ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να βρείτε τους αριθμούς: 5 i) ii)συν 6 0 0 0 0 i)είναι 5 5 Αν διαιρέσουμε το 5 με το 6 βρίσκουμε 5,δηλαδή 5 Εομένως 5 και 6 6 5 6 6 6 ii)είναι και 8 8 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες i) 5 v) rad ii) rad iii) 7 6 rad iv) rad 5 rad vi) rad vii) -00 rad viii) 0 rad Να εκφράσετε σε rad τις γωνίες i) 60 0 ii)75 0 iii)50 0 iv)-90 0 v)85 0 vi)-580 0 vii)500 0 viii)-600 0 Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: i)70 0 ii)- rad iii) 890 0 iv) v) 5 6 rad vi)-5 0 vii) rad viii)-50 0 rad Να βρεθούν οι αριθμοί: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) iii)εφ70 0 iv)ημ90 0 v)συν765 0 vi)ημ890 0 vii)εφ0 0 viii)ημ(-675 0 ) 5Aν <χ<,να αοδείξετε ότι : συν > ημ + εφ + σφ 6Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω τέτοια ώστε να ισχύει συνω = α α + 7Να βρείτε τις τιμές των αραστάσεων Α=ημ0 0 -συν5 0 +εφ60 0 -σφ0 0 Β=ημ 80 0 -συν 980 0 +5εφ85 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
8Να αοδειχτεί ότι : 600560 50600 = 9Να βρεθούν οι αριθμοί i)εφ ii)ημ iii)συν00 iv) 9 7 v) vi) 0Να βρείτε την τιμή της αράστασης 9 6 5 5 vii) 9 Αν f()=ημχ-συνχ+εφ χ να βρείτε τις τιμές 7 7 f ( ), f ( ), f (0), f, f 0 0 Υάρχει γωνία ω [0,60 ] για την οοία είναι ημω=χ +; Αν,να αοδείξετε ότι συνχ-εφχ>ημχ+σφχ Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της αράστασης Γ=-συνχ-ημy 5Να δειχτεί ότι δεν υάρχει ραγματικός αριθμός ώστε : Α)ημ χ-ημχ+<0 Β)συν χ-5συνχ+6>0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν και 90 80 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 0 0 να βρείτε τους άλλους 9 6 5 5 5 0 0 Αφού 90 80 είναι συνω<0 και εομένως 6 5 5 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Ακόμη έχουμε 5 και 5 Αν και να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ έχω και εειδή ημχ<0 θα έχω και εειδή συνχ<0 θα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Αν <χ< και συνχ = - να βρεθούν οι άλλοι τριγω- νομετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad Αν <χ< Αν και εφχ= μετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad <χ< και σφχ= - να βρεθούν οι άλλοι τριγωνο- 5 8 να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad Αν ημω= 5 και 90 0 <ω<80 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 5Αν συνω=- 5 και 80 0 <ω<70 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 6Αν εφω= 5 και 0 0 <ω<90 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνιας ω 7Αν ημ χ-ημχ+=0 και 0<χ< να βρείτε την τιμή της αράστασης 8Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω τέτοια ώστε Α)ημω=συνω=0 Β)ημω=συνω= EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -
9Να αοδείξετε ότι: 0Να αοδείξετε ότι: Να αοδείξετε ότι: ημ χ-συν χ=-συν χ=ημ χ- Να αοδείξετε ότι: συν χ-ημ χ=συν χ-=-ημ χ Να αοδείξετε ότι: ημ χεφχ+συν χσφχ+ημχσυνχ=εφχ+σφχ Να αοδείξετε ότι 5Να αοδείξετε ότι: 6Να εξετάσετε αν υάρχουν τιμές του χ για τις οοίες ισχύει: ι)ημχ= ιι)ημχ=α- και συνχ= και συνχ=α+ 7Να αοδείξετε ότι : συν α ημ α = ημ α EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -
8Να αοδείξετε ότι συν α = - ημ α 9Να αοδείξετε ότι : συν α +σφ α = 0Να αοδείξετε ότι : i) (ημα + συνα) + (ημα συνα) =5 ii) iii) iv) v) εφα+ vi) vii) viii) i) ) i) - =+ημ θ = εφ α = = εφ α = +συνα = = εφ θ +εφ θ σφ α συν α = σφ α συν α - = εφ θ (+ημα+συνα) = (+ημα)(+συνα) ii) (+ ) (+ ) = iii) (ημθ+συνθ) (ημθ συνθ) = 8ημθ συνθ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -
Να αοδειξετε τις αρακάτω ταυτότητες: ) ii) iii) a 5 iv) Να αοδείξετε ότι: i) ii) iii) Να αοδείξετε ότι: ) ) ) 006 006 006 Να αοδείξετε ότι: εφ ωσυν ω+σφ ωημ ω= 5Να αοδείξετε ότι: ) ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9-006
6Να αοδείξετε ότι: 7Να αοδείξετε ότι: (ημχ+εφχ)(συνχ+σφχ)=(+ημχ)(+συνχ) 8Να αοδείξετε ότι: 9Να αοδείξετε ότι: 0Να αοδείξετε ότι: (ημασυνβ+συναημβ) +(συνασυνβ-ημαημβ) = Αν να υολογίσετε τις αραστάσεις i) ii)ημ iii)ημ Αν ημχσυνχ=α και 0 να βρείτε τις τιμές των i) αραστάσεων ii) Αν ημχ+συνχ= να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών i) 90 0 +ω ii)70 0 -ω iii)70 0 +ω Εειδή 90 0 +ω=90 0 -(-ω) έχουμε: ημ(90 0 +ω)=συν(-ω)=συνω συν(90 0 +ω)=ημ(-ω)=-ημω εφ(90 0 +ω)=σφ(-ω)=-σφω Εειδή 70 0 -ω=80 +(90 0 -ω) έχουμε ημ(70 0 -ω)=-ημ(90 0 -ω)=-συνω συν(70 0 -ω)=-συν(90 0 -ω)=-ημω εφ(70 0 -ω)=εφ(90 0 -ω)=σφω Εειδή 70 0 +ω=60 0 +(ω-90 0 ) έχουμε: ημ(70 0 +ω)=ημ(ω-90 0 )=-ημ(90 0 -ω)=-συνω συν(70 0 +ω)=συν(ω-90 0 )=συν(90 0 -ω)=ημω εφ(70 0 +ω)=εφ(ω-90 0 )=-εφ(90 0 -ω)=-σφω EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: i)σφα + σφ(β+γ) = 0 iii)συν A + συν B ii)εφ = iv)συν Α= ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ εφ B = ( ) Δίνονται οι αραστάσεις Α=εφ 0 εφ9 0 εφ 0 εφ9 0 και Β=συν ( +χ) ημ(-χ) ημ(-χ) - ημ( Να αοδειχτεί ότι Β=Α +χ) συν (-χ) Να αοδειχτεί ότι : i)εφ9 0 εφ9 0 εφ5 0 σφ7 0 σφ7 0 σφ5 0 = ii)σφ 0 σφ 0 σφ5 0 εφ8 0 εφ8 0 εφ5 0 = Να αοδείξετε ότι: i)ημ(-χ)+ημ( + χ)+ημ(χ-) ημ(χ- ) = 0 ii)συν( + α)+ημ(-α) ημ(-α)+συν( - α) =0 5 Αν εφθ= να βρεθεί η τιμή της αράστασης: 6Να υολογιστεί η αράσταση: Α =συν( -χ) ημ( 7 +χ) +ημ ( +χ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
7Να υολογιστεί η αράσταση: Α= ( ) ( ) (7 ) 7 (9 ) ( ) ( ) 8Να υολογιστεί η αράσταση Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9Να αλοοιηθούν οι αραστάσεις : Α= Β= (80 ) (50 ) (50) (90 ) (80 ) ( 70) 5 ( ) ( ) ( ) (7 ) ( ) 0Να βρεθούν οι τιμές των αραστάσεων: 0 675 90 Α= 0 0 0 0 855 585 0 0 0 675 0 Β= 0 0 0 855 0 0 855 585 585 Να βρείτε την τιμή της αράστασης: Α=ημ50 0 -συν0 0 +εφ0 0 -σφ(-5 0 ) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 7 0 59 i) rad ii) rad iii) 6 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας i)5 0 ii)0 0 iii)-50 0 iv)5 0 v)80 0 Να βρεθεί η τιμή της αράστασης: 0 0 6 5Να βρεθεί η τιμή της αράστασης: 870 585 80 0 0 0 6Να υολογίσετε το γινόμενο: 5 7 6 6 6 6 7Να αοδείξετε ότι: ( ) ( ) 0 0 8Να αοδείξετε ότι: ( ) 0 9Να αοδείξετε ότι: 0 0 0 0 0 0 55 85 0 0Να αοδείξετε ότι: 5 56 695 8 Να αοδείξετε ότι: 0 0 0 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
0 0 0 0 0 0 80 90 80 (80 ) 90 80 Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: Να αλοοιήσετε το κλάσμα: 5 5 7 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή για Ο ίνακας τιμών της :, το, το 0, 0 ημ 0 0 0 Παρατηρήστε ότι στα σημεία ου κατέχουν την η, η, 5 η θέση, το ημ είναι 0, ενώ στη η και η θέση λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -
Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ημ κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f ημ κ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου συντελεστής του κ 0, κ, και, εομένως Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 κ κ κ ο ο ο ο 5 ο κ Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, κ κ Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για κ, το κ, το Ο ίνακας τιμών της : 0 κ κ κ κ f 0 0 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 0, ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της :, το, το 0 f 0 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση f ημ έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ f ημ ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0, 0 ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 f 0 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -
Να αρασταθεί η γραφική συνάρτηση f, με f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : Περίοδο T ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου, και εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα 0, Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 8 ο ο ο ο 5 ο 8 Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της : 8, το 8, το 0 8 8 f 0 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -
Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f συν Η συνάρτηση f συν έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται για και Λαμβάνει μέγιστη τιμή για 0 ή, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή για, το 0, Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Παρατηρήστε ότι στα σημεία ου κατέχουν την η, η θέση, το συν είναι 0, ενώ στη η, η και 5 η θέση λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f συν κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f συν κ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου συντελεστής του κ 0, κ, και, εομένως Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 κ κ κ ο ο ο ο 5 ο κ Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, κ κ Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0 ή, το κ Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για κ, το Ο ίνακας τιμών της : 0 κ κ κ κ f 0 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f συν Η συνάρτηση f συν έχει : ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 0, ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση f συν έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ f συν ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0, 0 ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f συν Η συνάρτηση f συν έχει : Περίοδο T ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα 0, Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 8 ο ο ο ο 5 ο 8 Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, 8 8 Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της :, το 0 8 8 f 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f εφ (βασική) Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται σε διάστημα λάτους, αρκεί βέβαια στο διάστημα αυτό να ορίζεται η εφ Ένα τέτοιο διάστημα είναι το, Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξίσωση γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, και, δηλαδή στο 0 είναι ασύμτωτες για το 0 εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -
Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f εφ κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f εφ κ έχει : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του κ σχεδιάζεται στο διάστημα, κ κ Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, κ κ, δηλαδή για 0 κ και κ είναι ασύμτωτες για κ 0 κ εφ 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f εφ Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του,, και, δηλαδή για 0, και, εομένως είναι ασύμτωτες για 0 εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση Περίοδο f εφ έχει : T ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα, Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, και f εφ, δηλαδή για 0, και, είναι ασύμτωτες για το εφ 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα αρακάτω :,, είναι η EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -
Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f εφ Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του, 8 8, 8 8, δηλαδή για 0 8 και 8, και, εομένως είναι ασύμτωτες για 8 0 8 εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να σχεδιαστούν οι γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f()= ημ ii)g()= - ημ με [0,] Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων i) f()=ημ(- ) και g()= -συν(+ Δίνονται οι συναρτήσεις : f()=συν ( ) g()=-ημ( ) ) h()= - συν Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η ερίοδος για καθεμιά αό τις αραάνω συναρτήσεις Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η ερίοδος για καθεμιά αό τις αρακάτω συναρτήσεις: f()=ημ g()= -ημ(- ) h()=-συν(+ 5Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) Η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία, και Β(,-) Α)Να βρείτε τα α,β Β)Να δείξετε ότι η f έχει ερίοδο Γ)Να δείξετε ότι: 9 f ( ) 5 6Δίνεται η συνάρτηση: f()=αημ+βσυν, της οοίας η γραφική, Β -, αράσταση διέρχεται αό τα σημεία: Α)Να ροσδιορίσετε τις τιμές των α,β Β)η f έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή το - 0, Γ)η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0 Δ)ημα +συνβ<ημβ+συνα για κάθε α,β με 6 ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εξίσωση ημ ημα ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Περιορισμός για το β μέρος Γενική λύση ημα κ α ή κ α, κ συν συνα συνα κ α ή κ α, κ εφ εφα εφα κ α, κ σφ σφα σφα κ α, κ ημ 0 συν 0 Κανένας Κανένας κ, κ κ, κ εφ 0 Κανένας κ, κ σφ 0 Κανένας κ, κ Αλγεβρικές εξισώσεις ως ρος ημ, συν, εφ, σφ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται γενικά, ως εξής : Χρησιμοοιούμε τους τύους : εφ εφ εφ ημ, συν, εφ εφ εφ εφ και εν συνεχεία θέτουμε εφ t EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ iv) ημ ii) ημ 0 v) ημ iii) ημ i) ημ ημ ημ k ή k k όου k ii) ημ 0 ημ ημ0 k ή k Άρα k, k iii) Άρα ημ ημ ημ ημ ημ 6 6 k 6 ή 7 k k, k 6 6 iv) ημ η εξίσωση είναι αδύνατη v) ημ ημ ημ Άρα k Να λυθούν οι εξισώσεις : i) εφ ii) εφ 0 iii) εφ 0 i) εφ εφ εφ Άρα k, k ii) εφ 0 εφ εφ0 k, k iii) εφ 0 εφ εφ εφ εφ εφ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ ημ 0 ii) εφ εφ 0 i) ημ ημ 0 ημ 0 ή ημ 0 ημ ή ημ ημ ημ ή ημ ημ k ή k ή k, k ii) εφ εφ 0 εφ 0 ή εφ 0 εφ ή εφ εφ εφ ή εφ εφ k ή k, k Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ ημ ii) συν συν 0 iii) εφ εφ 0 6 i) ημ ημ k ή k 0 k (αδύνατη) ή k k k, k ii) συν συν 0 συν συν k ή k k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
ή k k k ή, k iii) εφ εφ 0 εφ εφ 6 6 εφ εφ k k 6 6 6 k, k 5 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) iii) ημ συν ημ συν ii) εφ σφ 0 i) ii) iii) ημ συν συν συν k ή k k ή k k ή 6 k k ή k, k εφ σφ 0 εφ σφ εφ εφ k k k, k 6 ημ συν ημ ημ ημ ημ k 6 6 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
ή ή k 0 k 6 6 αδύνατη 8 k k k, k 6 6 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ συν ημ ii) εφ εφ εφ i) ημ συν ημ ημ συν ημ 0 ημ ημ ημ 0 ημ ημ ημ 0 ημ ημ 0 Θέτω ω Άρα ημ ημ οότε αδύνατη ή ω ω 0 ω ή ω ημ ημ ημ k, k ii) εφ εφ εφ εφ εφ εφ 0 εφ εφ 0 Θέτω ω εφ οότε Άρα εφ k, k ή ω ω 0 ω ή ω εφ εφ εφ ή εφ k ή 7 Να λύσετε την εξίσωση : ημ στο 0, ημ ημ ημ k ή k k ή k k 7 k, k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -
Πρέει : i) 7 7 0 k 0 k 7 5 7 5 k k, k Άρα k 0 Εομένως 7 7 0 ii) 0 k 0 k k k, k Δεν υάρχει k οότε η μοναδική λύση είναι 7 8 Να λύσετε την εξίσωση : συν ημ Χρησιμοοιώντας τους τύους ημ εφ εφ, συν= εφ εφ θέτοντας εφ t αίρνουμε : t t t t t t t 0 t t 0 t t και Έτσι : t 0 εφ 0 k k, k t εφ εφ εφ k k, k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να λυθούν οι εξισώσεις : i)ημ =ημ iv) σφ(- 7 5 )=σφ( 5 - ) ii)συν( - )=συν iii)εφ=εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν=0 ii) - εφ=0 iii)σφ( - 6 ) = iv) ημ = 0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ= - ii) συν= - iii) + εφ = 0 iv) εφ =0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) εφ(- iii) ημ = συν(- ) + εφ =0 ii) συν + συν=0 ) iv) εφ( - 6 ) =σφ 5 Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ +συν 5 iii) ημ συν( - = 0 ii) εφ + σφ 5 =0 ) =0 iv) εφ+σφ( - ) = 0 6 Να λυθούν οι εξισώσεις i) (+ημ)(+συν) = 0 ii) (εφ+ )(-συν )= 0 iii) ( ημ )(+συν ) =0 iv) (+συν)( - )=0 7 Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ +5ημ =0 ii) συν +=5ημ iii) ημ =5ημ συν iv)συν +5συν=0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -
8 Να λυθεί στο [0,] η εξίσωση : συν(- 9 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ=-σφ στο (, ii) σφ5+σφ(+ iii) σφ(+ 7 9 iv) εφ = - σφ 5 ) = 0 στο [- )+σφ5=0 στο [0, 5 στο (0,) ],0] ] 5 ) = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 0 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ( - ) = στο (,) ii) σφ=0 στο (- iii) εφ+εφ=0 στο (-,0), ) Να λυθούν οι εξισώσεις : i) = ii) εφ= σφ Να λυθούν οι εξισώσεις i)εφ = ημ ii)συν = σφ Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ= συν ii) ημ συν= συν iii) ημ+ συν=0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i)εφ συν = ημ ii)ημ + εφ=0 5Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -
f ( ) g( ) και στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές του στο διάστημα (0,) για τις οοίες: i)η f αρουσιάζει μέγιστο και ii)η g αρουσιάζει ελάχιστο 6Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 6 ii ) 7 0 iii) 7 Δίνεται η συνάρτηση: 9 7 f( ),, α,β με α<0 και β>0 5 i)να αοδείξετε ότι 9 και f()=αημ ii)αν η f έχει μέγιστο το και ερίοδο, τότε να βρείτε τα α,β iii)αν α=- και β=, τότε: α)να αοδείξετε ότι η f είναι εριττή β)να λύσετε την εξίσωση: f ( ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΩΝΙΩΝ ημ α β ημα συνβ συνα ημβ συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφ α β εφα εφβ εφα εφβ σφ α β σφα σφβ σφβ σφα ημ α β ημα συνβ συνα ημβ συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφ α β εφα εφβ εφα εφβ σφ α β σφα σφβ σφβ σφα Να δείξετε ότι : εφ 5 εφ εφ 5 εφ εφ8 εφ Παρατηρούμε ότι 8 5 και 5 οότε : εφ5 εφ εφ5 εφ εφ 5 εφ εφ8 εφ εφ5 εφ εφ5 εφ εφ 5 εφ Να υολογιστούν το 7 ημ και το 7 συν Εειδή 7 έχουμε 7 ημ ημ ημ συν ημ συν 7 συν συν συν συν ημ ημ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
Να δείξτε ότι : ημ ημ συν ημ ημ ημ συν συν ημ ημ συν συν ημ ημ συν συν συν Να αοδείξτε ότι : ημ α β εφα εφβ συνα συνβ ημ α β ημα συνβ ημβ συνα ημα συνβ ημβ συνα συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ημα συνα ημβ συνβ εφα εφβ 5 Να αοδείξτε ότι : ημ α β ημ β γ ημ γ α 0 ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα Πρέει ημα 0, ημβ 0, ημγ 0 ημ α β ημα συνβ συνα ημβ σφβ σφα ημα ημβ ημα ημβ ημ β γ ημ γ α Ομοίως σφγ σφβ, σφα σφγ ημβ ημγ ημγ ημα ημ α β ημ β γ ημ γ α ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα σφβ σφα σφγ σφβ σφα σφγ 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
6 Αν ημ α συν α να αοδειχτεί ότι εφα εφ Έχουμε ημ α ημ α συν α συν α, όου α k εφ εφα Άρα εφ α εφ εφα εφ εφα εφ εφα εφ εφ εφα εφ εφα, όου εφ 0 εφ εφ εφ δηλ εφα εφχ 7 Αν οι γωνίες α, β, γ ικανοοιούν την ισότητα α β γ, αν αοδειχτεί ότι : συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ Έχουμε α β γ α β γ συν α β συν γ συνγ συνα συνβ ημα ημβ συνγ συνα συνβ συνγ ημα ημβ () Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο : συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ ημ α ημ β συν α συν β συν α συν β συν α συν β συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ 8 Να λυθεί η εξίσωση : συν ημ Αν θέσω εφ έχουμε : συν εφ ημ συν συν ημ ημ συν συν συν k k ή EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
k k, k 9 Αν α β 5, να δείξετε ότι : σφα σφβ σφα σφβ Έχουμε σφ α β σφ5 σφ 80 5 σφ5 Άρα σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ 0 Αν σφα, να λύσετε στο 0, την εξίσωση : συν α συν α συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα () Εξάλλου ημα 0 (αφού ορίζεται η σφα ) οότε : συν συνα ημ ημα συν σφα ημα ημα ημα συν ημ ημ συν () Παρατηρούμε ότι συν 0, γιατί αν ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ότι συν 0 τότε αό την () αίρνουμε ημ 0,οότε : ημ συν 0 0 0 άτοο ημ συν Άρα () εφ k, k () συν συν 0 0 k 0 k 7 k k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -
άρα ο ακέραιος k είναι 0 ή Εομένως ή 5 Αν α β γ 90 να αοδειχθεί ότι : i) εφα εφβ εφβ εφγ εφγ εφα ii) σφα σφβ σφγ σφα σφβ σφγ i) Αό τη σχέση α β γ 90 α β 90 γ εφ α β εφ 90 γ εφα εφβ εφα εφβ σφγ εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφα εφβ εφα εφβ εφγ εφα εφγ εφβ εφγ εφα εφβ εφα εφγ εφβ εφγ εφα εφβ ii) Αό τη σχέση α β γ 90 α β 90 γ σφ α β σφ 90 γ σφα σφβ σφα σφβ εφγ σφα σφβ σφγ σφγ σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφγ σφα σφβ σφγ σφβ σφα σφγ Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου, 5 εφ και εφ, να δείξετε ότι Έχουμε : άρα 5 5 εφ εφ 6 6 εφ εφ εφ εφ 5 5 6 6 κ και για κ 0, η 5 δηλ, 5 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
Σημείωση Όμως : κ κ κ 0 0 κ 0 κ κ κ κ άρα κ 0 () ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν ημα= - 5,<α< και συνβ= οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α β 5, <β< να υολογιστούν Να αοδείξετε ότι : i) ημ( - ) + ημ(+ ) = ημ ii) ημ ( - ) ημ (+ ) = - ημσυν Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις Α=συν(+ )συν + ημ(+ )ημ εφ( ) εφ( ) Β= 8 8 εφ( )εφ( ) 8 8 5 σφ( )σφ( ) Γ= 6 6 5 σφ( ) σφ( ) 6 6 Δ=συν98 0 ημ8 0 ημ98 0 συν8 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -
Ε=ημ 0 ημ 5 - συν 0 συν 5 0 0 0 0 9 9 ΣΤ= 0 0 0 0 0 0 0 0 Να αοδείξετε ότι : ( ) i) εφα+σφβ= ( ) ii) σφα-σφβ = 5 Να αοδείξετε ότι : i) συν(α+β)συν(α-β) =συν α ημ α ii) = εφ(α+β)εφ(α-β) 6 Να υολογιστούν το ημ 7 και το συν 7 7 Να αοδειχτεί ότι : ( ) i) =εφα +εφβ ( ) ii) =σφβ-σφα 8 Αν α+β= και εφβ= να υολογιστεί η εφα 9 Να αοδειχτεί ότι το κλάσμα Α= ανεξάρτητο του ημ(α ) ημ(α ) συν(β ) συν(β ) είναι EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ημα εφα ημα συνα εφα εφ α α α ημα ημ συν α εφ εφα α εφ συνα συν α --------------------------- --------------------------- συνα συν α ημ α συν α ημ α α α συνα συν ημ α συν α ημ συνα εφ α συνα συνα ημ α ----------------------------- ημα ημα ημ α συνα συν α συνα ημα εφα εφ α -------------------------------- συνα εφ α εφ α EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δείξτε ότι : i) ημ5 ημ75 συν 0 συν 80 συν0 ii) i) Εειδή5 75 90, είναι ημ75 συν5, οότε: ημ5 ημ75 ημ5 συν5 ημ 5 ημ0 ii) Εειδή0 80 90, είναι συν80 ημ0, οότε: συν 0 συν 80 συν 0 ημ 0 συν 0 συν0 Δείξτε ότι: συνα εφα ημα συνα ημ α και ημα ημα συνα οότε: συνα ημ α ημ α ημα ημα ημα συνα ημα συνα συνα εφα Να δείξετε ότι : α β συνα συνβ ημα ημβ συν συνα συνβ ημα ημβ συν α συν β συνα συνβ ημ α ημ β ημα ημβ συν α ημ α συν β ημ β συνα συνβ ημα ημβ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -
συν α β συν α β συν α β συν α β α β συν Να λύσετε την εξίσωση : συν ημ 0 συν ημ 0 συν συν 0 συν συν 0 συν συν 0 συν 0 ή συν 0 συν 0 ή συν συν 0 ή συν συν k ή k, k 5 Να αοδειχτεί ότι 8 συν συν συν 7 7 7 8 ημα Αό τον τύο ημα ημα συνα έχουμε συνα ημα οότε 8 6 6 ημ ημ ημ ημ 8 7 7 7 7 συν συν συν, γιατί 7 7 7 8 8 ημ ημ ημ ημ 8 7 7 7 7 6 ημ ημ ημ 7 7 7 6 Να αοδειχτεί ότι: ημα συνα α εφ ημα συνα α α α ημ συν ημ α α α ημ συν ημ α α α α α α ημ συν συν ημ συν συν α α α ημ συν ημ α ημ εφ α α α α α συν συν ημ συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 50 -
7 Να αοδειχτεί ότι: συν80 ημ80 ημ60 Έχουμε 0 εφ60 συν60 ημ60 ημ60 Άρα: συν60 συν80 ημ80 συν80 ημ80 συν80 συν60 ημ80 συν60 ημ80 ημ60 συν80 ημ 80 60 ημ0 συν80 συν60 ημ80 συν80 ημ80 συν80 ημ80 ημ0 ημ0 ημ60 ημ0 8 Να αοδειχτεί ότι : εφ 5 α εφ 5 α εφα εφ5 εφα εφ5 εφα εφ 5 α εφ 5 α εφ5 εφα εφ5 εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφ α εφα 9 Να αοδειχτεί ότι : εφ α 0 εφ α 0 συνα συνα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
εφα εφ0 εφα εφ0 εφ α 0 εφ α 0 εφα εφ0 εφα εφ0 ημ α εφα εφα εφ α εφ α συν α εφ α ημ α εφα εφα εφ α συν α ημ α συν α συν α συν α συν α συν α ημ α συν α συν α συν α συν α συν α συνα συν α συνα συν α 0 Αφού δείξετε ότι : ημ 8 συν 8 να υολογίσετε : i) Tο ημ8 ii) Το συν8 iii) Το ημ6 Είναι : 5 6 90 8 8 90, άρα : ημ 8 συν 8 i) συν 8 ημ 8 συν 8 συν8 ημ8 συν8 συν8 0 συν 8 ημ8 ημ 8 ημ8 ημ 8 ημ8 () Στην () θέτουμε ημ8 0, αφού 0 8, και αίρνουμε: Η διακρίνουσα της () είναι : 0, και οι ρίζες της : 0 5 5 5 ημ8 και εειδή 0, θα είναι : 0 () ii) Αό την ταυτότητα: ημ 8 συν 8 αίρνουμε: EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
συν 8 ημ 8 συν 8 συν 8 συν 8 συν 8 συν 8 5 5 5 6 6 5 6 6 5 0 5 6 6 6 0 5 συν8 5 0 5 0 5 ημ6 ημ8 συν8 8 συνθ Να αοδειχθεί ότι : ημ θ συν θ Είναι : ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημθ συνθ ημθ ημ θ συν θ συν θ συν θ συνθ συνθ Να δείξετε ότι : ημα συνα α εφ συνα συνα Είναι : α α α ημ συν ημ ημα συνα ημα συνα συνα ημα α εφ α α συν συν συνα συνα συν α συνα συνα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
Να δείξετε ότι : ημα ημα συνα συνα εφα ημα ημα ημα συνα ημα ημα συνα ημα συνα συνα συν α συνα συνα συνα συνα εφα Σημείωση Πρέει συνα 0 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να αοδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) i) + + = 0 ii) εφ( +α) εφ( -α)=εφα iii) =εφθ iv) =εφ v) =σφα ( ) vi) =ημα ( ) Αν συν(α-β)=0,να αοδείξετε ότι ημ(α-β)=ημα Αν ημ(α+β)=0 να αοδείξετε ότι συν(α+β)=συνα Αν εφα= να λυθεί στο [-,] η εξίσωση ημ(α+)=ημ(α-) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -
5 Να λυθεί η εξίσωση : ημ=συν(- 6 ) 6 Στο διλανό σχήμα είναι ΑΓ=ΑΔ Να αοδειχτεί ότι i) εφω= ii) η ΒΔ είναι διχοτόμος της Β αν εφβ= 7 Να λυθεί στο [0,] η εξίσωση : σφ( - ) σφ( + ) = 8 Αν σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Β= και αντιστρόφως ( ) ( ) =εφγ, να αοδειχτεί ότι 9 Να αοδειχτεί ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει: i) σφ +σφ +σφ = σφ ii) σφα σφβ +σφβσφγ+σφγσφα = iii) + + = iv) συν Α+συν Β+συν Γ = + συνα συνβ συνγ σφ σφ 0 Να αοδειχτεί ότι η αράσταση Α=ημ +ημ ( είναι ανεξάρτητη του - ) +ημ ( +) Αν εφα,εφβ είναι ρίζες της εξίσωσης: (- ) + - =0,να βρεθεί η εφ(α+β) και να αοδειχτεί ότι α+β =κ+,κ Αν <y< και 5ημ y+5ημy-=0 να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημy και συνy EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 55 -
Να λυθεί η εξίσωση : εφ(- )+σφ = Να λυθεί η εξίσωση: εφ( +) - εφ( - )=6 5 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ορθογώνιο ( ) ( ) = σφβ δείξτε ότι είναι 6 Αν ημ+ημy= και συν+συνy= να αοδειχτεί ότι συν(-y)= 7 Να αοδείξετε ότι : i) συν ημ =συν ii) συν α+ημ α= - iii) εφα+σφα = ημ α 8 Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημα, συνα, εφα όταν εφ a = 9 Να υολογίσετε την εφ(α+β) αν εφα= και εφβ= 0 Να αοδείξετε ότι : i) ημ = ii) συν = iii) ημ=ημ συν iv) = ημ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 56 -
Δείξτε ότι : - = εφα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Δείξτε ότι : 8ημ = συν +συν Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α όταν : ημα= - και <α< Δείξτε ότι : = σφ 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν ημ = ii) ημ συν=ημ 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) συν συν = ii) +συν+ημ =0 7 Να λυθούν οι εξισώσεις : i)+συν+συν+συν =0 ii) συν + ημ = 0 8 Να λυθούν οι εξισώσεις: i)+συν=6ημ ii) συν+ημ = 9 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν =συν ii) συν =συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 57 -
0 Να λυθούν οι εξισώσεις i) εφ = ημ ii) εφ εφ = - Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Να αοδείξετε ότι: ημ - συν = 6 Να αοδείξετε ότι : i) = ii) = εφ Να αοδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 ισχύουν: i) ημβ = ii) συνβ = iii) ημ = iv) συν = 5 Να αοδείξετε ότι : συνα συνα συνα συν8α = 6 6 Π6 Για κάθε ραγματικό αριθμό να αοδείξετε ότι : συν ημ ημ συν συν ημ Π 7Αν ημ 5 και συν, να υολογίσετε τις τιμές : 5 i) Της εφ ii) Της αράστασης A ημ 6ημ συν συν iii) Της εφ Π8 Α Να λυθεί η εξίσωση : συν συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 58 -
Β Να λυθεί η εξίσωση : συν συν και να υολογιστεί το συν α β Π 9Να αοδείξετε ότι : συνα συνα συνβ ημα ημα ημβ συν Π0 Να λυθεί η εξίσωση συν ημ Π Α Να αοδείξετε ότι : ημ συν συν ημ ημ Β Να λύσετε την εξίσωση : ημ συν συν ημ Π Αν και ημ ημ ημ 6 0, να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημ, συν, εφ Π Δίνεται η συνάρτηση f με f συν ημ ημ συν, i) Να αοδείξετε ότι f συν συν ii) Να λυθεί η εξίσωση f συν iii) Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της συνάρτησης g f συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 59 -