7 Εαναλαµβανόµενα υναµικά Παίγνια Τα εαναλαµβανόµενα υναµικά αίγνια αοτελούν συνυασµό ταυτόχρονου και υναµικού αιγνίου, είτε στην ερίτωση ου ένα ταυτόχρονο αίγνιο εαναλαµβάνεται ιαχρονικά, είτε εανάληψη ενός βασικού υναµικού αιγνίου ιαοχικά στο χρόνο Έστω ένα αίγνιο ίληµµα του φυλακισµένου ου εαναλαµβάνεται ύο φορές Το αίγνιο ου αίζεται κάθε ερίοο είναι Α Β, 5,0 0,5 4,4 Λύνοντας το αίγνιο της εύτερης εριόου, το αοτέλεσµα είναι το σηµείο ισορροίας κατά Nash, (,) Αν εν υάρχει χρονική ροτίµηση, τότε τα αοτελέσµατα του συνόλου του αιγνίου, όως αυτά εµφανίζονται στην αρχή της ρώτης εριόου, είναι τα αοτελέσµατα του αραάνω ίνακα, ροσαυξανόµενα αό τα αοτελέσµατα του αοτελέσµατος της εύτερης εριόου, Α Β, 6,,6 5,5 Κατά συνέεια το σηµείο ισορροίας εαναλαµβάνεται ύο φορές Έστω, τώρα ότι οι ύο αίκτες γνωρίζουν ότι αν την ρώτη ερίοο αικτεί το (,), τότε την εύτερη για κάοιο λόγο θα αικτεί άλι το (,) Σε κάθε άλλη ερίτωση θα αικτεί το (,) Τότε ο ίνακας στην αρχή του αιγνίου θα έχει τις εξής αοόσεις,
Α Β, 6,,6 8,8 Ο ίνακας αυτός έχει ύο σηµεία ισορροίας κατά Nash Η υνατότητα έσµευσης την ρώτη ερίοο, αν υάρχει, µορεί να αυξήσει τις υνατές λύσεις του αιγνίου Γενικά, στα εαναλαµβανόµενα αίγνια, οι αοόσεις της µιας εριόου, ροστίθενται στις αοόσεις της ροηγουµένης Αν υάρχει χρονική ροτίµηση, τότε οι µελλοντικές αοόσεις ρέει να σταθµιστούν µε τον συντελεστή ροεξόφλησης ου αεικονίζει την ροτίµηση αυτή Άειρες Εαναλήψεις του Παιγνίου Έστω ότι το βασικό αίγνιο εαναλαµβάνεται άειρες φορές Οι αίκτες τώρα υιοθετούν τον εξής κανόνα, ράγµα γνωστό και στους ύο Αν σε όλους τους ροηγούµενους γύρους του αιγνίου η λύση ήταν (,), τότε αίξε Στην αντίθετη ερίτωση αίξε για άντα Έστω ότι η ροηγούµενη κίνηση ήταν (,) Αν ο ένας αό τους ύο αίκτες αθετήσει τον κανόνα ου εριγράφτηκε ιο άνω, θα κερίσει 5 µονάες την τρέχουσα ερίοο, και όλες τις υόλοιες εριόους µετά την αντίραση του άλλου αίκτη Αν ο κοινός συντελεστής ροεξόφλησης είναι =, όου r είναι το ειτόκιο της αγοράς, τότε η + r αρούσα αξία της κίνησης είναι = 5 + + + = 5 + εοµένου ότι + + + =
Αντίθετα, αν αίξει, ηλαή, σεβαστεί τον κανόνα τούτη τη ερίοο, τότε την εόµενη ερίοο η αξία του αιγνίου θα είναι ακριβώς η ίια µε την αξία του αιγνίου την τρέχουσα ερίοο, αφού το αίγνιο εαναλαµβάνεται άειρους γύρους Άρα, η αρούσα αξία της κίνησης, είναι = 4 + άρα 4 = Οότε, η λύση είναι συµφέρουσα, όταν >, ηλαή, όταν 4 > 5 + Που σηµαίνει, όταν > 4 Είναι λοιόν υνατή η συνεννόηση των αικτών µε τρόο ώστε να καλυτερέψουν τα αοτελέσµατα τους, εφ όσον βέβαια τα κίνητρα, ηλαή ο ροεξοφλητικός συντελεστής, είναι τέτοια ου να καθιστούν την λύση συνεργασίας ισορροία κατά Nash Στην ερίτωση αυτή εν υάρχει κίνητρο αλλαγής στρατηγικής και για τους ύο αίκτες 8 Σύµραξη στο υοώλιο Cournot Γνωρίζουµε ότι στο υοώλιο Cournot, η συνολική ροσφερόµενη οσότητα είναι µεγαλύτερη αό αυτή του µονοωλίου, ενώ τα συνολικά κέρη είναι µικρότερα αό τα κέρη του µονοωλίου Θα ήταν λοιόν υνατό οι ύο αίκτες να αοφασίσουν µετά αό συνεννόηση να αράγουν συνολική οσότητα ίση µε αυτή του µονοωλίου, χ ροσφέροντας ο καθένας το µισό της ροσφοράς του µονοωλητή Στην ερίτωση αυτή ο κάθε αίκτης θα αολάµβανε το µισό των κερών του µονοωλίου, ου είναι
µεγαλύτερο αό το κέρος ου αοκοµίζει χωρίς συνεργασία Το ρόβληµα είναι ότι αν ο ένας µειώσει την ροσφορά, και ο άλλος εν ακολουθήσει, τότε ο εύτερος θα αυξήσει τα κέρη του, ενώ ο ρώτος ενεχοµένως να τα µειώσει Για τον λόγο αυτό εν υάρχει υνατότητα σύµραξης σε ένα αίγνιο ενός γύρου Αν το αίγνιο όµως είναι εαναλαµβανόµενο µε άειρους γύρους, τότε µορεί να υάρξουν κίνητρα ου να υοστηρίξουν µια λύση σύµραξης Μια υνατή στρατηγική είναι η ακόλουθη Να ροσφέρει η κάθε ειχείρηση το µισό της µονοωλιακής ροσφοράς, αλλιώς να ροσφέρει το είεο Cournot, Τα κέρη της κάθε ειχείρησης όταν αράγει m, αν τις ροηγούµενες εριόους ο άλλος έκανε το ίιο,,για άντα C m, είναι m ( c) = α 8 Αντίθετα όταν ροσφέρει, η ειχείρηση κάνει κέρη C ( c) c = α 9 Τέλος η οσότητα ου µεγιστοοιεί τα κέρη της κάθε ειχείρησης αν η άλλη ροσφέρει m, ηλαή, η οσότητα ου µεγιστοοιεί τα κέρη µιας εριόου αν ο ένας αό τους ύο αραγωγούς αοφασίσει να αθετήσει την συµφωνία, ηλαή, η άριστη αντίραση όταν ο αντίαλος ροσφέρει την οσότητα του µονοωλίου, ίεται αό max ( α m c) οότε 3( c) = α ενώ τα κέρη στην ερίτωση αυτή είναι 8
9( c) = α 64 Οότε συµφέρει και τις ύο ειχειρήσεις να συµράξουν όταν m > + C ή όταν 9 > 7 8 Γενίκευση των Αοτελεσµάτων Αν ο ροεξοφλητικός συντελεστής είναι µικρότερος αό 9/7, τίθεται το ερώτηµα αν υάρχουν εριθώρια σύµραξης των ύο ειχειρήσεων, µε τρόο ώστε να βελτιώσουν την θέση τους συγκριτικά µε την ισορροία Cournot Η όοια συµφωνία θα οηγούσε στην ροσφορά της κάθε ειχείρησης µεταξύ του µισού του ειέου µονοωλίου και του ειέου Cournot, ηλαή, m > > C Η στρατηγική των ύο ειχειρήσεων θα ήταν τότε η ακόλουθη Να ροσφέρει η κάθε ειχείρηση, αν τις ροηγούµενες εριόους ο άλλος έκανε το ίιο, αλλιώς να ροσφέρει το είεο Cournot, C,για άντα Τα κέρη της κάθε ειχείρησης αν και οι ύο ροσφέρουν είναι = ( α c) Αν η µία ειχείρηση ροσέφερε, η οσότητα ου θα µεγιστοοιούσε τα κέρη της άλλης την συγκεκριµένη ερίοο (αν αθετούσε την συµφωνία) ίεται αό
max ( α c) οότε η ειχείρηση ου θα αθετούσε την συµφωνία θα ροσέφερε c = α, ( α c) ενώ τα αντίστοιχα κέρη θα ήταν = = 4 Όου το συµβολίζει το άµεσο κέρος αό την αθέτηση της στρατηγικής, για την ειχείρηση ου θα αναλάβει την ενέργεια αυτή Άρα η σύµραξη θα συνέφερε αν > + C Λύνοντας την ανισότητα αυτή βρίσκουµε το ελάχιστο είεο ροσφοράς αό την κάθε ειχείρηση ου θα ήταν συµβατό µε την σύµραξη, 9 5 = ( α c) 3(9 ) Η συνάρτηση αυτή είναι φθίνουσα ως ρος Όσο το ροσεγγίζει το 0, η λύση Cournot εικρατεί, ενώ όσο το ροσεγγίζει το 9/7, τόσο λησιάζουµε στην ροσφορά του µονοωλίου