ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις
Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν γηα 20 ρξόληα ή Να πάξεηο 750.000 Δπξώ εθάπαμ. Τη πξέπεη λα επηιέμεη ν παίθηεο αλ γλσξίδεη όηη ην επηηόθην (ε απόδνζε ρξεκάησλ ζηελ ηξάπεδα είλαη 3%; 2 3/2/205
Ο Δηζνδεκαηίαο Ο ζηόρνο είλαη λα ππνινγίζνπκε ηε ζεκεξηλή αμία (κε επηηόθην p όισλ ησλ ρξεκάησλ πνπ ζα πάξνπκε ζηα επόκελα 20 ρξόληα: Τελ 2 ε ρξνληά: Τελ 20 ε ρξνληά: 50.000 p 50.000 ( p 9 Άξα ε ζπλνιηθή αμία είλαη: 9 i0 50.000 ( p i 3 3/2/205
Ο Δηζνδεκαηίαο (ζπλέρεηα Τη ζα πξέπεη λα επηιέμεη ν παίθηεο αλ ηνπ πξνηείλνπλ 50.000 επξώ επ άπεηξνλ ή 2.000.000 επξώ εθάπαμ; Η ζπλνιηθή αμία ζα είλαη: i0 50.000 ( p i 4 3/2/205
Υπνινγηζκόο Αζξνίζκαηνο Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην άζξνηζκα απιά θάλνληαο ηηο πξάμεηο (όρη ζηελ πεξίπησζε απείξνπ αζξνίζκαηνο. Δίλαη όκσο αζύκθνξν (όρη κόλν γηα ηνλ ππνινγηζηή αιιά θαη γηα εκάο Ο θιεηζηόο ηύπνο ελόο αζξνίζκαηνο καο επηηξέπεη λα βξίζθνπκε άκεζα (ζε έλα βήκα ηελ ηηκή ηνπ αζξνίζκαηνο γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο άζξνηζεο. Υπνινγηζηηθά είλαη θαιύηεξνο απηό ν ηξόπνο 5 3/2/205
Άζξνηζκα Γεσκεηξηθήο Σεηξάο 3/2/205 6 2 0 ( ( S S S S S ( ( (
Άζξνηζκα Απείξσλ Όξσλ Γεσκεηξηθήο Σεηξάο i0 i lim i0 i lim, 7 3/2/205
Ο Δηζνδεκαηίαο Αλ ηνπ δίλνπλ 50.000 Δπξώ γηα 20 ρξόληα ή 750.000, ηόηε: Σε ζεκεξηλή αμία ζα είλαη 766.90. Άξα θαιύηεξα λα ηα πάξεηο. Αλ ζνπ δίλνπλ 50.000 Δπξώ γηα πάληα ή 2.000.000, ηόηε: Σε ζεκεξηλή αμία ζα είλαη.76.667. Άξα πάξε ηα 2.000.000. 8 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Γ. Μαζεκαηηθά Γ. Μαζεκαηηθά Γ. Μαζεκαηηθά Γ. Μαζεκαηηθά Γ. Μαζεκαηηθά Τξαπέδη 9 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Κέληξν Μάδαο Κέληξν Μάδαο Σηνίβαο Τξαπέδη 0 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Κέληξν Μάδαο Αλ ην θέληξν κάδαο είλαη εληόο ηνπ ηξαπεδηνύ δελ πέθηεη. Κέληξν Μάδαο Σηνίβαο Τξαπέδη 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Κέληξν Μάδαο Αλ ην θέληξν κάδαο είλαη εθηόο ηνπ ηξαπεδηνύ ηόηε ζα πέζεη. Κέληξν Μάδαο Σηνίβαο Τξαπέδη 2 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Πξνεμνρή Πνηα είλαη ε κέγηζηε πξνεμνρή γηα επζηαζήο ζηνίβα; Τξαπέδη Πξνεμνρή 3 3/2/205
Σηνίβαγκα Βηβιίσλ Κέληξν Μάδαο Δ = κεηαβνιή πξνεμνρήο κε ηελ πξόζζεζε ελόο βηβιίνπ ζηα βηβιία Σπληεηαγκέλε θέληξνπ κάδαο (+-νζηνύ βηβιίνπ είλαη /2. 0 / 2 2( Κέληξν Μάδαο + βηβιίωλ Κέληξν Μάδαο βηβιίωλ 4 Τξαπέδη Δ Αξρή άμνλα 3/2/205
Αλαδξνκή (Μία γεύση από το επόμενο μάθημα 3/2/205 5 Έζησ Β =πξνεμνρή βηβιίσλ. 2( 2 B B B B 3 2 2
Αξκνληθνί Αξηζκνί H 2 3 Η είλαη ν -νζηόο αξκνληθόο αξηζκόο Κιεηζηόο ηύπνο;;;;;; 6 3/2/205
Βαζηθέο Ιδηόηεηεο Αζξνηζκάησλ 3/2/205 7 K K c c Επηκεξηζηηθή Ιδηόηεηα K K K b b ( Πξνζεηαηξηζηηθή Ιδηόηεηα K p p K ( ( Μεηαζεηηθή Ιδηόηεηα
Παξάδεηγκα Να βξεζεί ην άζξνηζκα: S 0 ( b Μεηαζεηηθή Ιδηόηεηα: S ( 0 b b Πξόζζεζε ησλ δύν αζξνηζκάησλ (πξνζεηαηξηζηηθή: 2S 0 (2 Δπηκεξηζηηθή Ιδηόηεηα: 2 b S 2 b 8 3/2/205
Δμίζσζε Αζξνίζκαηνο Ο ζηόρνο είλαη λα θηάζνπκε ζε κία κνξθή: S f ( S Οπόηε ιύλνπκε σο πξνο S θαη βξίζθνπκε ηνλ θιεηζηό ηύπν S 0 0 9 3/2/205
Παξάδεηγκα S 0 S 0 S S 20 3/2/205
Η Μέζνδνο Οινθιήξσζεο f( f(2 S 0 0 f ( f2 ( d f ( f( d 0 0 f(3 f f 2 2 3 2 3/2/205
Η Μέζνδνο Οινθιήξσζεο 3/2/205 22 Γηα αύμνπζεο ζπλαξηήζεηο: Γηα θζίλνπζεο ζπλαξηήζεηο: ( ( ( b b b d f f d f b b b d f f d f ( ( (
Πίζσ ζηελ Σηνίβα Βηβιίσλ d H l( H l( d Γηα βηβιία ε πξνεμνρή ζα είλαη ηνπιάρηζηνλ l(+/2 κήθε βηβιίσλ ζπλνιηθά θαη (+l/2 ην πνιύ. Γηα πξνεμνρή ίζε κε κήθνο 0 βηβιίσλ ρξεηαδόκαζηε ηνπιάρηζηνλ 22026 βηβιία. 23 3/2/205
S Παξαγώγηζε-Οινθιήξσζε Μεηαβιήησλ Έζησ δύν αζξνίζκαηα S θαη P : dp ( ( ( S ( ( dp ( d d Αλ γλσξίδνπκε ηνλ θιεηζηό ηύπν γηα ην P ηόηε κπνξνύκε λα πάξνπκε θαη ηνλ θιεηζηό ηύπν γηα ην S. 24 3/2/205
Παξάδεηγκα S ( i i i Έζηω: P ( i0 i Τόηε: S ( dp ( d 25 3/2/205
Πξόβιεςε θαη Απόδεημε κε Δπαγσγή Μαληεύνπκε ηνλ θιεηζηό ηύπν Μαο δίλεη θάπνηνο ηνλ θιεηζηό ηύπν Τνλ καληεύνπκε από άιια παξόκνηα αζξνίζκαηα πνπ έρνπκε δεη Φξεζηκνπνηνύκε ηε κέζνδν νινθιήξσζεο γηα λα καληέςνπκε Απνδεηθλύνπκε κε επαγσγή ηνλ θιεηζηό ηύπν 26 3/2/205
Παξάδεηγκα S i i. Πξνζεγγίδνπκε κε ηε κέζνδν νινθιήξσζεο 3 3 S ( 3 2. Θεσξνύκε όηη ε ιύζε είλαη ηεο κνξθήο 3 + b 2 + c+d. Βάδνληαο ηηκέο παίξλνπκε έλα ζύζηεκα 4 εμηζώζεσλ κε 4 αγλώζηνπο. 3. Απνδεηθλύνπκε κε επαγσγή ην απνηέιεζκα (αθνύ ππάξρεη πεξίπησζε ε πξόβιεςε λα είλαη ιάζνο. =/3, b=/2, c=/6, d=0. 3 2 3 27 3/2/205
Τειεζθνπηθέο Σεηξέο 3/2/205 28 Αζξνίζκαηα ζηα νπνία νη δηαδνρηθνί όξνη πνπ αζξνίδνληαη αιιειναλαηξνύληαη: 3 3 2 2 2 3 2 i i i
Γηλόκελα Τα γηλόκελα ηα ρεηξηδόκαζηε όπσο ηα αζξνίζκαηα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηόηεηεο ησλ ινγαξίζκσλ. Έζησ: P i i Τόηε: S l( P i l( i 29 3/2/205
Παξάδεηγκα 3/2/205 30 Από ηε κέζνδν νινθιήξσζεο:! i P i i i P S l( l( e e (! Ο ηύπνο ηνπ Stirlig: e 2!