Giza eta Gizarte Zientziak Matematika II

Giza eta Gizarte Zietziak Matematika II 3. ebaluazioa Probabilitatea Baaketa Normala eta Biomiala Lagi estatistikoak Iferetzia estatistikoa Hipotesiak Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) 1

PROBABILITATEA Igazio Zuloaga BHI (Eibar) LAGINESPAZIOA. GERTAERAK a) 1etik 6rako zebakiak ditue dado bat jaurti eta goiko aurpegia ateratze de emaitza idazte badugu, esperimetu aleatorio horri lotutako lagiespazioa zera da: Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} b) Bi txapo jaurti eta ateratze de emaitzare lagiespazioa Ω = {aa, a+, +a, ++} izago da, o A aurpegia de eta + gurutzea. Esperimetu aleatorio batea, lagiespazioa, gerta daitezkee emaitza posible guztie multzoari, deitze zaio Ariketa. Poltsa batea bola gorriak eta beltzak daude. Hiru bola elkarre segida ateratze badira, idatzi lagiespazioa eta odorego gertaerak: a) A = kolore berdieko hiru bola ateratzea b) B = gutxieez bi bola gorri ateratzea Soluzioa: a) A = {( G, G, G);... } ( G, G, G);( G, G, B);... b) B= { } Defiizioak φ : Eziezko gertaera, sekula egiaztaze ez dea Ω : Gertaera zihurra A : Are osagarria edo aurkakoa; hau da, A gertaera betetze ez deea A B : Gertaere bilketa; gutxieez bietako bat betetze deea (A edo B) A B : Gertaere ebaketa. Biak batera betetze direea (A eta B) Gertaera bateraeziak: A B = φ 1. A = Eibarkoa izatea eta B = ilehoria edukitzea gertaerak emaik, deskribatu odoko gertaerak: A B = A B = A B = A =. Zebat da?: Ω ; A ; A A A A ; A φ ; A φ

3. Bobo batea 1etik 9rako zebakiak dituzte bederatzi bola daude. Bertatik bola bat ateratzeko esperimetua egigo dugu eta hoako gertaera hauek dauzkagu: A = { 1,3,5,7 } ; B = {,3,4,5,6 } ; C = { 1,5,7,9 } Aurki itzazu: a) A B b) A B c) ( A B) C d) B C Propietateak: a) ( A B) = A B. Egiazta ezazu grafikoki Berdi, ( A B) = A B Bi formula hoiek Morgae formulak dira b) A ( B A) = A. Egiaztatu grafikoki A ( B A) = A c) A B = A B. Egiaztatu grafikoki Dado bat jaurtitzea har ditzagu odoko gertaerak: A = {, 3} ; B = {1, } eta C = {4, 5} zebakia ateratze bada, A eta B aldi berea gertatze dira. Gertaera horiek bateragarriak dira. A B φ Aldiz, A eta C ezi dira aldi berea gerta; bateraeziak dira. A C = φ PROBABILITATEA Txapo bat 100 aldiz botatze dugu airera. Demagu 55 aldiz aurpegia eta 45 gurutze atera direla. Aurpegia irtetzea gertaerare maiztasu absolutua 55 da eta maiztasu erlatiboa 55 = 0, 55. Ordea, gurutze irtetzea rea 0,45. 100 Txapoa, zebat eta gehiagota jaurti (1000, 10000,...), maiztasu erlatiboe balioak geroz eta gehiago hurbiltze dira 0,5 zebakira. Probak gehitu ahala, maiztasu erlatiboe balioak 0,5e igurua egokortze dira. Zebaki horri, probabilitatea deitze zaio aldeko kasuak Laplacere defiizioa: p ( A) = kasu posibleak 3

Zera betetze da: 0 p( A) 1 p( Ω) = 1 ; p( A) + p( A) = 1 p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) ; Igazio Zuloaga BHI (Eibar) p( φ ) = 0 Gertaera bateragarriak direea odokoa betetze da: p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) Gertaera bateraeziak direea, A B = φ da eta p( A B) = 0. Ordua, p ( A B) = p( A) + p( B) ARIKETAK 1 1. Berrogei kartako baraja batetik karta bat ateratzea, zei da errege bat izateko probabilitatea?. Dado bat jaurtitzea, zei da zebaki bikoitia ateratzeko probabilitatea? 3. Txapo bat bi aldiz botatzea, zei da bi aurpegi ateratzeare probabilitatea? 4. Berrogei kartako baraja batetik karta bat ateratze da. Ema ditzagu gertaera hauek: A= urrea atera ; B= batekoa atera ; C= txaka, zaldia edo erregea atera Kalkulatu: p(a) ; p(b) ; p(c) ; p( A ) ; p ( A B) ; p ( A B) ; p ( A C) 5. Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p(a) = 3/8 ; p(b)=1/ eta p ( A B) = 1/ 4. Kalkulatu: a) p( A B) ; b) p( A) ; c) p( B) ; d) p( A B) ; e) p( A B) f ) p( A B) ; g) p( B A) 6. Ema ditzagu bateraeziak dire A eta B gertaerak, p(a)=0,3 eta p(b)=0,1 direlarik. Kalkula itzazu p( A) ; p( A B) eta p( A B) 7. Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p ( A B) = 3/ 4 ; p( B) = / 3 eta p( A B) = 1/ 4. Kalkulatu p( A) ; p( B) eta p( A B) 8. p ( A) = / 5 ; p( B) = 1/ 3 eta p( A B) = 1/ 3 badira, kalkulatu p( A B) eta p( A B) 4

9. Ikesta batek azaldu dueez, 1000 biztaleko herri batea 350ek betaurrekoak erabiltze dituzte eta 600ek ordeagailu bat dute etxea. Gaiera, 10k betaurrekoak dauzkate eta ordeagailurik ez. Biztale bat zoriz aukeratuz, zei da: a) Ordeagailua edukitzekoare probabilitatea b) Betaurrekorik ez erabiltzekoare probabilitatea c) Ordeagailua eduki eta betaurrekoak erabiltzekoare probabilitatea Erabili kotigetziataula: Ordeagailua bai Ordeagailua ez Betaurrekoak bai 10 350 Betaurrekoak ez 600 1000 10. Deda batea, 00 bezeroe artea, bidai bat zozketatze da. 15 adrazkoak dira, 155 ezkoduak eta 95 emakume ezkoduak a) Zei da bidaia gizo ezkogabe bati irtetzekoare probabilitatea? b) Saria, ezkodutako bati irte zaiola jakiik, zei da adrazkoa izateare probabilitatea? (Balditzapeko probabilitatea) Ezkodua (E) Ez ezkodua (EE) Adrazkoa (A) 95 15 Gizoezkoa (G) 155 00 a) p ( G EE) = b) Gertaera balditzatuare probabilitatea.. Bk balditzaturiko A gertaerare probabilitatea. Formula: p ( A B) = p( A/ B). p( B) p( A B) p( A / B) = ; p( B) Aurreko adibidea, adrazkoa izatea ezkodue artea; hau da, p(a/e). Formula 95 p( A E) 95 aplikatuz, p ( A/ E) = = 00 = p( E) 155 155 00 11. Baraja bateko urre guztie atzealdeak markatuta daude. Jokalari batek karta bat hartze du eta markatuta dagoela ikuste du. Zei da karta hori erregea izateko probabilitatea? 5

Gertaera idepedeteak Txapo bat eta dado bat botatze ditugu. Argi dago bate emaitzak ez duela bestearega eragiik; idepedeteak dira Baraja batetik bi karta ateratze ditugu (barajara birsartu gabe)..are emaitza 1.are mepekoa da. Leheegoa batekoa bada, bigarrea ere batekoa izateare probabilitatea txigiagoa da; ez dira idepedeteak, mepekoak baizik A eta B gertaerak, idepedeteak dira baldi p ( A B) = p( A). p( B) betetze deea. Baita, p ( A/ B) = p( A) deea ARIKETAK 1 1. Ze ezberditasu dago gertaera bateraeziak eta gertaera idepedetee artea?. A eta B gertaera idepedeteak dira, o p(a)=0,6 eta p(b)=0,3 delarik. Kalkulatu p( A B), p( A B) eta p(a/b) 3. p(a) =0,7 ; p(b) =0,6 eta p ( A B) = 0, 58 izaik, A eta B gertaerak, idepedeteak al dira? Zei da probabilitatea ez gertatzea ez A ez B? 4. Dado bat bi aldiz jaurtitze da. Demagu bi gertaera hauek: A: guztira 7 putu atera B: gutxieez batea 3re multiploa atera. Idepedeteak al dira A eta B gertaerak ARIKETAK 1. 1etik 6rako zebakiak ditue dado bat trukatuta dago. Horrela, aurpegiak lortzeko probabilitateak, aurpegie putuekiko proportzioalak dira. Kalkula itzazu: a) Aurpegi bakoitza azaltzeko probabilitatea b) Jaurtiketa batea, zebaki bakoitia lortzeko probabilitatea. Aurrekoa bezalakoa baia odorego erara trukatuta: Zebaki bikoitia due aurpegi bakoitza, zebaki bakoitia duea baio hiru aldiz gehiago ateratze da 3. Herri batea, %60a eurotikoa da, depresioarazoeki %30a eta gaitz bieki %10a. Herri horretako bizilagu bat zoriz aukeratze badugu, zei da: a) Gaitze bat jasatzeko probabilitatea? b) Gaitz bakar bat edukitzeko probabilitatea? c) Gaitz bat ere ez edukitzekoare probabilitatea? 4. Ikastetxe bate ikaslegoare %5ak Matematika suspeditu du, %15ak Literatura suspeditu du eta %10ek biak suspeditu dituzte. Ikasle bat zoriz aukeratuz, zei da: a) Matematika edo Literatua suspedituta izateko probabilitatea? b) Ez bata ez bestea suspedituta ez izateko probabilitatea? c) Literatura suspedituta badu, zei da Matematika ere suspedituta izateko probabilitatea? 6

Zuhaitzdiagrama 1. adibidea Istitutu batea matrikulaturik daude batxilergoko bigarre mailako ikasleetatik 58k Zietifiko Tekikoa batxilergoa aukeratu dute eta 8k Giza eta Gizarte Zietziea. Azke aukera hori egidakoe artea, 51k Gizarte Zietziei aplikatutako Matematika aukeratu dute. Ikastetxe horretako bigarre mailako ikasle bat zoriz aukeratze badugu, zei da aipatutako ikasgaia ikasteko probabilitatea? 58 140 Zietif Tekikoa 51 8 Giza zietziei aplikat. Matemat. Gizarte 8 140 Giza eta Gizarte Zera da ahi dugu probabilitateare balioa = 31 8 8 51. = 140 8 51 140 Beste ikasgai batzuk. adibidea Zortzi zebaki hartuko ditugu, lau positibo eta lau egatibo. Horietako bi zoriz aukeratu eta biderkatu egite ditugu. Zei da emaitza zebaki positiboa izateko probabilitatea? Emaitza zebaki positiboa iza dadi, zeiu bereko bi zebaki biderkatu behar dira. P 1 (+.+) = P (.) = 4 3. 8 7 4 3. 8 7 = = 1 56 1 56 P(emaitza positiboa ateratzea) = 1 56 + 1 56 = 4 56 = 4 8 4 8 3 7 1. zebakia + 4 7 3 7 3 7 4 7. zebakia + + 7

ARIKETAK Igazio Zuloaga BHI (Eibar) 1. Kutxa batea hiru bola urdi eta lau berde daude. Zoriz ateratze baditugu bi bola aldi berea, zei da kolore berekoak izateko probabilitatea?. Kajoi batea lau galtzerdi beltz, sei marroi eta bi urdi daude. Bi galtzerdi hartze baditugu zoriz, zei da biak beltzak izateko probabilitatea? Eta biak kolore berekoak izatekoa?. Ebatzi problema zuhaitzdiagrama bat erabiliz. 3. Bi dado jaurti dira. Aurkitu: a) Putuazio bat bikoitia eta bestea bakoitia izateko probabilitatea. b) Bi putuazioe batura 7 dela jakiik, putuaziore bat bikoitia izateko probabilitatea 4. 80 gaiz osaturiko oposizio batea bi aukeratuko dira zoriz. Oposiziogile batek 18 baio ez baditu prestatu, zei da bat odo eta bestea gaizki eratzuteko probabilitatea? 5. Txapo bat hiru aldiz jaurtitze dugu. Zei da bi aurpegi elkarre segida ateratzeare probabilitatea? Adibidea K 1 kutxa batea hiru bola berde, lau bola beltz eta zortzi bola gorri daude. K beste kutxa batea zortzi bola berde, sei beltz eta sei gorri daude. Txapo bat jaurtiko dugu; aurpegi irtetze bada, bola bat aterako dugu K 1 kutxatik, eta gurutze irteez gero K kutxatik aterako dugu bola bat. Txapoa eta ateraldia egiez gero, zei da ateratze de bola gorria izateko probabilitatea? Txapoa Bola 1 Aurpep (K 1 ) Txapoa 3 15 8 15 4 15 Berdea Beltza Gorria 1 P 1 =. 8 15 1 Gurutze (K ) 8 0 6 0 6 0 Berdea Beltza Gorria P = 1. 6 0 1 8 1 6 4 3 16 + 9 5 P = P P =. +. = + = = 15 0 15 0 60 60 1 + = 8 5 1

ARIKETA Igazio Zuloaga BHI (Eibar) Hiru kutxa berdiberdiek hoakoak dituzte: lehedabizikoak urrezko hiru ligote eta zilarrezko bi; bigarreak urrezko bi eta zilarrezko bost, eta hirugarreak urrezko sei eta zilarrezko zazpi. Zei da kutxa batetik zoriz ligote bat ateratzea, hura zilarrezkoa izateko probabilitatea? Adibidea K 1 kutxa batea bola gorri eta 3 bola urdi daude. K beste kutxa batea gorri 1 eta 5 urdi daude. K 3 kutxa, ordea, 3 gorri eta urdi. Zoriz kutxa bat aukeratze da eta bola bat atera; bola hura urdia baldi bada, zei da K kutxatik ateratakoa izateare probabilitatea? kutxa 5 gorria 1 3 K 1 3 5 urdia P 1 3. 3 5 1 = = 1 5 1 3 1 3 K 1 6 5 6 3 5 gorria urdia gorria P 1 5. 3 6 = = 5 18 urdia 1 P3 =. = 5 3 5 15 Balditzapeko probabilitatea : Jakia da (gertaera ziurra) ateratako bola urdia dela; hau 1 3 1 5 1 da: P = P1 + P + P3 =. +. +. 3 5 3 6 3 5 1 5 Horietatik, aldeko kasua, K tik ateratako gertaera da; hau da: P =. 3 6 Soluzioa: P = P P + P 1 K 3 3 1 5. 3 6 1 3 1 5 1. +. +. 3 5 3 6 3 5 = = + P ARIKETAK 1 1. Istitutu bateko ikaslee %58 eskak dira. Matrikulaturiko ikasle guztietatik %88 ikastetxea dagoe herriak jaioak dira. Ikasle bat zoriz zukeratu eta herria jaiotakoa bada, zei da mutila izateko probabilitatea?. Apalategi bateko hiru apalek hoako liburuak dituzte: goiko apalak 3 obela eta 7 ipui, erdiko apalak 8 obela eta 6 ipui, eta behekoak 5 obela eta 9 ipui. Zoriz apal bat aukeratu eta liburu bat atera dugu. Liburua obela bada, zei da erdiko apaletik aterea izateko probabiliatatea? 5 11 9

ARIKETAK 1. Espaiiar kartasorta batetik bi karta aterako ditugu aldi berea. Aurkitu bi kartak palo berekoak izateko probabilitatea.txirridulari batek egu euritsu batea lasterketa bat irabazteko probabilitatea 0,08 da, eta egu lehor batea lasterketa irabaztekoa 0,3 da. Lasterketa egu euritsua izateko probabilitatea 0,5 bada, zei da txirridulariak lasterketa irabazteko probabilitatea? 3. Luziak kajoi batea dauka gordeta datzaeskolarako arropa: bi maillot beltz, beste bi urdi, maillot bat gorria eta beste bat arrosa; bi pare galtzerdi zuri, bi pare beltz eta bi pare galtzerdi arrosa. Eskolarakoa zoriz hartze baditu maillot bat eta galtzerdi pare bat, zei da eskolara beltzez jamtzita joateko probabilitatea? Eta beltz eta arrosaz joateko probabilitatea? 4. Hiru kutxa berdiberdietak hoakoak daude: A kutxa: urrezko txapo 1 eta brotzezko 4 B kutxa: urrezko txapo eta brotzezko 6 C kutxa: urrezko 3 txapo eta brotzezko 7 Zoriz aukeratutako kutxa batetik txapo bat zotiz ateratzea, zei da txapoa urrezkoa izateko probabilitatea? 5. Modeloeskola batea gizoezkoe %80ek eta emakumezkoe %30ek 1,76 metro gora eurtze dute. Emakumezkoak gizoezkoe hirukoitza dira. Modelo bat zoriz aukeratu dugu eta 1,76 metro baio gehiago eurtze du. Zei da emakumea izateko probabilitatea? 6. Kutxa batea 4 bola hori eta 6 berde daude. Aldi berea bi bola ateratze baditugu, zei da gutxieez bat horia izateko probabilitatea? 7. A kutxa batea sei bola zuri eta lau beltz daude; B bigarre kutxa batea bost zuri eta bi beltz. Kutxa bat zoriz aukeratu eta bertatik bi bola aterako ditugu, kutxara itzuli gabe. Kalkulatu hoakoak gertatzeko probabilitateak: a) Bi bolak zuriak izatea b) Bi bolak kolore berekoak izatea c) Bi bolak kolore desberdietakoak izatea 8. Hoelako bolak dituzte bi kutxa dauzkagu: A kutxa: 4 bola gorri eta 6 zuri B kutxa: 7 bola gorri eta 3 zuri Zoriz kutxa bat aukeratu, bertatik bola bat atera eta beste kutxa sartuko dugu; azkeik, bola bat aterako dugu bigarre kutxa horretatik. Zei da gorria izateare probabilitatea? 9. Hiri batea bi egukari irakurtze dituzte: A eta B. Pertsoa batek A egukaria irakurtzeko probabilitatea 0,1 da, B irakurtzeko probabilitatea 0,1 eta biak irakurtzekoa 0,0. a) Kalkula ezazu pertsoa batek egukari bat ere ez irakurtzeko probabilitatea. b) Aurkitu egukarietako bat irakurtze due pertsoa batek bestea ere irakurtzeko probabilitatea. 10

10. Oposizio bateko ikasgaiak 100 dira. Oposiziogile batek 40 baio ez dakizki, eta 100 horietatik hiru zozketatuko dira. a) Kalkula ezazu oposiziogileak bat ere ez jakiteko probabilitatea. b) Zei da gutxieez bat jakiteko probabilitatea? 11. Ikasle bat test erako azterketa batetara aurkeztu da. Azterketa 100 galderaz osatuta dago, galdera bakoitzare azpia lau eratzu daudelarik (eta bakarrik bat zuzea). 60 galdera ikasleak prestatu due programare zatiari buruzkoak dira eta galdera horieta eratzu zuzea aukeratzeko due probabilitatea %80koa da. Beste galdera guztieta lau eratzue artea zoriz bat aukeratuko du. Galdera bat zoriz aukeratze bada, zei da ikasleare eratzua zuzea izateko probabilitatea? 1. Bi jokalari, A eta B, orbere dadoak jaurti eta putuaziorik altuea ork atera jokatze ari dira. Dadoek hoako putuazioak dituzte: A dadoare lau aurpegik 6a putu dituzte eta beste biek 10a. B dadoare aurpegi batek 3 putu ditu, bik 4a putu, beste bik 6a putu eta azkeak 1. Zer jokalarik du irabazteko aukera gehie? Arrazoitu zeure eratzua. 13. Kutxa batea 4 bola zuri, gorri eta 5 beltz daude. Bola bat atera da eta bere kolorea begiratu gabe kedu egi da. Odore beste bola bat atera da. a) Zei da bigarre bola hau zuria izateko probabilitatea? b) Bigarre bola zuria iza bada, zei da kedutako bola gorria izateko probabilitatea? 14. Kutxa batea 1 bola daude, eta horietako bi gorriak dira. Gorriak direak aurkitu ahia, bolak bata besteare atzetik ateratze dira. Zei da laa laugarre saioa bukatzeko probabilitatea? 15. Kutxa batea bi bola zuri eta hiru beltz daude. Bi jokalarik zoriz eta txadaka bola baa aterako dute. Irabazlea bola zuri bat ateratze due lehea bada, zei da jokatze haste de jokalariak irabazteko probabilitatea? Arrazoitu zeure eratzua. 16. Globo zuda bat berreskuratzeko probabilitatea 1/9 da. Espaziora hiru globo jaurtitze badira, zei da horietako bat bakarra berreskuratzeko probabilitatea? Eta lau globo jaurtitze badira? Eta bost..? ( Kobiatoria erabiltzea gomedatze da). 17. Herrialde bateko biztalee %1ak gaixotasu jaki bat du. Gaixotasuare diagostikoa egiteko guztiz fidagarri ez de prozedura erabiltze da, iza ere, beeta gaixorik daude pertsoe artea positibo emate dueeko portzetaia %90a da eta, bestalde, osasutsu daudee artea %5ak ere positibo emate du. Zei da prozedurak positibo ema dioeko pertsoa bat osasutsua izateko probabilitatea? 11

KONBINATORIA Matematikako arlo hau, elemetu batzureki egi daitezkee taldeak kotatzeko erabiltze da. hiru kasu aztertuko ditugu: ALDAKUNTZAK elemetu ditugu eta beraieki k elemetuz osaturiko taldeak egi ahi dira, talde bakoitzea elemetue arteko ordeak eragia duelarik. Zebat egi daiteke?: k A =. ( 1).( ).....( k + 1) Adibidea. 1,, 3, 4, 5 zifreki, zebat zebaki egi daitezke bi zifraki, zifrak errepikatu gabe? ALDAKUNTZAK ERREPIKADUNAK Talde bateko elemetuak errepikatu ahal dira k ' A = k Adibidea. 1,, 3, 4, 5 zifreki, zebat zebaki egi daitezke bi zifraki? Ariketak 1. 1 letra ditue alfabeto bateki, zebat silaba egi daitezke hiru letraki: a) silabako hiru letrak desberdiak izaik b) berdiak iza daitezkelarik. Literatura sariketa batea 3 sari ezberdi daude eta 1 idazla aurkezte dira. Zebat modu ezberdieta egi daiteke sari baaketa? 3. Txapo bat hiru aldiz jaurtitze da. Zebat emaitza desberdi lor daitezke? 4. Zebat zutabe bete beharko geituzke futbolkiiela bateta, hamabostekoa ziur asmatzeko? 5. Lasterketa batea 1 korrikalarik parte hartze dute. Zebat moduta baa ditzakete urrezko, zilarrezko eta brotzezko domiak? 1

PERMUTAZIOAK elemetu ditugu eta guztiak erabiliz, zebat talde ezberdi egi daitezkee jaki ahi da: P =! =.( 1).( )......1 Zebat zebaki egi daitezke 1,, 3, 4 eta 5 zifreki, bostak erabiliz eta zebaki bakoitzea zifra bakar bat ere errepikatu gabe?: 5 P = 5! = 5.4.3..1 = 10 Ariketak 1. Lasterketa batea sei txirridularik ihes egi dute eta helmugara seirak ailegatze dira, bata besteare atzea. Zebat modu ezberdi daude?. Neska hitzare letreki, zebat 5 letra ezberdieko hitz egi daitezke?. Hauetatik, zebatek izago dituzte bokal biak muturreta? PERMUTAZIO ERREPIKADUNAK Oro har, elemeture permutazio errepikaduak, o 1,,..., k errepikatze dire! 1 hauxe da:,,... k P = 1!.!..... k! Zebat hitz desberdi idatz daitezke (esaahiduak zei esaahirik gabeak) BIRIBILA hitzare letra guztiak erabilita? KONBINAZIOAK elemetu ditugu eta beraieki k elemetuzko taldeak egi ahi dira. Hortaz gai, taldeare elemetue ordea aldatuz gero, kobiazio bera lortuko geuke; hau da, elemetue ordeak ez luke eragiik edukiko. k K = A = = Pk k k! k!. ( k)! Lerrokaturik ez daude lau putureki, zebat zuze eraiki daitezke? Ariketak 1. Bost laguez osaturiko talde batek medimartxa batera joa ahi du. Martxare arautegiare arabera, taldeak 3 laguekoak iza behar direla jakiik, zebat modutara ema dezakete izea?. Exagoo bate erpi bakoitzea bobila baa ipitze da. Zebat argijoku desberdi egi daitezke, bakoitzea 3 bobila bakarrik piztuz? 3. Zebat jokaldi desberdi atera daitezke 40ko kartasorta batetik lau karta hartuz gero? 13

KONBINATORIA ETA PROBABILITATEA Gertaera kopurua oso hadia deea, aldeko kasuak eta kasu guztiak kotatzeko kobiatoria erabiltzea gomedatze da. Ariketak 1. Ura batea 1etik 6ra zebakiturik daude 6 bola daude. Zei da bolak, baa baa atareaz, 31456 sekuetzia ateratzeko probabilitatea?. Lotoa dela eta, apostu bat egiez gero, zei da asmatzeko dagoe probabilitatea? 3. Txapo bat aidera botatze da 6 aldiz. Zei da seirak aurpegiak ateratzeko probabilitatea? 4. Udaletxe batea A alderdiko 5 ziegotzi daude, B alderdiko 4 ziegotzi eta C alderdiko 4 ziegotzi. Zoriz eta bata besteare atzetik hiru ziegotzi aukeratzea, zei da hirurak A alderdikoak izateko probabilitatea? Eta alderdi bakoitzetik bat izateko probabilitatea? 5. 1, eta 3 zebakieki osa daitezkee hiru zifratako zebaki guztie artea (zifrak errepikatu ahal dira), zoriz bat aukeratze da. Kalkulatu zebaki horre zifre batura 6 izateko probabilitatea 6. A, B, C, D, E eta F hizkie permutazio guztie artea, zoriz bat aukeratu da. Kalkulatu bokalak odozodo gelditzeko probabilitatea. 7. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da aidera. Zei da putuazioe batura 4 izateko probabilitatea? 8. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da. Lehe bi jaurtikete putuazioe batura A da, eta hirugarreare jaurtiketarea B da. Zei da A eta B berdiak izateko probabilitatea? 14

BANAKETA BINOMIALA ETA NORMALA Ariketa 1 Kaxa batea 3 bola gorri eta 7 berde daude. Zoriz bola bat ateratze da eta odore birsartze da kaxara. Gauza bera, bost aldiz egida, zei da 3 bola gorri ataratzeko probabilitatea? 3 3 3 7 7 Kasu bat GGGBB litzateke. Bere balioa: 10 10 10 10 10 Bosteko multzo horreta, zebat modutara aurkeztu daitezke hiru bola gorri? : C 5,3 Beraz, soluzioa: 5 3 3 10 3 7 10 Ariketa Herri bateko biztalee %0 ilehoriak dira. Sei pertsoako lagi bat hartu eta kalkula itzazu probabilitate hauek: a) Ilehori bi egotea b) Gutxieez lau ilehori a) Ilehori bi egoteare kasu bat, RRMMMM litzateke, bere balioa (0,).(0,).(0,8).(0,8).(0,8).(0,8) izaik. Guztira, zebat kasu? : C 6, 6 Beraz, soluzioa: ( 0,) ( 0, 8) 4 b) Gutxieez lau ilehori:: 4 ilehori: Adibide bat RRRRMM da eta bere balioa (0,) 4.(0,8) Kasu guztiak: C 6,4 6 Soluzioa: ( 0,) 4 ( 0, 8) 4 5 ilehori: Adibide bat RRRRRM da eta bere balioa (0,) 5.(0,8) 1 Zebat kasu?: C 6,5 6 Soluzioa: ( 0,) 5 ( 0, 8) 1 5 6 ilehori: RRRRRR. Balioa: (0,) 6 Kasu kopurua: C 6,6 ; hau da, bakarra 6 Soluzioa: ( 0,) 6 ( 0, 8) 0 = (0,) 6 6 6 4 Azke soluzioa: ( 0,) 4 ( 0, 8) 6 5 + ( 0,) 5 ( 0, 8) 1 6 6 + ( 0,) 6 ( 0, 8) 0 15

BANAKETA BINOMIALA Adibidea : Matematikako irakasle batek 5 urte darama bere asigatura gaiditze dute ikaslee kopurua aputatze, eta ikusi du %65 ikaslek gaiditu ohi duela. 0 ikaslek osaturiko lagi bat hartuz gero, zei da probabilitatea 5ek gaiditzea 4 baio gutxiagok gaiditzea Esperimetu hoek (aurreko biek bezalaxe) ezaugarri hauek ditu: Ikasle bakoitzaretzat bi emaitza hauek baio ez dira posible: A = {ikasgaia gaiditzea} eta A = {ez gaiditzea} Ikasle bakoitzat ateratze due emaitza ez da besteek ateratze dutee mepekoa Are probabilitatea, pre bidez adierazte dugua, ez da frogaldi batetik bestera aldatze eta p = p(a) = 0,65 da. Eta, aurkako gertaerare probabilitatea ere (deitu diezaiogu q ) kostatea da: : q = p(a ) = 0,35 Jo dezagu esperimetuare frogaldi egi ditugula eta p dela A gertaerare probabilitatea; ordua, esperimetu horri lotutako aldagai aleatorio biomialari, B(,p) deituko diogu ; adibide hoeta, B(0,0.65) izago da Aldagai hori diskretua da, 0, 1,, 3,..., 0 balioak har baitezake bakarrik 0 3 Aldagai horreki lotuta, bi kalkulu hauek egigo ditugu: r I) r ikaslek gaiditzea: p r q.. Probabilitatefutzioa r 0 Esaterako, 0tik 5ek gaiditzea: ( 0,65) 5 ( 0, 35) 15 5 II) 4 ikasle baio gutxiagok gaiditzeare probabilitatea: p(x=3)+p(x=)+p(x=1)+p(x=0) Baaketafutzioa Bere balioa zera da: 0 0 1 0 0 ( 0,65) 3 ( 0, 35) 17 + ( 0,65) ( 0, 35) 18 + ( 0,65) 1 ( 0, 35) 19 + ( 0,35) 0 Adibidea Test moduko azterketa batek hirua eratzu dituzte hamar galdera dauzka, eta eratzuetako bat bakarra da zuzea. Ezer ikasi ez due ikasle batek, zoriz eratzugo duela erabaki du a) Zei da sei galdera asmatzeko probabilitatea? b) Eta bat ere ez asmatzekoa? Ikuste deez, asmatutako eratzuak adierazte due X aldagaiak, baaketa biomialare eredua betetze du, eta berorre ezaugarriak =10 eta p=1/3 dira. Beraz: 5 16

10 1 a) Sei galdera asmatzeko probabilitatea: P(X=6) = 6 3 b) Galdera bat ere ez asmatzeko probabilitatea: P(X=0) = Igazio Zuloaga BHI (Eibar) 6 3 6 10 0 4 3 = 0,0569 10 = 0,0173 ARIKETAK 1. Makia batek egite ditue mila piezako 1 akastuak dira. Aurki itzazu 40 pieza aztertu eta hoakoak gertatzeko probabilitatea: a) Bi akastuak agertzea b) Akastuik ez agertzea. Azterketa bate emaitze arabera, eskualde jaki bateko biztalee %0re bizibalditza sozioekoomikoak oarteziak dira. Populazio horretako 8 kide hartuta, aurki ezazu lau balditza oartezieta bizitzeko probabilitatea. 3. Tiratzaile batek eskopetaz tiroa asmatzeko probabilitatea 0,8 da. Hiru tiro egida, zei da: a) Gutxieez tiro bateki asmatzea b) Bi tiroki asmatzea c) Eta 6 tiro egida, zei da 4 aldiz asmatzeare probabilitatea? 4. Lehiaketa bat irabazteko probabilitatea 1/5 da. Horrelako sei leihaketeta parte hartuz gero, zei da lauta irabazteko probabilitatea? 17

PROBABILITATEA (Errepaso ariketak) 1. Bi dado jaurtitze dira aidera. Zei da putue batura 7 izateare probabilitatea? Eta bigarre jaurtialdia lorturiko putuazioa leheegoa baio hadiagoa izatearea?. Bi dado jaurtitze dira. Kalkulatu: a) Putuazio bat bikoitia eta bestea bakoitia izateko probabilitatea b) Bi putuazioe batura 7 dela jakiik, putuaziore bat bikoitia izateko probabilitatea 3. Berrogei karta dauzka baraja batetik zoriz eta aldi berea bi karta atera dira. Zei da bateko bat eta errege bat ateratzeare probabilitatea? 4. Adi bera dute gizo bat eta emakume bat 0 urtereki ezkodu dira, eta 70 urtera ailegatzeko probabilitateak hauexek dira: 0,76 gizoaretzat eta 0,8 emakumearetzat. 70 urtereki, kalkula ezazu: a) Biak bizirik egoteko probabilitatea b) Bat ere bizirik ez egoteko probabilitatea c) Bakarrik emakumea bizirik egoteko probabilitatea d) Gutxieez bietatik bat bizirik egoteko probabilitatea. 5. Lategi bate 00 lagile daude, 100 gizoezko eta 100 emakumezko. Erretzaileak 40 gizoezko eta 35 emakumezko dira. Lagile bat zoriz aukeratze badugu, kalkulatu: a) Gizoezkoa izateko probabilitatea b) Ez erretzailea izateko probabilitatea c) Gizoezkoa eta erretzailea d) Aukeratutakoak ez badu erretze, zei da emakumezkoa izateko probabilitatea? e) Aukeratutakoak erretze badu, zei da gizoezkoa izateko probabilitatea? 6. A kutxa zortzi bola daude 1etik 8ra zebakituta, eta B kutxa 5 bola daude 1etik 5era zebakituta. Kutxa bakoitzetik bola bat ateratze da eta bi bole zebakie batura 3re multiploa iza da. Zei da A kutxatik ateratako bole zebakia 1 izateko probabilitatea? 7. Hiri bate %55 gizoezkoa da eta hauetatik % 15 paroa dago. Eta emakumee artea %5 paroa dago. Pertsoa bat hautatuz, zei da paroa egoteko probabilitatea? Eta paroa dagoela jakiik, zei da gizoezkoa izateko probabilitatea? 18

1 1 8. Demagu A eta B gertaerak ditugula eta p(a) =, p(b) = eta p ( A B) = 7 5 direla. Kalkulatu: a) p( A B) ; b) p( A B) ; c) p( A ( A B)) ; d) p( A B) e) p( A/ B) ; f ) p( B / A) ; g) p( A B) ; h) p( A B ) i) A eta B gertaerak idepedeteak al dira? 9. A eta B gertaerak idepedeteak dira. A gertatzeko probabilitatea /5 da, eta A eta B biak batera gertatzeko probabilitatea 1/5 da. Zei da ez A ez B gertatzeko probabilitatea? Eta, A bai eta B ez gertatzeare probabilitatea? 10. Hiru otzi ditugu: A, B eta C. A otzia baiilazko 3 gaileta eta txokolatezko gaileta daude; B 3 txokolate eta baiilakoak eta C txokolate eta 1 baiilazkoa. a) Otzi bat zoriz aukeratze dogu eta gaileta bat hartu. Zei da txokolatezkoa izateko probabilitatea? b) Pertsoa bati txokolatezko gaileta bat ema diote. Zei da. otzikoa izateko probabilitatea? 11. Ikastetxe bateko batxilergoko ikasleek atzerritar hizkutza ikasterakoa, igelesa ala fratsesa aukera dezakete. Kurtso batea, %90 igelesa ikaste ari da eta gaierakoa fratsesa. Igelesa ikaste ari diree artea %30 mutilak dira, eta fratsesa ikaste ari diree artea %40 mutilak dira. Ikasle bat zoriz hautaturik, zei da eska izateko probabilitatea? 1. Bi poltsa ditugu A eta B. A poltsa 7 bola zuri eta 3 beltz daude, eta B poltsa 1 zuria, beltz eta 7 gorri. Dado bat jaurtiz, 1 edo 3 ateratze bada Atik aterako dugu bola, eta, 4, 5 edo 6 ateraz B poltsatik. Kalkulatu bola gorria ateratzeko probabilitatea. Bola beltza dela jakida, zei da A poltsakoa izateko probabilitatea? 13. Torlojuak egite ditue lategi batea A makiatik kopuru osoare %40a ateratze da eta B makiatik %60a. A makiak egidako torlojuetatik %10a akastua da eta B makiak egidakoetatik %0a. Zoriz torloju bat aukeratuz gero akastua dela gertatze bada, zei da A makiak egia izateko probabilitatea? 14. Poltsa batek bola zuri eta 5 beltz ditu. Beste poltsa batek 5 bola zuri eta beltz. Leheego poltsatik bola bat ateratze da eta bigarre poltsa sartze da. Odore, bola bat ateratze da bigarre poltsatik. Zei da beltza izateare probabilitatea? 19

15. Demagu A kutxak bola zuri eta beltz dituela eta B kutxak, aldiz, 4 bola beltz. A eta B kutxetatik zoriz bola baa ateratze da eta trukatu egite dira. Odore A kutxatik bola bat ateratze bada, zei da bola hori zuria izateko probabilitatea? 16. Ikastetxe bateko ikaslee %55 futbolea jokatze dute, %30 pilota eta %15 bieta jokatze dute. Zoriz ikasle bat aukeratuko bageu, zei da geratera haue probabilitateak?: a) Bietako batea jokatzekoa b) Pilota bakarrik jokatzekoa c) Futbolea jokatze badu, pilota ere jokatzekoa 17. Kaxa batea 5 bola gorri eta 4 zuri daude. Bi bola ateratze dira elkarre segida, birsartu gabe. a) kalkulatu biak kolore berekoak izateko probabilitatea b) Badakigu bigarrea zuria dela. Zei da leheegoa ere zuria izateko probabilitatea? c) Eta hiru bola ateratze badira, zie da bi gorri eta zuri bat ateratzeare probabilitatea? d) Eta bost bola ateratze badira, hiru gorri izatearea? 18. Ospitale batea 10 gaixo daude: 3 eurotiko, 5 psikopata eta eskizofreiko. Hiru gaixo zoriz aukeratze baditugu, zei da: a) Hirurak gaixotasu desberdia edukitzeko probabilitatea? b) Eta hirurak gaixotasu bera edukitzeko probabilitatea? 19. Azterketa batek 10 galdera ditu. Horiei bai ala ez bakarrik eratzu daiteke. Ema dezagu azterketa egi behar dueak ez dakiela galdera bat bera ere ez. Kalkulatu: a) Lau galdera asmatzeko probabilitatea b) Gutxieez bat asmatzea 0. Txapo bat aidera botatze da 6 aldiz. Zei da bi aurpegi ateratzeko probabilitatea? 1. Berrogei karta dauzka baraja batetik zoriz eta aldi berea lau karta ateratze dira. Zei da laurak palo desberdiekoak izateare probabilitatea?. 1etik 6ra zebakituta daude hiru dado jaurtitze dira. Kalkula ezazu ateratze dire putuazioe batura 6 baio txikiagoa izateko probabilitatea. Eta hirureta putuazio bera ateratzearea? 3. 1,, 3, 4 eta 5 zebakiak zoriz ordeatze dira, Zei da eta 3a elkar odoa eta ordea horreta egoteare probabilitatea? 4. Dado bat hiru aldiz jaurtitze da, eta hirugarre jaurtiketa 5 atera da. Zei da leheego jaurtiketa ere 5 ateratzeare probabilitatea? 0

ALDAGAI ALEATORIO JARRAIEN BANAKETA Batxilergoko. mailako 75 ikaslee altuerak odoko taula dituzue: Altuera, aldagai aleatorio jarraia da. Hoa, baaketa horre maiztasu erlatiboe histograma eta poligooa. Laukizuze bakoitzare azalerak tarte horre maiztasu erlatiboa adierazte du, eta laukizuze guztie azalere baturak baaketako maiztasu erlatiboe batura; beraz, 1 izago da. Lagitzat hartze dugu populazioa haditze doaea, esaterako Euskal Herriko batxilergo. mailako ikasleak,..., eta aldagaiare tarteak txikiagotze, esaterako [155,156], [155,155.5],..., maiztasu erlatiboe histogramare poligooa hoako kurba bat izatera iritsiko da. 75 ikaslee altueraki lortutako maiztasu erlatiboe histograma eta poligooa, kurba horre kasu kokretu bat dela har geezake. Probabilitateare kotzeptua, maiztasu erlatiboe limitea dela kotuta hartuz, azke kurba hau ez da maiztasu baaketa, aldagai aleatorio jarraie probabilitatebaaketa baizik Maiztasu erlatiboe edo laukie batura 1 de bezala, y = f(x) kurbak mugatze due azalera ere 1 da. Aldagaiak, [x o, x 1 ] tarteko balioak hartzeko due probabilitatea eta tarte horri dagokio kurba zatiare azpia dagoe azalera gauza bera da. 1

BANAKETA NORMALA Debora luzea, baaketakurba guztiak atzerakoak zirela petsatu ze eta baaketa ormala edo kurba ormala izea hartu zue. Kurba edo futzio horre formula hauxe da: 1 f ( x) = e σ π 1 x x σ Bizitzako haibat arlota (Pedagogia, Psikologia, Biologia,...), feomeo askok lege ormal hau jarraitze dute Baaketa ormalare grafikoa, Gausse kapaia izeareki ezagutze da. Bi parametro haue bidez determiatze da: batezbestekoa (x) eta desbidazio estadarra (σ ) eta hoela adierazte da: N ( x, σ ) f(x) futzioak, OX ardatzak eta x=a eta x=b zuzeek mugatze dute azalera, X aldagai aleatorioa [a,b] tartea aurkitzeare probabilitatea da. x = batezbestekoa Gausse kapaia: Zuze erreal osoa dago defiituta eta jarraia da Maximoa du batezbeste aritmetiko (x) putua Simetrikoa da Iflexioputuak, x σ eta x + σ dira σ = desbidazio es tadarra Jarrai dezagu 75 ikaslee altuere adibideareki. Kalkula ditzagu x = 171,7 eta σ = 7,8 N(171.7, 7.8 ) baaketa ormalare legea jarraitze du. ( x σ, x + σ ) tartea, gutxi gorabehera populazioare %68,6a dago ( x σ, x + σ ) tartea %95,4a ( x 3σ, x + 3σ ) tartea %99,7a

Baaketa ormal estadarra: N(0,1). Taulak Baaketa ormal guztie artea, badago bat iteres berezia due, baaketa ormal estadar izeaz ezagutze dugua. Berorre abatailarik hadiea tabulaturik egotea da, eta horri esker, erraz kalkula ditzakegu aldagaiare balio desberdiei lotutako probabilitateak N( x, σ ) baaketa, x =0 eta σ =1 deea ; hau da N(0,1) 3

4 Igazio Zuloaga BHI (Eibar)

Aldagaiare tipifikazioa. Probabilitatee kalkulua N( x, σ ) baaketa N( x, σ ) edozei baaketa ormal batea probabilitateak kalkulatzeko, N(0,1) baaketa ormal estadarrerako ema berri ditugu kalkuluak erabili ahal izago ditugu, hori baita, esa de bezala, baaketa ormal tabulatu bakarra. Horretarako, aldagaiare tipifikazioa egigo dugu; hau da, N ( x, σ ) baaketako X aldagaia N(0,1) baaketara pasatuko dugu Z aldagai berri bate bidez Formula: Z = x x σ Adibidea 1 Emaik N(10, ) baaketa ormaleko X aldagai bat. Kalkula dezagu P ( X 11) 10 X aldagaia tipifikatuz: Z = X zera gertatze da: 11 10 1 P ( X 11) = P( Z ) = P( Z ) = P( Z 0,5) = 0,6915 Adibidea Demagu N(66, 8) baaketa. Kalkulatu: a) P( x < 70) ; b) P(x > 80) ; c) P(70 < x < 80) x da N( 66, 8) z da N(0, 1) 70 66 70 = 0,5 8 80 66 80 = 1,75 8 P( x < 70) P( z < 0,5) = 0,6915 P( x < 80) P(70 < x < 80) P( z < 1,75) = 0,9599 ; P( z > 1,75) = 1 0,9599 = 0,0401 P(0,5 < z < 1,75) = 0,9599 0,6915 = 0,684 Soluzioak: a) P ( x < 70) = 0, 6915 ; b) P ( x > 80) = 0, 0401 ; c) P ( 70 < x < 80) = 0, 684 Adibidea 3 Automobil batek arabiltzeko modua irau dezakee deborari buruzko azterketa batea, 16 urteko batezbestekoa eta bi urte eta erdiko desbidazio estadarra atera dira. Aldagaia ormal baatze dela petsatu eta kalkulatu: a) 19 urtetik gorako iraupea izateko probabilitatea. b) 14 eta 17 urte bitarteko iraupea dute automobile portzetaia 5

Ebazpea: N(16, 5) baaketa, estadarra ez deez, tipifikatu egi beharko dugu: 19 16 a) 19 = 1' '5 P ( z 1') = 1 p( z 1') = 1 0'8849 = 0'1151 14 16 b) 14 = 0' 8 '5 17 16 17 = 0'4 '5 P ( z 0'4) P( z 0'8) = 0'6554 ( 1 0'7881) = 0'4435 Portzetaieta %44,35 ARIKETA N(173, 6) baaketa, aurkitu odoko probabilitateak: a) P ( x 173) ; b) P ( x 180'5) c) P ( 161 x 180'5) ; d) P ( 161 x 170) Bitarte karakteristikoak Orai arte N(0, 1) probabilitatea z bitarte fiitu edo ifiitua dagoeea, zei probabilitate due kalkulatze ikasi dugu; hau da, tauletara zuze jotze ikasi dugu. Orai kotrakoa egigo dugu: bitarte mota edo bere probabilitatea emada, bitarteare muturrak aurkitu beharko ditugu. Ikus ditzagu adibide batzuk. 1. adibidea. kre zei balioreki betetze da p(z < k) = 0,85? Taula barrua, 0,85 balioa aurkitzera joada, ϕ ( 1'03) = 0' 8485 eta ϕ ( 1'04) = 0' 8508 balioe artea dagoela ikuste da. Hurbile dagoea bigarrea da; beraz, soluzioa zuzeea ema daiteke, modu hoeta: P ( z < k) = 0'8508 beraz, k = 1' 04. adibidea kre zei balioreki betetze da p(k < z < k) = 0,9? Bitarteare barrua 0 9ko azalera badago, kapoa 0 1ekoa egogo da. Bitartea simetrikoa deez, mutur bietako bakoitzare azalera 0 05 izago da. Beraz: P ( z > k) = 0'05 P( z k) = 0'95 Taula zera aurkitze dugu: ϕ ( 1'64) = 0' 9495 eta ϕ ( 1'65) = 0' 9505. Beraz, kri 1 64 eta 1 65 balioe erdiko balioa emago diogu; hau da, k = 1 645 p(1 645 < z < 1 645) = 0,9 [1 645, 1 645] bitartea aurkitu dugu, simetrikoa 0rekiko, eta bitarte horre barrua guztiare azalerare %90 dago. 6

3. adibidea Matematikako azterketa bat 0,1,,...,10 putuatze da, 10 galdere eratzu zuze kopuruare arabera. Batezbesteko ota 6,7 iza da eta desbidazio tipikoa 1,. Jakiik baaketa ormalari jarraitze zaiola, aurkitu: a) gelako %10 ota kaskarree arteko otarik altuea b) gelako %10 ota hoberee arteko otarik baxuea 6 7 a) 0 10 = p[x x ] = p [ Z x ] 1 0 1 probabilitatebalioa ez da agertze N(0,1) baaketa taula. Horregatik, 10 1=0 9 balioa hartze dugu eta beroek (zehatzago esada, 0 8997 0 9), Z aldagaiak, 1 8 baio balio txikiagoa edo berdia hartzeare probabilitatea adierazte du. Hau da, p ( z 1 8) = 0 9, N(0,1) baaketa 0 1i dagokioa 1 8re simetrikoa litzateke; hau da, z= 1 8 x 6 7 Hori dela ta, = 1 8 x = 5, 16 1 Gelako %10 ota okerree otarik altuea, gutxi gorabehera, 5,16 da. b) Gelako %10 ota hoberee otarik txikiea. Ezker aldea, gelako %90ak gelditze dira. 0 9 edo 0 8997 probabilitatebalioa, N(0,1) baaketare taula, z=1 8ri dagokio x 6,7 Beraz, = 1,8 x = 8, 4 1, Gelako %10 hoberee otarik baxuea 8,4 da. 7

ARIKETAK 1. X zorizko aldagaia, N(0,4) baaketari dagokio izaik, kalkula itzazu: p ( 15 x 1) ; p ( x 6). X aldagai aleatorio jaki batek N(500, 100) baaketari jarraitze dio. Aldagai horre zer baliok uzte du bere eskuiea populazioare %40a? 3. Populazio batea, gizoe eta emakumee pisuak N(70,8) eta N(60,6) baaketa ormalei jarraitze zaizkie hurreez hurre. Zoriz aukeratze dira gizo eta emakume bat. Kalkulatu odorego probabilitateak: a) Gizoak 78 kg. baio gehiago pisatzea b) Emakumeak 51 kg. baio gutxiago pisatzea c) Emakumeare pisua 57 kg baio txikiagoa edo 7 kg baio hadiagoa izatea d) Gizoare pisua a kg. baio txikiagoa da 0,73ko probabilitateaz. Zebat da a? Sol.: a) 0,1587 ; b) 0,0668 ; c) 0,3313 ; d) 74,8 4. Demagu umeei leheego hortza atera arte igarotze de debora (hilabeteta) eurtze due zorizko aldagaia N(7 5,1 5) baaketari jarraitze zaiola. Kalkula ezazu ume bate hortzak: a) Urtebete pasatu odore ateratzeko probabilitatea b) 5 hilabete baio leheago c) Zazpigarre hilabetea (probabilitate putuala) 5. Telebista bate iraupea 4 6 urtekoa da, desbidazio tipikoa 1 6 urtekoa delarik. Saltzaileek urtebeteko garatia emate dute, hots, epe horreta telebista hodatze bada, aldatuko dizute aparailua errekargurik gabe. Zebatekoa da erreklamazioa egiteko dagoe probabilitatea?. Kotsidera dezagu telebistare iraupea baaketa ormalari darraiola. ( Sol.: 0,01) 6. Epresa batek, astea 1.000.000 botila ekoizte ditu. Botile pisuak x = 1. 00 gr. eta σ = 10 gr. parametroetako baaketa ormalari jarraitze zaizkio. Kalkula ezazu astebetea a) 15 gr. baio gehiago pisatze dute botile kopurua b) 1195 eta 115 gr. tarteko pisua dute botile kopurua 7. Oposaketa azterketa bate kalifikazioe batezbestea 6 5 da eta desbidazio tipikoa 1 6. Oposaketa hoeta %10 hobereak soilik lor dezake plaza. Zei da plaza lortzeko atera behar de gutxieezko ota? 8. Herrialde jaki batea, urteko dirusarrerek batezbestekoa 00.000 euro eta desbideratze tipikoa 8.000 euro due baaketa ormala jarraitze dute. Pobree proportzioa %4 bada eta aberatsea %a, zei dira pobreziare muga eta aberastasuare muga zehazte dituzte urteko dirusarrerak? 8

BANAKETA BINOMIALA, NORMALARI HURBILTZEN ZAIONEAN Txapo bat 00 aldiz jaurtiz gero, 80 aurpegi baio gehiago ateratzeare probabilitatea hoela lortuko geuke: P(X=81) + P(X=8) +... + P(X=00) Ikuste deez, baaketa biomialare bidezko kalkulu hori luzeegia da, ia eziezkoa: 00 0,5 81 81.0,5 119 00 + 0,5 8 8.0,5 118 00 0 +... + 0,5.0,5 00 Modu errazago bat aurkitu ahi dugu, ormalare bidez hai zuze. Aurreko adibidea 00 frogaldi egi dira ( = 00). Baiezkoa gertatzeare probabilitatea p = 0,5 da eta kotrakoa gertatzearea q = 1p = 1 0,5 = 0,5. Baaketa biomialare parametroak hauek dira: Batezbestekoa: x =. p = 00.0,5 = 100 Desbidazio tipikoa: σ =. p. q = 00.(0.5).(0.5) = 7. 07 00 Baaketa biomial batek, ormalare geroz eta atz hadiagoa hartuko du, baldi.p biderkadura hadituz badoa p eta q, biak 3 baio hadiagoak direea, hurbilketa ahiko oa da. 5etik gorakoak badira, hurbilketa iaia osoa da Ezker aldea, B(, 0.) baaketari dagokio hurbilketa ikus dezakegu grafikoki. re bailoak hadituz gero, kurbek, Gausse kapaiare itxura hartze dute p>3 deea hurbilketa oa da eta p>=5 deea oso oa. Gogora ditzagu baaketa biomialare parametroak: Batezbeste a = x =. p eta Desbidazio _ tipikoa = σ =. p. q. Beraz, N( x, σ ) kurba ormalari hurbiltze zaioez, biomialare osagaiak N ( p, pq) izago dira Bi baaketa horie hurbilketa, kotuta iza behar da biomiala diskretua dela eta ormala jarraia. 9

1. adibidea Ipar aldeko hiri batea egidako azterketa bate arabera, %5ak gizoezkoak dira. 1000 bizilagu zoriz aukeratuz, zei da horietatik gutxieez 60 gizoezkoak izateko probabilitatea? X deitze badiogu gizoezko kopurua adierazte due aldagai aleatorioari, Xek B(1000, 0 5) baaketa bat segituko du; beraz, hoakoa aurkitu beharko geuke: P(X >= 60) = P(X = 60) + P(X = 61) +... + P(X = 1000) Baia, guzti hori kalkulatzea eziezkoa da. Horregatik, kasu kopurua hadia (=1000) eta.p>=5 (.p=1000.0 5=50) deez gero, kalkulu biomial hori asko erraz dezakegu N ( p, pq) baaketa ormalera hurbilduz. Hau da:.p=50 ; 1000.0 5.0 75 = 13`7. Beraz, N(50, 13 7) P(X >= 60): z = 60 50 = 0 73 13 7 P ( z 0 73) = 1 P( z 0 73) = 1 0 7673 = 0,37. adibidea Dado bat 100 aldiz botatze da. Zei da 5 aurpegia 0 aldiz baio gutxiagota ateratzeare probabilitatea? Kasu hoeta,.p = 100.(1/6)=16,666. Beraz, ormalari egite dio hurbilketa oso oa da. 1 5 x =. p = 16,66 eta σ =. p. q = 100.. = 3 73 6 6 p( x < 0) aurkitu behar da. 0 16,66 z = = 0,89 3 73 p ( z 0 89) = 0,8133 30

ARIKETAK 1. Egokitu baaketa bakoitzari dagokio N ( x, σ ) N(5,1) ; N(4,1) ; N(6,1) ; N(5, 0 5) Nolakoa da lau kapai hauek mugatze dute azalera? Zebatekoa da?. Makia bateko pieza mota jaki bat akastua izateko probabilitatea %6 da. Biltegi batea 000 pieza jaso dituzte. Batezbeste, zebat dira akastuak? Zei izago da desbidazio estadarra?. 3. Espaiiar kartasorta (40 karta) batetik 50 aterako ditugu, ateraldi bakoitzare ostea sortara itzuliz. Biomialetik ormalerako hurbilketa erabiliz, aurkitu hoakoak gertatzeko probabilitateak: a) Sei kartatik gora urreak izatea b) Zortzi urre ateratzea 4. Herrialde batea egidako hauteskudeeta abstetzioa hautesleerroldare %5 iza da. a) Hautesleerroldako hiru pertsoa zoriz aukeratze badira, zei da iork ere botoa ez izaare probabilitatea? Eta bakar bat izatea absteitu dea? b) Hautesleerroldatik zoriz harturiko 100 pertsoatatik gutxieez 30 absteitu izaare probabilitatea aurkitu 5. Demagu saio jaki bate etzuleidizea %53 dela. 1000 teleikusle zoriz aukeratze baditugu, zei da gutxieez 550ek saio ikuste ari izateko probabilitatea? 6. Jaioberria mutikoa izateko probabilitatea 0,515 da. Ospitalea, 184 ume jaio dira aste hoeta, Zei da 100 mutiko edo gehiago jaiotzeare probabilitatea? 7. Txapo bat 100 aldiz jaurtiz gero, kalkula itzazu probabilitate hauek: a) 40 aurpegi ateratzea b) 40 aurpegi baio gutxiago c) aurpegi kopurua, 40 eta 70 bitartekoa 8. Test moduko azterketa bateko 100 galderek laua eratzu eskaitze dituzte, baia horietako bat baio ez da zuzea. Kalkula ezazu, zoriz eratzute due ikasle batek 30 galdera baio gehiago asmatzeko probabilitatea. 9. Balditza berbereta egidako %5 termostatok ez dituzte eskakizu tekikoak betetze. 000 termostatoko lagi bat ateraz gero, aurki ezazu, akastu kopurua 10 baio gehiago izateare probabilitatea. Zei da zehazki 100 termostato akastu izateko probabilitatea? 31

10.Azterketa bat 0tik 10era putuatze da modu hoeta: [0, ) = Oso gutxi ; [, 5) = Gutxi ; [5, 6) = Nahiko ; [6, 7) = Ogi ; [7, 8 5) = Oso ogi ; [8,5, 10) = Bikai Azterketare otak baaketa ormalari segitze zaizkio, batezbestea 5 eta desbidazio tipikoa delarik. Aurkitu kalifikaziotarte bakoitzea sartuko dire ikaslee portzetaia 11. Uibertsitateko eskola batea, haibat proba egi odore, putuazio hobereak dituzte %0ak oartuko dituzte. Proba horietako otak N(100, 15) baaketa ormalari segitze badio, zei da gutxiego ota Uibertsitatea sartzeko? 1. Oposaketa bat gaiditzeko, gutxieez 100 putu atera behar dira. Putuaketak, baaketa ormalari jarraitze dio, batezbestea 110 eta desbidazio tipikoa 15 izaik. a) Partehartzaile bat zoriz aukeratuz, zei da oposaketa gaiditzeko probabilitatea? b) 300 lapostu betetzeko 1000 partehartzaile daudela jakiik, zei da atera behar de gutxieezko putuazioa lapostua lortzeko? 13. Maiatzeko azterkete otak ikusita ( batezbestea 3 5 eta desbidazio tipikoa 1 5), irakasle batek, ekaiea egigo de deialdirako, kalifikazio hauek aurreikuste ditu: ikaslee %40a Gutxi, %30a Nahiko, %0a Oso ogi eta %10a Bikai. Ekaieko proba Gutxi ateratzeko, zei izago da otarik altuea? Eta Nahiko ateratzeko? Eta Oso ogi? 14. Herrialde jaki bateko biztalee altuerak batezbestekoa 1,75mkoa due baaketa ormala jarraitze du. Herrialde horreta 1,90 m. baio gehiago eurtze dute biztaleak totalare %6,68 dira. Zei da desbideratze tipikoa? Zei da 1,60 m. baio altuera hadiagoko gizabaakare proportzioa? 15. Jaioberrie altuerak baaketa ormala jarraitze duela jakia da. A autoomiaerkidegoa baaketare batezbestekoa 5 zm da eta desbideratze tipikoa 3 zm, eta B autoomiaerkidegoa aldiz, batezbestekoa 53 zm eta desbideratze tipikoa 5 zm. a) Kalkulatu, leheego kasua, batezbestearekiko simetrikoak dire zei baliore artea dagoe jaioberrie altuere %50a (zetrala) b) Zehaztu bi erkidegoe artea zeiek dauka 50 zm baio altuera hadiagoko jaioberrie proportziorik hadiea 16. Herri jaki bateko biztaleei kultura orokorreko test bat egi odore, lortutako putuaketek batezbestekoa 68 eta desbideratze tipikoa 18 due baaketa ormala jarraitze dutela ageri da. Biztaleak hiru taldeta sailkatuko dira (kultura orokor baxukoak, kultura orokor ahikokoak eta kultura orokor bikaiekoak), leheego taldeak populazioare %0a duelarik, bigarreak %65a eta hirugarreak %15a. Zei dira taldee arteko mugak zehazte dituzte putuaketak? 17. A jokalari batek txapo orekatu bat 400 aldiz jaurtitze du. B jokalariak txapo trukatu bat 00 aldiz jaurtitze du, azke txapo hoeta aurpegia irteteko probabilitatea 0,4 delarik. Zer da probableea, A jokalariak 175 aurpegi baio gutxiago lortzea ala B jokalariak 100 gurutze baio gutxiago lortzea? Eratzua arrazoitu 3

33 Igazio Zuloaga BHI (Eibar)

LAGIN ESTATISTIKOAK Gogora ezazu: Populazioa edo uibertsoa, ikerketa bate helburu izago dire idibiduo guztiak dira Lagia, populazioare azpimultzo bat da. Praktika, sarrita jotze dugu lagietara populazio oso bati buruzko datuak ateratzeko; beraz, lagiare azterketak populazio osoare ezaugarriak ateratzeko balioko digu. Populazio osoare ordez lagia aztertzerakoa, akatsak egite ditugu. Hori, aldez aurretik dakigu baia kotrola ditzakegu. Lagia aukeratzeari lagiketa esate zaio. Ikus dezagu orai zela hartu lagi adierazgarriak. ZORIZKO LAGINKETA Ikus ditzagu zorizko lagiketa motak: Zorizko lagiketa bakua Idibiduoak zebakitu eta zozketaz aukeratuko dira. Esaterako, idibiduoak kutxa godeta daude torlojuak badira, zoriz aukeratze dira, kutxatiz ateraz Lagiketa sistematikoa Idibiduoak zebakitu, leheegoa zoriz aukeratu eta gaierakoak salto bate bidez. Esaterako, lehea 5a bada eta saltoa 13koa bada, 5, 18, 31, 44,... zebakiak aukeratuko ditugu Lagiketa geruzatua Populazioa, maila ezberdieta baatu ahal bada (adibidez, adiare arabera: 18 urtetik beherakoak; 18 eta 5 urte artekoak; 35 eta 50 artekoak; 50 urtetik gorakoak), batzuta komeigarria izate da maila edo geruza bakoitzetik lagi aleatorio bat aukeratzea. Geruza bakoitzea, berorre proportzioala de lagi aukeratze badugu, lagi 1 3 4 geruzatu proportzioala izago dugu: = = = = N N N N N Guztira Populazioko idibiduo kop. N 1 N N 3 N 4 N Lagieko idibiduo kop. 1 3 4 Geruza bakoitzea, lagiare i idibiduoak zoriz aukeratze dira. 1 3 4 34

ADIBIDEA. Ikastetxe bateko 1300 ikaslek zebat ordu ikaste dute jaki ahi dugu eta horretarako 100 ikaslee lagi bat hartze dugu Ikus ditzagu azaldutako hiru metodoak: Zozketa bakuare bitartez, aldez aurretik ikastetxeko ikasle guztiei zebaki baa ema odore Lagiketa sistematikoa. Egi 1300/100 = 13. Odore, 1etik 13ra bitarteko zebaki bat zozketaz aukeratuz; petsa Esate baterako, aukeraketa egite bada ikastetxera leheago heldu dire 100 ikasleeki, lagia ez litzateke adierazgarria, kutsatuta ego daiteke, ikastetxera garaiz etortzeak lotura iza dezakeelako ikasle horie ardura edo errespotsabilitateareki eta, beraz, ikasteko erabiltze dute deborareki dezagu 5 zebakia atera dugula. Lagiketa egiteko, 5, 18, 31, 44, 57,..., 19 zebakidu ikasleak hartuko ditugu Lagiketa geruzatua. Petsa dezagu ikastetxea 1. maila 46 ikasle daudela,.ea 359, 3.a 67, 4.a 133 eta 5.ea 115. Hoako hau egigo dugu: 100 1 3 4 5 46.100 = = = = = 1 = = 33 1300 46 359 67 133 115 1300 Modu berea lortze dira =8 ; 3 =0 ; 4 =10 ; 5 =9 Zoriz, 1. mailakoak 33 ikasle aukeratze baditugu,.eko 8, 3.eko 0, 4.eko 10 eta 5.eko 9, lagi bat lortuko dugu, lagiketa geruzatua proportzioalare bitartez. Lagi bat populazioare adierazgarri iza dadi, bere elemetuak zoriz aukeratzea ezibestekoa da. Lagiketa zorizkoa dela esate da idibiduo guztiak zoriz aukeratze direea; hau da, aukeratuak izateko probabilitate berbera dute populazioko idibiduo guztiak. LAGINEN BATEZBESTEKOEN BANAKETA Adibidea. Garagardo epresa batea, 33zl.ko latak erabiltze dira. Edukia hori de ala ez zihurtatzeko, fabrikatzaileak 10 lata aukeratze ditu zoriz eta emaitza hauek ateratze zaizkio: x = 33,07 zl. eta σ = 0, zl. Horrelako 1 proba egite ditu, bakoitzea 10 lata harturik. Emaitzak, taula azaltze dira Odore, taulako 1 x batezbestekoe batezbestea eta desbidazio tipikoa kalkulatze ditu eta hauxe ateratze zaio: µ = 33, 1 eta σ = 0, 06. x Batezbestekoe lagibaaketak, N(33 1, 0 06) lege ormala jarraitze du. Lagie batezbestekoe batezbestekoa µ izedatuko dugu eta desbidazio tipikoa σ x x x 35

σ Zera betetze da: µ = x eta σ = x x Ezberditasua, desbidazio tipikoa dago; hau da: Nola baatze dira epresako garagardo lata guztiak?: N( x, σ ) Nola 1 lagie batazbesteak (1 x ak)?: N( x, σ ) Adibidea Makia batek azufre poltsak egite ditu, batazbeste 500 gr. pisukoak eta desbidazio tipikoa 35 gr. Poltsa horiek 100 uitateko lagieta biltze dira kutxeta sartzeko. Kutxeta, ola daude baatuta poltse pisue batezbesteak? Makiak egite ditue poltsa guztie baaketa N(500, 35) da. Kutxa edo lagi bakoitzea 100 poltsa biltze badira, lagi hoie batazbesteko pisue baaketa hoela kalkulatze da: = 100 Batezbestea: µ = x = 500 x σ 35 Desbidazio tipikoa: σ = x = = 3 5 100 Hau da, kutxeta, poltse pisue batezbesteak N(500, 3 5) baatze dira Poltsa guztie baaketa: Lagie batazbestekoe baaketa: Aurreko adibidea jarraituz: a) Makiak egite ditue poltsa guztietatik bat zoriz aukeratuz, zei da probabilitatea bere pisua 507 gr. baio gutxiago izatea? b) 100 uitateko lagi edo kutxa bat zoriz aukeratuz, zei da probabilitatea bere batezbestekoare pisua 507 gr. baio gutxiago izatea? a) Baaketa: N(500, 35) 507 500 z = = 0, ; p[z<0,] = 0,5793 35 b) Ez du axola zebat lagi dire; bai, ordea, lagie tamaia (100) 35 Baaketa, N(500, ) = N(500, 3 5) 100 507 500 z = = ; p[z<] = 0,977 3 5 36