ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κασική και στατιστική Θερμοδυναμική Κασικά συστήματα Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόουος
Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υικό υόκειται σε άδειες χρήσης Crativ Commons. Για εκαιδευτικό υικό όως εικόνες ου υόκειται σε άου τύου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Συνάρτηση Ειμερισμού συστήματος διακρίσιμων σωματιδίων Εστω Ν διακρίσιμα σωμάτια σε καταστάσεις με ενέργειες Ε 0 Ε να δεχθεί ότι Ζζ Ν όου ζ η συνάρτηση ειμερισμού του ενός σωματιδίου: Έχουμε τους εξής συνδιασμούς: ε ζ g g g g
Συνάρτηση Ειμερισμού συστήματος διακρίσιμων σωματιδίων ζ g Z Γενικότερα για Ν διακρίσιμα σωμάτια σε καταστάσεις μορεί να δεχθεί ότι { } n n r n n r n n n Z ζ...
Σωμάτια: Διακρίσιμα - Μη Διακρίσιμα: Καταστάσεις: Διαφορετικές - Ισοδύναμες
Μη Διακρισιμότητα αν σωμάτια σε διαφορετικές καταστάσεις θεωρηθούν διακρίσιμα ο αριθμός των καταστάσεων υερεκτιμάται κατα Ν!! 6 4
Κασικά Συστήματα. Χώρος των φάσεων Η κατάσταση ενός κασικού σωματιδίου σε τρεις διαστάσεις τρεις αθμοί εευθερίας είναι ήρως ορισμένη αν γνωρίζουμε: την θέση του r όως ορίζεται αό τις συντεταγμένες x y z και την ορμή του όως ορίζεται αό τις συντεταγμένες x y z Γενικότερα η κατάσταση ένος σύστηματος με f αθμούς εευθερίας ορίζεται αό f αραμέτρους: f γενικευμένες συντεταγμένες θέσης q i και τις αντίστοιχες f γενικευμένες συντεταγμένες ορμής i με i...f. Δηαδή μορεί να οριστεί αο ένα σημείο σε ένα f-διάστατο χώρο ου ονομάζεται «χώρος των φάσεων». ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σωμάτιο ου εκτεεί αρμονική ταάντωση σε μία διάσταση. Η κίνηση του μορεί να αρασταθεί αό μια έειψη στο είεδο x «χώρος φάσεων» εφόσον αυτά τα δύο μεγέθη συνδέονται με την συνοική ενέργεια Ε Ε κινητική δυναμική ου αντιστοιχεί στην δύναμη εαναφοράς: m m mω x x mω 5
Αρθμός καταστάσεων στο χώρο των φάσεων Ο αριθμός των καταστάσεων ου αντιστοιχεί στον στοιχειώδη «όγκο» του χώρου των φάσεων dγd r d dx dy dz d x d y d z είναι: dγ d r d Γενικότερα για ένα σύστημα με f αθμούς εευθερίας ου f γενικευμένες συντεταγμένες θέσης q i και τις αντίστοιχες f γενικευμένες συντεταγμένες ορμής i με i...f. f f dγ d q d f f Για αράδειγμα σωμάτιο ου κινείται σε δύο διαστάσεις σε ειφάνεια Α: dγ da dxdy Η αρουσία της σταθεράς του Planck στον αρονομαστή ορέρχεται αό το γεγιονός ότι σύμφωνα με την αρχή της αεαιότητας δεν μορούμε να ξέρουμε με άειρη ακρίεια ταυχτόχρονα την θέση και την ορμή: q * Οι αραάνω ορισμοί είναι σύμφωνοι με τον υοογισμό του αριθμού των καντικών καταστάσεων για σωματίδιο σε κυικό δοχείο. δες.χ. Mandl αράρτημα Β. > 6
Αριθμός καταστάσεων στο χώρο των φάσεων Με αά όγια εφόσον κάθε σημείο του χώρου των φάσεων αντιστοιχεί σε μια διαφορετική κατάσταση είναι ροφανές ότι ο αριθμός των καταστάσεων θα είναι ανάογος του «όγκου του χώρου των φάσεων» Γ ου κατααμάνει το σύστημα μας. Όμως αρότι κάθε όγκος όσο και μικρός να είναι εριέχει άειρα σημεία οι γειτονικές καταστάσεις δεν μορούν να θεωρηθούν διαφορετικές αρά αν διαφέρουν αρκετά με άση την αρχή της αεαιότητας. Δηαδή ο εερασμένος αριθμός των καταστάσεων ροκύει αν μετρήσουμε όσες κυψείδες όγκου f εριέχονται στο Γ. Για αράδειγμα για σωματίδιο ου κινείται σε μία διάσταση fο αριθμός των καταστάσεων ου αντιστοιχεί σε «όγκο» στην ουσία ειφάνεια του διδιάστατου f του χώρου των φάσεων είναι: dγ dx dx Δηαδή είναι σαν να μετράμε όσα «ακάκια» εμαδού εριέχονται στο Γ. x x 7
Συνάρτηση Ειμερισμού Εεύθερου Σωματιδίου mk mk d d d d d d dz dy dx d d m m mk z mk y mk x mk z y x k z y x z y x z y x ζ ζ r Το φυσικό νόημα της οσότητας στην αρένθεση γίνεται φανερό αν εκφραστεί σαν συνάρτηση του μήκους κύματος d-brogli ου αντιστοιχεί σε εεύθερό σωματίδο με ενέργεια Ε. Κάνουμε και χρήση του θερωρήματος της ισοκατανομής ου θα αοδείξουμε αργότερα: mk k m ζ Αν ξεχάσουμε τον αριθμητικό αράγοντα / / το ζ φαίνεται να εκφράζει τον αριθμό των σωματιδίων το κάθε ένα όγκου υ ου χωρούν σε όγκο. σωματίδιο σε δοχείο όγκου 8
Συνάρτηση Ειμερισμού Ιδανικού αερίου Ιδανικό αέριο αό Ν εεύθερα μη-αηειδρώντα Ε /m σωματίδια: mk k k k k Z k F Z!!! ζ Καταστατική εξίσωση: [ ] k P k k k k F P Παρατήρηση: Με άση αρόμοιες ράξεις έουμε αυτή η εξίσωση θα ροκύψει για οοιοδήοτε αέριο μη αηειδρώντων σωματιδίων ου για το οοίο η συνάρτηση ειμερισμού το ενός μορεί να γραφεί ως: Η μη-διακρισιμότητα δεν αίζει κάοιο ρόο εδώ αά θα αίξει μεγάο ρόο στον υοογισμό της εντροίας! g ζ 9
Ενέργεια ιδανικού αερίου k k m m Z 0
Εντροία ιδανικού αερίου mk k k mk k mk k mk k mk k F 5 Όου στο τέος αώς γράψαμε μια ιο τακτοοιημένη έκφραση αά διαχωρίζοντας τις συνεισφορές της θερμοκρασίας και του όγκου. Αν είχαμε θεωρήσει τα σωματίδια του αερίου ως διακρίσιμα και δεν είχαμε διαιρέσει με τον αράγοντα Ν! Θα είχαμε καταήξει στην σχέση: mk k ά ί! θος σιµα διακρ
Λάθη ου μορούν να ροκύψουν αό την διαισθητική ροσέγγιση τηςεντροίας ως «αθμού αταξίας» Ανάμιξη δύο αερίων ου δεν οδηγεί σε αύξηση της εντροίας: Η εντροία της αρχικής κατάστασης αριστερά είναι ίδια με αυτή της τεικής δεξιά αρότι ότι η δεύτερη φαίνεται να έχει «ερισσότερη αταξία»! Ari Bn-aim: tatistical rmodynamics basd on Information: A farwll to ntroy
Ανάμιξη δύο αερίων Ένα δοχείο όγκου σε σταθερή θερμοκρασία Τ χωρίζεται σε δύο μέρη όγκων και με διάφραγμα ου εριέχουν αντίστοιχα Ν και Ν μόρια δύο διαφορετικών αερίων. Το διάφραγμα αφαιρείται και τα αέρια αναμειγνύονται σημ: ενώ εκτείνοται ταυτόχρονα!. Αοδείξτε ότι η εντροία αυξάνεται. 0 > k k k k c k c k c k c k ini fin fin ini
Ανάμιξη δύο ίδιων αερίων Αν και στις δυο ευρές του διαφράγματος το αέριο ήταν ίδιο... 0 P k P k P k k P k ά k c k c k c k ini fin ini fin fin ini α...τότε θα έρεε να γράψουμε: 4
Παράδοξο Gibbs Αν στο ροηγούμενο αράδειγμα είχαμε ξεκινήσει αό την άθος υόθεση της διακρισιμότητας μεταξύ ίδιων σωματιδίων θα έρεε να γράψουμε: ini fin fin fin kc k c ini ini k k k kc > 0 Θα καταήγαμε στο αράδοξο συμέρασμα ότι η εντροία αυξάνεται αρότι αναμειγνύουμε ένα αέριο με τον εαυτό του. 5
Ιδανικό Αέριο στα αίσια της κατανομής Gibbs { } k k P k k P k k P k k k x Z Ω Ω Ω Ξ Ω Ξ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ζ ζ ζ ζ µ!! 6
Τέος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υικό έχει ανατυχθεί στα αίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανειστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκαιδευτικού υικού. Το έργο υοοιείται στο αίσιο του Ειχειρησιακού Προγράμματος «Εκαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ένωση Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και αό εθνικούς όρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το αρόν έργο αοτεεί την έκδοση.0. Έχουν ροηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ. tt://cours.uoi.gr/cours/viw.?id079.
Σημείωμα Αναφοράς Coyrigt Πανειστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόουος. «Κασική και στατιστική Θερμοδυναμική. Κασικά συστήματα». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο αό τη δικτυακή διεύθυνση: tt://cours.uoi.gr/cours/viw.?id079.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το αρόν υικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Crativ Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. [] tts://crativcommons.org/licnss/by-sa/4.0/.