξάθηζεο. Τειηθά ε από ηηο 6.49 θαη 6.48 ε ειάρηζηε ελέξγεηα ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο πξνθύπηεη Ε = Ζ 5 6 2 (a. u. ) (6.5) Σεκεηώλεηαη πσο γηα Ζ eff = Ζ ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ελέξγεηαο είλαη ηαπηόζεκε κε απηήλ πνπ πξνθύπηεη από ηελ κέζνδν δηαηαξαρώλ (ζρέζε 6.42). Επνκέλσο ε κέζνδνο κεηαβνιώλ έδσζε κηθξόηεξε θαηά απόιπηε ηηκή ελέξγεηα ζύλδεζεο θη άξα θαιύηεξε πξνζέγγηζε από όηη ε κέζνδνο δηαηαξαρώλ. Η κέζνδνο κπνξεί λα δώζεη αθόκε πην αθξηβή απνηειέζκαηα επηιέγνληαο «βνιηθόηεξεο» δνθηκαζηηθέο ζπλαξηήζεηο. Μάιηζηα ζε κεξηθέο πεξηπηώζεηο δίλνπλ απνηειέζκαηα ελεξγεηώλ δέζκεπζεο κηθξόηεξε ηεο πεηξακαηηθήο ηηκήο. Απηό νθείιεηαη ζην όηη ζην πξόβιεκά καο παξαιείςακε ηνπο ζρεηηθηζηηθνύο θη άιινπο δεπηεξεύνληεο όξνπο ζηελ Φακηιηνληαλή. Όηαλ ιεθζνύλ θη απηνί ππόςε ε ζπκθσλία πεηξακαηηθώλ κεηξήζεσλ θαη ζεσξίαο είλαη ππνδεηγκαηηθή. 2 Είναι r n,l,m l = Ζ a n 2 93

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων 6.5 Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Αξρηθά ζα επηθεληξσζνύκε ζε θαηαζηάζεηο όπνπ ην έλα ειεθηξόλην παξακέλεη ζηελ βαζηθή θαηάζηαζε. Απηέο θαινύληαη γλήζηεο δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο θαη ζε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε κπνξνύλ λα γξαθηνύλ κε βάζε ηελ 6.29 σο Ψ ± r, r 2 = 2 Ψ r Ψ nlm r 2 ± Ψ nlm r Ψ r 2, n 2 (6.5) Η ελέξγεηέο ηνπο πεξηγξάθνληαη από ηε ζρέζε E,n = Z2 2 + n 2 (a. u. ), n 2 (6.52) Οη θαηαζηάζεηο 6.5 είλαη θαηαζηάζεηο παξα θαη νξζν (ζε αληίζεζε κε ηε βαζηθή θαηάζηαζε πνπ είλαη κόλν παξα). Επνκέλσο είλαη εθθπιηζκέλεο ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε. Σηε ζπλέρεηα ζα δνύκε ηελ άξζε ηνπ εθθπιηζκνύ ηνπο ιακβάλνληαο ππόςε ηνλ όξν αιιειεπίδξαζεο /r 2 ηεο 6.23. 6.6 Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων: Θεωπία διαηαπασών Εξγαδόκελνη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο ρξεζηκνπνηνύκε σο βάζε γηα ηελ κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ηηο θπκαηνζπλαξηήζεηο 6.5. Επεηδή νη θαηαζηάζεηο είλαη εθθπιιηζκέλεο ζα πξέπεη λα εθαξκόζνπκε ζεσξία δηαηαξαρώλ εθθπιηζκέλεο ζηάζκεο. Ωζηόζν κε βάζε ηηο 6.36 θαη 6.37, ν όξνο Η = /r 2 αλαπηύζζεηαη ζε ζεηξά ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ κε απνηέιεζκα ηα ζηνηρεία κήηξαο ηνπ Η (βι. ζρέζε 5. Π24) αλάκεζα ζηηο εθθπιηζκέλεο ηδηνθαηαζηάζεηο κε δηαθνξεηηθά l θαη m λα κεδελίδνληαη. Οκνίσο ηα ζηνηρεία κήηξαο κεηαμύ κηαο παξα θαη κηαο νξζν θαηάζηαζεο κεδελίδνληαη εθόζνλ ν όξνο /r 2 δελ αιιάδεη θάησ από ηελ ελαιιαγή ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Επνκέλσο νη δηνξζσκέλεο θπκαηνζπλαξηήζεηο κεδεληθνύ βαζκνύ πνπ απαηηεί ε ζεσξία δηαηαξαρώλ εθθπιηζκέλεο ζηάζκεο είλαη νη 6.5. Άξα ε πξώηεο ηάμεο δηνξζσκέλε ηηκή ησλ ελεξγεηώλ ζα είλαη ε (ζρέζε 5.Π24) Ε ± = ψ± Η ψ± = ψ ± r 2 ψ ± (6.53) όπνπ ην πξόζεκν (+) αλαθέξεηαη ζηηο θαηαζηάζεηο παξα θαη ην ( ) ζηηο νξζν. Αληηθαζηζηώληαο ηελ 6.5 ζηελ 6.53 πξνθύπηεη όπνπ θαη Ε ± = J ± Κ (6.54) J = Ψ r 2 r 2 Ψ nlm r 2 2 dr dr 2 Κ = ψ r ψ nlm r 2 Ψ r r 2 Ψ nlm r dr dr 2 2 (6.55) (6.56) 94

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Τν νινθιήξσκα J ιέγεηαη νινθιήξσκα Κνπιόκπ επεηδή κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ε αιιειεπίδξαζε κεηαμύ ησλ θαηαλνκώλ θνξηίσλ ησλ δπν ειεθηξνλίσλ. Τν νινθιήξσκα Κ νλνκάδεηαη νινθιήξσκα ελαιιαγήο επεηδή είλαη ην ζηνηρείν κήηξαο κεηαμύ δπν θαηαζηάζεσλ πνπ έρνπλ ελαιιάμεη ηνπο θβαληηθνύο ηνπο αξηζκνύο. Εθθξάδνληαο ηηο πδξνγνληθέο θαηαζηάζεηο Ψ nlm r = R nl r Y lm θ, φ θαη αλαπηύζζνληαο ηνλ όξν /r 2 ζε ζεηξά ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ (εξγαδόκελνη όπσο θαη ζηνπο ππνινγηζκνύο ζηνηρείσλ κήηξαο ηεο βαζηθήο θαηάζηαζεο) θαηαιήγνπκε ζηηο εμήο ζρέζεηο γηα ηα νινθιεξώκαηα J θαη Κ. J nl = r 2 2 2 R nl r 2 dr 2 r 2 2 R r dr r > (6.57) Κ nl = 2l + r 2 2 R r 2 R nl r 2 dr 2 r < l r 2 R r R nl r r l+ dr > (6.58) Παξαηεξνύκε πσο θαη ηα δπν νινθιεξώκαηα εμαξηώληαη από ηα n θαη l (όρη όκσο από ην m). Επνκέλσο ε πξώηεο ηάμεο δηαηαξαθηηθή ελέξγεηα γξάθεηαη Ε nl,± Επνκέλσο ε νιηθή ελέξγεηα γξάθεηαη E nl,± = Ε,n + Εnl,± = J nl ± Κ nl (6.59) = Z2 2 + n 2 + J nl ± Κ nl (a. u. ), n 2 (6.6) Τα νινθιεξώκαηα J θαη Κ. κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ αλαιπηηθά θαηά πεξίπησζε. Απηό πνπ κπνξνύκε λα πνύκε εδώ είλαη πσο απνδεηθλύεηαη πσο είλαη ζεηηθέο πνζόηεηεο. Επνκέλσο νη θαηαζηάζεηο νξζν ζα έρνπλ ρακειόηεξε ελέξγεηα από όηη νη παξα. Απηό ζεκαίλεη πσο νη θαηαζηάζεηο triplet ζα έρνπλ κεγαιύηεξε (θαηά απόιπηε ηηκή) ελέξγεηα ζύλδεζεο από ηηο singlet. Μηα πνηνηηθή αλαπαξάζηαζε ησλ ελεξγεηώλ ηνπο θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.. Τν παξαπάλσ απνηέιεζκα κπνξεί λα θαηαλνεζεί θαη θιαζζηθά σο εμήο. Παξαηεξνύκε πσο νη θαηαζηάζεηο νξζν (triplet) ηεο 6.5 κεδελίδνληαη όηαλ είλαη r = r 2. Επνκέλσο κπνξνύκε λα πνύκε πσο ηα ειεθηξόληα ζηελ θαηάζηαζε απηή ηείλνπλ λα απνκαθξύλνληαη κεηαμύ ηνπο, θη επνκέλσο θαηά κέζν όξν ζα έρνπλ κηα ζρεηηθά κηθξή ελέξγεηα άπσζεο. Από ηελ άιιε κεξηά, νη θαηαζηάζεηο παξα (singlet) δελ κεδελίδνληαη όηαλ είλαη r = r 2. Έηζη θαηά κέζν όξν ζα έρνπλ κηα ζρεηηθά κεγάιε ελέξγεηα άπσζεο, κεγαιύηεξε από ηελ θαηάζηαζε νξζν (triplet) κε ηνπο ίδηνπο θβαληηθνύο αξηζκνύο. Άξα νη θαηαζηάζεηο triplet είλαη πην ηζρπξά ζπλδεδεκέλεο από όηη νη singlet. Παξαηεξνύκε γηα άιιε κηα θνξά ηνλ δσηηθό ξόιν ηεο αξρήο ηνπ Pauli. Η απαίηεζε ηεο αληηζπκκεηξηθόηεηαο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο εηζάγεη κηα ζύδεπμε κεηαμύ ησλ ρσξηθώλ θαη ησλ ζπηλ κεηαβιεηώλ ησλ ειεθηξνλίσλ κε απνηέιεζκα ηελ εκθάληζε κηαο δύλακεο ηεο νπνίαο ην απνηέιεζκα θαηλνκεληθά εμαξηάηαη από ηνλ ζρεηηθό πξνζαλαηνιηζκό ησλ ζπηλ ησλ ειεθηξνλίσλ. Οη δπλάκεηο απηέο θαινύληαη δπλάκεηο ελαιιαγήο. Αλ θαη ηηο ρεηξηδόκαζηε σο δηαηαξαρή ζην ζύζηεκά καο ελ ηνύηνηο είλαη πνιύ πην ηζρπξέο από ηνπο άιινπο όξνπο δηαηαξαρήο πνπ εηζάγακε ζην θεθάιαην 4 (ιεπηή πθή, θηι.). 95

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Σσήμα 6.. Ο δηαρσξηζκόο ηεο θαηάζηαζεο n = 2 ηνπ He ζε πξώηεο ηάμεο δηαηαξαρή. Παξαηεξείζηε όηη ν όξνο Κνπιόκπ J είλαη ππέπζπλνο γηα ηελ άξζε ηνπ εθθπιηζκνύ σο πξνο ηνλ θβαληηθό αξηζκό l, αιιά ν όξνο ελαιιαγήο Κ είλαη απηόο πνπ δηαρσξίδεη ηηο θαηαζηάζεηο singlet από ηηο triplet. Αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο εμαηηίαο ηνπ δηαρσξηζκνύ όισλ ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ειίνπ (αιιά θαη γεληθά ησλ ειηνεηδώλ αηόκσλ) ζε singlet θαη triplet, ην ελεξγεηαθό δηάγξακκα ηνπ ειίνπ είλαη ζπλήζσο ρσξηζκέλν ζε δπν πεξηνρέο όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.2. Μάιηζηα απηόο ν δηαρσξηζκόο νδήγεζε αξρηθά ηνπο θαζκαηνζθόπνπο ζηνλ δηαρσξηζκό ηνπ ειίνπ ζε δπν δηαθνξεηηθά είδε ειίνπ, ην ορθοήλιο θαη ην παραήλιο, όξνη πνπ δηαηεξνύληαη σο ηηο κέξεο καο. 6.7 Διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων: Θεωπία μεηαβολών Η εθαξκνγή ηεο ζεσξίαο κεηαβνιώλ ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο είλαη γεληθά πνιύ πην δύζθνιε από όηη απηή ηεο βαζηθήο ζηάζκεο. Ο ιόγνο είλαη πσο ε δνθηκαζηηθή θπκαηνζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη νξζνγώληα κε όιεο ηηο θπκαηνζπλαξηήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζε ελεξγεηαθέο ηδηνηηκέο κηθξόηεξεο από απηή ηεο ελ ιόγσ θαηάζηαζεο. Οη ηερληθέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε πνηθίινπλ θαηά πεξίπησζε θαη μεθεύγνπλ ηνπ ζθνπνύ ησλ ζεκεηώζεσλ. 96

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων Σσήμα 6.2. Tν ελεξγεηαθό δηάγξακκα ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ He. 6.8 Διπλά διεγεπμένερ καηαζηάζειρ δςο ηλεκηπονίων Μέρξη ηώξα επηθεληξσζήθακε ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο όπνπ ην έλα ειεθηξόλην παξακέλεη ζηελ βαζηθή θαηάζηαζε ηηο νπνίεο απνθαιέζακε θαη γλήζηεο (genuine) δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο. Ωζηόζν κηα δηεγεξκέλε θαηάζηαζε κπνξεί λα έρεη θαη ηα δπν ειεθηξόληα ζε δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο. Απηέο νλνκάδνληαη δηπιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο (doubly excited states) θη επνκέλσο έλαο θαιύηεξνο όξνο γηα ηηο γλήζηεο δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο είλαη νη απιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο (singly excited states). Οη δηπιά δηεγεξκέλεο θαηαζηάζεηο έρνπλ δηαθξηηό θάζκα ην νπνίν βξίζθεηαη κέζα ζην θάζκα ηνπ ζπλερνύο ηνπ He +. Δειαδή νη ελέξγεηέο ηνπ είλαη κεγαιύηεξεο (θαη απόιπηε ηηκή) από ηελ ελέξγεηα ηνληζκνύ ηνπ He πνπ είλαη Ι P He = 24.6 ev. Απηό θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.3. Έζησ όηη ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ε θπκαηνζπλάξηεζε κηαο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο πεξηγξάθεηαη από ηελ θαηάζηαζε a > πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ελεξγεηαθή ηδηνηηκή Ε a. Επεηδή ε ηδηνηηκή απηή είλαη ιύζε ηεο Φακηιηνληαλήο πεξηιακβάλεη θαη ηηο θαηαζηάζεηο ηνπ ζπλερνύο ηνπ απινύ ηόληνο ηνπ ειίνπ (βι. ζρήκα 6.3). Σπκβνιηθά αληηζηνηρνύκε ηελ b > ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπλερνύο γύξσ από ηελ Ε a. Τόηε ε νιηθή κεδεληθήο ηάμεο θπκαηνζπλάξηεζε πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ελεξγεηαθή ηδηνηηκή Ε a ζα είλαη ε Ψ = c a a > +c b b >. Πξνρσξώληαο ζηε ζεσξία 97

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων δηαηαξαρώλ πξώηεο ηάμεο παξαηεξνύκε πσο ν δηαηαξαθηηθόο όξνο /r 2 επηθέξεη κηα ζύδεπμε κεηαμύ ησλ δηπιά δηεγεξκέλσλ θαηαζηάζεσλ θαη ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ ζπλερνύο. Πξάγκαηη από ηελ δηαηαξαρή Ψ /r 2 Ψ πξνθύπηεη ν όξνο a /r 2 b πνπ ζπλδέεη ηηο δπν θαηαζηάζεηο. Επνκέλσο κπνξνύκε λα έρνπκε κηα κεηάβαζε από κηα δηπιά δηεγεξκέλε θαηάζηαζε δπν ειεθηξνλίσλ ζε κηα πδξνγνλνεηδή θαηάζηαζε ελόο ειεθηξνλίνπ. Η δηαδηθαζία απηή είλαη κε-αθηηλνβνιηηηθή θαη νλνκάδεηαη αστοϊονισμός ή υαινόμενο Auger. Αμίδεη λα ζεκεησζεί πσο ε απνδηέγεξζε ηεο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο είλαη πνιύ πηζαλόηεξν λα γίλεη κέζσ δηαδηθαζίαο Auger παξά κε δπν αθηηλνβνιηηηθέο κεηαβάζεηο. Μόλν γηα πνιύ κεγάια Ζ (Ζ>4 ) νη αθηηλνβνιηηηθέο κεηαβάζεηο ππεξηεξνύλ ησλ Auger. Σσήμα 6.3. Επαπμεκέλν ελεξγεηαθό δηάγξακκα ησλ θαηαζηάζεσλ ηνπ He. Τέινο έλα παξάδεηγκα πνπ ηνλίδεη ηελ ηδηαηηεξόηεηα ησλ δηπιά δηεγεξκέλσλ θαηαζηάζεσλ έξρεηαη από ηηο θξνύζεηο ειεθηξνλίσλ κε ηόληα. Η θξνύζε ή ε ζθέδαζε κηαο δέζκεο ειεθηξνλίσλ από απιά ηνληζκέλα ηόληα ειίνπ γηα παξάδεηγκα κπνξεί λα νδεγήζεη ζηελ ζύιιεςε ηνπ ειεθηξνλίνπ από ην ηόλ κε ηαπηόρξνλε πξνώζεζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ηνπ ηόληνο ζε δηεγεξκέλε θαηάζηαζε ηνπ ηόληνο. Πξόθεηηαη γηα ηελ αληίζηξνθε ρξνληθά δηαδηθαζία Auger! Επεηδή ε ζύιιεςε ηνπ ειεθηξνλίνπ κε απηόλ ηνλ ηξόπν ζπκβαίλεη κόλν γηα ζπγθεθξηκέλε ελέξγεηα (ηελ ελέξγεηα Auger ηεο δηπιά δηεγεξκέλεο θαηάζηαζεο) ε ζθέδαζε ησλ ειεθηξνλίσλ ζε απηή ηελ ηηκή ησλ θηλεηηθώλ ελεξγεηώλ ζα παξνπζηάζεη ζπληνληζκό. Η ζρεκαηηζκέλε δηπιά δηεγεξκέλε θαηάζηαζε κπνξεί ζηε ζπλέρεηα λα απνδηεγεξζεί κε 98

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων δηαδηθαζία Auger, νπόηε ηόηε κηιάκε γηα ειαζηηθή ζθέδαζε ζπληνληζκνύ ηνπ ειεθηξνλίνπ. Η εμίζσζε αληίδξαζεο πνπ πεξηγξάθεη ην θαηλόκελν είλαη ε 6.6 ελώ κηα ζρεκαηηθή αλαπαξάζηαζή ηνπ δίλεηαη ζην ζρήκα 6.4. e + He + He e + He + (6.6) Σσήμα 6.4. Αξηζηεξά: Με αθηηλνβνιηηηθή ζύιιεςε ειεθηξνλίνπ δέζκεο από ηόλ (Radiationless Capture - RC). Δεμηά: Απνδηέγεξζε Auger. Οη δπν δηαδηθαζίεο είλαη ηζνδύλακεο θαη ν ζπλδπαζκόο ηνπο νδεγεί ζηελ ειαζηηθή ζθέδαζε ζπληνληζκνύ (Resonant Elastic Scattering - RES). 99

Σημειώςεισ Ατομικήσ Φυςικήσ Μ. Μπενήσ / 23 Ατομικά ςυςτήματα δυο ηλεκτρονίων ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πεξηγξάςηε ηηο θαλνληθνπνηεκέλεο ρσξηθέο θπκαηνζπλαξηήζεηο ησλ θαηαζηάζεσλ 2s 2, 2s2p, 2p 2 θαη s3p ζηε κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε. Με βάζε ην απνηέιεζκά ζαο αληηζηνηρίζηε ηε ζσζηή ζπηλ θπκαηνζπλάξηεζε (singlet ή triplet) ζηελ θάζε θαηάζηαζε θαη νλνκάζηε ηηο θαηάιιεια ζην ζπκβνιηζκό 6.9. 2. Υπνινγίζηε ηα νινθιεξώκαηα Κνπιόκπ θη ελαιιαγήο J nl θαη Κ nl γηα n = 2, l =, (ζρέζεηο 6.57 θαη 6.58) θαη θαηαιήμηε ζηελ πξώηεο ηάμεο δηνξζσκέλε ελεξγεηαθή ηηκή ησλ θαηαζηάζεσλ 2 S, 2 P, 2 3 S θαη 2 3 P. Να γίλεη θαη ην ελεξγεηαθό ηνπο δηάγξακκα. 3. Άηνκν ειίνπ δηεγείξεηαη ζηελ θαηάζηαζε απηντνληζκνύ 2s4p. Θεσξώληαο όηη ην ειεθηξόλην 2s θηλείηαη ζην αζσξάθηζην Κνπινκπηθό δπλακηθό ηνπ ππξήλα ελώ ην 4p θηλείηαη ζην πιήξσο ζσξαθηζκέλν (από ην 2s ειεθηξόλην) Κνπινκπηθό δπλακηθό ηνπ ππξήλα, λα ππνινγίζεηε a. Τελ ελέξγεηα ηεο απηντνληδόκελεο θαηάζηαζεο b. Τελ θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ειεύζεξνπ ειεθηξνλίνπ πνπ πξνθύπηεη αλ ε απηντνληδόκελε θαηάζηαζε απνδηεγεξζεί δίλνληαο έλα ειεύζεξν ειεθηξόλην αθήλνληαο ην ηόλ ηνπ ειίνπ ζηε βαζηθή ηνπ θαηάζηαζε s.

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση. διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=62.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Ατομική Φυσική. Ατομικά συστήματα δυο ηλεκτρονίων». Έκδοση:.. Ιωάννινα 24. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=62.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4. [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4./