Ευθυμίου Κ., Τσιγκλιφής Κ., Πελεκάσης Ν.

Απόκριση αξονοσυμμετρικής μικροφυσαλίδας σε ακουστικές διαταραχές Ευθυμίου Κ., Τσιγκλιφής Κ., Πελεκάσης Ν. Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών & Στροβιλομηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Χρηματοδότηση: Πρόγραμμα «Ηράκλειτος ΙΙ», Υ.ΠΑΙ.Θ.Π.Α. 8 ο Πανελλήνιο συνέδριο «Φαινόμενα ροής ρευστών», 16 & 17-11-2012, Βόλος

Μικροφυσαλίδες (Contrast Agents) Φυσαλίδες που περιβάλλονται από ελαστική μεμβράνη Εμπεριέχουν χαμηλής πυκνότητας ρευστό, συνήθως διαλυτό στο αίμα Έχουν διάμετρο της τάξης 1 έως 10 μm Μεμβράνη μονής στοιβάδας από πολυμερές, λιπίδιο ή πρωτεΐνη πάχους της τάξης 1 έως 30 nm Κίνητρο PEG Lipid monolayer MI Βελτιωμένη απεικόνιση αιμάτωσης, μέσω μιας ακολουθίας υπερήχων χαμηλού και υψηλού Μηχανικού Δείκτη (MI) p Ac f Διαγνωστική ιατρική Μέθοδος υπερήχων Εκπομπή ισχυρού σήματος πίεσης από τη μικροφυσαλίδα, όταν διαταραχθεί το περιβάλλον ρευστό (boros et al. 2002, Frinking & de Jong, Postema et al., Ultrasound Med. Bio. 1998, 2004)

Θεραπεία ασθενειών εσωτερικών οργάνων Μεταφορά φαρμάκων στους ιστούς από τις μικροφυσαλίδες (Klibanov et al., adv. Drug Delivery Rev., 1999, Ferrara et al. Annu. Rev. Biomed., 2007) Γονιδιακή Θεραπεία Μέθοδος onoporation Δημιουργία πόρων στην επιφάνεια γειτονικών κυττάρων εξαιτίας του ροϊκού πεδίου που δημιουργεί η ταλαντούμενη μικροφυσαλίδα (Marmottant & Hilgenfeldt, Nature 2003) Ανάγκη για εξειδικευμένη σχεδίαση Contrast Agents, ώστε να επιτευχθεί ελεγχόμενη ταλάντωση ή/και καταστροφή τους Ανάγκη για ανάπτυξη μοντέλων που θα καλύπτουν ευρύτερο φάσμα της συμπεριφοράς των Contrast Agents (π.χ.: μη γραμμική συμπεριφορά του υλικού του κελύφους, παραμορφώσεις σχήματος της μικροφυσαλίδας, μεταφορά μάζας στη διεπιφάνεια φυσαλίδας ρευστού) Ανάγκη να κατανοηθούν οι πειραματικές παρατηρήσεις με σκοπό τον χαρακτηρισμό των Contrast Agents

Το κέλυφος της μικροφυσαλίδας παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στο σχεδιασμό και τον έλεγχο της συμπεριφοράς της Διάγραμμα φάσης Στατική απόκριση μικροφυσαλίδας Condensed solid phase Condensed liquid phase (Wang et al. J. Phys. Chem. 1996) Παραμορφώνεται όταν διαχυθεί αέριο στο περιβάλλον ρευστό διαπερνώντας το κέλυφος (Borden & Longo, Langmuir, 2002) Δύο μηχανισμοί ανάκτησης σφαιρικού σχήματος: Αποβολή του πλεονάζοντος λιπιδίου (lipid shedding or budding) (Borden & Longo, Langmuir, 2002) Δημιουργία διπλής στοιβάδας (bilayer) (Lee et al., Annu. Rev. Phys. Chem, 2008) Ανακτούν εκ νέου το σφαιρικό τους σχήμα μέσω ενός μηχανισμού, ο οποίος ενώνει τα υδρόφοβα στελέχη του λιπιδίου

Δυναμική απόκριση μικροφυσαλίδας Οι μικροφυσαλίδες ταλαντώνονται εμφανίζοντας μεγαλύτερη συμπίεση απ ό,τι διόγκωση για μικρά πλάτη διαταραχών («Compression only» behavior), ενώ για μεγάλα πλάτη εμφανίζουν αντίθετη συμπεριφορά («Expansion only» behavior) (Marmottant et al., JAA, 2005) M. Overvelde, Ph. D Thesis (2010) Univ. Twente P 40kPa, 0.4 Ac BR 14 Όταν οι μικροφυσαλίδες εμφανίζουν «Compression only» συμπεριφορά, παραμορφώνονται κατά τη φάση της συμπίεσης

Αξονοσυμμετρικές ταλαντώσεις μικροφυσαλίδας, n e s P t P 1 cos t 2 v Liquid ρ, P st ξ=1 Potential incompressible flow st f f f Axis of symmetry Gas P G Αξονική συμμετρία r s θ σ hell ξ=0 G s, μ s, k B, δ Ιδανική, αστρόβιλη ροή υψηλού αριθμού Reynolds o Characteristic space and time scales: R, o Dimensionless parameters: f P f P 3 G R G / R Re l,2 d / Eq G R,2d Eq t,2d k B G R Ασυμπίεστο περιβάλλων ρευστό με ημιτονοειδή αλλαγή πίεσης στο άπειρο Ιδανικό αέριο εντός της φυσαλίδας που υπόκειται σε αδιαβατική μεταβολή B 2,2d Eq Πολύ λεπτό ιξωδοελαστικό κέλυφος του οποίου η συμπεριφορά χαρακτηρίζεται από καταστατικό νόμο (π.χ. Hooke, Mooney-Rivlin ή kalak) 2 l 3 R / G Eq Eq.2d Eq, Re G,2d =δg s G,2 We d G R 3,2d Eq Το κέλυφος παρουσιάζει καμπτική σταθερά η οποία καθορίζει τις τάσεις μαζί με τις μεταβολές καμπυλότητας Παράμετροι του κελύφους: μέτρο επιφανειακής διαστολής χ=3g s δ, διασταλτικό ιξώδες μ s, σταθερές b ή C για ψευδοπλαστικά ή διασταλτικά κελύφη αντίστοιχα και μέτρο δυσκαμψίας k B 2

Το ιξώδες του κελύφους είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό του υγρού (Re s <<Re l ) Επομένως οι ιξώδεις τάσεις του υγρού θεωρούνται αμελητέες Το εφαπτομενικό ισοζύγιο δυνάμεων στο κέλυφος ικανοποιείται από την ισορροπία των ιξωδών και ελαστικών τάσεων του κελύφους Ισοζύγιο δυνάμεων στη διεπιφάνεια μικροφυσαλίδας ρευστού: 1 2k m s n n r rs : PL I X n PG n n F F, ReL We We F F n Fe T, T qn s El qn : :, : vis n t s s El Vis Επιφανειακός τελεστής, Τανυστές ελαστικών και ιξωδών τάσεων Τανυστής διατμητικών τάσεων λόγω ροπών T : Τανυστής τάσεων Ισοζύγιο ροπών στη διεπιφάνεια μικροφυσαλίδας ρευστού: q m ( I nn), : s m Τανυστής ροπών

Καταστατικές σχέσεις για τις αναπτυσσόμενες ροπές: R m k I, I, k n k ( I nn) B 1 2 m s m R k :Μέση καμπυλότητα αναφοράς, : Αντίσταση του κελύφους σε λυγισμό, m k k m K vk m K vk B, B s s s s R K k k, K k k k B s s s s 2 3G s 2 12 1 k B R : Λόγος Poisson Για αξονική συμμετρία και μικρές αποκλίσεις από τις καμπυλότητες αναφοράς R R ks, k (Bending measures of strain, Zarda et al. 1977) Σύμφωνα με τη θεωρία πλακών και κελυφών, 3D ελαστικό στερεό μικρού πάχους h (Timoshenko & Krieger, 1959) Σχηματικό διάγραμμα των τάσεων και των των ροπών που αναπτύσσονται σε ένα κομμάτι του σφαιρικού κελύφους

Καταστατικοί νόμοι κελύφους Γραμμική συμπεριφορά Νόμος Hooke Νόμος Kelvin Voigt με ιξώδεις τάσεις: T H G 1 s 1 1 1 1 K K A A s Κ: μέτρο επιφανειακής διαστολής G s : μέτρο διάτμησης ν s : λόγος Poisson επιφάνειας ΔΑ/Α: Σχετική μεταβολή εμβαδού tress 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 train softening, b=0 train softening, b=1 train hardening, C=1 train hardening, C=5 Marmottant model Neo-Hookean Ψευδοπλαστικό υλικό (train softening) (π.χ.: λιπίδιο μονής στοιβάδας) Νόμος Mooney Rivlin (2D): 4 2 G 1 MR MR T 1 1 1, 0 1 6 Ψ=1-b : βαθμός ομαλότητας Διασταλτικό υλικό (train hardening) (π.χ.: ερυθρά αιμοσφαίρια με κέλυφος από λιπίδιο διπλής στοιβάδας) Νόμος kalak: T G C C K 2 1 1 1, 1, 1 K -2,0-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 Isotropic train =ΔΑ/Α C: βαθμός επιφανειακής συμπιεστότητας

A M P L I T U D E 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Παραμετρική ευστάθεια Συντονισμός Dynamic Buckling Req 3.6 m, Gs 80 MPa, 1 nm, s 20 Pa s, b 0, 0.5, l 998 kg 3, P st 101325 Pa, 1.07, v f 1.7 MHz, KBD 3.0d 14Nm m aturation - Harmonic resonance R(t) P 4 0,2 P tability, ε=2 8 tability, ε=3 v 0 =1.1 MHz, v 4 =2 MHz -0.2 0 50 100 150 200 250 300 350 t imulation ε=2 P 0 P 4 P 6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,0-0,2-0,4 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 R(t) P 7 train oftening membrane P 0 P 2 P 6 P 7 P 8 imulation ε=3 Transient Break-up t -0.4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Αξονοσυμμετρικές ταλαντώσεις μικροφυσαλίδας παρουσία γειτονικού τοιχώματος Σχηματική απεικόνιση Διέπουσες εξισώσεις P t P 1 cos t, 2 v st f f f z r, t Κινηματικές συνθήκες: r z r z z r r z dr n dz, n dt r z dt r z Ολοκληρωτική εξίσωση πάνω στις διεπιφάνειες φυσαλίδας και τοιχώματος: r z t r z t G r z r z d,,,,,,, b w r, z r, z 0 0 0 0 Δυναμική συνθήκη στη διεπιφάνεια φυσαλίδας ρευστού: D 1 2km P P, G Fn k m s n Dt 2 n r z We Λόγω αξονοσυμμετρίας ισχύουν για τη φυσαλίδα: z r r n 0 0 0 0 n b 0 στο 2 1 0, 1 (i.e. 0) G r, z, t r0, z0, t r0, z0, r, zdb n G r, z, tg r, z, r, zd r, z, t r, z, r, zd n 0 0 w 0 0 n w b w

Διέπουσες εξισώσεις (συν.) Θεώρηση στερεού τοιχώματος: Σε αυτή την περίπτωση θεωρούμε δεύτερη φυσαλίδα συμμετρικά ως προς τον άξονα r (θετικός ημιάξονας z) Rigid Wall 2 1 P t P 1 cos t, 2 v st f f f uz 0 r Η επίλυση των κινηματικών συνθηκών και της δυναμικής συνθήκης γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και προκύπτουν η θέση της διεπιφάνειας και το δυναμικό της ταχύτητας κοντά στη διεπιφάνεια. Λόγω της συμμετρίας λύνουμε μόνο για τη μία φυσαλίδα. Για την εύρεση της κάθετης ταχύτητας στη διεπιφάνεια επιλύουμε την ολοκληρωτική εξίσωση πάνω στις δύο διεπιφάνειες των φυσαλίδων με χρήση συνοριακών στοιχείων: r, z, t r, z, tg r, z, r, zd b1 0 0 0 0 b1 n b1 G r, z, t r0, z0, t r0, z0, r, zdb 1 n G r, z, tg r, z, r, zd r, z, t r, z, r, zd n 0 0 b2 0 0 b2 n b2 b2 Το πεδιακό σημείο (r 0,z 0 ) βρίσκεται τη μια φορά στη διεπιφάνεια της φυσαλίδας 1 και την άλλη στη διεπιφάνεια της 2

Διέπουσες εξισώσεις (συν.) z r, t Θεώρηση του τοιχώματος ως ελεύθερη επιφάνεια: Οι κινηματικές συνθήκες παραμένουν οι ίδιες και για το τοίχωμα. Δυναμική συνθήκη στη διεπιφάνεια τοιχώματος ρευστού: D 1 2km P P, st k m s n Dt 2 n r z We Η επίλυση τους γίνεται FEM και παίρνουμε τη θέση της διεπιφάνειας τοιχώματος ρευστού και το δυναμικό της ταχύτητας κοντά στη διεπιφάνεια Λόγω αξονοσυμμετρίας ισχύουν για το τοίχωμα: z r n 0 στο 0 (i.e. r 0) P t P 1 cos t, 2 v st f f f Στο άπειρο ισχύουν για το τοίχωμα: 2 r z 0 στο 1 (i.e. r 20 R0) n Το πεδιακό σημείο (r 0,z 0 ), που χρησιμοποιείται στην ολοκληρωτική εξίσωση, βρίσκεται τη μια φορά στη διεπιφάνεια της φυσαλίδας και την άλλη στη διεπιφάνεια του τοιχώματος

Διέπουσες εξισώσεις (συν.) z r, t Θεώρηση ελαστικού τοιχώματος: Θεωρούμε μικρό πάχος για το τοίχωμα (λεπτότοιχο). Επομένως χρησιμοποιούμε τη θεωρία κελυφών για τη μοντελοποίηση της ελαστικής του συμπεριφοράς. (Παρόμοια προσέγγιση με αυτή της μικροφυσαλίδας) Και σε αυτή την περίπτωση οι κινηματικές συνθήκες παραμένουν οι ίδιες για το τοίχωμα. Δυναμική συνθήκη στη διεπιφάνεια τοιχώματος ρευστού: D 1 2km P P, tr Fn k m s n Dt 2 n r z We Οι συνθήκες στο r=0 και r=20*r 0 παραμένουν οι ίδιες. P t P 1 cos t, 2 v st f f f Και εδώ, το πεδιακό σημείο (r 0,z 0 ), που χρησιμοποιείται στην ολοκληρωτική εξίσωση, βρίσκεται τη μια φορά στη διεπιφάνεια της φυσαλίδας και την άλλη στη διεπιφάνεια του τοιχώματος

Καταστατικοί νόμοι για τις ελαστικές τάσεις και ροπές Ισοζύγιο ορθών δυνάμεων και ροπών στη διεπιφάνεια φυσαλίδας-ρευστού και αντίστοιχα τοιχώματος-ρευστού Αριθμητική Μεθοδολογία r (, t ), τ ab, m ab z(, t) P G Δυναμική συνοριακή Συνθήκη (FEM) Αλγόριθμος επίλυσης, t t Αδιαβατικός νόμος για το αέριο εντός της φυσαλίδας 4 th order Runge-Kutta r (, t t), t n,t Ισοζύγιο εφαπτομενικών δυνάμεων στη διεπιφάνεια φυσαλίδας-ρευστού και αντίστοιχα τοιχώματος-ρευστού (FEM) Ολοκληρωτική εξίσωση Συνοριακά στοιχεία (ΒΕΜ) Κινηματική συνθήκη για την κάθετη διεύθυνση στη διεπιφάνεια (FEM) z (, t t)

Τρέχουσα & Μελλοντική εργασία Ανάπτυξη κώδικα για τη διακριτοποίηση των διεπιφανειών φυσαλίδας ρευστού και τοιχώματος - ρευστού Μελέτες περιπτώσεων (benchmarking) για αλληλεπίδραση φυσαλίδας χωρίς περίβλημα με: στερεό τοίχωμα ελεύθερη επιφάνεια ελαστικό τοίχωμα Παραμετρική μελέτη της απόστασης φυσαλίδας από το τοίχωμα και καθώς και των ιδιοτήτων του τελευταίου στο σκεδαζόμενο σήμα

Ευχαριστίες H παρούσα έρευνα έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο - ΕΚΤ) και από εθνικούς πόρους μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) - Ερευνητικό Χρηματοδοτούμενο Έργο: Ηράκλειτος ΙΙ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου. Ευχαριστώ για την προσοχή σας!