HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta eta finkatzea. finkatzea. Mekanismoaren Mekanismoaren elementuen elementuen gainean gainean diharduten diharduten indarrak indarrak erabiltzen erabiltzen ohitzea ohitzea eta eta errodaduraren, errodaduraren, biraketaren, biraketaren, irristaduraren, irristaduraren, marruskaduraren marruskaduraren eta eta itsaspenaren itsaspenaren kontzeptuak kontzeptuak eranstea. eranstea. Bigarren Bigarren zatian, zatian, mekanismoaren mekanismoaren dinamika dinamika-ekuazioen inamika-ekuazioen planteamenduan planteamenduan sartzea. sartzea. Besteak Besteak beste, beste, honako honako kontzeptuak kontzeptuak ezagutaraztea: ezagutaraztea: masa masa baliokideen baliokideen sistemak, sistemak, oszilazio-zentroa oszilazio-zentroa zentroa eta eta kolpekatze-zentroa kolpekatze-zentroa. zentroa. ARIKETAK: ARIKETAK: orekak orekak planteatu, planteatu, formulatu formulatu eta eta ebatzi, ebatzi, baita baita geroz geroz eta eta zailtasun zailtasun handiagoa handiagoa duten duten sistema sistema mekanikoen mekanikoen mugimendu-ekuazioak mugimendu-ekuazioak planteatu, planteatu, formulatu formulatu eta eta ebaztea ebaztea ere. ere.
Aurkibidea Sarrera Oinarrizko kontzeptuak. Grabitate-zentroak. Inertzi momentuak Ariketak mekanismoen dinamikan Indar estatikoak mekanismoetan (ARIKETA ESTATIKOA) Aplikatutako indarrak eta muga-indarrak Mekanismoaren oreka Solido librearen diagramak Indarrak marruskadurarik gabeko loturetan transmititzea Indarren analisi zinetoestatikoa mekanismo lauetan (ALDERANTZIKAKO ARIKETA DINAMIKOA). Inertzi indarrak. D Alemberten printzipioa Ebazpen-metodoak: Gainjartzearen printzipioa Matrize-metodoa Potentzia birtualen metodoa Sistema baliokideak dinamika lauan Elementu laua bi masetan deskonposatzea Errotazioa puntu finkoaren inguruan Kolpekatze-zentroa Energia zinetikoa mekanismoan Puntu edo ardatz bati masak eta inertzi momentuak murriztea Dinamikaren ekuazio orokorra indar eta masa murriztuekin Indar pasiboak Bi solido ukitzea Marruskadura- eta itsaspen-koefizientea Marruskadura pare zinematikoetan 5.2
Sarrera ZINEMATIKAK mugimendua aztertzen du, arrazoiak alde batera utzita. DINAMIKA Mekanikaren alor bat da eta bere lana mugimendua aztertzea da, baina kasu honetan mugimendu hori sortzen duten arrazoiak (esfortzu eragileak) eta ondorioak (erreakzioak) kontuan hartuta. Ariketa zinematikoan magnitudeak luzera eta denbora dira; dinamikoak, berriz, luzera, denbora eta indarra. Makina/mekanismoetan indarrak elementuen artean gainazal parekatuen bidez transmititzen dira. Egingo dugun azterketa dinamikoan ukipen-puntuetan -gainazaletan- eta makinen elementuetan ematen diren indarrak zehaztuko dira. Hala ere, jarduten duten elementuetan behar diren dimentsioak ez dira zehaztuko - MAKINEN KALKULO ETA DISEINUA-. Arestian erabili diren kontzeptuez gain (partikula, gorputz zurruna edo deforma daitekeena), beste batzuk gogorarazi beharko dira, jada ezagunak izan arren: indarra, materia, masa, inertzia, pisua, Newtonen legeak. Gainera unitate-sistema (SI) errepasatu beharko da. 5.3
Oinarrizko kontzeptuak (I) INDARRA: gorputz edo partikula baten gainean diharduen kausa oro, atseden -edo mugimendu- egoera aldatzeko edo deformatzeko gai bada. Honako alderdiak kontuan hartzen ditu: aplikazio-tokia, norabidea, noranzkoa eta magnitudea (indarraren ezaugarriak). MATERIA: edozein materia edo substantzia da. Erabat itxia bada, gorputza deritza. MASA: gorputz guztien ezaugarri intrintseko eta aldaezina. Gorputz bati lotutako substantzia edo materia kantitate konstantea. INERTZIA: masaren propietatea da eta horri esker mugimendua aldatzeko edozein esfortzuren aurrean erresistentzia jartzen du. PISUA: masaren gainean diharduen grabitate-indarraren emaitza da. PARTIKULA: Dimentsio txikiak dituen gorputza, zeintzuk bazter daitezkeen. Gorputz elastiko edo plastiko oro deformatu egiten da indarren ekintzaz: GORPUTZ ZURRUNA: deformazioa oso txikia bada eta bazter badaiteke. DEFORMA DAITEKEEN GORPUTZA: esfortzuak eta aplikatutako kargen ondorioz barne-deformazioak aztertu behar direnean (gorputz elastikoak). 5.4
Oinarrizko kontzeptuak (II) NEWTONEN LEGEAK: 1. Legea: gorputz edo partikula baten gainean diharduten indar guztiak orekan badaude, pausagunean mantenduko da edo abiadura konstantean lerro zuzenean mugitzen jarraituko du. 2. Legea: gorputz edo partikula baten gainean diharduten indarrak orekan ez badaude, azelerazioa izango du, eta hau indar ordezkariarekiko proportzionala izango da. Azelerazioa indar horren norabidean eta noranzkoan gertatuko da. 3. Legea: bi gorputz edo partikula ukitzen direnean, norabide eta magnitude bereko, baina kontrako noranzko akzio eta erreakzio indar pare bat agertzen da. Norabidea ukipen-puntuan bi gorputzekiko tangente komunari elkarzuta edo bi partikulekiko zuzen komuna da. UNITATEEN NAZIOARTEKO SISTEMA (SI): Sistema absolutua da. Oinarrizko unitateak masa (kilogramo -kg-), luzera (metro -m-) eta denbora (segundo -s-) dira eta deribatua indarra (newton -N-): N = kg m / s 2 da. Gorputzaren PISUA grabitateak bere gainean egiten duen indarra da: W=mg (g 9.80 m/ s 2 ) 5.5
Oinarrizko kontzeptuak (III) Puntu Materialaren Dinamika ezartzeko orduan, partikularen ezaugarri bezala partikularen masa (m) izeneko eskalarra erabiltzen da. Azelerazioari esker, mugimendua aldatzeko aukera du, eta azelerazioa aldaketa honen kausarekin (indarra) erlazionatzen da eskalarraren bidez. Newtonen 2. Legea sartzen da jokoan: SOLIDO ZURRUNAREN DINAMIKA ezartzeko, mugimenduaren bi alderdiri erreparatu beharko zaio: TRANSLAZIOA: puntu baten mugimenduarekin zerikusia du. Translazioa aztertzeko, solidoaren puntu bat (inertzi zentroa edo MASA- -ZENTROA) kontuan hartu beharko da. Puntu hori solidoaren masa guztia partikulan kontzentratua izango balu bezala mugitzen da. ERROTAZIOA puntu horren inguruan. Solidoaren errotazioaren dinamika solidoaren masak espazioan duen banaketaren araberakoa da. Propietatea behar bezala zehazteko, 2. mailako tentsorea (INERTZI INERTZI TENTSOREA) erabili behar da. Inertzi momentuek eta inertzi produktuek eratzen dute. F = m A 5.6
Grabitate-zentroa Sistema mekaniko orokor bat hartuta, INERTZI ZENTROA edo MASEN ZENTROA G puntua da, zeinak sistemaren masaren batez besteko posizioa adierazten du sistemaren masa osoa kontzentratua dagoen puntua. Puntu horretan efektua berdina da. G zehaztea: O G = S O P m( P ) S m( P ) O G = S O P dm S dm Sistemak simetria planoa -edo ardatza- badu, G gainean egongo da. Guldin-en Teoremak: elementuak lauak -linealak edo azalekoak- badira eta dentsitate uniformea badute, bere planoan duten zuzen batekiko -ez du mozten- G-ren distantzia zehatz daiteke. Horretarako, zuzenaren inguruan biratzean, azalera edo bolumena, hurrenez hurren, ezagutu behar dira: Azalera = L 2πr G Bolumena = S 2πr G Batzuetan, erabilgarria da sistema elementuetan deskonposatzea. Horietan G ezaguna da edo errazago zehatz daiteke. Indarren sistema batek badihardu, zentroidea indarren sistema aplikatutzat jo daitekeen puntua da. Puntu horretan efektu bera lortzen da: GRABITATE- -ZENTROA (grabitazio-eremuaren indarrak). 5.7
Inertzi momentuak (I) Solido zurruna badugu eta bertan B puntua badago, 2. mailako tentsore simetrikoa solidoaren INERTZI TENTSOREA puntu horretan definitzen da. Inertzi tentsorean aplikazio lineala egin daiteke eta solidoaren errotazioabiaduraren bektorea (ω) Bren inguruan solidoaren errotazioaren Momentu Zinetikoaren bektore bihurtzen da: K 0 (sol). Diagonal nagusiaren (I 11, I 22, I 33 ) elementuak Btik pasatzen diren hiru ardatzekiko solidoaren INERTZI MOMENTUAK dira. Solidoaren partikula bakoitzaren masaren batura bider ardatz batekiko distantziaren karratua, beraz, betiere positiboak dira*. Biren batura hirugarrena. Planoaren kasuan: I z (inertziaren momentu polarra) ) = I x + I y (inertziaren momentu angeluzuzenak). Biraketa-erradioa erradioa (k): masaren banaketa zehazteko neurri kuantitatiboa da. Planoaren kasuan azalera zehazten da. Biraketa-erradioa momentuaren ardatzarekiko zehazten da eta hurrengo moduan definitzen da: 2 I = k m k = I m Steinerren Teorema: I B =I G +I B * (I B *: Gn kontzentratutako solidoaren masa guztiaren Brekiko inertzi momentua da). 5.8
Inertzi momentuak (II) Diagonal nagusitik kanpo dauden elementuak (I 12 =I 21, I 13 =I 31, I 23 =I 32 ) kontuan hartutako 3 ardatzekiko solidoaren Inertzi Produktuak dira: Ez dute ikur definiturik. ARDATZ NAGUSIAK: inertzi produktua 0 den hiru ardatz koordenatuak. Kasu horietan, I 11, I 22, I 33 INERTZIAREN MOMENTU NAGUSIAK dira, inertzi tentsorea diagonala da eta ardatzek definitutako norabideak INERTZIAREN NORABIDE NAGUSIAK dira. B-tik simetri planoa pasatzen bada, horrekiko ardatz normalak (ardatz nagusia) esku hartzen duen kasuetan inertzi produktuak nuluak dira. Inertziaren Norabide Zentralak: Gtik pasatzen diren inertziaren norabide nagusiak; Inertziaren Momentu Zentralak: Grentzat inertziaren momentu nagusiak. Inertziaren norabide zentraletan dauden puntuentzat inertziaren norabide nagusiak zentralekiko paraleloak dira. 5.9
Ariketak mekanismoen dinamikan Hasierako datuak ARIKETAK MEKANISMOETAN INDARRAK ETA MOMENTUAK AZTERTZEKO (hasierako informazioa, suposizioak) Estatikoa Zinetoestatikoa Masa Zero (pisua ager daiteke, baina ez inertzi indarrak) Zehaztuak Zehaztuak Zehaztuak (edo Posizioaren, parametrizatuak Posizio bakoitzean abiaduraren edota Kargak sarrera/irteera arrazoian zehaztuak denboraren arabera bezala) zehaztuak Posizio, abiadura eta Mugimendua Posizio zehaztuak azelerazio zehaztuak Ezezaguna Emaitzak (lortu nahi den irteerako informazioa, bilatua) Beharrezkoak diren tresna analitikoak Sistema orekatzeko esfortzuak. Erreakzioak loturetan eta kabiletan Estatika eta algebra lineala Mugimendua mantentzeko sartu behar diren esfortzuak. Erreakzioak lotura edo kabiletan D Alamberten printzipioa, Estatika eta Algebra lineala ALDERANTZIKAKO DINAMIKOA Elementu bakoitzaren posizioa, abiadura eta azelerazioa denboraren arabera. Hau da, egiazko mugimendua Mugimenduaren ekuazio linealak idaztea, ordenagailu-kalkulua ZUZENEKO DINAMIKOA 5.10
Ariketa ESTÁTIKOA Indar estatikoak mekanismoetan (I) APLIKATUTAKO INDARRAK ETA MUGA-INDARRAK INDARRAK: Zenbait gorputz elkarren artean lotzen direnean, bi gorputzen arteko ekintza-erreakzio indarrei MUGA-INDARRAK deritze. Sistemarekiko kanpoko indarrak APLIKATUTAKO INDARRAK dira: Indar batzuk (elektrikoak, magnetikoak, grabitatearenak ) egiazko ukipen fisikorik gabe aplika daitezke. Gure kasuan, indar gehienak zuzeneko ukipen fisiko edo mekanikoaren bidez aplikatuak izango dira. Bi indar berdin eta kontrako (F) bi zuzen paraleloetan badihardute eta, gainera, gorputz batekin bat ez badatoz, PAREA osatzen dute. Parearen besoa (d): ekintza-lerroen arteko distantzia perpendikularra da. Parearen planoa: ekintza-lerroak dituena da. Parearen momentua: beste M bektorea (librea) da eta parearen planoarekiko normala da; d F modulua du eta errotazioarentzat eskuin eskuaren erregelaren araberako noranzkoa du. M, momentuak hartzen diren puntuarekiko independentea da. Bi pare berdinak dira momentu-bektore berdinak badituzte. 5.11
Ariketa ESTATIKOA Indar estatikoak mekanismoetan (II) Sistema mekanikoa OREKA ESTATIKOAN dago honakoa betetzen denean: Horren gainean diharduten indar guztien bektoreen batura zero da. Ardatz bakarraren inguruan diharduten indarren momentuen batura zero da. Planoan - M momentuaren norabidea z da- hala adieraz daiteke F = 0, F = 0, M = 0 x y SOLIDO LIBREAREN DIAGRAMAK: Solido librea terminoak makina edo mekanismo osoa, zenbait pieza lotu, bakarra edo piezaren zatia adieraz dezake. Solidoaren marrazkia, isolatua, da eta diharduten indarrak eta momentuak kontuan hartzen dira. Makinaren edo mekanismoaren elementu osoa kontuan hartuz gero, kanpoko esfortzuak (APLIKATUTAKO INDARRAK), baita alboetako elementuek edo lotutakoek (MUGA-INDARRAK) ere adierazten dira. Elementuaren zati bat adieraziz gero, zati ebakiaren gainean diharduten esfortzuak barneko indarrak eta moztutako zatiak egindako momentuak dira. 5.12
5. 5. GAIA GAIA Mekanismoen Analisi Ariketa Ariketa ESTÁTIKOA ESTÁTIKOA Indar estatikoak mekanismoetan (III) Goi-mailako pareetan indarrak ukipen-azalerarekiko normalak dira. J.M. Pintor Borobia Mekanismoetan esfortzuak aztertzeko orduan, pare zinematikoen bidez elkarren artean lotutako elementuak bereizi beharko dira eta, beraz, solido libreen diagramak osatu beharko dira. Irudian BEHE-MAILAKO PAREETAN MUGA-INDARRAK ageri dira (marruskadura nulua). nulua 5.13
Ariketa ESTATIKOA Elementuen oreka (I)( ELEMENTUA BI INDARREKIN: Honakoa bete beharko da: F = F 1 +F 2 = 0 Bi indarrek magnitude berdina, norabide bera eta kontrako noranzkoa izango dute. Gainera, M = 0 EKINTZA-LERRO BERA. ELEMENTUA HIRU INDARREKIN: M = 0 beraz, hiru indarrak ELKARTU behar dira (ekintza-lerroak puntu komunean moztuko dira). Hiru indarrak paraleloak direnean -adibidez, habeetan gertatzen da-, muturreko kasua, elkartze-puntua infinituan dago. F = 0 ekuazioak hiru indarrak plano berean egotea eta bektoreen batura nulua izatea eskatzen du. ELEMENTUA BI PAREEKIN: M = 0 beraz, bi pareek modulu bera (parearen momentua) eta kontrako ikurrak izan behar dituzte. 5.14
Ariketa ESTATIKOA Elementuen oreka (II) ELEMENTUAK LAU INDARREKIN: Kasurik arruntenean indarrak ez dira ez elkartuak, ezta paraleloak ere. Indarren sistema horren ordez betiere indar ordezkari bakarra erabil daiteke eta puntu arbitrarioan eta pare ordezkarian arituko da. Oreka parea eta ordezkaria nuluak direnean gertatuko da. 5.15
Adibidea Ariketa ESTÁTIKOA 00/09/11ko azterketa: irudiko mekanismoa izanik, zehaztu emandako norabidearentzat M-n aplikatu behar den indarra mekanismoa estatikoki orekatzeko. 5.16
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Inertzi indarrak (I) Solido zurruna dugu m masarekin eta G masen zentroarekin. F 1, F 2 eta F 3 indar-sistemaren ekintzaz mugimenduan dago. Oro har, ordezkariaren ekintza-lerroa ez da Gtik pasako; h distantzian desplazatuta dago. Indarren sistema ez dago orekatuta eta bere efektua azelerazio linealak eta angeluarrak eratzea da. Horien balioak honako hauek dira: F = F + F + F = ma M = I G α 1 2 3 G G A G : G-ren azelerazioa da. α: m-ren azelerazio angeluarra da. F: gorputzaren gainean diharduten indarren ordezkaria da. M: indarren momentuekin - mugimenduaren planoan G-ren inguruan hartuak- batera kanpoko momentuen batura da. 5.17
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Inertzi indarrak (II): D Alemberten printzipioa ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ARIKETETAN (analisi zinetoestatikoa) azelerazio-bektoreak ezagunak dira eta, beraz, aurreko ekuazioak honela adieraz daitezke: F m A = 0 M I α = 0 G G G Ekuazio horietan INERTZI ESFORTZUAK bihurdura-indarrak indarrak eta -momentuak- gorputz zurrunari aplikatutako indarren kanpoko sistemari batu dakizkioke eta, hala, ariketa estatikaren metodoak aplikatuz ebatz daiteke. D ALEMBERTEN PRINTZIPIOA: Solido zurrunaren gainean diharduten kanpoko indarren eta inertzi indarren batura zero da eta gorputz zurrunaren gainean diharduten kanpoko momentuen eta inertziaren bihurdura- -momentuen bektore -batura zero da ere. 5.18
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Ebazpen-metodoak GAINJARTZEAREN METODOA (eskuz ebazteko egokia): Maila bakoitza banan-banan aztertzen da eta inertzi esfortzuak indarrak eta momentuak- nahiz kanpokoak kontuan hartzen dira. Beraz, n maila mugikor dituen mekanismoak n analisi-ariketa planteatu eta ebatzi behar ditu. Ondoren, emaitzak bektorialki batzen dira mekanismoan esfortzu guztiak zehazteko. Metodo honen BI ALDAERA asko erabiltzen dira: Ariketan zuzenean inertzi indarrak eta inertziaren bihurdura-momentua sartzea (EBAZPEN ANALITIKOA). Inertziaren bihurdura-momentuarekin ez lan egiteko, inertzi indarra e eszentrikotasun jakina desplazatzea (EBAZPEN GRAFIKOA). MATRIZE-METODOA METODOA (ordenagailuz ebazteko egokia): Maila mugikor bakoitzaren mugimenduaren ekuazioak idazteko solido libretzat jotzen dira. Emaitza 3n ekuazio linealen sistema da eta 3n ezezagun daude. Batera ebatzi behar dira. 5.19
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Gainjartzearen printzipioa (I) GAINJARTZEAREN PRINTZIPIOA Sistema linealetan efektua arrazoiarekiko proportzionala da, hau da, erantzuna edo sistemaren irteera zuzenean sarreraren mendekoa da: malgukian, adibidez banan-banakako erantzunak zenbait perturbaziori edo sarrerako funtziori gainjar daitezke guztizko erantzuna lortzeko. SISTEMA EZ-LINEALEI ezin zaie printzipio hori aplika eta, besteak beste, honako hauek dira: zurruntasun aldakorreko malgukiak (zurrunagoak deformatzeko orduan), sistemak Coulomben marruskadurarekin, sistemak lasaiera edo jokoarekin. ALDERANTZIKAKO DINAMIKA-ARIKETA ebatz dezake esfortzu estatikoak eta inertzialak independenteki kalkulatu ostean emaitzak konbinatuta: bektore-batura. ERAGOZPENAK: Mekanismoa elementu bakoitza- zenbait aldiz aztertu behar da. Metodoa ez da oso baliagarria marruskadura-indarrak agertzen direnean: Pare zinematiko birakarien kasuan, marruskadura-indarrak oso txikiak dira eta bazter daitezke. Pare zinematiko prismatikoen kasuan -irristailuak-, agian, metodoa ezin da aplikatu. 5.20
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Gainjartzearen printzipioa (II) Mugimendu lauaren mekanismoari dagozkion indar dinamiko guztiak aztertzeko orduan, URRATSAK (ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ARIKETA): Mekanismoaren ANALISI ZINEMATIKOA. Horri esker maila bakoitzaren azelerazio angeluarra kalkulatu ahal izango da. Maila bakoitzaren MASA-ZENTROA KOKATZEA eta puntu horietan azelerazioak zehaztea. Mekanismoaren ANALISI ESTATIKOA, irteerako mailak eman behar dituen bihurdura-momentuaren edota indarraren datuekin. Elementu bakoitzaren gainean diharduten bihurdura-momentuak eta indarrak aztertuko dira, baina inertziaren bihurdura-momentuak edo indarrak kontuan hartu gabe. Maila bakoitzean SOLIDO LIBREAREN OREKA aztertzea, inertziaren momentuak eta masa, eta baita azelerazio angeluarrak eta linealak ere erabiliz. Azkenekoak lehenengo bi urratsetan kalkulatu dira. Helburua inertziaren bihurdura-momentu eta indar guztien efektua kalkulatzea da. BEKTOREEN BATURA azken bi urratsetako emaitzekin, maila bakoitzean bihurdura-indarrak eta momentuak lortzeko. 5.21
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Gainjartze-metodoaren adibidea 00/09/06ko azterketa: irudiko mekanismoak adierazitako dimentsioak ditu eta G maila bakoitzaren masa-zentroa aipatzen du. Gainera, mekanismoak hurrengo propietateak ditu: m 1 = 0.1 kg I G1 = 20 kg mm 2 m 2 = 0.2 kg I G2 = 400 kg mm 2 m 3 = 0.3 kg I G3 = 100 kg mm 2 Grabitatearen efektua baztertuz eta marruskadura nulua dela kontuan hartuz, zehaztu maila bultzatzailean aplikatu behar den T momentuaren aldiuneko balioa baldintza hauekin mugitzeko: irudiko posizioan sarrerako abiadura angeluarra ω 1 = 95 rad/s da eta ordulari- -orratzen kontrako noranzkoan mugitzen da. α 1 = 0. 5.22
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Matrize-metodoa (I) Gainjartzearen metodoaren ondorioz, mekanismoa zenbait aldiz aztertu behar bada, matrize-metodoarekin analisi bakarra egin daiteke, baina EKUAZIO-SISTEMA LINEALA eratzen da eta F eta M ezezagun guztiekin batera ebatzi behar da. 5.23
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Matrize-metodoa (II) 5.24
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Matrize-metodoa (III) 5.25
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Potentzia birtualen metodoa (I) Gainjartzearen eta matrizearen metodoak indarren orekaren printzipioan oinarrituta daude. Mekanismoen alderantzikako azterketa estatikoak eta dinamikoak egiteko beste metodo bat aplika daiteke eta Lan Birtualean oinarrituta dago. Sarritan, irtenbide sinpleagoak eskaintzen ditu. Metodoa LAN BIRTUALEN TEOREMAN oinarritzen da: Solido zurruna orekan izanik eta kanpoko esfortzuen ekintzaz, esfortzu horiek egindako lan guztia nulua da solidoak desplazamendu txikia a egiten badu. BIRTUAL terminoa hurrengotik ateratzen da: lan hori egiteko erabili den desplazamendu infinitesimala irudimenezkoa -birtuala- da, nahiz eta derrigorrez mekanismoarekin zerikusia duten mugekin (loturekin) bateragarria izan. Metodo hau alderantzikako analisi dinamikoetan aplika daiteke, inertziaren indarrak eta bihurdura-momentuak mekanismoari aplikatutako kanpoko indartzat jotzen badira. ABANTAILA: muga-indarrek indarrek, akzio-erreakzioko barne-indarrek, ez dute lanik ematen eta, beraz, ez dira kalkuluan agertzen. 5.26
ALDERANTZIKAKO DINAMIKAREN ariketa Potentzia birtualen metodoa (II) F indarra -edo M bihurdura-momentua- izanda eta δs desplazamendu birtualarekin -δθ angeluarra izan daiteke-, lan birtuala hurrengo biderkadura eskalarra da: δw = F δs, o δw = M δθ Beraz, sistema mekanikoa bihurdura-momentuak eta indarrak aplikatuta orekan izanda, desplazamendu birtual bat sartzen bada, lan birtualak zero izan behar du. Hala adieraz daiteke: δw = Fn δs n + Mn δθ n = 0 Halaber, metodoa alderantzikako dinamikaren analisian aplika daiteke inertziaren bihurdura-momentuak eta indarrak, aplikatutako bihurdura-momentu eta indar modura lantzen badira. Kasu horretan, aurreko ekuazioaren terminoak dt-rekin zatituz (egin daiteke, desplazamendu birtual bakoitza denbora-tarte berean gertatzen baita): Hori POTENTZIA BIRTUALEN TEOREMA da. Inertziaren bihurdura- -momentuak eta indarrak bereiziz, hurrengo moduan adieraz daiteke: F δs dt + M δθ dt = 0 F V + M ω = 0 n n n n n n n n ( ) ( ) F V + M ω + m A V + I α ω = 0 n n n n n G n G n G n n n 5.27
Sistema dinamikoki baliokideak Sistemaren mugimendua aztertzeko bi zati egin daitezke: Masa-zentroaren translazio-mugimendua: F = ma G Masen zentroaren inguruan errotazio-mugimendua: M = I α G G Hala, sisteman diharduten kanpoko indarrak eta momentuak ezagututa, mugimendua zehaztuta dago, masen zentroaren azelerazioa nahiz azelerazio angeluarra zehatz baitaitezke. Beraz, bi SISTEMA MEKANIKO BALIOKIDEAK izango dira masa bera, masen zentro berdina eta inertziaren momentu bera dutenean. Erreferentzia masen zentrotik pasatzen den ardatza da eta planoarekiko perpendikularra da. Horri esker mekanismoaren elementuak sinpleago diren beste batzuen ordez alda daitezke, betiere portaera dinamiko bera baldin badute. Gehienetan maila baten ordez n masa puntual erabiltzen dira eta ondorioz: m + m + + m = m 1 2 n m r + m r + + m r = 0 1 1 2 2 n n 2 2 2 2 m r + m r + + m r = I = m k 1 1 2 2 n n G G 5.28
Bi masetan deskonposatzea (I) Elementu laua -m masa eta I inertziaren momentua- izanik, G bi masa puntualetan deskonposatu daiteke eta dinamikoki baliokideak izan behar dute: Masa kontserbatu egin behar da m 1 + m 2 = m Masen zentroak berdina izan behar du m 1 eta m 2 masak masen zentroarekin lerrokatuta egongo dira eta alde bakoitzean bana, honakoa betetzeko: m 1 r 1 = m 2 r 2 G-rekiko inertziaren momentua kontserbatu behar denez, derrigorrez bete behar da hurrengo berdintasuna: m 1 r 12 + m 2 r 22 = I G = mk 2 G Lehenengo bi ekuazioetatik m 1 eta m 2 askatuz eta hirugarrenean ordezkatuz: ( ) ( ) 2 m 1 = m r 2 r 1 + r 2, m 2 = m r 1 r 1 + r 2, r 1 r 2 = k G Bi masen egoera ez da arbitrarioa; baten posizioa aukeratuta, bestearena emanda dagopuntu-bikote honi MASEN ZENTROAREKIKO PUNTU KONJOKATUAK deritzo. Gainera, aurreko ekuazioek honakoa diote: masa guztia bi puntu konjokatuen artean banatzen da masen zentroaren distantziekiko alderantziz. 5.29
Bi masetan deskonposatzea (II) Altueraren teorema aplikatuta r 1 r 2 = k G2 adierazpena GRAFIKOKI INTERPRETA daiteke eta oso erabilgarria da ariketak ebazteko: G izanik, G-tik pasatzen den lerro zuzena marrazten da eta bertan m 1 eta m 2 masak kokatu nahi ditugu. r 1 hautatzen da eta triangelu angeluzuzena eratzen da B-n; altuera: G-rekiko biraketa-erradioa (k G ). A-ren konjokatua A da; altueraren teoremaren arabera, altuera hipotenusaren gainean zehazten diren bi segmentuen arteko batez besteko proportzionala baita: 2 r 1 eta r 2 distantziak arbitrarioki hautatu nahi badira, sistema HIRU MASA PUNTUALETAN (ez bitan) deskonposatu beharko da, eta hirugarrena masen zentroan kokatu beharko da. Beraz: 2 m + m + m = m, m r = m r, m r + m r = mk 1 2 G 1 1 2 2 1 1 Honakoa ondoriozta daiteke: r 1 eta r 2 hautatu eta m 1, m 2 eta m G lor daitezke BG = AG GA ; BG = k G, AG = r, GA = r 2 2 2 2 G 2 ( ) ( ) ( 2,, 1 ) 2 1 2 1 2 2 m = m k r r + r m = m k r r + r m = m k r r 1 G 1 1 2 2 G G G A G A r 1 r 2 1 2 k B G 5.30
5. 5. GAIA GAIA Mekanismoen Analisi Errotazioa puntu finkoaren inguruan (I) J.M. Pintor Borobia Solido zurrun batek O puntu finkoaren inguruan biratzen du -ω ω abiaduraz-, non O ez dator G masen zentroarekin bat. Horren gainean indar-sistema aplikatu ostean, α lortzen da. Kasu horretan, G-k azelerazioa izango du eta osagaiak norabide erradialetan eta tangentzialean izango ditu. ditu Solidoaren gainean kanpotik diharduen indar-sistemaren ordezkaria norabide horietan deskonposatzen bada: t r 2 F = mrg α F = mrg ω Gainera, α gertatzeko, IGα kanpoko bihurdura-momentu bat izango da. da 5.31
5. 5. GAIA GAIA Mekanismoen Analisi Errotazioa puntu finkoaren inguruan (II) O-n indar horien momentuak batzen badira: 2 M O = IG α + rg (mrg α ) = (IG + mrg )α = IO α Eta OREKA-EKUAZIOAK honako hauek badira: BI KASU BEREZI daude: α=0 MO kanpoko momentua nulua da eta inertziaren indarra (On momenturik ez duena) -mrgω2 da -indar zentrifugoa-. Arrankea (ω=0, α 0) inertziaren indarra -mrgα da, da eta sistemak pare bakarra du. Solido zurrunak honako mugimenduren bat duenean: TRANSLAZIO PURUA inertziaren indarraren ordezkariak eta kanpoko indarren ordezkariak ekintza-lerro bera dute eta gorputzaren masa-zentrotik pasatzen da. ERROTAZIOA PUNTUAREN INGURUAN -azelerazio angeluarrarekin-: bi indarrek ekintza-lerro bera dute, baina ez da masa-zentrotik pasatzen. J.M. Pintor Borobia F mag = 0 M O IO α = 0 Indar sistema ez da pare bakar batera mugatzen, inertzi indarraren osagaia baitago (-mrgω2) eta O-n ez du momenturik sortzen. 5.32
5. 5. GAIA GAIA Mekanismoen Analisi Perkusio-zentroa (I) Inertziaren indarren ordezkaria bitan deskonposa daiteke: -mrgω2 OG lerro zuzenean zehar. -mrgα OG-rekiko perpendikularra, baina G-tik pasa gabe. P puntutik pasako da eta honakoa beteko du: ( mr G α )l = IG α + ( mr G α )rg l = (IG mr G ) + rg = rg + k G2 rg P puntua PERKUSIO-ZENTROA da: Kokapena ez dago ω eta α-ren menpe P-n kanpoko indarra aplikatuz gero (OG-rekiko elkarzuta), α azelerazioa sortuko da, baina erreakzioa O kojinetean zero izango da, -mrgω2 inertziaren indarraren osagaiarengatik izan ezik. J.M. Pintor Borobia Ordezkaria 5.33
Perkusio-zentroa (II) Halaber, perkusio-zentroa sistema baliokideak aztertuz lor daiteke. Horretarako, BI MASETAN DESKONPOSATU BEHAR DA. Orain, F indarra aplikatuta, haserako unean solido batek -hasieran geldirik- zein punturen inguruan biratuko duen jakin behar da. F-ren eraginez, bere planoan aske mugi daiteke: G-tik pasatuz, F-ren lerroari elkarzuta irudikatzen da. Ekintza-lerroarekin ebakidurak O puntua definitzen du. Gorputzaren ordez m 1 eta m 2 bi masa puntual erabiltzen dira O eta O -n (Grekiko O -ren puntu konjokatua). F zuzenean O-n aplikatzen denez, m masak OO -ri elkarzuta den azelerazioa izango du eta m-k ez du azelerazorik izango. Beraz, gorputzak hasieran O -ren inguruan biratuko du. O -n n ez da erreakziorik sortzen. Ondorioa: gorputz lauak masen zentrotik pasatzen ez den ardatzaren inguruan bira badezake, biratzean beregan ez da erreakziorik sortuko ardatzaren puntu konjokatuan indarra aplikatuz gero. Eta puntu honi PERKUSIO-ZENTROA deritza. 5.34
Energia zinetikoa mekanismoan Mekanismoaren energia zinetikoa elementu bakoitzaren energia zinetikoa batuz lortzen da. MEKANISMO LAUETAN bi kasu daude: Errotazioko mugimendu laua - ω - O puntu finkoaren inguruan: 2 2 2 P-n kokatutako dm-rentzat: dt = 1 2 dm v = 1 2 dm ω r 2 2 2 2 2 Honela osatuta: T = S 1 2 dm ω r = 1 2 ω S r dm = 1 2 I ω O Mugimendu lau orokorra -CI-ren inguruan aldiuneko errotazioa-: 2 Une bakoitzean: T = 1 2 I 1 ω Posizio bakoitzean I 1 kalkulatu beharko genuke (CI aldatzen baita). 2 Steiner aplikatuz gero: I1 = IG + m IG 2 2 2 2 2 Ordezkatuz: T = 1 2 I ω + 1 2 m IG ω = 1 2 I ω + 1 2 m v G G G KOENINGEN TEOREMA: mugimendu lau orokorrean solido zurrunaren ekuazioa lortzeko, batetik, hori geldirik badago masa- -zentroen inguruan errotazio-ekuazioa, eta bestetik, mugimenduan solidoen masa-zentroak izango lukeen translazio-ekuazioa batuko dira. Solidoaren masa guztia zentroan dagoela suposatzen da. Elementua 2 masa puntual baliokideetan deskonposatuz, ez da beharrezkoa ω erabiltzea, ezta I ere: 2 2 T = 1 2 m v + 1 2 m v 1 1 2 2 5.35
Puntura edo ardatzera mugatzea Askatasun-maila bakarra izanez gero, mekanismoaren mugimendua zehaztuta dago, puntu bakarraren mugimendua ezagututa. Puntu horri ERREDUKZIO-PUNTUA deritza. Orduan, ondorengoez hitz egin ahal izango da: Masa puntu batera murriztua. Indarra puntu batera murriztua. Bi parametroen arteko erlazioari esker, mekanismoaren dinamikaren ekuazio orokorra zehaztuko da indar eta masa murriztuekin. Mekanismoaren mugimendu-legeak ekuazio dinamiko bakarra izango du eta erredukzio-puntuak -x R -, abiadurak -v R - eta azelerazioak -a R - deskribatutako ibilbidea izango du. Batzuetan mekanismoaren masak eta indarrak murriztu beharko dira parametro angeluarretan eta ez-linealetan oinarrituta. Orduan, sistema mekanikoa ardatz batera (erredukzio-ardatza) murriztuko da eta honakoak definituko dira: Inertziaren momentu murriztua. Pare murriztua. 5.36
Masa puntu batera mugatua Masa puntu batera mugatua: masa -m R - mekanismoaren puntu zehatzean jarrita eta berarekin mugituta, egiazko mekanismoaren energia zinetiko bera duenean: 2 2 2 Hau da: T = 1 2 m v + I m v i Gi 1 2 ω = 1 2 Gi i R R m R askatuz: ( ) 2 ( ) 2 m R = m i v Gi v R + IGi ω i v R Honakoa ondoriozta daiteke: m R, batetik, mekanismoan masa-banaketaren, eta bestetik, abiaduren eta erredukzio-puntuaren arteko erlazioen araberakoa da. Beraz, hautatutako erredukzio-puntuaren araberakoa da eta mekanismoaren posizio bakoitzean balio desberdina izango du. m R ez da erredukzio-puntuaren abiaduraren araberakoa, gdl bakarra duen mekanismoan puntuen abiadurak horietako edozeinekiko proportzionalak baitira eta, beraz, posizio jakinean abiadura-arrazoiak berdinak baitira nahiz eta edozein v R izan. Horregatik, nahiz eta mekanismoa ez mugitu, m R kalkula daiteke. Horretarako erredukzio-puntuari abiadura birtuala eman behar zaio eta horren arabera, ondoren, gainerako abiadurak kalkulatu behar dira. 5.37
Indarra puntu batera murriztua Mekanismoan lana bakarrik indar aplikatuek egiten dute. Muga- -indarrek mekanismoaren mugimendua gidatzen dute. Mekanismoaren puntu batera mugatutako indarra: indarra (F R ) puntu horretan aplikatuta eta puntu hori mugi daitekeen norabidean (δx R ), mekanismoaren edozein mugimendu txikitan mekanismoan egiaz aplikatzen diren indarren lan bera egingo du. W = F δx F x F x F F ( x x ) R R = δ = R R δ cos α = i i i R δ δ cos α i i R i Eta desplazamenduak abiadurekiko proportzionalak direla gogoratuta: ( ) F = F v v cos α R i i R i Abiadura-erlazioak masa murriztuaren kasukoak bezalakoak dira, baina ez dira beti kalkulatu behar. F R indarraren definiziotik honakoa ondoriozta daiteke: mekanismoari egiazko indar aplikatuez gain, kontrako noranzkoan modulu eta norabide bereko indarra aplikatzen badiogu, lan bateratua zero izango da eta sistema orekan egongo da lan birtualen printzipioa-. Beraz, puntu batera mugatutako indarra mekanismoa orekatzeko gai den indarrarekiko kontrakoa da. 5.38
Masa eta indar murriztuaren arteko erlazioa Energia zinetikoaren teorema mekanismoaren bi posizio oso hurbiletan aplikatuta: dw = dt Lana eta energia zinetikoa indar eta masa murriztuen arabera adierazita: d ( ) 1 FR dx R = d 1 2 m v 2 R R FR = m v 2 R R dx R 2 m R eta v R x R -ren mendekoak direnez: F m v dv R dm R R = R R + 1 2 v R dx R 2 dx R Eta honakoa kontuan hartuta: dm R F v dv R = m Ra R + 1 2 v R 2 dx R R = a R R dx R 1 gdl-ko mekanismoaren mugimenduari dagokion oinarrizko ekuazioa da eta indar nahiz masa murriztuen araberakoa da. Bigarren terminorik ez badago (m R konstantea, mugimendua hastean -v R bazter daiteke- eta oszilazio txikiak), ekuazioa F R indarrarekin m R masako partikularen mugimendua zehazteko erabiltzen den berdina da. 5.39
Ardatz batera murriztea Aurreko ataletan deskribatutako modu berean honakoak defini ditzakegu: Mekanismoaren inertziaren momentu murriztua: bolantearen inertzi momentua da. Erredukzio-ardatzean kokatuta eta berarekin biratuta, berez egiazko mekanismoak adina energia zinetiko izango du. Mekanismoaren pare murriztua: erredukzio-ardatzean aplikatuta, mekanismoaren mugimendu txikian mekanismoan aplikatutako indar multzoaren lan berdina sortuko luke. Masa eta indar murriztuaren eta inertzi momentu eta pare murriztuaren arteko parekotasuna ikusita, hurrenez hurren, pare murriztua eta inertziaren momentu murriztua erlazionatzen dituen adierazpena idatz daiteke: M = I α + e e e 1 2 die dϕ ω 2 e 5.40
MARRUSKADURAREN fenomenoa Bi solidoen ukipena Sistema mekanikoen egiazko loturetan, hau da, bi solido ukitzen direnean, betiere marruskadura-fenomenoak ageri dira. Oso ugariak eta konplexuak izan daitezke. Arrazoien jatorria sinplifikatuz, zurruntasun gabezia -egiazko gorputzak deformatu egiten dira- eta gainazaleko zimurtasuna marruskaduran nabarmenki esku hartzen duten faktoreak dira. 1 eta 2 solido zurrunen arteko zuzeneko ukipenean, mugimendu erlatiboa baldin badago eta A eta B puntuek kontaktu puntuala badute, honakoak bereizi behar dira: IRRISTATZEA: Bi puntu horien abiadura tangentzialak desberdinak direnean. ERRODADURA: Bi gorputzen arteko MARRUSKADURAK irristatzea saihesten duenean eta ukipen-puntuen abiadura absolutua berdina denean. 5.41
MARRUSKADURAREN fenomenoa Marruskadura- eta itsaspen-koefizientea (I) 2 eta 3 solido zurrunak ditugu eta derrigorrez elkarren artean ukitzen dira. Mugimendu erlatiboa izan daiteke ala ez. Marruskadurarik ez balego: 3. maila horizontalki desplazatuko litzateke. F 23 lotura-indarra ukipen-gainazalekiko normal komunaren arabera bideratuko litzateke, alde batera utzita irristaduraren magnitudea. Oreka-aukera bakarra 4. maila 2.-arekiko elkarzuta izatea litzateke. Marruskadura agertzen denean, berriz: Ukipen-gainazalean erresistentzi indarra sartzen da eta F 23 erreakzioa makurtu egiten da, gainazalekiko normala izateari uzten dio. Hala, 3. blokea orekan mantentzea ahalbidetzen duen indarra agertzen da, nahiz eta 4. 2.-rekiko elkarzuta ezin izan. Erresistentzi indarrari MARRUSKADURA- -INDARRA deritza. Era berean -akzioerreakzioa-, 2. mailan ere agertuko da. 5.42
MARRUSKADURAREN fenomenoa Marruskadura- eta itsaspen-koefizientea (II) Esperimentalki egiaztatuta dago: materialen arabera, marruskadura-indarraren magnitudearentzat muga dago eta honako erlazioak zehazten du: t n F µ F 23 23 µ: marruskadura-koefiziente koefiziente estatikoa edo itsaspen- -koefizientea (ukipenean dauden materialak bereizten dituen propietatea, zimurtasun-maila, etab.). F 43 gehiegi makurtzen bada eta osagai horizontala (eta, beraz, F 23t ) aurreko ekuazioa asetzeko handiegia bada, oreka ezinezkoa da eta 3. 2.-ren gainean irristatuko da. Irristadura gertatzen denean, marruskadura-indarraren balioa honakoa da: µ c : irristaduraren marruskadura-koefizientea koefizientea edo marruskadura-koefizientea koefizientea. Irristaduran ematen den marruskadura COULOMB-EN MARRUSKADURA da. Esperimentalki honakoa ondoriozta daiteke: material gehienetan µ c µ baino pixka bat txikiagoa da. φ marruskadura-angelua angelua: gainazalaren normalarekiko F 23 makur daitekeen gehieneko angelua oreka galdu baino lehen eta irristadura gertatu baino lehen: tan F t F n F n F n 1 φ = = µ = µ φ = tan µ 23 23 23 23 F = µ F t n 23 c 23 5.43
MARRUSKADURAREN fenomenoa Marruskadura pare zinematikoetan Mekanismoetan indarrak aztertzeko ariketak egiteko orduan, pare zinematikoetan marruskadurak kontuan hartzen badira, honako URRATSAK JARRAITU behar dira: Lehenik eta behin, ariketa guztia marruskadurarik gabe ebatzi behar da. Helburua indar normal bakoitzaren norabidea aurkitzea da. Bigarrenez, arretaz aztertu behar da ariketaren enuntziatua mugimenduaren norabidea eta noranzkoa zehazteko (marruskadura-indarrek betiere mugimenduaren kontra egiteko joera baitute). Ondoren, solido libreen diagramak berriz planteatu behar dira, baina marruskadura-indarrak sartuz (beraz, pare zinematikoetan muga-indarrak makurtuko dira). Erreakzioak norantz makurtu erabaki behar da eta, beraz, marruskadura-indarren norabidea eta noranzkoa ezagutu behar dira (2. urratsa). Halaber, indar normalak ezagutu behar dira (1. urratsa). Bai grafikoki, bai analitikoki, ez da zuzena marruskadurarik gabe indar normalak bider µ egitea marruskadura-indarrak zehazteko, indar orok magnitudea alda baitezake marruskadura eranstean. 5.44
MARRUSKADURAREN fenomenoa Adibidea 5.45